Hjälpmedel: Endast bifogade formelblad (miniräknare är inte tillåten) Inga toabesök eller andra raster under den här kontrollskrivningen.

Transkript

1 Kontrollskrivning i Matematik 1, HF1903, oktober 017, kl Version A Hjälpmedel: Endast bifogade formelblad (miniräknare är inte tillåten Inga toabesök eller andra raster under den här kontrollskrivningen För godkänt krävs 5 poäng av 9 möjliga poäng Godkänd kontrollskrivning ger bonus enligt kurs-pm Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter Eaminator: Armin Halilovic Undervisande lärare: Jonas Stenholm, Elias Said, Nils Dalarsson Detta blad lämnar du in tillsammans med lösningar! Ange klasstillhörighet A, B eller C för enklare sortering Uppgift 1 (3p a Ange för vilka -värden är funktionen ln( + sin definierad b Bestäm g ( då g ( ln( c Bestäm inversa funktionen till h ( 3 e + Uppgift (p Låt sneda till f ( + 5 Bestäm eventuella asmptoter (lodräta, vågräta, + 3 Uppgift 3 (1p Låt tan( Bestäm Talorpolnomet av ordning två till f (, kring punkten Uppgift (3p Låt z f (, a (1p Beräkna f ' och f ' b (p Bestäm alla stationära punkter till f och deras karaktär Lcka till

2 Facit: Uppgift 1 (3p a Ange för vilka -värden är funktionen ln( + sin definierad b Bestäm g ( då g ( ln( c Bestäm inversa funktionen till 3 h ( e + a Notera att sin är definierad för alla reella Definitionsmängd kommer att bestämmas av ln-funktionen: Alltså > 0 som ger (t e med hjälp av teckentabell D f (, (3, Alternativt skrivsätt D f { R : < eller > 3} b c + g ( e ln ln Alltså h ( + eller h ( + Svar:a D (, (3, Alternativt skrivsätt D f { R : < eller > 3} f 1 1 c b + g ( ( h 1 + ( eller h ( + 1 Rättningsmall: a Rätt svar1p b Rätt svar1p c Rätt metod och svar1p Uppgift (p Låt sneda till f ( + 5 Bestäm eventuella asmptoter (lodräta, vågräta, + 3 Svar: i Vertikal asmptot är 3 där f( går mot oändligheten + 5 ii Eftersom lim lim (ej reellt tal och + 3

3 + 5 lim lim (ej reellt tal har funktionen ingen horisontell asmptot + 3 iii Här är två metoder för sned asmptot: Metod 1 Polnom division ger (kontrollera själv: Eftersom 0 om ( eller har vi att ( + 0 då + 3 ( eller Detta betder att + är funktionens sned asmptot ( till vänster och till höger Metod Den räta linjen kkkk + nn är en sned asmptot till funktionen ff( då + om följande gränsvärden eisterar ( och är reella tal ff( lim kk, ddärr kk ärr eetttt rrrrrrrrrrrr tttttt ( dddddd kk ± + lim (ff( kkkk nn, ddärr nnärr eeeeee rrrrrrrrrrrr tttttt ( dddddd nn ± + På liknande sätt betraktar vi fallet där + 5 Vi har k lim lim och därefter + 5 n lim( k lim 1 lim lim + 3 Därmed är + är funktionens sned asmptot till höger Samma resultat får vi om Alltså är + funktionens sned asmptot ( till vänster och till höger Svar: En vertikal (lodrät asmptot är 3 Horisontella asmptoter finns inte + är funktionens sned asmptot + 5 Grafen till + 3 Rättningsmall: Korrekt svar för vertikal asmptot 1p Korrekt metod och svar för sned asmptot 1p Allt rätt p

4 Uppgift 3 (1p Låt tan( Bestäm Talorpolnomet av ordning två till f (, kring punkten Första derivatan av funktionen är f'( cos - (, och andra derivatan av funktionen är f"( - cos -3 ( (- sin( cos -3 ( sin( I punkten ger detta f(/ 1, f'(/ cos - (/ och f"(/ cos -3 (/ sin(/ Därmed har Talorpolnomet av ordning två till f ( följande form P ( ( '( ( 1! "( ( f + f + f + + och den approimerar funktionen i närheten av punkten enligt följande graf 1 ( ( Svar: P ( 1+ ( + ( Rättningsmall: Rätt eller fel Uppgift (3p Låt z f (, a (1p Beräkna f ' och f ' b (p Bestäm alla stationära punkter till f och deras karaktär Första- och andraderivator beräknas: f (, + f (, + 6 f (, f (, 0 (, f

5 En stationär punkt då f (, f (, 0, + 0 dvs f (, 3 0 Punktens karaktär: AC B ( 0 < 0 alltså en sadelpunkt! Grafen till z f (, Svar: (, 3 är en sadelpunkt Rättningsmall: a Rätt eller fel b Korrekt bestämd stationär punkt (- och - koordinat +1p Korrekt bestämd karaktär +1p