Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Transkript

1 TENTAMEN 9 jan 5, HF6 och HF8 Moment: TEN (Linjär algebra), hp, Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF6 Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: , Plats: Campus Haninge Eaminator: Armin Halilovic Betgsgränser: Mapoäng För betg A, B, C, D, E, F rävs, 9, 6,, respetive 9 poäng. Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad. Miniränare ej tillåten. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till omplettering (betg F) Sriv endast på en sida av papperet. Sriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter sall mareras med rss på omslaget Denna tentamenslapp får ej behållas utan lämnas in tillsammans med lösningar. Fullständiga lösningar sall presenteras till alla uppgifter Uppgift. ( p) Punterna A(,,) B(,,) C(,,) och D(,,) är hörn i en pramid D C A B a) Beräna vineln mellan sidorna AB och AD. (poäng) b) Beräna arean av triangeln ABD. (poäng) c) Beräna pramidens volm. ( poäng ) Uppgift. ( p) Bevisa att vetorerna v (,, ) v (,, ) och v (,, ) är linjärt beroende.

2 Uppgift. (p) Lös följande evationssstem genom Gausseliminering 7. Uppgift. (p) Lös följande oliheter: ( )( ) a) > b) <. Uppgift 5. (p) a) (p) Bestäm evationen för den linje som går genom punterna P(,,) och Q(,,). b) (p) Bestäm evationen för det plan som går genom punterna P(,,), Q(,,) och R(,,). Uppgift 6.(p) Bestäm (det ortaste) avståndet mellan punten A(,, ) och planet. ( i) Uppgift 7. (p) Låt. Bestäm i a) Re() b) c) arg() ( argumentet till ). Uppgift 8. (p) Bestäm det omplea talet som satisfierar evationen i. Uppgift 9. (p) Låt A, B och C. Lös följande matrisevationer med avseende på X a) A X BX C b) A X XB C. Uppgift. ( p) Ett föremål förflttar sig från punt A (,,) till punt B(,,) p. g. av raftens F inveran. Kraftens storle är 5 N och raften är parallell med v i j. Bestäm raftens arbete. Lca till.

3 FACIT Uppgift. ( p) Punterna A(,,) B(,,) C(,,) och D(,,) är hörn i en pramid D C A B a) Beräna vineln mellan sidorna AB och AD. (poäng) b) Beräna arean av triangeln ABD. (poäng) c) Beräna pramidens volm. ( poäng ) a) Salärproduten: AB AD AB AD cos v cosv AB AD AB AD AB (,, ) AB och och AD (,, ) AD 9 AB AD ( ) ( ) ( ) ( ) cosv v arccos Svar: arccos 57 b) Triangeln ABD som spänns upp med hjälp av vetorerna AB och AD har arean Arean AB AD i j AB AD i j AB AD 8 Arean ( a. e.) Svar: Arean ( a. e.)

4 c) Pramidens volm beränas med hjälp av salärtrippelprodut: V ( AB AD) AC, där AC (,, ); AB (,, ); AD (,, ) 6 V (R*(-)R) ( v. e.) Svar: ( v. e.) Rättningsmall: a) Rätt cos v ger poäng b) Rätt eller fel ränefel p c) Korret metod med mindre Uppgift. ( p) Bevisa att vetorerna v (,, ) v (,, ) och v (,, ) är linjärt beroende. Metod. Vetorerna är oberoende om rader i matrisen är linjärt oberoende,dvs om matrisens rang är. Vetorerna är beroende om matrisens rang är. ~ (R R) ~ (R R) (R R) Två ledande ettor i trappstegsform implicerar att matrisens rang är och därmed är vetorerna linjärt beroende ( den tredje vetor beror av de första två). Metod. De tre tredimensionella vetorerna är beroende om och endast om determinanten är lia med. Vi har ( 6 ) ( ) ( 8)

5 5 5 och därmed är vetorerna beroende. ( Vad sulle visas) Metod. Vetorerna v, v och v är linjärt beroende om och endast om det finns tal, och, som inte alla är, så att v v v. Ev.*(-)Ev. Ev.*Ev. Låt t, då t och -t Väljer t.e. t. Alltså, och. Alltså v v v och vi har visat att v, v och v är linjärt beroende. Anmärning: Vetor v an uttrcas som en linjärombination av vetorerna v och v, t.e. (,, )(,, ) (,, ) Rättningsmall. Korret metod (med mindre ränefel) p Uppgift. (p) Lös följande evationssstem genom Gausseliminering r r r r r

6 r r r r Härav,, Svar:,, Rättningsmall. Korret metod (med mindre ränefel) p Uppgift. (p) Lös följande oliheter: ( )( ) a) > b) <. a) Tecentabell: ( ) ( ) ( )( ) ej def. ( )( ) Alltså > om < eller < < b) < < < (addera ) 6 < < dela med < < 7 Svar: a) < < eller < < ( Alternativt srivsätt (,) (,) ) b) (,7) Rättningsmall: a) Korret ap, orret bp. Uppgift 5. (p) a) (p) Bestäm evationen för den linje som går genom punterna P(,,) och Q(,,). b) (p) Bestäm evationen för det plan som går genom punterna P(,,), Q(,,) och R(,,). a) PQ (,, ) och därmed är linjens evation (,, ) (,,) t(,, )

7 eller t b) PQ (,, ), PR (,, ) En normalvetor är i j n PQ PR i j i j (,, ) Planets evation: ( ) ( ) ( ) eller Svar: a) (,, ) (,,) t(,, ) b). Rättningsmall: a) Korret ap, orret bp. Uppgift 6.(p) Bestäm (det ortaste) avståndet mellan punten A(,, ) och planet. d A B C D ( ) A B C Svar: (l.e) Rättningsmall: Rätt eller fel ( i) Uppgift 7. (p) Låt. Bestäm i a) Re() b) c) arg() ( argumentet till ). ( i) i i i i i i a) i i i i i i Därför Re( )

8 b) Från i får vi i ( ) Allternativ lösning: i π c) arg( ) ( π ) (rita grafen eller använd cosθ, sin θ ) π Svar: a) Re( ) b) c) arg( ) ( π ) Rättningsmall: ap, bp, cp. Uppgift 8. (p) Bestäm det omplea talet som satisfierar evationen i. Vi substituerar i i evationen och får ( i) ( i) i i i i i i i 5 i i Härav 5 och i i dvs och och därmed i Svar: i Rättningsmall. Korret metod (med mindre ränefel) p Uppgift 9. (p) Låt A, B och C. Lös följande matrisevationer med avseende på X a) A X BX C b) A X XB C a) A X BX C ( A B) X C eller X (*) Matrisen A B är inverterbar eftersom det( A B) Inversen är.

9 Från (*) gäller X 6 6 Svar a: X 6 6 Rättningsmall a) Korret inversen till ABp b) Lägg märe till att vi inte an fatorisera A X XB. Notera att ( A B) X AX BX AX XB (Matrismultipliation är inte ommutativ dvs i allmänt BX XB ). På samma sätt inser vi att A X XB X ( A B). Därför löser vi evationen elementsviss. Låt X. Vi substituerar X w i evationen A X XB C och får w w w. Efter beräning och förenling har vi ( ) ( ) ( w) w Vi identifierar element och får fra evationer w w 5 Från andra evationen har vi. Detta substitueras i ev och fås dvs. Därmed Nu substituerar vi och i ev och ev och får ev A: w 5 och ev B: w Från ev A har vi w som vi substituerar i ev B och får

10 ( ). Slutligen w Därmed X Svar b: X. Rättningsmall b) Korret metod (med mindre ränefel) p Uppgift. ( p) Ett föremål förflttar sig från punt A (,,) till punt B(,,) p. g. av raftens F inveran. Kraftens storle är 5 N och raften är parallell med v i j. Bestäm raftens arbete. Metod W F s cosθ, där s AB (,, ) och s 6 v s cos θ,där v s (,,) (,.) och v v s cosθ 6 W 5 6 ( J ) 6 Metod Först bestämmer vi oordinater till vetorn F. Vetorn F är parallell med har längden 5. Därför v F (,,) (,, ) v Arbetet an beränas med hjälp av salärproduten: 5 W F s (,,)(,,) (J ) v i j och Svar: (J ) Rättningsmall. Korret metod (med mindre ränefel) p

11