Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t)

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t)"

Kristin Bergström
för 5 år sedan
Visningar:

1 TILLÄMPNINGA AV DIFFEENTIAL EKVATIONE L KETSA Låt vara strömmen i nedanstående L krets (som innehåller element en sole med induktansen L henry, en motstånd med resistansen ohm, en kondensator med kaacitansen farad och en sänningskälla med sänningen U( vol För att ange en differential ekvation för använder vi otentialvandring (dvs Kirchhoffs sänningslag) och följande samband: Sänningsfallet över en sole med induktansen L är lika med L i ( eller kortare U L = L i ( (*) Sänningsfallet över ett motstånd med resistansen är lika med eller kortare U = (**) Sänningsfallet över en kondensator med kaacitansen är lika med q ( /, dvs U = (***) där q ( och är laddningen i coulomb Enligt Kirchhoffs sänningslag (eller "otentialvandring") gäller då U( U L U U = 0 eller U L + U + U = U( (ekv) (I denna enkla krets är alltså summan av sänningsfall = sänningskälla ) Om vi substituerar (*), (**) och (***) i ekv får vi följande grundekvation för L krets: L i ( + (ekvation A) Ekvation A har två okända funktioner i ( och q ( För att lösa ekvationen måste vi först eliminera en av dem med hjäl av sambandet q ( Följande två metoder är ekvivalenta: Metod Om vi vill eliminera q ( deriverar vi ekvation A och därefter ersätter q ( Vi får följande ekvation med endast en variabel i ( L i ( + i ( + = U ( ( ekvation B) (notera derivatan U ( i högra lede Sida av 7

2 Metod Om vi vill eliminera i ( i ekvation A vi substituerar i ( ( och i ( ( i ekvationen och får Vi får följande ekvation med endast en variabel i ( : L q ( + q ( (ekvation ) ( notera att U( inte deriveras i den här metoden) Vi bestämmer först och därefter i ( ( Begynnelsevillkor: Om vi har en andragrads DE behöver vi två villkor för att bestemma konstanter i den allmänna lösningen Följande startvillkor i en L krets används oftast: i ( 0) = a och q ( 0) = b I detta fall har vi q ( 0) 0) = a och då är enklast att använda (ekvation ) och bestämma q ( Därefter får vi i ( ( q ( 0) = a och q ( 0) = b I detta fall är det naturligt att använda ( ekvation ) i ( 0) = a och i ( 0) = b I detta fall är det lämligt att använda ( ekvation B) Seciella fall: L krets Från U ( U L U = 0 dvs U L + U = U( får vi L i ( + = U( Notera att ekvationen är av första ordningen och att det räcker med ett villkor Här används oftast villkoret i ( 0) = a krets krets beskrivs med Med hjäl av i ( ( eliminera en obekant funktion Om vi t ex eliminerar i ( har vi q ( Sida av 7

3 Övningsugifter Ugift Bestäm strömmen i nedanstående L- krets om a) L= henry, = 8 ohm, u( = volt Vid t=0 är strömmen 0)=0 amere b) L= henry, = 8 ohm, u( a) Från kretsen får vi följande diff ekv d L + (ekv) ( efter subst L och ) i ( + 8 = ( dela med ) i ( + 4 = 6 (ekv ) Härav i H ( = e = e V och 0)=0 A Partikulärlösning : i ( = A i ( = 0 4A = 6 i ( = / A = / Alltså: = ih ( + i ( = e + För att bestämma använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) = 0 och får i = e + och ( ) 4 t i t = e + ( = Svar a) i ( = Svar b) = e e 4 t + + e t Sida av 7

4 4 Ugift Bestäm strömmen i nedanstående krets där = Ω, = F u( = 4 V då 0 a) vid t=0 är strömmen 0)= A b b) vid t=0 är laddningen 0)= coulomb a) Från kretsen får vi följande diff ekv + (ekv) eller ( efter subst och ) i ( + 0 = 4 (ekv) För att eliminera q ( deriverar vi ( ekv ) och ( eftersom q ' ( ) får: i ( + 0 = 0 (ekv ) Härav 0t = e (*) [ den allmänna lösningen för ] För att bestämma använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) = och får = därmed 0t = e 0t Svar a) = e ( amere) b) Vi använder villkoret 0)= och den allmänna lösningen från a-delen För att bestämma 0) substituerar vi 0)= i ekv och får i ( 0) + 0 = 4 0) = 4 Nu fortsätter vi som i a-delen, med den nya villkoret för 0)=4 och får 4 = 0t Därför 0t Svar b) (amere) 0t = e Ugift Bestäm strömmen i nedanstående L krets om Sida 4 av 7

5 5 L= H, = Ω, = Ω, = F och u(=0v 6 Vid t=0 är strömmen 0)=0 A och laddningen q ( 0) = Från kretsen får vi följande diff ekv d L dvs d L + ( + ) + (ekv) (efter subst L, och ) i ( = 0 (ekv ) 0)=0 och 0) = ger i (0) + 50) + 60) = 0 i (0) + 6 = 0 i (0) = 4 Derivering av ( ekv ) ger: i ( + 5i ( + 6 = 0 (ekv ) Härav = e + e Alltså: = e + e medför i ( = e e För att bestämma och använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) = 0 och i ( 0) = 4 och får + = 0 4 = Härav 4, = 4 och därför Svar: = 4e 4e Ugift4 Bestäm strömmen i nedanstående L krets om L= H, = Ω, = Ω, = F och u ( = sin( + 6cos( V, Sida 5 av 7

6 då 0)=4 A och i ( 0) = 6 Från kretsen får vi följande diff ekv d L dvs d L + ( + ) + ( efter subst L, och ) i ( + + = sin( + 6cos( Derivering ger: i ( + i ( + = 44 cos( sin( Härav i H ( t = e + e Partikulär lösning: i = Asin t + B cos t 6A B = 44 A 6B = A = 6, B = 4 i ( = 6sin t + 4 cos t Alltså: = e + e 6sin t + 4 cos t För att bestämma och använder vi begynnelsevillkoren i ( 0) = 4 och i ( 0) = och får = 5, = 5 = 5e 5e 6sin t + 4cos t Svar: = 5e 5e 6sin t + 4cos t Ugift 5 Bestäm strömmen och laddningen i nedanstående L krets om L= henry, = ohm, = farad och Sida 6 av 7

7 u( = sin t + cos t volt då 0)=0 amere och 0)= coulomb 7 Från kretsen får vi följande diff ekv d L + + = U (ekv) Om vi använder q ( då får vi följande ekvation med en variabel: L q ( + q ( + = U, ( efter subst L, och ) q ( + q ( + = sin t + cost (ekv ) Ekvationen har den allmänna lösningen = e + e + sin t Eftersom q ( får vi = e e + cos t Från begynnelsevillkoren 0)=0 och 0) = får vi ekv: + = 0 ekv: + = Härav och 0 och därför = = e + cos t t och = e + sin t Svar: = e + cos t t = e + sin t = Sida 7 av 7

Relevanta dokument

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t)

Spänningsfallet över ett motstånd med resistansen R är lika med R i(t) Tillämpningar av differentialekvationer, LR kretsar TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER LR KRETSAR Låt vara strömmen i nedanstående LR krets (som innehåller element en spole med induktansen L henry,