Föreläsning 29/11. Transienter. Hambley avsnitt

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Föreläsning 29/11. Transienter. Hambley avsnitt"

Marianne Eliasson
för 7 år sedan
Visningar:

1 1 Föreläsning 9/11 Hambley avsnitt Transienter Transienter inom elektroniken är signaler som har kort varaktighet. Transienterna avtar ofta exponentiellt med tiden. I detta avsnitt studerar vi de transienter som uppstår då en kondensator eller spole dels kopplas in och dels kopplas ur en krets. Tidskonstanterna för uppladdning och urladdning av kondensatorer har betydelse för hur snabba förlopp vissa kretsar kan behandla. Transienter kan ibland ge upphov till oönskade störningar i kretsar. Spolen L = L d = 1 L vt ) i) Upplagrad energi: w = 1 Li Kondensatorn = d = 1 it ) v) Upplagrad energi: w = 1 v Lkretsen Vi antar här en krets där en spole vid tiden t = har en ström I. Den har alltså en upplagrad energi 1 LI. För t > är spolen kopplad till en en resistans. Då strömmen går genom resistansen avges energi till resistorn. Det gör att strömmen

2 genom spolen avtar med tiden. För att få fram tidsförloppet för strömmen är det enklast att ställa upp och lösa den differentialekvation som strömmen satisfierar. L I t eferensriktningen på strömmen är satt så att vid spolen går strömmen in vid och ut vid. Därmed gäller = L d. Ohms lag säger att v =, eftersom strömmen vid resistansen går in vid och ut vid. Det ger följande differentialekvation för strömmen och tillhörande begynnelsevillkor: L di i = i) = I Metoden med integrerande faktor ger: = I e t/ där = L/. Notera att spänningen = I e t/ kan bli mycket stor om är stor. Exempel: kretsen Vi antar här en krets där en kondensator vid tiden t = har spänningen. Den har alltså en upplagrad energi 1. För t > är kondensatorn kopplad till en resistans. Då strömmen går genom resistansen avges energi till resistorn. Det gör att kondensatorns spänningen avtar med tiden. För att få fram tidsförloppet för spänningen är det enklast att ställa upp och lösa den differentialekvation som spänningen satisfierar. eferensriktningen på strömmen är satt så att vid kondensatorn går strömmen in vid och ut vid. Därmed gäller = d. Ohms lag säger att v =, eftersom strömmen vid resistansen går in vid och ut vid. Det ger följande differentialekvation och tillhörande begynnelsevillkor: dv v = v) = Metoden med integrerande faktor ger: = e t/ där =

3 3 t Tidskonstanten För en exponentiellt dämpad signal = v)e t/ är =tidskonstanten. Det betyder att v) = e 1 v).37v). I en L krets är tidskonstanten = L/ och för en krets är den =. Vi noterar att 1/ är líka med brytvinkelfrekvensen för L och näten vi tidigare använt som lågpass och högpassfilter. Exempel: Inkoppling av spänningskälla t = v t) s v t) r v t) c En spänningskälla v s t) kopplas vid t = in mot en krets där v c ) =. Bestäm spänningen över kondensatorn som funktion av tiden. KVL ger v s t) = v c t). Eftersom = v ct) fås den ordinära differentialekvationen v c t) 1 v ct) = 1 v st) där =. Metoden med integrerande faktor ger lösningen för t > v c t) = e t/ v c ) 1 ) v s t )e t / Om kondensatorn är oladdad för t gäller v c ) = och därmed v c t) = 1 v s t )e t t)/ Ht)

4 4 där Ht) är enhetssteget Ht) = { t < 1 t > Integralen går att lösa explicit för några av de vanligaste typerna av källor. Steg v s t) = v Ht) ger v c t) = v 1 e t/ ) Ht), se figur 1. Fyrkantpuls v s t) = v Ht) Ht t )) ger, se figur, t v c t) = v ) 1 e t/ < t t v ) 1 e t / e t t)/ t > t v r t) v c t) 1ms ms Figur 1: v c t) ochv r t), v s t) = Ht), = 1ms v c t) v r t) Figur : v c t) 1ms ms ochv r t), v s t) = Ht) Ht t )), = t =1ms

5 5 Tidsharmonisk källa v s t) = sin ωt ger, v c t) = e t/ sinarctanω)) sinωt arctanω)) ) Ht) 1 ω) = ωe t/ 1 ω) Ht) sinωt arctanω)) Ht) 1 ω) = ωe t/ 1 ω) Ht) sinωt) ω cosωt)) Ht) 1 ω) ).1) Från lösningen ser vi att lösningen är en summa av en transient, d.v.s. en del som dör ut efter en tid och en stationär del. Den stationära delen är den som finns kvar efter lång tid. Matematiskt sett är transienten den homogena lösningen och den stationära delen partikulärlösningen. I läsperiod Ht 1 användes jωmetoden för att få fram den stationära lösningen och det är enkelt att se att den överensstämmer med lösningen ovan. I frekvensplanet ger spänningsdelning V c = 1 jω = 1 ω) e jarctanω) I tidsplanet är då amplituden 1 ω) och fasen arctanω), mätt relativt sinωt). Den stationära spänningen är då v cstat t) = sinωt arctanω)) 1 ω) Man kan konstatera att även i detta enkla fall är jωmetoden en bra metod för att snabbt få fram den stationära lösningen. Tips Gå till Wolfram Alpha på nätet. Där kan ni få lösningen till matematiska problem, och även andra problem. Skriv in solve dv/v/tau=sinwt)/tau*ht), v)= så får ni lösningen.1). Wolfram Alpha är ganska okänslig för hur man skriver sina uttryck. Även t.ex. solve v v/tau=sinwt Ht)/tau, v)= fungerar bra. Vill man ha en graf kan man sätta in värden på tau och w. Skriver man t.ex. v v/.=sin1t) Ht)/., v)=, from t= to 1 fås lösningen och dess graf för <t<1.

Relevanta dokument

Föreläsning 3/12. Transienter. Hambley avsnitt

Föreläsning 3/12. Transienter. Hambley avsnitt 1 Föreläsning 3/1 Hambley avsnitt 4.1 4.4 Transienter Inom elektroniken betecknar transienter signaler som har kort varaktighet. Transienterna avtar ofta exponentiellt med tiden. I detta avsnitt studerar