ETE115 Ellära och elektronik, tentamen april 2006

Transkript

1 24 april 2006 (9) Institutionen för elektrovetenskap Daniel Sjöberg ETE5 Ellära och elektronik, tentamen april 2006 Tillåtna hjälpmedel: formelsamling i kretsteori. OBS! Ny version av formelsamlingen finns tillgänglig under tentan, innehåller bland annat småsignalmodell av FET. 2 i i 0 v 3 0 Beräkna strömmen i. 2 i t=0 V 0 C v C Beräkna v C (t) i figuren ovan. Postadress Box 8, LUND Besöksadress Ole ömers väg 3, Lund Leveransadress Ole ömers väg 3, LUND Internpost Hämtställe 7 Telefon växel Fax E-post Internet

2 2(9) 3 En elektrisk motor är ofta mycket induktiv. För att minska flödet av reaktiv effekt till och från en apparat som innehåller en motor, såsom en dammsugare, kan man koppla in en kondensator. Om apparaten modelleras med en resistans i serie med en induktans L, hur stor ska kondensatorn väljas om den kopplas a) i serie med apparaten? b) parallellt med apparaten? Frekvensen i kraftnätet är vanligtvis mycket stabil. Om vi trots detta antar att frekvensen ω varierar med så mycket som en faktor 2, är då någon av kopplingarna att föredra? Motivera. 4 Betrakta en struktur formad som en cirkelsektor enligt nedanstående figur. r α r 2 De krökta ytorna (vid r = r och r = r 2, där r är avståndet från origo längst upp) är metallbelagda. Materialet har ledningsförmåga σ, samt tjockleken t in i papperet. a) ita en fältbild som beskriver riktningen för strömmen inuti strukturen, om strömmen ansluts till de metalliserade ändarna. b) Beräkna resistansen för strukturen.

3 3(9) 5 Nedanstående krets består av N identiska byggblock, sånär som på att en del resistanser varierar mellan blocken. v in 2 N v ut Vad är utsignalen v ut? 6 Nedanstående krets är en common-gate förstärkare. V DD D C 2 C L v(t) v in S Bestäm ingångsresistansen för småsignaler, dvs in = v in /, då strömmen genom r d går att försumma i transistorns småsignalmodell. V SS

4 4(9) Lösningsförslag Uppgiften kan lösas på (minst) två sätt: med nodanalys eller källtransformationer (Thévenin- och Nortonekvivalenter). Vi använder oss här av nodanalys. Beteckna potentialen i noden ovanför strömkällan med v och potentialen i noden ovanför 3-resistansen med v 2, samt låt potentialen i den understa noden vara 0. Kirchhoffs strömlag i noderna ger då i 0 v 0 v v 2 2 = 0 v 2 v 2 v v 2 v 0 = 0 Efter lite algebra erhåller vi följande ekvationssystem 3 2 v 2 v 2 = i 0 2 v 6 v 2 = v 0 Vi eliminerar v genom att multiplicera den undre ekvationen med 3 och addera ekvationerna, vilket ger 2 v 2 2 v 2 }{{} = i 0 3v 0 = v 2 = =5v 2 Slutligen är den sökta strömmen 2 i = v 2 3 = i 0 3v 0 5 i 0 3v 0 5 Vid tiden t = 0 är spänningen v C (0) = 0, eftersom all eventuellt upplagrad energi har laddats ur genom resistansen. Då kretsen har slutits, kan vi konstruera en Théveninekvivalent för spänningskällan och resistanserna enligt V C i C v C där V = i V 0 och = i = i i

5 5(9) Strömmen genom kapacitansen är i C = C dv C dt, och Kirchhoffs spänningslag ger med lösningen 3 V i C v C = 0 = C dv C dt v C = V v C (t) = v C (0) e t/( C) V ( e t/( C) ) = }{{} =0 a) Vi vill minimera den reaktiva effekten i följande koppling: = ( ) V 0 e t i i C i V 0 ( e t( i C )) C i / C L Impedansen för kopplingen är och den komplexa effekten är Z = jωc jωl S = 2 V I = 2 Z I 2 Den reaktiva effekten är imaginärdelen av S, vilken minimeras genom att minimera imaginärdelen av impedansen Z, dvs jωc b) Motsvarande koppling är nu jωl = 0 = C = ω 2 L C L

6 6(9) med impedansen Z = jωc jωl Imaginärdelen i denna minimeras om jωc = jωc jωl 2 ω 2 L 2 jωl 2 ω 2 L = 0 = C = L 2 2 ω 2 L 2 När vi jämför de två uttrycken i a) och b), ser vi att de båda ger svaret C /(ω 2 L) då ωl, vilket gör att valet av C är mycket beroende av frekvensen ω. Då ωl, så är fall b) i princip oberoende av frekvens och därför att föredra. I verkligheten använder man vanligen parallellkoppling för effektanpassning, men av andra skäl. Till exempel kan olika transienter då apparaten kopplas ur nätet då laddas ur genom kondensatorn. 4 a) Strömmen går vinkelrätt mot de metalliserade ändarna, dvs i radiens riktning: b) Från fältbilden ovan ser vi att strömmen kan beskrivas genom strömtätheten J = J(r)e r där r är avståndet från origo i uppgiftsfiguren. Vtegrerar denna strömtäthet över en tvärsnittsyta S med normalvektor e n = e r enligt figuren nedan,

7 7(9) e n Flödesintegralen av J genom denna yta ska svara mot den totala strömmen I, dvs α α I = J e n }{{} ds = tr J(r) e r (e r ) dϕ = trj(r) dϕ = trj(r)α S ϕ=0 }{{} 0 =tr dϕ = Eftersom detta gäller för alla r tervallet r < r < r 2, får vi J(r) = I trα Det elektriska fältet ges av E = J = I e σ σtrα r, vilket ger potentialskillnaden (punkt 2 svarar mot den undre anslutningsytan, punkt mot den övre) v 2 v = P P 2 E dr = r r=r 2 I σtrα e r e }{{} r dr = = I σtα r2 r dr r = I σtα [ln r]r 2 r = I σtα ln r 2 r Notera att minustecknet togs bort genom att byta integrationsgränserna mot varandra. Genom att från början ha ansatt strömmen positiv nedåt (positiv r-riktning) hade räkningarna blivit enklare, men vi har utfört dem på det här viset för att visa att allt hänger ihop även om vi skulle råka ansätta strömmen åt fel håll. esistansen ges nu slutligen av = v 2 v = v 2 v I 2 I = σtα ln r 2 r Uppgiften kan också lösas genom att betrakta strukturen som en seriekoppling av resistanser av formen dr α r

8 8(9) esistansen för ett sådant element är (längd dr, tvärsnittsyta tαr) vilket ger integralen = d = d = r2 r dr σtαr dr σtαr = σtα ln r 2 r 5 För en negativt återkopplad ideal operationsförstärkare är spänningen mellan ingångarna noll, samt strömmarna in gångarna noll. Vi betecknar nodpotentialerna vid ingångarna till respektive operationsförstärkare med v, v 2, v 3 etc. Den första potentialen fås genom spänningsdelning v = v in = 2 v in Denna potential återfinns även vid utgången av den första operationsförstärkaren, eftersom spänningen mellan ingångarna är noll. Detta gör att nästa nodpotential är och i allmänhet har vi Utsignalen blir då v 2 = 2 2 v = 2 3 v v n = n n v n v ut = v N = N N N N N 2 N v in = v in N 6 Denna uppgift är tagen från Exercise 2.3 i Hambley. I en första ansats för att erhålla småsignalschemat ersätter vi först kopplingskondensatorerna med kortslutningar, matningsspänningarna med jord, och transistorn med sin småsignalmodell:

9 9(9) D D G v gs g m v gs S r d L v(t) v in S Vi ritar nu rent denna figur, och erhåller r d S D v(t) v in S v gs g m v gs D L Om vi nu antar att r d är så stor att strömmen genom den är försumbar (dvs ersätter den med ett avbrott), erhåller vi följande strömekvation för noden S och eftersom v gs = v in får vi och ingångsresistansen är v in S g m v gs = 0 v in = in = v in = S g gs S g m