Tentamen i El- och vågrörelselära,

Transkript

1 Tentamen i El- och vågrörelselära, Beräkna den totala kraft på laddningen q = 7.5 nc i origo som orsakas av laddningarna q 2 = 6 nc i punkten x,y) = 5,0) cm och q 3 = 0 nc i x,y) = 3,4) cm. Coulombkraften mellan laddningarna q och Q ges av F = kq Q r 2 ˆr = kq Q r 3 r Kraften F på laddningen q kan delas upp i komponenter F = F xˆx+f y ŷ, där ) q F x = kq 2 x 2 x 2 + q 3 x 3 2 +y2 2 )3/2 x 2, 3 +y2 3 )3/2 och ) q F y = kq 2 y 2 x 2 + q 3 y 3 +y2 2 )3/2 x 2, 3 +y2 3 )3/2 där x 2,y 2 ) = 5,0) cm och x 3,y 3 ) = 3, 4) cm. Insättning av dessa värden ger x 2 2 +y2 2 )3/2 = x 2 3 +y2 3 )3/2 = 25cm 3 och ) 5q2 +3q F x = kq 3 25cm 2 ) 4q3 F y = kq 25cm 2 Insättning av k = Nm 2 C 2, q = 7.5 nc, q 2 = 6 nc, och q 3 = 0 nc ger ) F x = N = N ) F y = N = N Svar: F = 2.7 ˆx+2.6ŷ) 0 4 N

2 2. Inom en viss volym kan potentialen V skrivas 4x Vr) = kq y 2 + 3y ) x 2 där q = 40 nc. Bestäm elektriska fältet Er) i punkten r = 2, 4, 6) m, som ligger i volymen. Elektriska fältet fås från gradienten av potentialen E = V r = ˆx V x ŷ V y = kq ˆx 4 y 2 6y x 3) ŷ8x y 3 3 ) x 2) E2, 4,6) = 9 40 Svar: E = 70ˆx 360ŷ V/m ˆx ) ŷ ) 4 ) V/m = ˆx+ŷ)V/m 3. Ett cylindriskt rör med längd L, innerradie a och ytterradie b är tillverkat av ett material med resistivitet ρ. Visa att när ström flyter mellan rörets in- och utsida är resistansen R = ρ 2πL lnb/a) Totala strömmen I är oberoende av radien r för a r b. Strömtätheten j = jˆr är då j = I 2πLr LokalaformenavOhmslagkandåskrivasEr) = jρ = ρi/2πlr). Spänningens belopp fås genom att integrera det elektriska fältet b V = a ρi b dr Er)dr = 2πL a r = ρi 2πL lnb/a) Resistansen mellan rörets in- och utsida är då enligt Ohms lag Q.E.D R = V I = ρ 2πL lnb/a)

3 4. Två parallellalångarakaledareärbelägnapåsammahöjd40cmfrånvarandra och leder ström åt samma håll. I den vänstra är strömmen I = 0 A och den högra I 2 = 20 A. Beräkna magnetfältet B i en punkt 30 cm rakt över den högra ledaren. y B 2 B B r r 2 I I 2 x Fig.. Vi väljer ett koordingatsystem med I i origo och I 2 i x,y) = 40,0) cm enligt Fig. Fältet ska då beräknas i x,y) = 40,30) cm. Magnetfältet från en lång rak ledare är vinkelrätt mot vektorn r från ledaren och mot ledaren), och ges fältstyrkan på avståndet r av B = µ 0I 2πr Totala magnetfältet är B = B + B 2, där B = µ 0 I /2πr ) med r = x 2 +y 2 = 50 cm och B 2 = µ 0 I 2 /2πr 2 ) med r 2 = y = 30 cm. Eftersom B är vinkelrät mot r fås B :s komponenter från B x B = y r = 3 5 ; B y B = x r = 4 5, och B 2 är i x-riktningen, B 2 = B 2x. Det totala fältets komponenter kan då skrivas B x = B x +B 2x = y r µ 0 I /2πr )+µ 0 I 2 /2πr 2 ) B y = B y +B 2y = x r µ 0 I /2πr ) och det totala magnetfältet ges av B = µ 0 yi 2π r2 2 + I 2 )ˆx xi ) r 2 r 2 ŷ B = ) )ˆx ŷ T 57.3ˆx 2ŷ) 0 7 T Svar: B = 57.3ˆx 2ŷ) 0 7 T

4 5. På Botniabanan kör ett tåg 80 km/h. Spårvidden är 435 mm och jordmagnetiska fältets vertikalkomponent är T. Hur stor spänning skulle alstras mellan skenorna om enda kontakten mellan dem gick genom tåget? Det jordmagnetiska fältet B n = T ger ett flöde Φ B = B n A genom arean A. Om tåget kör med hastigheten v = 80km/t = 50 m/s och spårvidden är d =.435 m sveper tåget varje sekund över ytan vd. Enligt Faradays lag induceras då den elektromotoriska kraften E = dφ B dt mellan skenorna. Numeriskt får vi = B n da dt = B nvd E = V 3.23mV Svar: Den alstrade spänningen blir 3.2 mv. 6. En spole, som också har en liten resistans, drar en viss effekt när den ansluts till 50 Hz växelströmsnätet. Seriekopplas spolen med en kondensator med kapacitansen C = 0.5 µf blir effektförbrukningen densamma som förut. Beräkna spolens induktans. Medeleffekten P i en krets bestående av en resistans R, en induktans L och en kapacitans C ges vid spänningen V av P = VR R 2 + ωl ωc ) 2 För att effekten med och utan kondensator ska vara lika krävs ωl) 2 = ωl ) 2 ωc Eftersom L 0 och C 0 får vi L = 2ω 2 C L = 22π50) H 0.3H Svar: Spolens induktans är 0 H.

5 7. Ett föremål ska med en tunn konvex lins ska avbildas på en skärm 60 cm från föremålet. Vad är den längsta möjliga brännvidd som linsen kan ha? Avståndet s = p + q = 60 cm mellan föremål och skärm är summan av avståndet p från föremål till lins och avståndet q från lins till skärm. Linsformeln ger relationen mellan avstånden p + q = f Från linsformeln inses att för avbildning av ett föremål på en skärm reell bild av reellt föremål) måste både p > f och q > gälla. Om p < f blir q negativt, och vice versa.) Ersätts q med s p i 0) fås p + s p = f f = p p 2 /s ) Minimalt f fås genom att sätta derivatan till noll, df dp = 2p/s = 0, vilket ger p = s/2. Insättning av p = s/2 i ) ger f = s 2 s/2)2 s = s 4 Eftersom d2 f dp2 = 2/s < 0 måste detta vara ett maximum. Med s = 60 cm får vi numeriskt att f = 5 cm Svar: Den längsta möjliga brännvidd som linsen kan ha är 5 cm.

6 8. Det elektriska fältet i en plattkondensator, som består av två cirkulära skivor med radie R = 0 cm på avståndet d = 0.5 cm från varandra, kan betraktas som homogent. Hur stort blir magnetfältet mellan plattorna på avståndet r = 8 cm från deras centrum när kondensatorn laddas upp med en ström I =.0 A? Vi tillämpar Ampére-Maxwells lag ) Φ B dl = µ 0 I +ε E 0 dt på området mellan kondensatorplattorna, och integrerar runt en crikel med radie r. Magnetfältet är på grund av symmetrin konstant på cirkeln, och B dl = 2πrBr) ) Mellan kondensatorplattorna är ledningsströmmen I = 0. När kondensatorn laddas upp får vi däremot en förskjutningsström på grund av att det elektriska flödet Φ E = πr 2 E genom cirkelytan ändras. Den elektriska fältstyrkan ges av E = V/d = Q/Cd) där kondensatorns kapacitans är C = ε 0 πr 2 /d och spänningen V. Kondensatorns laddning Q ökar på grund av laddningsströmmen I, vilket ger Genom att kombinera ) och 2) får vi Φ ε E 0 dt = ε πr 2 dq 0 Cd dt = r2 R2I 2) Br) = µ 0 r 2πR 2I Br) = 4π π 0 2 T = T Svar: Magnetfältet 8 cm från plattornas centrum blir T.