Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik

Transkript

1 Linköpings Universitet IFM Mats Fahlman Tentamen för TFYA87 Fysik och Mekanik Måndagen /8 016, kl 08:00-1:00 Hjälpmedel: Avprogrammerad miniräknare, formelsamling (bifogad) Råd och regler Lösningsblad: Skall vara renskrivna och läsbara Skriv bara på ena sidan av pappret Svar skall anges med enheter Betygsgränser: Lycka till!

2 1. Tre punktformade laddningar q1, q och q3 ligger i samma plan (xy) enligt figur nedan. Laddningen q1 är belägen i origo, 0 = 8.85 x 10-1 C /Nm och r = 1.0. Vilken kraft (storlek, riktning) verkar på q1 om q1 = -1.0 x 10-6 C, q = 3.0 x 10-6 C, q3 = -.0 x 10-6 C, r1 = 0.15 m, r13 = 0.10 m och θ = 30? (4p) y q 3 r 13 θ q 1 r 1 q x. Gråben puffar ett städ uppför en backe med tanken att sedan släppa ned städet på den förbipasserande Hjulben. Backen har en lutning θ = 30 och den kinetiska friktionskoefficienten mellan backen och städet = Städet har en massa m = 100 kg, backens höjd är h = 50 m och Gråben puffar upp städet med en konstant hastighet v =.0 m/s. Vilket arbete har Gråben utfört på städet när han puffat upp städet från backens början till krönet? (4p) v θ h 3. Gråben färdas med en handdriven vagn i en järnvägstunnel på jakt efter Hjulben. Tyvärr var ljuset han såg inte slutet av tunneln utan ett mötande tåg. Tågets massa M = 16.0 x 10 3 kg, Gråbens massa m = 50.0 kg och Gråbens vagns massa mv = 3.95 x 10 3 kg. Tåget färdas med en hastighet av 100 km/h och Gråben och hans vagn med 50.0 km/h (i motsatt riktning till tåget). Av barmhärtighetsskäl antar vi att kollisionen är elastisk och tar 0.10 s. Gråben är fastspänd i sin vagn. (a) Vad är tågets hastighet och riktning efter kollisionen? (b) Vad är Gråbens och hans vagns hastighet och riktning efter kollisionen? (1.5p) (1.5p) (c) Hur stor kraft utsätts Gråben för på grund av kollisionen med tåget? (1 p)

3 4. En elektiskt ledande tråd formad som en (sluten) rektangel med kortsida längd l = 0.0m befinner sig initialt i ett område med ett konstant magnetfält B = T med riktning ortogonalt och nedåt mot horisontalplanet (och rektangelns plan), se figur. Utanför området är magnetfältet noll. Sedan dras rektangel ut ur området med magnetfältet med en konstant hastighet v =.0 m/s. Vad blir storleken på den elektromotoriska spänningen som uppstår (induceras) då det magnetiska flödet genom rektangeln därmed förändras? (Dvs den elektromotoriska spänningen som uppstår under tiden då rektangeln delvis befinner sig i området med magnetfältet, när den är helt utanför blir svaret trivialt). (4p) 5. När amplituden på svängningen hos en matematisk pendel (se figur, masslöst snöre med längd l och punktformat vikt med massa m) ökas så att approximationen θ sinθ inte längre gäller för hela svängningsrörelsen, förändras svängningsperioden. Visa att perioden T för svängningen då blir längre. Tips: utgå från två olika sätt att matematiskt beskriva vridmomentet för svängningen. (4p) θ 6. Indiana Jones (massa 80.0 kg)och hans pappa (massa 70.0 kg) sitter fastbundna på en roterande cirkelskiva som har en vägg genom sin mittpunkt, se figur på nästa sida. Indiana Jones sitter på randen av cirkelskivan medan hans pappa är belägen m från cirkelskivans centrum. Cirkelskivan har en diameter på 3.00 m och en massa på 00 kg. Väggen är.0 meter hög, 3.00 meter lång och har en massa på 150 kg. Både cirkelskivan och väggen är lövtunna. Cirkelskivan, vägg samt far och son Jones roterar runt cirkelskivans masscentrum (mittpunkt) i horisontalplanet med en hastighet av 0.50 varv/s. Plötsligt lyckas Indiana Jones hoppa av cirkelskivan med en acceleration av 0.58 m/s i radiell riktning bort från skivan.

4 (a) Visa att väggskivans tröghetsmoment för rotation enligt figur och text är Iv = (d Mv)/1 där d är längden på väggskivan och Mv är dess massa. (1p) (b) Visa att cirkelskivans tröghetsmoment för rotation enligt figur och text är Ic = (d Mc)/8 där d är diametern på cirkelskivan och Mc är dess massa. (1p) (c) Vad är vinkelhastigheten av cirkelskivan efter det att Indiana Jones hoppat av? (p) Ovanifrån: Från sidan: d/4 d h

5 Formelsamling TFYA87 Kinematik: v = ds a = dv vdv = ads Cirkulär rörelse: a = v Kurvrörelse (D): a = (r rθ )r + (rθ + r θ )θ r, v = rθ = rω Impuls: J = p = F 1 Elastisk kollision 1D: v 1 v = (v 1 v ) Masscentrum: r mc = m ir i M i r mc = r dm M Gravitationskraft: F G = G M 1M r Tröghetsmoment: I = m i i r i I = r dm Arbete: W = F ds 1 Parallellaxel teoremet: I = I mc + Mh Kinetisk energi: K = 1 mv Effekt: P = dw Rörelsemängd: F = dp Vridmoment: τ = r F τ = dl τ = Iα där α = θ = ω Rörelsemängdsmoment: L = r p Kinetisk rotationsenergi:

6 K = 1 Iω F ab = q aq b 4πε 0 ε r r r Rullning utan glid: v mc = rω Total kinetisk energi: K = 1 Mv mc + 1 I mcω Elektrisk fältstyrka: E = Q 4πε 0 ε r r r E = r ρdτ 4πε 0 ε r r, Integrerat över volymen där det finns laddningstätheten. Harmonisk svängningsrörelse x + ω x = 0 där x = A cos(ωt + φ) Elektriskt dipolmoment: p = ql,pekar från q till +q T = π ω Dämpad linjär svängningsrörelse x + γx + ω x = 0 där x = e γt cos (ω e t + φ) ω e = ω γ Intensitet i mekanisk våg (effekt/m ): I = π ρvf A där = densitet av mediet Vågrörelse (plan våg): y(x, t) = A sin(kx + ωt) Elektrisk potential V: V = E ds 1 V = Q 4πε 0 ε r r V = ρdτ 4πε 0 ε r r Integrerat över volymen där det finns laddningstätheten. V(oändligheten) är satt som 0. Gauss lag (E-fält): E da = Q in ε 0 ε r Integrerat över en sluten yta A, Qin laddningen som är innesluten. k = π λ v = fλ Coulomb kraft: Kapacitans: CV = Q

7 Plattkondensator: C = Aε 0ε r d V = Qd Aε 0 ε r E = Q Aε 0 ε r W = 1 QV Där A är arean av en platta och d är avståndet mellan plattorna Magnetisk flödestäthet (vakuum/luft): B = μ 0 4π IdS r r B = μ 0 4π J r dτ r Oändlig rak ledare, ström I: B(R) = μ 0I πr Lorentz kraft: Energi i ett elektriskt fält: F = qe + qv B W = 1 Vρdτ = 1 ε 0ε r E dτ Strömtäthet: Amperes lag: B ds = μ 0 I + μ 0 ε 0 d E da J = nqv J = σe där σ = n q μ och v = μ E Strömstyrka: I = J da Vridmoment, plana slingor i magnetfält: τ = IA B där A är arean av slingan med riktning som är ortogonal mot strömförande slingans plan. Magnetiskt flöde: I = V R där R = l Aσ = lρ r A Φ = B da Elektrisk effekt: P = VI Induktion: V = dφ (elektromotorisk spänning) Gauss lag (B-fält) B da = 0 Energi, elektromagnetiska vågor (vakuum): W = 1 ε 0E dτ + 1 μ 0 B dτ