PHYS-A5130 Elektromagnetism period III våren Vecka 2

Transkript

1 PHYS-A5130 Elektromagnetism period III våren 2017 Vecka 2 1. En kub med sidlängden L = 3,00 m placeras med ett hörn i origo (se figuren). Elfältet ges av E = ( 5,00 N/Cm)xî + (3,00 N/Cm)zˆk. (a) Bestäm det elektriska flödet genom varje sida i kuben. (b) Finns det laddning inom kuben? Ifall ja, hur mycket? Ifall nej, varför ej? 2. Den kilformade slutna ytan i figuren är i ett område med ett homogent elfält E = (600 N/C)î. (a) Bestäm det elektriska flödet genom varje enskild yta, (b) Bestäm nettoflödet genom hela den slutna ytan. Finns det någon laddning inom den slutna ytan? Lätt 3. En laddad sfär (radie R 1 ) har en total laddning +4q homogent fördelad över dess volym. (a) Härled uttrycket för elfältet i och kring sfären. (b) Sfären omges av ett ledande sfäriskt skal med inre radien R 2 och yttre radien R 3 (R 1 < R 2 < R 3 ). Skalet har en total laddning 2q. Hur fördelas denna laddning i det ledande skalet? Motivera.

2 4. En oändligt lång rak cylinder (radie R) av ett isolerande material har en homogen laddningsdensitet λ, ([λ]=c/m). Bestäm det elektriska fältet för alla avstånd r från cylinderns symmetriaxel. 5. En sfär av ett isolerande material med radien R har ett sfäriskt hål (inom sig) med radien a centrerad på ett avstånd b från sfärens mittpunkt (a < b < R). Den fasta delen av sfären (dvs. inte hålet) har en homogen laddningsdensitet ρ. Bestäm styrkan och riktingen för elfältet i hålet och visa att E är homogent över hela hålet. Svår

3 Vecka 3 1. I nedastående kopplingschema är C 1 = C 5 = 8,6 µf och C 2 = C 3 = C 4 = 4,3 µf. Potentialskillnaden V ab = 220 V. (a) Bestäm den ekvivalenta kapacitansen för systemet av kondensatorer mellan a och b. (b) Bestäm laddningen för kondensator C 4 samt potentialskillnaden över denna kondensator. Lätt 2. Mellan kondensatorskivorna i en skivkondensator finns ett okänt isolerande material, vars relativa permittivitet är ε r. Skivornas area är A = 10,0 cm 2 och avståndet mellan dem är d 1 = 1,00 mm. En laddning Q 1 tillförs kondensatorn, varefter brytaren S öppnas. Spänningsmätaren ger då utslaget V 1. Efter detta avlägsnas det isolerande materialet. (a) Hur förändras kondensatorns kapacitans och laddning, samt spänningen mellan skivorna då det isolerande materialet avlägsnas? Motivera. (b) Avståndet mellan skivorna ändras så att spänningsmätaren ger samma utslag V 1 som med det isolerande materialet mellan skivorna. Avståndet mellan skivorna mäts då till d 2 = 0,46 mm. Bestäm den relativa permittiviteten ε r för det isolerande materialet. Lätt 3. En ledande sfär med radien R 1 ges en laddning Q. Sfären omges av ett sfäriskt skal av ett oladdat dielektriskt material med inre radien R 1, yttre radien R 2 och med den dielektriska konstanten κ. (a) Bestäm elfältet för alla avstånd r från sfärens mittpunkt. (b) Bestäm den ledande sfärens potential i förhållande till V = 0 oändligt långt borta från sfären. (c) Bestäm den elektrostatiska potentialenergin för systemet.

4 4. I föreläsningstransparangerna visas att energidensiteten i elfältet mellan kondensatorskivorna i en skivkondensator är proportionellt mot elfältets kvadrat: u = 1 2 ε 0E 2. Visa att detta även gäller för en cylindrisk kondensator. Svår 5. Visa att den elektriska potentialen i elfältet från en dipol är V = p ˆr 4πε 0 r 2 då avståndet till dipolen är mycket större än avståndet a mellan dipolens laddningar. ˆr är en enhetsvektor som pekar från dipolens mittpunkt mot en punkt P där potentialen bestäms.

5 Vecka 4 1. I en stel cirkulär strömslinga med radien R och massan M går en ström I. Slingan är placerad på ett horisontellt bord. Strömslingan påverkas av ett horisontellt magnetfält B. Vad är minimivärdet på detta magnetfält som krävs för att lyfta en ända på strömslingan från bordsytan? 2. Visa med hjälp av att applicera Amperes lag att ett magnetfält inte abrupt kan falla till noll vid kanten av området mellan två magneter, dvs. randeffekter sker alltid (fältlinjerna böjs). Svår N S 3. Bestäm magnetfältet i intervallet r [0, ] för koaxialkabeln i figuren.

6 4. En metallstav roterar kring sin ena ända i ett homogent magnetfält, som är riktat vinkelrätt mot rotationsplanet. Magnetfältets magnetiska flödestäthet är 0,45 T. Stavens längd är 41 cm och dess vinkelhastighet är 31 rad/s. (a) Redogör för vilken av metallstavens ändor som är positivt laddad. (b) Bestäm det största värdet för elfältet som uppstår i metallstaven. Lätt 5. Figuren visar tvärsnittet av en lång cylindrisk ledare med radien a = 4,0 cm, som har ett cylindriskt hål parallellt med sin centralaxel med radien b = 1,50 cm. Avståndet mellan cylinderns och hålets centralaxlar är d = 2,00 cm. Strömmen i = 5,25 A är homogent distribuerad över figurens gråa område. (a) Bestäm storleken på den magnetiska flödestätheten i hålets mittpunkt. (b) Överenstämmer ditt resultat med specialfallen b = 0 och d = 0? Svår

7 Vecka 5 1. Betrakta nedansta ende kopplingar (i) och (ii). (a) Hur stor a r potentialskillnaden mellan punkterna a och b i kopplingarna da brytaren S a r o ppen? (b) I vilken potential a r punkt b i fo rha llande till jord efter att brytaren S slutits och ja mvikt uppna tts? (c) Hur mycket a ndrar laddningen pa de ba da kondensatorerna efter att brytaren S slutits? La tt (i) (ii) 2. En cyklotronmagnet besta r av tva cirkula ra polytor med radien R=50 cm. Na r magneten sa tts pa o kar magnetfa ltet linea rt under 2 s a nda tills det na r toppva rdet 2 T. (a) Ha rled ett uttryck fo r elfa ltet mellan polytorna. Ge svaret som funktion av B t och r. (b) Bera kna styrkan i elfa ltet da r = 40 cm. (c) Upprepa (a)-fallet fo r r > R. Medelsva r B R 3. Betrakta nedansta ende krets. Brytaren S sluts vid tidpunkten t = 0 och en stro m i1 bo rjar ga i den induktiva grenen av kretsen och en stro m i2 i den kapacitiva grenen. Kondensatorns laddning innan brytaren sluts a r noll och laddningen vid tidpunkten t a r q2. (a) Anva nd dig av Kirchhoffs lagar fo r att ha rleda uttryck fo r i1, i2 och q2. Ge svaret som funktion av E, L, C, R1, R2 och t. (b) La t R1 = 25 Ω, R2 = 5000 Ω, C = 20 µf, E = 48 V och L = 8,0 H. Hur stor a r stro mmen genom den induktiva grenen och den kapacitiva grenen o gonblicket efter att brytaren slutits? Sva r

8 4. En strömslinga formad som en rätvinklig triangel rör sig med hastigheten 4,0 m/s, igenom ett homogent magnetfält riktat vinkelrätt mot hastigheten och in i pappret, enligt figuren. Magnetfältets flödestäthet är B = 15 mt, längden på triangelns kortaste sida är a = 12 cm och magnetfältets bredd är b = 50 cm. a) I vilken riktning går den inducerade strömmen? Motivera. b) Rita den inducerade källspänningen som funktion av tiden. c) Bestäm det största värdet på källspänningen. 5. En laddad kondensator, med kapacitansen C, får urladda sig genom en spole, vars resistans är R 0 och induktans L = 42 mh. Härvid minskar den oscillerande laddningen i kondensatorn till hälften av sitt utgångsvärde på tiden 0,8 ms. Därpå kopplas ett motstånd med resistansen 3R 0 i serie med spolen och kondensatorn, varvid laddningens svängning nätt och jämnt upphör. Bestäm kondensatorns kapacitans.

9 Vecka 6 1. En elektromagnetisk våg har magnetfältet B(x, t) = (7, T) ĵ sin [ (1, rad/m)x ωt ] (a) I vilken riktning rör sig vågen? (b) Hur stor är vågens våglängd λ? (c) Skriv ner vågfunktionen för elfältet. (d) Bestäm vågens Poynting vektor och intensitet. Lätt 2. Ljus som rör sig vågrätt består av en opolariserad komponent I 0 och av en polariserad komponent I P. Polarisationsplanet för den polariserade komponenten är orienterad i en vinkel θ i förhållande till vertikalen. I tabellen nedan ges intensiteten mätt genom en polarisator, vars polarisationsplan är i vinkeln φ i förhållande till vertikalen. (a) Bestäm vinkeln θ, polarisationsplanet för den polariserade komponenten. (b) Bestäm värden för I 0 och I P. φ [ ] I total [W/m 2 ] φ [ ] I total [W/m 2 ] 0 18, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 3. Tre polarisatorer är placerade i rad så att polarisationsaxeln för den andra polarisatorn är i en vinkel θ med den första polarisatorns axel och den tredje polarisatorns axel är i en vinkel 90 med den första polarisatorns axel. Opolariserat ljus (intensitet I 0 ) träffar denna rad av polarisatorer. (a) Härled uttrycket för ljusets intensitet efter den tredje polarisatorn som funktion av I 0 och θ. (b) För vilket värde på θ antar denna intensitet sitt maximi värde?

10 4. En ljusstråle går igenom ett glasblock med brytningsindexet n och tjockleken t. Strålens infallsvinkel är θ a och brytningsvinkel är θ b. Visa att strålens parallellförskjutning d är ( ) cos θ a d = t 1 sin θ a n 2 sin 2 θ a 5. Härled brytningslagen (Snells lag). Vägledning: Utgå antingen från Fermats princip: Ljuset följer den väg som innebär den kortaste färdtiden, eller från principen att Tidsskillnaden mellan korresponderande punkter på två olika vågfronter är lika för alla par av korresponderande punkter. Svår