93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar

Transkript

1 FY FY51/ STN1 Elektromgnetism Tent 15825: svr och nvisningr Uppgift 1 Från Couloms lg och E F/q hr vi uttrycket: E 1 4πε ρl dl r Vi väljer cylindrisk koordinter och sätter r zẑ ˆR och dl dφ. Lddningstätheten ifråg är en linjelddningstäthet där ρ l 2π. Dett ger: 2π E 1 dφ zẑ 1 dφ 4πε 2π (z /2 ) 4πε 2π (z ) ˆR 3/2 (1) (2) r 3 2π Vi etrktr först termen (2). Eftersom ˆR cos φˆx +sinφŷ får mn: (2) 2π 8π 2 ε Kvr hr vi (1), dvs Svr: E z 4πε (z ) ẑ 3/2 cos φdφ ˆx (z /2 ) 8π 2 ε 2π E z 4πε (z ) ẑ 3/2 sin φdφ ŷ (z /2 )

2 FY51 2 Uppgift 2 Mgnetisk flödestätheten i en punkt r kn eräkns med Biot-Svrts lg: B µ Idl r 4π r 3 Vi sätter och vilket inneär tt: r ˆx zẑ dl dzẑ dl r dzẑ (ˆx zẑ )dzẑ ˆx dzẑ zẑ dzŷ B µ L/2 4π I L/2 µ 4π I dz ( 2 + z 2 ) ŷ µ 3/2 4π I L/ L 2 /4 µ 4π I L 2 + L 2 /4ŷ Mgnetfältet från en oändligt lång rk ledre är: och vi får: B µ I 2π z 2 ( L/2) 2 ŷ 2 + L 2 /4 z L/2 ŷ L/2 µ 4π I L 2 + L 2 /4,99 µ I 2π L/2 2 + L 2 /4,99 Vi sätter nu in 1ochlöser ut längden: L 2 /4, L 2 /4 (1,99 2 )L 2 /4,99 2 dvs L 2,99 1,99 2 m 14 m Svr: 14 m

3 FY51 3 Uppgift 3 ) V E(r) dr Vi kn eräkn elektrisk fältet med Guss lg: D(r) ds där S är en sfärisk yt med rdie <r<. S 4πr 2 D(r) E(r) 1 D(r) (1 + kr)ˆr ε ε r ε 4πr2 Svr: V ε 4π ε 4π ε 4π k ln ε 4π (1 + kr)dr ε 4πr2 1+kr r 2 dr ε 4π k ln 1 k ln + 1 k ln k ln r 1 r ) Svr: k 4πrˆr P D ε E + P P D ε E 4πr 2ˆr (1 + kr)ˆr k 4πr2 4πrˆr

4 FY51 4 Uppgift 4 ) Rätt lterntiv är (A): kpcitnsen kommer tt ök. Då mn hr lddt upp en kondenstor kommer lddningen + tt finns på en ytn, och på ndr ytn. Dett inneär tt det finns ett elektrisk fält och en spänning, U, melln dem. Kpcitnsen är C U dvs ju mindre spänning melln ytorn, desto större kpcitnsen. Mn kn se det som tt lddningrn och är låst till vrndr genom spänningen U, och ju högre kpcitns metllytorn hr, desto lägre spänning krävs för tt lås dem. Det elektrisk fältet melln ytorn gör tt ämnets molekyler till en viss polrisers, dvs får en positiv och en negtiv änd. Molekylern vrider sig i fältriktningen och ildr kedjor (+ )(+ )(+ )... från den negtiv ytn till den positiv. Polristionslddningrn ttrherr de rörlig lddningrn på metllytorn (som hr motstt tecken), vilket gör tt de rörlig lddningrn låses fst hårdre. Då ehövs inte lik stor spänning melln plttorn får tt lås och till vrndr. Dett inneär tt kpcitnsen är större då dielektrikt finns melln plttorn. ) Se s16-17 i Engström. Prmgnetisk effekten: I prmgnetisk mteril ger elektronerns spin och nrörelse upphov till mgnetisk dipolmoment som tenderr tt linjers upp i ett yttre mgnetfält. Dett ger tt B µ µ r H med µ r 1. Dimgnetisk effekten: I dimgnetisk mteril är ll elektroner prde med motriktde mgnetisk dipolmoment. I ett yttre mgnetfält förstärks de dipoler som är motriktde det yttre fältet medn de prllell försvgs enligt Lentz lg. Dett ger B µ µ r H med µ r 1.

5 FY51 5 Uppgift 5 Då dφ/dt > ochφ> lir den inducerde spänningen i högr spolen sådn tt strömmen går åt höger i den överst tråden på ilden. Strömriktning är som eknt definerd så tt strömmen går från plus till minus. Definitionen v plus och minus för u 2 i figuren inneär tt: dφ dφ u 2 N 2 N 2 dt dt där Φ är flödet genom vänstr spolens ll vrv. Flödet kn eräkns genom tt etrkt mgnetfältet, som uppfyller cirkultionsstsen: H dl I och i vårt fll ger tt: Med B µ µ r H och B Φ/S hr vi: Den inducerde spänningen är lltså: C LH N 1 i i H N 1 L i i ΦBS µ µ r S N 1 L i i dφ u 2 (t) N 2 dt µ µ r S N 1N 2 di 1 L dt µ µ r S N 1N 2 L ωi sin ωt eftersom i(t) I cos ωt enligt uppgiften. Svr: u 2 (t) µ µ r S N 1N 2 L ωi sin ωt

6 FY51 6 Uppgift 6 ) Vi eräknr den komplex strömmen som: I c U c Z där vi nsätter den komplex spänningen: U c U e jωt Den komplex impednsen är: Z R + jωl + 1 jωc R + j ωl 1 ωc Strömmen i kretsen lir: där I c U c Z U R + j Z ωl 1 ωc R 2 + e jωt U Z e φ e jωt ωl 1 2 ωc Störst strömmen uppnås då Z är så liten som möjligt, dvs då: Svr: ω ± 1 LC ωl 1 ωc ω ± 1 LC ) Då ω 1 LC är Z R, dvs mplituden för strömmen är: Svr: U /R I U R