Magnetfälten beskrivs av följande Maxwells ekvationer

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Magnetfälten beskrivs av följande Maxwells ekvationer"

Thomas Månsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 1 Mgnetosttik Vi ämnr nu eektrosttiken och åter sttionär strömmr fyt. Det inneär tt fäten fortfrnde är sttisk och vi kn eräkn de eektrisk och mgnetisk fäten seprt. De koppr inte ti vrndr. Mgnetfäten eskrivs v föjnde Mxwes ekvtioner B d = 0; H d = J d C Kän ti fäten är strömtätheten J i den ndr ekvtionen. Vi ehöver definier ett nt storheter: tröm trömtäthet Moiitet Ledningsförmåg eer konduktivitet Resistivitet Resistns tröm tröm eer strömstyrk, I, är definierd som den ddning som per tidsenhet psserr genom ett tvärsnitt v ett föremå. Dimension: ddning per tid. Enhet: A(mpere), en v grundenhetern i I-systemet. trömtäthet (voymströmtäthet) Definition: J där = nqv ekv 51 :

2 2 n är koncentrtionen v ddningsärre q är vrje ddningsärres ddning v är ddningrns genomsnittig hstighet, drifthstigheten. J är ett vektorfät. Dimension: ddning per yt och tid Enhet: As/m 2 s = A/m 2 (Os!! inte A/m 3 ) Anm: Medefrten? Hr den något med v = v tt gör? vr: Nej!!! Medefrten är typiskt 10 6 m/s v är typiskt 10-4 m/s trömmen genom ytn kn teckns som I = J d ekv 5: 2? dτ dq n q v d n Hur ångt kommer en ddning som rör sig med hstigheten v på tiden dt? Om vi väjer kntängden tt vr den streckn så psserr ddningr inom dτ, d på tiden dt. Atså är strömmen di genom d: di = dq/dt. di = nq( vdtd) dt = nqvd = Jd

3 3 v dt n v dt cos (α) α dτ dq q v d n ( ( ) ) ( ) ( ) di = nq vdt cos α d dt = nqvcos α d = J cos α d = J d Moiitet Oft finns det ett injärt smnd men drifthstighetens storek och det eektrisk fätet (mteriet är ohmskt). Definition v= v = µ E = µ E ekv 5: 3 moiiteten är en mterikonstnt som eskriver hur ätt en ddningsärre kn t sig frm genom mteriet. Enhet: m 2 /Vs =As 2 /kg Anm: J= nqvv = nq Ev q = > E = v ˆ µ 0 ˆ ˆ ˆ E q< E= v = nq 0 ˆ ˆ µ

4 4 Konduktivitet eer edningsförmåg För ohmsk mteri är det (om inte fätet är för strkt) ett injärt smnd men strömtätheten och E-fätet. J = σ E ekv 5: 4 Mterikonstnten σ ks konduktiviteten. σ = nqµ I-enhet (Ωm) -1 För ett metiskt mteri gäer 2 σ = nq τ m µ = q τ m, där τ och m är trnsporttiden respektive ddningsärrens mss. Vi visr dett ätt. Utn pågt E-fät är medehstigheten hos ddningsärrn no, v = 0. Vid pågt E-fät gäer tt fermisfären driver i k-rummet tis tt efter trnsporttiden τ det inträffr ett sttionärt tistånd då spridning mot defekter i mteriet nserr driften orskd v fätet. p= qe p = qeτ v= vdrift = v = qeτ m J= nqv= nq2 τe m = σe σ = nq 2 τ m Anm: vi ser tt moiiteten är proportione mot trnsporttiden och inverst proportione mot ddningsärrens mss. Ju äng-

5 5 re tid fermisfären driver innn sttionärt tistånd inträffr ju högre är moiiteten; ju mindre mss ddningsärren hr ju högre är moiiteten. Resistiviteten Oft eskrivs ett mteris förmåg tt ed ström med resistiviteten i stäet för med konduktiviteten. Dess mteriprmetrr är enket reterde ti vrndr: ρ= 1 σ. I-enhet: Ωm Hos god edre, t.ex. siver och koppr är resistiviteten i storeksordning 10-8 Ωm. God isotorer hr värden i storekordning Ωm. Tempertureroendet: Två effekter som verkr åt motstt hå: 1) Fononspridning minskr edningsförmågn. När temperturen höjs skps fononer i mteriet. Dess kn orers vid en ddningsärrspridning. Dessutom ir fermiknten diffus, dvs ddningsärre finns med högre energi än det ägst oestt tiståndet. Dess ddningsärre kn f ned och smtidigt emitter en fonon. Fononspridning minskr edningsförmågn för åde meter och isotorer. 2) När temperturen ökr så skps det fer och fer ddningsärre i isotorer och hvedre. Dett ökr edningsförmågn. Denn effekt är mer krftfu än minskningen pg. Fononern.

6 6 Resistns z = 0 z = z E J V = V 0 V = 0 Definition: R= V 0 I Vi sk nu estämm resistnsen för trådsegmentet i figuren. Vi ntr tt mteriet är ohmskt och homogent. Vi ägger potentien V 0 över tråden. En konstnt ström I, jämt förded över edrens tvärsnitt, fyter från vänster ti höger. Tvärsnittsren är, ängden är och konduktiviteten är σ. Lösningsschem: I J E V0 Vi får I = J d= ( Jzˆ) ( dzˆ )= Jd = J d = J J= ( I )ẑ Ohms g i punktform ger J σe E J σ I σ ẑ = = =( ) Enigt definitionen v potenti hr vi

7 7 kt V E d I σ zˆ dzzˆ I σ dz 0 ref 0 = = ( ) ( )= ( ) z= = ( ) = I σ dz I σ och sutigen z= 0 R= V0 I = I σi = σ = ρ där ρ är resistiviteten. z= 0 Läckresistnsen för en koxike z = 0 z V = V 0 V = 0 En koxike estår v två methöjen med ett isoernde mteri i menrummet. Ingen isotor är perfekt isoernde. I vårt exempe hr mteriet konduktiviteten σ. Vi ägger potentien V 0 på det inre höjet och jordr det yttre. Det kommer tt fyt en äckström, I, från det inre höjet ti det yttre i ett segment v ängd, enigt figuren. egmentet hr en äckresistns R es som vi nu sk eräkn. Vi nvänder smm ösningsschem som i det tidigre exempet. Vi nvänder cyindrisk koordinter. Vi hr xie symmetri viket medför tt

8 8 storhetern inte eror v vinken φ. Vi ntr tt segmentet är en de v en ång rk koxike. Vi hr då cyindersymmetri viket inneär tt storhetern inte eror v z. Atså eror storhetern endst v R. Lösningsschem: I J E V0 Vi får I J d J R Rˆ drˆ J R d J R R = = ( ) ( )= ( ) = ( ) ( ) = J R 2πR J I 2πR Rˆ ( ) = ( ) Ohms g i punktform ger J σe E J σ I 2πR Rˆ = = =( ) Enigt definitionen v potenti hr vi kt V0 = E d= ( I σ2πr) Rˆ ( drrˆ)= I σ2π R dr ref R= R= R= ( ) 1 = ( I σ2π) R dr= ( I σ2π)[ n R] = ( ) In / σ2π och sutigen Res = V0 I = n( / ) 2πσ

Relevanta dokument

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015 Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten