XIV. Elektriska strömmar

Transkript

1 Elektromgnetismens grunder I Anteckningr uppdterde 18 jnuri Anteckningrn serr sig till stor del på Tommy Ahlgrens nteckningr som finns tillgänglig på kursens hemsid. Elektromgnetism I, Ki Nordlund XIV. Elektrisk strömmr Vd är egentligen elektricitet?. El och strömkällor, tterier Vd händer kring en metlltråd som leder elektricitet? 1. Ledningen lir vrm 2. Det lir en krft melln ledningrn 3. Ett mgnetfält ilds runt ledningen Mgnet fält Värme Krft I + - Btteri Elektromgnetism I, Ki Nordlund

2 Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen I går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn h 1. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets Anlogi med sluten krets: vttenkrets R 2 R 1 Vätsk Pump Elektromgnetism I, Ki Nordlund XIV.1. Enheten för elektrisk ström Melln två ledre finns en krft/längdenhet: df dl = k I 1 I 2 r SI-enheten för ström mpere A definiers som följnde: Den konstnt strömmen mpere är strömmen som producerr en krft newton per meter melln två prllell oändligt lång ledre som är i vkuum och vrs vstånd till vrndr är 1 meter. Konstnten k ges v: I 1 I 2 F l df dl = I 1 I r (1) r Elektromgnetism I, Ki Nordlund

3 XIV.2. Elektriskt motstånd Elström leder till uppvärming enligt P = denergi dt = konstnt I 2 (2) Denn konstnt hr mn gett nmnet resistns R: [R] = W/A 2 = Ω (Ohm). Mteril för vilk ovnstående ekvtion gäller klls för ohmisk mteril. Metller är i llmänhet ohmisk Metllers elektrisk motstånd eller resistns oeroende v strömmen: R metll = R(T ) Icke ohmisk mterils motstånd eror dessutom v strömmen som går genom dess: R = R(I, T ) Resistnsen är i llmänhet oeroende v mgnetfält: R(M) = konstnt. Undntg: speciell GMR-mteril ( gint mgnetoresistns ): hårdskivors läshuvud, Noelpris 2007 Elektromgnetism I, Ki Nordlund Tempertureroendet v resistns: R Metll Hlvledre Suprledre T T 0 Tc Dett definierr hlvledre och suprledre! Hlvledres eroende tom. ännu strkre: exponentiellt Orsk i metller: smnd med tomvirtioner T Orsk i hlvledre: lddningsärres ntl Suprledre: resistiviteten är exkt noll vid temperturer som är mindre än den kritisk temperturen T c. Lågtempertursuprledre: T c < 20K; högtempertursuprledre: T c > 20K Orsk ytterst komplicerd, och inte ens känd i högtempertursuprledre! Elektromgnetism I, Ki Nordlund

4 XIV.3. Elkretsr Hel vårt modern smhälle grundr sig på elkretsr Inte r mkroskopisk: också dtorchips är i grunden (extremt komplicerde) elkretsr Modern dtorchip: > komponenter som exkt ll fungerr! Symoler för elektrisk komponenter [Wikipedi:Integrted circuit] + - R Btteri eller spänningskäll Motstånd Kondenstor A Ampermätre V Spänningsmätre Ström i en ledning orsks v en spänningsskillnd melln ledningens ändor Elektromgnetism I, Ki Nordlund Ju större spänningsskillnden melln en ohmisk ledres ändor är, desto större ström går genom ledren Dett klls Ohms lg och skrivs mtemtiskt: V = RI = P I (3) V är spänningen över motståndet: [V] = ΩA = W/A = V (volt). Viktig formler mn får från ekv. (2) och (3): P = RI 2 = V I = V 2 R (4) Att upphett något med hjälp v resistns klls ohmisk upphettning. Exempel: vnlig kokpltt. Elektromgnetism I, Ki Nordlund

5 Grundläggnde ekvtioner om kretsrs eteende kn härleds väsentligen utgående från energins evrelselg. Motstånd kopplde i serie Krets med tre motstånd kopplde i serie Effekten som förruks i dess motstånd då strömmen I går genom kretsen: P totlt = R 1 I 2 + R 2 I 2 + R 3 I 2 = (R 1 + R 2 + R 3 )I 2 R1 R2 R3 I R Ekvivlent krets Denn krets kn nu ersätts med endst ett motstånd som ger smm motstånd som de tre tillsmmns P totlt = RI 2 Vi ser lltså tt motstånd kopplde i serie kn dders för tt ge det totl motståndet R = R 1 + R R N (5) Elektromgnetism I, Ki Nordlund Spänningsfördelre En spänningsfördelre: spänningskäll och två motstånd Spänningen för spänningskälln eteckns här med E som hr smm enhet som spänning V, volt. Strömmen i kretsen får vi från: E = R I = (R 1 + R 2 )I I = E R 1 + R R 1 R 2 V Spänningsskillnden meln och lir då V = R 2 I = E R 2 R 1 + R 2 Noter lltså tt mn här uttryckligen mäter spänning: mätningen påverkr inte kretsens funktion lls Vi ser tt med en spänningsfördelre, kn vi få olik värden på spänningen V (0< V E), genom tt ändr på de två motståndrns värden. Dett kn nvänds i kretsr för tt sänk spänningen. Elektromgnetism I, Ki Nordlund

6 Spänningskällor En idel spänningskäll hr ingen resistns melln polern, men i verkligheten så finns det lltid en inre resistns som måste ekts. del upp en verklig käll så tt den hr en idel spänningskäll och en inre resistns R i. Yttre motståndet kn också gör något nyttigt, ex. lmp, motor, dtor. På smm sätt som för spänningsfördelren, får vi E = (R + R i ) I = R I + R i I = V + R i I V = E R i I - + R i Verksmm spänningen som källn ger, V, är mindre ju större strömmen är! V R V Kortslutning I mx I för tt en spänningskäll skll funger r, måste strömmen i kretsen I E/R i R R i Om R minskr, ökr strömmen genom kretsen till ett mximivärde I mx = E/R i. Dett klls för kortslutning: förstör tteriet och kn t.om. orsk rnd. Säkringr Elektromgnetism I, Ki Nordlund Spänningskällor i serie För fler spänningskällor kopplde i serie kn mn räkn ihop den totl spänningen på liknnde sätt som för motstånd: E = E 1 + E 2 + E 3 + = X j E j (6) Också de intern resistnsern kn summers på liknnde sätt: R = R i,1 + R i,2 + R i,3 + = X j R j (7) Elektromgnetism I, Ki Nordlund

7 XIV.4. Resistivitet Betrkt nu en ohmisk ledre som ett ojekt med ändlig storlek Dett möjliggör tt definier resistns per mterilmängd mterilkonstnt. I figurens geometri är strömmen proportionell till re A och inverst proportionellt till längd L: I A/L. Dett ger från V = RI tt resistnsen R L/A. Proportionlitetskonstnten klls för mterilets resistivitet: ρ [ρ] = Ωm. Dett är en konstnt för ett mteril då den efinner sig i smm tempertur och fs. Den totl resistnsen ges v formeln: L R = ρ L A (8) Oft nvänds också det invers värdet på resistiviteten, sos klls för konduktiviteten: σ = 1 ρ (9) Elektromgnetism I, Ki Nordlund Exempelvärden: Ämne Resistivitet ρ (Ωm) Ledre Silver (Ag) (metller) Koppr (Ag) Järn (Fe) Kolnnorör (C)* 10 6 Semimetll Vismut (Bi) Hlvledre Kisel (Si) 30 Grfit (C) Isoltor Gls Dimnt (C) Beror på typen v nnoröret, dett för metllisk Semimetll definiers helt enkelt som en metll med sämre ledningsförmåg än de vnlig. Elektromgnetism I, Ki Nordlund

8 Exempel I modern dtorchips hr ledrn dimensioner v storleksordningen 100 nm och spänningr kring någr volt. Ant tt en delkomponent i en dtorchip är en rätlocksformd kopprledre med längden L = 1000 nm och redden och höjden B = H = 50 nm. Om en konstnt spänning på 5 V sätts över ledningen, hur länge skulle det t tt den hetts upp till kopprs smältpunkt om ingen värmeledning skulle ske till omgivningen? Lösning: Ohmisk upphettningseffekten är nu (från ekvtion 4 och 8) P = V 2 R = V 2 ρ L A = V 2 BH ρl (10) Effekt är energi över tid, så: E t = P = V 2 BH ρl E t = V 2 BH ρl = EρL V 2 BH (11) För tt eräkn hur länge det tr tt nå smältpunkten, kn vi nvänd den specifik värmekpciteten: (jfr. lärooken kpitel 11.4): c = 1 E M T = 1 E ρ m Volym T = 1 E ρ m LBH T (12) där vi etecknt densitet med ρ m för tt skilj från resistiviteten ρ. Elektromgnetism I, Ki Nordlund Härifrån kn vi lös ut E som funktion v c: E = cρ m LBH T (13) och sätt in dett i ekvtionen för tiden: t = cρ mlbh T ρl V 2 BH = cρ ml 2 T ρ V 2 (14) För koppr är värmekpciteten c = 385 J/kgK (vi ntr nu tt den är oeroende v tempertur, vilket nog iofs. inte stämmer), densiteten ρ m = 8960 kg/m 3 och smältpunkten 1358 K så T = = 1058 K. Insättning v dess och de övrig värden (L = m, ρ = Ωm och V = 5 V) ger t = s = 0.15ms (15) Alltså skulle kopprtråden rinn sönder s.g.s. omedelrt utn värmeledning! Upphettning är ett llvrligt prolem i modern dtorer! Noter tt upphettningstiden eror på L2 : desto mindre L, desto snre upphettning! Jfr. mkroskopisk tråd: L = 0.01 m t = s = 4 timmr! Elektromgnetism I, Ki Nordlund

9 Strömdensitet Strömdensitet: ström dividert med den vinkelrät ren som strömmen går igenom J = I Are Ifll strömdensiteten inte är konstnt i en ledre, definiers den som J = lim A 0 I A n där riktningen för strömdensiteten är vinkelrät mot reenheten A, där n är enhetsvektorn för ytnormlen. Den totl strömmen som går genom en ledre fås genom tt integrer strömdensiteten över hel tvärsnittsren Z I = J da (16) Are J n Elektromgnetism I, Ki Nordlund Exempel En kpd kon hr höjden h och dess snittytor hr rdiern och, se ild. Mterilets resistivitet är ρ och nt tt strömtätheten genom vrje tvärsnittsyt är oeroende v vståndet till symmetrixeln. Härled en formel för kroppens resistns melln snittytorn. h Lösning Vi nvänder ekvtionen: dr = ρ dx A för tt eräkn den totl resistnsen. För tt få ren som en funktion v positionen, eräknr vi först rdien för konen som en funktion v x, Rdien r är en linjär funktion v x Konens Rdie h x r(x) = P + Q x (17) Elektromgnetism I, Ki Nordlund

10 för vilken gäller följnde; r(0) = konstnten P =, och r(h) = + Q h = Q = h, vilket också är riktningskoefficienten (dr/dx) för linjen. Vi hr då tt ekvtionen för ren som en funktion v positionen x är A(x) = πr(x) 2 = π + Totl resistnsen för locket får vi genom integrtion R = Z h 0 dr = ρ π Z h 0 2 ( ) x«(18) h dx ( + Q x) 2 (19) där Q (= h ) konstnten nvänds för tt gör formeln kortre. För tt integrer dett, nvänder vi likheten «d 1 Q = (20) dx + Qx ( + Qx) 2 Vi skriver lltså integrlen i ekvivlent form R = ρ Z h Q dx (21) πq 0 ( + Qx) 2 vilket ger R = ρ πq h 0 1 ( + Qx) = ρ» 1 πq + Qh 1 (22) Elektromgnetism I, Ki Nordlund = ρ h π( ) = ρ h π» 1 1 = ρ h + π( )» Är resulttet rätt? Ifll vi hr en cylinder (kon med = ) får vi tt R = ρ h Are = ρ h π (23) (24) 2 vilket är OK! Elektromgnetism I, Ki Nordlund

11 Resistnsens tempertureroende Resistiviteten för en metll ökr vnligtvis när temperturen ökr. En linjär funktion kn eskriv dett r: ρ(t ) = ρ [1 + α(t T )] (25) ρ är resistiviteten given vid temperturen T och α är resistivitetskoefficienten Exempelvärden: Mteril α [K 1 ] Aluminium Grfit Koppr Konstntn Exmpel En luminiumtråds resistns vid 0 C är 100 Ω. Vd är dess resistns vid 50 C? R 50 = R 0 [1 + α(50 0)] 100 Ω[ ] 120 Ω Elektromgnetism I, Ki Nordlund Motstånd kopplde prllellt För prllellt kopplde motstånd är spänningsskillnden smm för ll mot- stånd, vilket ger tt strömmen genom motståndet i är: I i = V /R i. Totl strömmen är då lik med den ström som skulle gå i ekvivlentmotståndet: X i I i = I = V R = V R 1 + V R 2 + V R (26) Dett ger storleken på det ekvivlent motståndet som 1 R = X i 1 R i = 1 R R R (27) I 1 I 2 I 3 R1 R2 R3 Mest ström går genom det motstånd som hr den minst resistnsen Totl motståndet är mindre än för det minst motståndet i kretsen. Ekvivlent krets R I= I 1 + I 2 + I 3 Elektromgnetism I, Ki Nordlund

12 Exempel Tolv likdn motstånd R är kopplde i en ku till en krets som viss i figuren. Vd är resistnsen melln två hörn som är digonlt motstående till vrndr, (melln punktern och )? Lösning En ekvivlent krets är kretsen redvid, där vi ser tt det ekvivlent motståndet för de tre motstånden när är R/3, vilket också är det ekvivlent motståndet för de tre motstånden när. De 6 motstånden i mitten kn ges ekvivlent som R/6. Nu får mn det totl motståndet melln och som en seriekoppling R = R 3 + R 6 + R 3 = 5 6 R Elektromgnetism I, Ki Nordlund XIV.5. Kirchhoffs lgr Kirchhoffs lgr tillåter tt eräkn spänningsskillndern och strömmrn i enkl elektrisk kretsr. Enkl etyder här tt komponentern är v någr grundläggnde typer: motstånd, kondenstorer, mm. som klls pssiv komponenter. Den först lgen säger tt: Totl ntlet lddningr evrs vid vrje knutpunkt X I i = 0 (28) i I 1 I 2 I 3 I 1 = I 2+ I3 Den ndr lgen eskriver hur lddningsärrns (elektroner) potentilskillnd i en krets ändrr. En lddningsärre som går runt kretsen ett helt vrv, måste vr i smm potentil som innn. Summn v potentilskillndern runt en krets är noll X V i = 0 (29) i 1 I R 1 R 2 Elektromgnetism I, Ki Nordlund

13 För tt ättre förstå dess lgr, tittr vi på ett pr exempel: Exempel I ilden nedn, hr vi två spänningskällor och tre motstånd: E 1 = 12.0 V, E 2 = 8.0 V, R 1 = 4.0 Ω, R 2 = 4.0 Ω, R 3 = 2.0 Ω. Beräkn strömmen genom vrje motstånd. R 1 R 2 I 1 1 I2 2 Vi tittr på spänningsskillndern över vrje komponent runt kretsen. Kirschhoffs ndr lg ger följnde ekvtioner, där den övre ekvtionen får vi då vi följer I 1 med örjn vid E 1 R 3 E 1 I 1 R 1 (I 1 I 2 )R 2 = 0 E 2 I 2 R 3 (I 2 I 1 )R 2 = 0 där potentilskillnden är positiv då strömriktningen är från till + genom en spännings-käll. Potentilskillnden för ett motstånd är lltid negtiv då mn följer strömmen. Insätt-ning v värden ger tt strömmrn lir I 1 = 1.25 A I 2 = 0.50 A Elektromgnetism I, Ki Nordlund Negtiv strömmen för I 2 etyder tt riktningen vr fel vld. Den går lltså i motstt riktning än vd som är ritt i figuren. Slutlig strömmrn genom vrje motstånd lir I(R 1 ) = 1.25 A I(R 2 ) = I 1 I 2 = 1.75 A I(R 3 ) = I 2 = 0.5 A Vi kn också gör eräkningrn i föregående exempel med hjälp Kirchhoffs först lg. R 1 I I2 1 R I 3 R 3 E 1 I 1 R 1 I 3 R 2 = 0 E 2 I 2 R 3 + I 3 R 2 = 0 I 1 = I 2 + I 3 vilket ger, då I 3 = I 1 - I 2, tt de två överst ekvtionern lir E 1 I 1 R 1 (I 1 I 2 )R 2 = 0 E 2 I 2 R 3 (I 2 I 1 )R 2 = 0 Elektromgnetism I, Ki Nordlund

14 vilket är exkt smm ekvtioner som erhölls med Kirchhoffs ndr lg. Vilken metod mn nvänder, kn envr själv estämm. Ekvtionern lir färre men lite mer komplicerde med enrt Kirchhoffs ndr lg. Elektromgnetism I, Ki Nordlund Exempel Energin som går förlord då elektrisk energi lir till värme i en ledre klls joulevärme. I dett exempel, skll vi plner hur elektricitetsförsörjningen till en std orde sköts. I ilden redvid ser vi en schemtisk ild v situtionen. Stden ehöver en effekt på 100 MW. Beräkn strömmen i ledningrn melln stden och krftverket och hur mycket effekt som går förlord i ledningrn, ifll spänningen över ledningrn är ) V och ) V Lösning Strömmen i ledningrn är I = P V Krftverk och effekten i ledningrn som går till värme är 5 5 Std P = I 2 R Totl resistnsen för ledningrn är R = (5+5) Ω = 10 Ω vilket ger ) ) I = W V = 400 A P = (400 A) 2 10 Ω = W I = W V = 104 A Elektromgnetism I, Ki Nordlund

15 P = (10 4 A) 2 10 Ω = 10 9 W I fllet ) ser vi tt värmeeffekten som går förlord är W / W 100% = 1.6 % v nyttoeffekten som går till stden, I fllet ) är effekten förlord i ledningrn som värme tio gånger större än effekten som stden får, ( 10 9 W / W 100% = 1000 % ). Det lönr sig lltså tt överför elektrisk energi vid så hög potentil som möjligt för tt minimer strömmen och därmed effektförlustern i ledningrn. Å ndr sidn inneär högre spänning tt det ehövs större och därmed dyrre trnsformterer i stden för tt sänk spänningen till 220 V, så det hel lir en kostndslns Elektromgnetism I, Ki Nordlund