Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel"

Per-Olof Arvidsson
för 5 år sedan
Visningar:

Lösningsförslg till deltentmen i IM601 Fst tillståndets fysik Gitter och

) Den primitiv enhetscellen är den minst enhetscell som ger

b) Mätningr i figuren ger tt målningens längd och målningens höd vrder är

Därför finns det,5,5 = 6,5 enhetsceller i målningen. 1.

1 Lösningsförslg till deltentmen i IM601 Fst tillståndets fysik Gitter och bs i dimensioner Fredgen den 18 mrs, 011 Teoridel 1. ) Den primitiv enhetscellen är den minst enhetscell som ger trnsltionssymmetri hos gittret och viss i figuren nedn b) Mätningr i figuren ger tt målningens längd och målningens höd vrder är gnsk precis,5 gånger så lång som de båd gittervektorern. Därför finns det,5,5 = 6,5 enhetsceller i målningen. 1. c) De olik gittren i dimensioner viss nedn. 1 1 Hexgonlt, 1 = ; = 10 Kvdrtiskt, 1 = ; = Centrert rektngulärt, 1 ; = 90 Rektngulärt, 1 ; = 90 1 Oblikt, 1 ; 90

2 . ) Vid låg temperturer finns två mölig bidrg till värmekpciteten, dels från fononern och dels från de fri elektronern. Fononbidrget går som T 3 (Debyes T 3 - lg) vid låg temperturer och elektronbidrget är linärt i temperturen. I en metll hr vi båd bidrgen, medn i en isoltor finns endst fononbidrget. Således gäller tt: Ag, metll: C v = gt + AT 3 Ar, isoltor : C v = AT 3. b) Vid hög temperturer hr vi Dulong-Petits lg som säger tt ll fst mteril hr smm värmekpcitet, nämligen C v = 3R. Det som vgör ifll ett fst mteril kn betrkts vr i denn gränsen är Debytemperturen q D. Ovnför q D kn ll olik fononmoder termiskt exciters, medn energin inte räcker till för tt exciter de mest energirik modern under q D. 3. ) De periodisk rndvillkoren medför tt om vi hr en kub med volymen v = L 3, såmåste det gäll i vrder riktningen tt e ik x x = e ik x ( x+l) fi e ik x L =1 fi k x = n x p L ; n x = 0, ±1, ±,K e ik y x ik = e y ( x+l) e ik z x = e ik z ( x+l) fi e ik yl =1 fi ky = n y p L ; n y = 0, ±1, ±,K fi e ik z L =1 fi k z = n z p L ; n z = 0, ±1, ±,K. Energin hos de fri elektronern ges v frielektronvärdet e = h k m = h m k x + k y + kz Elektronern fyller successivt upp de ledig tillstånden. Minimering v energin sker genom tt minimer k = k x + ky + kz, vilket motsvrr en sfär i k-rymden. Det totl ntlet elektroner i mterilet kn då teckns med hänsyn tgen till tt Puliprincipen tillåter två elektroner per tillstånd då de kn h olik spinn: 4p Sfärens volym N = Volym per tillstånd = 3 k3 3 p = V 3p k3 fi k = 3p N V L Dett ger tt Fermienergin kn teckns ( k = k F ): e F = h m 3p N V 3 3. b) Elektrontätheten kn ntingen beräkns utgående från mterilets densitet och molmss eller utgående från gitterprmetrrn. Låt Z = ntlet fri elektroner per tom, M = molmssn, r = densiteten, = gitterprmetern och N A = Avogrdos tl. Fcc hr 4 tomer i bsen, vrför det finns 4Z elektroner per kubisk enhetscell och vi hr tt: 1 3 N V = Z 4 3 lterntivt N V = N mol = M ZN A V mol V mol M = Z rn A M

3 4. Vi noterr tt om det elektrisk fältet beror v frekvensen som E w även drifthstigheten tt h smm frekvensberoende, dvs. v w dv dt = iw v w Insättning i den givn krftekvtionen ger då tt: m iw v ( w) = -e E ( w) - m t v ( w ) fi v ( w) = - Strömtätheten ges nu v: et m iwt +1 E ( w ) = E e iwt, så kommer = v e iwt. Dett ger tt: ( w) = -nev( w) = ne t m 1 1+ iwt E ( w ) = s( w) E ( w) fi s( w) = ne t m 1 1+ iwt Ytterbium, Yb Beräkningsdel 1. ) Om vi pproximerr tomern i Yb som hård sfärer med rdien r, ser vi direkt tt digonlen hr längden 4r smtidigt som den enligt Pythgors sts är, vilket ger tt d = 4r = fi r = fi r = 5,48 Å =1,94 Å 1. b) I figuren nedn viss (110)-plnet i den kubisk strukturen och hur tomern i en fccstruktur sitter i dett pln. Av figuren inses tt inuti ytn finns det = tomers tvärsnittsre, vilket betyder tt tomtätheten blir: p r f = = p 8 = p ª 0,55, dvs c 55 %. 4

4 z y x (110)-pln 1. c) Eftersom vi hr en kubisk struktur, så är vståndet melln plnen: d( hkl) = fi d = h + k + l 5,48 Å =,4 Å (-1) + + (-1) Mn kn även noter tt i en kubisk struktur så är plnskrorn ( 1 1 ) ekvivlent med plnskrorn (11). 1. d) Eftersom provet är polykristllint, kommer Brggvillkoret tt kunn vr uppfyllt för smtlig mölig reflexer. Strukturfktorn för ett fcc-gitter är = f 1+ e S hkl + e -ip h+k + e -ip k+l -ip h+l vilket endst är skilt från noll om i) ll hkl är udd eller om ii) ll hkl är ämn. Eftersom plnvstånden i en kubisk struktur är d( hkl) =, ger Brggs lg tt vinkeln blir h + k + l d( hkl)sinq = l fi q = rcsin l h + k + l Dett ger fölnde tbell över mölig reflexer och vinklr (med börn från de lägst) hkl h + k + l q = rcsin l h + k + l , , , , , , , 78

5 = 1 1. e) I L-riktningen hr vi vågvektorn k = 0,5 x,x,x Längden v denn vågvektor är: p, p,p vid BZ-gränsen. k = 1 p + p + p = p 3 fi k = p 3 5, = 9, m f) Ludfrten i de olik riktningrn bestäms v lutningen v fonondispersionsreltionen vid låg vågvektortl (vilket motsvrr lång våglängder). För de tre olik riktningrn får vi tt: ( x00) : v = w ( xx0) : v = w ( xxx) : v = w k = p ,6 1,0 p 5, k = p ,4 1,0 p 5, k = p ,5 0,5 3 p 5, ª1830 ms-1 ª1930 ms-1 ª 530 ms-1 Ludutbredningsfrten för longitudinell vågor är således störst längs med ( xxx)-riktningen. 1. g) Debyetemperturen kn uppsktts från tt den termisk energin motsvrr den mest energirik fononen, dvs. då: q = hw D k B Ur digrmmet ser vi tt den mest energirik fononen hr en frekvens på c,4 THz, vilket ger tt Debytemperturen kn uppsktts från: q = 1, p, , K =115 K 1. h) Vid 3 K är T q = 0,05 och vid 30 K är T q = 0,5. Vid 3K kn vi nse tt elektronbidrget kn försumms smtidigt som fononbidrget fortfrnde går som AT 3, vrför vi kn pproximer och sätt 3 T C v ª 34 Nk B q vilket ger numeriskt för den molär värmekpciteten ( N = N A ): C v = 34 1, , = 30 mj mol -1 K Vid 30 K kn vi nvänd figur 7, sidn 113 i Kittel för tt uppsktt tt C v ª1 J mol -1 K -1.

Relevanta dokument

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel Millerindex Lösningsförslg till deltentmen i IM61 Fst tillståndets fysik Torsdgen den 15 mrs, 1 Teoridel 1. ) Millerindex för ett tompln bestäms med följnde principiell metod. i) Bestäm plnets skärningspunkter