Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Transkript

1 Lösningr till tentmen i EF för π och F Tid och plts: 7 jnuri, 4, kl. 8.., lokl: MA9, EF. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem Den totlt upplgrde elektrosttisk energin ges v W = i,j= i j 4πɛ i j r j r j = i V i där V i är potentilen i punkten r i från lddningrn i de övrig punktern. De olik potentilern är: vilket ger V = V = V = W = 4πɛ + i V i = i= i= 4πɛ = 4πɛ πɛ Om vståndet öks till blir den totlt upplgrde energin Skillnden blir (energi erhålles: W = W = 8πɛ 8πɛ Lösning problem Från funktionsberoendet i rummet vläser vi vågvektorns komponenter. k = k ˆx + ŷ, Enligt högerregeln (eller Frdys lg gäller H(r, t = η ˆk E(r, t = E ˆx + ŷ η ˆk = ˆx + ŷ ( ˆx ŷ cos Φ + ẑ sin Φ där η = µ /ε =vågimpednsen i vkuum och Φ = k (x + y/ ωt. Dett ger H(r, t = E ( ẑ cos Φ + ˆx ŷ sin Φ η

2 Strålningsvektorn ges v S(r, t = E(r, t H(r, t. Dett ger S(r, t = E η ( ˆx ŷ ( cos Φ + ẑ sin Φ ẑ cos Φ + ˆx ŷ sin Φ = E ˆx + ŷ η Strålningsvektorn blir <S(r, t>= E η ˆx + ŷ Noter konstnt i rum och tid, typiskt för cirkulärpolriserd våg. Lösning problem Flödet Φ genom den cirkulär slingn är smm för ll ytor som hr slingn som rndkurv. Välj en hlvsfär som yt för tt beräkn ödet. Normlvektorn till denn yt väljs till ˆn = ˆr. Fältet från den mgnetisk dipolen på hlvsfären är B (r = µ ( m cos θ ˆr + sin θ 4π ˆθ och från det kompensernde fältet är B (r = B ẑ = B (cos θ ˆr sin θ ˆθ Normlkomponenten v den totl ödestätheten blir noll i ll punkter på ytn om (B + B ˆn = µ m π cos θ B cos θ B = µ m π Alterntiv, krångligre lösning: Flödet från dipolfältet B (r = µ ( m cos θ ˆr + sin θ 4πr ˆθ genom en hlvsfär med den cirkulär slingn som rndkurv är (r = Φ = π π/ B (r ˆr sin θ dθ = µ m Flödet från det kompensernde fältet B (r = B ẑ π/ cos θ sin θ dθ = µ m

3 beräknr vi genom den pln cirkulär ytn i x-y-plnet (noter tt ödet från dipolfältet inte kn beräkns genom denn yt, eftersom fältet från dipolen i origo inte kn pproximers med uttrycket B (r. Dett öde är Φ = B (r ẑ dx dy = B π r Totlt nollöde ger µ m = B π Lösning problem 4 Den vänstr sidn v kvdrten hr koordinten x = vt, och den högr sidn hr koordinten x = vt +. Flödet genom slingn, Φ(t, vid en given tidpunkt t är (välj ˆn = ẑ Φ(t = Kvdrten B ˆn ds = Den inducerde emk:n i kvdrten blir vt+ vt B x dx = B ( + vt V = dφ(t dt = B v Den utvecklde eekten P blir P = V R = B v 4 R Lösning problem 5 Sklets rymdlddningstäthet ρ fås genom 4πb ρ 4π ρ = 4π (b ρ = Q = ρ = Q 4π (b Den elektrisk fältet hr v symmetriskäl endst en rdiell komponent och beror endst på vståndet r från origo, dvs. E(r = E(rˆr Funktionsberoendet hos E(r ges v Guss lg. Vi får följnde (S en sfärisk yt med rdie r: E(r ˆn ds = Q enc /ɛ = E(r = E(rˆr = Q encˆr 4πɛ r S

4 4 Den inneslutn (fri lddningen är, r 4π(r Q enc = ρ = Q r b, < r b Q, b < r Dett ger det elektrisk fältet, E(r = E(rˆr, r E(r = Q r 4πɛ r b, < r b, b < r Den totl elektrosttisk energin blir W e = ɛ { E dv = 4π Q b ( r 6π ɛ b R { = Q b (r 6 r + 6 8πɛ (b r dr + } b { ( = Q 8πɛ (b 5 (b5 5 (b 6 b + 5 = Q 8πɛ (b r 4 r dr + b + } b } { 5 (b b 6 b + b6 + 6 b b } r 4 r dr eller W e = Q 4πɛ (b ( 6b b Alterntiv lösning: Utgå från W e = där potentilen V (r = r V (r = Q 4πɛ E(r dr är ρv dv = 4πρ b + b (b + b b + b r (b + b b V (rr dr ( b, r ( b, < r b r r, b < r

5 5 eller vi Poissons ekvtion V (r = ( d dv (r, r r = ρ/ɛ r dr dr, < r b, b < r med lösning (V och d V kontinuerlig vid gränsern r = och r = b dr (b, r V (r = Q 4πɛ (b b r r, < r b b, b < r r Den elektrosttisk energin blir b b ( W e =πρ V (rr dr = πρ b r r r4 dr ɛ ( = πρ b (b (b (b5 5 = πρ (4b 5 b ɛ 5ɛ Q ( = 6b 5 4πɛ (b 5 b Lösning problem 6 d r/ z d dẑ Lägg en z-xel från sfärens centrum (origo peknde mot punktdipolen. Representer punktdipolen med två närliggnde punktlddningr = och = på vståndet r, så tt p = r är konstnt, och tg senre gränsen r. Avståndet till origo för dess punktlddningr är d = d = d + r /4 För tt skp rätt rndvillkor på sfären (V = speglr vi dess lddningr i sfären. Spegellddningrn hr styrkorn och plcerde på vstånden d respektive d från origo. Lddningrn och vstånden är = = = d d + r /4, d = d = d = d + r /4

6 6 Avståndet melln spegellddningrn är mh. liksidig tringlr r = r d d = r d = r d + r /4 I gränsen r bildr spegellddningrn en punktdipol som är motstt orienterd p med styrkn p = lim r r = lim r d + r /4 r d + r /4 = p d i punkten /d från sfärens centrum. Spegellddningrn är en punktdipol i punkten /d från sfärens centrum, och motstt orienterd p med styrkn p = p d