6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill

Transkript

1 6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt orienterd rndkurv (se figuren nedn). Med positivt orienterd rndkurv mens tt om vi vndrr längs i dess positiv orienteringsriktning, så hr vi till vänster om oss. eller: = Under nss nämnd förutsättningr gäller Greens formel ( Q P ) dd = (P d + Qd) Bevis: i börjr med tt del upp tintegrlen över i dess två beståndsdelr, ( Q P ) dd = Bsert på figuren till höger fås sedn tt P dd = (ˆ f() På liknnde sätt erhålls ˆ Q dd = Qd, Q dd P dd. g() P d ) d = 2 1 [P (, )] f() g() d b =f() längs 2 =g() längs 1 ˆ ˆ = (P (, f()) P (, g())) d = P d + 2 P d 1 = P d. vilket, tillsmmns med uttrcket för P dd, ger Greens formel ( Q P ) dd = (P d + Qd). et är även värt tt noter tt med A(, ) = A ˆ + A ŷ, P Q

2 kn Greens formel formulers som ( A A ) dd = A d r, där vi utnttjt tt A d r = A d + A d i -plnet. Eempel 1: Beräkn ( 3 d + 3 d) längs, kring ren som begränss v och 0 (se figuren till höger). Med P = 3 och Q = 3 instt i Greens formel fås tt ˆ ( 3 d + 3 d) = ( )dd. P Q Q P i bter till polär koordinter, med r = och φ = rctn(/), vilket betder tt = r cos φ, = r sin φ, r φ dd = drdφ = rdrdφ. r φ Jcobis determinnt en sökt linjeintegrlen kn slutligen beräkns till ˆ ( 3 d + 3 d) = 3r 2 rdrdφ = 3π r 1 0 φ π/4 Eempel 2: Guss sts i plnet Med P = A och Q = A fås ( A + A ) dd = d (A d A d). i inför nu A = (A, A, 0) smt vektorelementet ˆ ŷ ẑ ˆNds = d r ẑ = d d 0 = (d, d, 0), till rndkurvn. Greens formel säger därmed tt Ad = A ˆNds. id jämförelse med Guss sts, Ad = A ˆNd, sns tt ovnstående formel motsvrr just Guss sts fst reducert till plnet. Med ndr ord; istället för ett tredimensionellt område med begränsningst (och utåtriktd norml) som i Guss sts, hr vi nu ett område i -plnet med rndkurv (och utåtriktd norml). I övrigt är ovnstående smbnd ekvivlent med Guss sts. dr Nds ẑ

3 Eempel 3: tokes sts i plnet Med P = A och Q = A fås istället tt ( A A ) dd = (A d + A d). d ẑ i inför åter A = (A, A, 0), smt observerr tt ( A) ẑ = A A. Greens formel ger nu tt ( A) ẑd = A d r, vilket visr sig vr tokes sts reducert till plnet. et bör understrks tt vrken Guss sts i plnet eller tokes sts i plnet är någon egen, riktig sts i egentlig mening. Båd två beskrivs ju v, och rms i, Greens formel. 6.2 tokes sts Betrkt en t med positivt orienterd rndkurv. å vi vndrr längs i dess positiv genomloppsriktning hr vi således tn till vänster om oss, se figuren till höger. i påminner även om högerhndsregeln (även klld tumregeln); om normlen ˆN pekr i höger tummes riktning, så är orienterd i pekfingrets riktning. Förutstt tt vektorfältet A är kontinuerligt deriverbrt på hel tn, så gäller tokes sts rot }{{ A } } ˆNd {{} = A d r. A d z d N + - iksom i fllet med Guss sts, noterr vi här de strukturell likhetern melln ovnstående reltion och b df d = f(b) f(). å vi integrerr en funktions derivt d över ett givet område, så blir resulttet endst beroende v funktionens värde på rnden v området. i ser även tt tokes sts i plnet, ( A) ẑd = A d r, fås om vi begränsr till ett område i -plnet med positivt orienterd rndkurv och med norml ˆN = ẑ. Innn vi går djupre in på tokes sts, så tr vi först ett räkneeempel. Eempel: i önskr nvänd tokes sts till tt beräkn u d r, där u = (3z, 5, 2) och där är skärningen melln clindern = 1 och plnet z = + 3. Rmdkurvn är orienterd moturs sett uppifrån, se figuren på näst sid.

4 Först beräknr vi rottionen v u, ˆ ŷ ẑ u = z = ( 2, 3, 5). 3z 5 2 Nu bter vi fokus till rmdkurvn och tn som begränss v. i väljer till den elliptisk tn i plnet z = + 3, med medelpunkt (0, 0, 3) och hlvlrn [(1, 0, 3) (0, 0, 3)] [(1, 0, 3) (0, 0, 3)] = 1, [(0, 1, 1 + 3) (0, 0, 3)] [(0, 1, 1 + 3) (0, 0, 3)] = 2. i väljer, i enighet med tokes sts, :s ovnsid till tt vr positivt orienterd. Noterbrt är tt även ndr tor kn väljs, så länge som dess rnd ges v och dess ovnsid är positivt orienterd. Normlen ˆN till, bestäms härnäst genom tt behndl plnet z = + 3 som en nivåt till sklärfältet Φ(,, z), φ(,, z) = ±(z 3), där Φ = 0 på. e två tecknen, dvs ±, på Φ speglr det fktum tt vrje t hr två möjlig och motstt riktde normlvektorer. Endst en v dess vektorer stämmer dock med tns givn orientering. ilket det rätt tecknet på Φ är vet vi inte i dett läge. Normlen till nivåtn φ fås som grd φ. Eftersom ± (z 3) (z 3) = ±(0, 1, 1) 2, ses tt ˆN = (0, 1,1) 2, då denn vektor hr positiv z-komponent. injeintegrlen kn slutligen beräkns till u d r = ( u) ˆNd = 1 ( 2, 3, 5) (0, 1, 1)d 2 = 2 d = 2 2π = 2π 2 2 ren v en ellips med hlvlrn 2 och 1 Rottion Rottionen v ett vektorfält är uppenbrligen v centrl betdelse i tokes sts (på smm sätt som divergensen är det för Guss sts). i undersöker nu vd tokes sts säger om just A. i tr fllet med en liten, positivt orienterd t z (med ren z ) i -plnet. Ytn begränss v rndkurvn z och hr normlen ˆN = ẑ. I gränsen z 0 fås, enligt tokes sts, tt ( A) z (P ) = ( A)(P 1 ) ẑ = lim A d r, z 0 z z z P z N= z

5 där punkten P ligger mitt i z. e övrig komponentern, ( A) (P ) och ( A) (P ), fås på liknnde form som den ovn, fst med cirkultionen v A längs rndkurvn v en infinitesiml t i z- respektive z-plnet. Komponenten v ( A)(P ) i en godtcklig riktning ˆN fås v ( A)(P ) ˆN 1 = lim A d r, N 0 N N där N är en liten pln t med norml ˆN och med positivt orienterd rndkurv N, som krmper kring och till punkt P. mmntget beskriver således ( A)(P ) hur A vrider sig kring punkten P, se även diskussionen i kpitel 2.6. Bevis: Ovnstående formel för ( A) z (P ) kn beviss direkt ur Greens formel, dvs utn tt åberop tokes sts. Med punkten P : ( 0, 0, z 0 ) mitt i z, och eftersom z är konstnt och dz = 0 längs z, fås tt ( A A d r = (A (,, z 0 )d + A (,, z 0 )d) = A ) dd, z z i enlighet med kpitel 6.1. Härnäst nvänds integrlklklens medelvärdessts, vrpå vi får tt z ( A A d r = A ) z (P ) z = ( A) z (P ) z, ren v tn z där punkten P ligger i z. I gränsen z 0 måste P P, vilket resulterr i det eftersökt uttrcket på ( A) z (P ). Bevis v tokes sts För tt bevis tokes sts låter vi vr uppbggt v mång små pln deltor i, dvs = i i. rje delt, i, hr sin positivt orienterde rndkurv, i, och sin norml, ˆN i. För vrje delt gäller, i överensstämmelse med Greens formel, också tt ( A)(P i ) ˆN i i A d r, i deltns re där punkten P i ligger mitt i deltn i. För den totl tn gäller, på motsvrnde sätt, tt ( A)(P i ) ˆN i i A d r = A d r, i i i där vi utnttjt tt :s rndkurv kn skrivs som = i i. tokes sts fås slutligen i den gräns då smtlig i 0, ( A) ˆNd = A d r.

6 Noter tt likhet (och inte pproimtiv likhet) råder melln vänster- och högerled i nss nämnd gräns. irvelfritt fält Ett vektorfält A sägs vr virvelfritt i ett område om A = 0. Förutstt tt A är definiert och kontinuerligt deriverbrt i ett öppet och enkelt smmnhängnde område, så gäller följnde: A = 0 A = Φ, dvs A hr en sklär potentil. Bevis: Om A = Φ följer tt A = ( Φ) = 0, se kpitel 2.4. Med ndr ord, vrje potentilfält är nödvändigtvis virvelfritt. Bevis: Om A = 0 följer tt 0 = ( A) d = A d r för ll (och ) i. I sist steget nvände vi oss v tokes sts. Ur ovnstående reltion följer tt linjeintegrlen Q A d r, melln punkt P och Q i, är oberoende v P vägen. Med ndr ord, A = Φ. 6.3 Allmän integrlstser Både Guss och tokes sts kn generlisers, dvs de kn utvidgs och skrivs på ännu mer llmän form. Guss universlsts Guss universlsts lder d ( ) = d( ) där ( ) är ett uttrck som ger både höger- och vänsterledet mening. Eempelvis, med ( ) = A får vi Guss sts, d A = d A. Andr, n, vrienter är ( ) = Φ ( ) = A d Φ = dφ, d A = d A.

7 tokes universlsts tokes universlsts ges v (d )( ) = d r( ) där ( ) lltså skll ersätts med något som ger mening åt ovnstående uttrck. tokes sts fås, eempelvis, med ( ) = A, (d ) A = d r A. ( A) d Noter åter tt (d ) A = ( A) d. N lterntiv är, t.e., ( ) = Φ (d )Φ = d rφ, ( ) = A (d ) A = d r A. 6.4 Prtiell integrtion Betrkt de sklärvärd funktionern f() och g(). Ur produktregeln följer tt d df (fg) = d d g + f dg d, d d (fg)d } {{ } [f()g()] b = df d gd + f dg d d. i möblerr om i ovnstående uttrck och får regeln för prtiell integrtion df d gd = [f()g()]b rndterm f dg d. d flttd derivt Observer strukturen i högerledet; vi hr en integrl med ombtt derivt och en nnn term som endst beror v f och g på rnden. Bsert på produktreglern i kpitel 2.4, kn vi, på liknnde sätt, skp regler för prtiell integrering inom vektornlsen. i ger tre eempel på dett förfrnde här nedn. Eempel 1: Ur produktregeln (Φ Ψ) = Φ Ψ + Φ Ψ följer tt (Φ Ψ)d = Φ Ψd + Φ Ψd.

8 i stuvr om Φ Ψd = (Φ Ψ)d smt nvänder oss v Guss sts Φ Ψd = (Φ Ψ) d } {{ } rndterm Φ Ψd, Φ } {{ Ψ } d, flttd derivt där är begränsningstn (med utåtriktd norml) till. Eempel 2: i utgår ifrån produktregeln (ΦΨ) = ( Φ)Ψ + Φ Ψ, vilket ger tt Φ Ψd = (ΦΨ)d ( Φ)Ψd. Med hjälp v Guss universlsts fås nu tt Φ Ψd = ΦΨd ( Φ)Ψ d. flttd derivt rndterm Eempel 3: om sist eempel strtr vi med (ΦA) = ( Φ) A + Φ A och skriver Φ( A) d = [ (ΦA)] d ( Φ A) d. tokes universlsts ger nu tt Φ( A) d = ΦA d r rndterm ( Φ A) }{{ d, } flttd derivt där är den positivt orienterde rndkurvn (kom ihåg högerhndsregeln) till tn.

9 Övningsuppgifter 6.1 Beräkn rot F för ) F = (,, z) = r b) F = (sin(), e 2, cos 2 (z)) c) F = (z, 2 2 z 2, 2 z 2 ) 6.2 Bestäm rottionen v vektorfälten A = (,, 0) och B = (,, 0), jämför med övningsuppgift Kontroller tokes sts för funktionen v = ˆ + 2zŷ + 3zẑ. Använd det tringulärt skuggde området i figuren nedn. 6.4 åt vr ellipsen = 1, z =. Beräkn F d r för vektorfältet F = (, +, + + z). Kurvns tngent i punkten (0, 1, 1) är prllell med ˆ. 6.5 Beräkn integrlen A d r om A = ˆ( 2 ( + z)) + ŷ( 2 z) + ẑ(z 2 ( + )) och är den kurv som utgör skärningslinjen melln clindern { ( ) = 2 z 0 och sfären z 2 = R 2, där R 2 > 4 2. Omloppsriktningen är sådn tt vid = 0 är kurvns tngentvektor prllell med ŷ. 6.6 Använd tokes sts för tt beräkn linjeintegrlen v vektorfältet A = (z + 2z, + z, + 5) längs skärningslinjen melln clindern 2 + z 2 = 4 och plnet + = 2. Kurvn är orienterd så tt dess tngentvektor i punkten (2, 0, 0) är (0, 0, 1).