GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet."

Ingvar Blomqvist
för 5 år sedan
Visningar:

1 GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär storheter, är t.ex. mss, tid, rete och tempertur. För tt undersök ndr, så kllde vektorstorheter eller vektoriell storheter, måste mn förutom ett mätetl som nger storhet även nge en riktning. Exempel på vektorstorheter är krft, hstighet, elektrisk fält och mgnetfält. F F F För tt åskådlig gör vektorstorheter (i eller dimensioner) nvänder vi riktde sträckor. Låt A och B vr två punkter i rummet. Då etecknr AB den riktd sträck d v s vektor som hr strtpunkt (fotpunkt) i A och ändpunkt (spets) i B. Vektorn BA är inte detsmm som vektorn AB. De hr motstt riktningr. Vi kllr AB och BA för motstt vektorer och skriver AB BA ( eller BA AB ) Vektoreteckningr: Vi kn eteckn vektorer, som i ovnstående exempel, med hjälp v strtpunkt, ändpunkt och en pil ovnpå t ex AB, CD, OM. Någr nvänder ett streck ovnpå punktern t ex : AB, CD. Ett vektornmn skrivs vnligen med en pil ovnför t ex: u, v, w I de flest öcker nvänds fetstil för vektoreteckning, t ex: u, v, w. Andr eteckningr kn också förekomm t ex eller â.

2 v Längden ( eloppet) v vektorn AB eteckns AB och definiers som längden v sträckn AB ( d v s vståndet melln punktern A och B ). Andr eteckningr:. I någr öcker är AB eteckning för längden v vektorn AB.. Om mn nvänder en okstv i fetstil, till ex, för tt eteckn en vektor då vnligt stil,, oftst etecknr längden ( eloppet) v vektorn : = Nollvektorn, som eteckns 0 eller 0, är den vektor som hr längden lik med 0, d v s vektors strtpunkt och ändpunkt smmnfller. Nollvektorn sknr riktning. Alltså AA = 0, MM = 0, PP = 0. Enhetsvektorer. En enhetsvektor är en vektor med längden. ( En enhetsvektor klls ilnd för normerd vektor) Vi ehöver oft en enhetsvektor som hr smm riktning med en given vektor 0 v. En sådn enhetsvektor e får vi genom tt del v med dess längd v, e v v Definition. Låt AB och CD vr två vektorer skild från 0. Vi säger tt AB och är lik vektorer, och skriver AB CD om de hr smm riktning (dvs. vektorern är prllell och är lik orienterde) och dessutom hr smm längd. Alltså, för två vektorer AB och CD, som är skild från 0, gäller: AB CD. AB och CD är prllell hr smm riktning AB CD. AB och CD är lik orienterde. AB CD (dvs AB och CD hr smm längd) Med ndr ord får vi prllell förflytt geometrisk vektorer i rummet. CD

3 v Exempel: Nednstående vektorer är lik c d Viktigt: Om två vektorer är lik, dvs AB CD etyder dett inte tt A=B och C=D. Men, om två vektorer är lik och dessutom hr smm strtpunkt då måste ders ändpunkter smmnfll! Alltså AB AD B D ====================================== Definition. Låt och vr två vektorer skild från 0. Vi säger tt och är motstt vektorer, och skriver om de hr motstt riktning (dvs. vektorern är prllell men motstt orienterde) och dessutom hr smm längd. Alltså, för två vektorer och, som är skild från 0, gäller:... Exempel: och är prllell och hr motstt orienttion (dvs och hr smm längd)

4 4 v ===================================== Räkneopertioner med geometrisk vektorer. Multipliktion v en vektor med tl (= sklär). Definition. Låt λ vr ett reellt tl och v en given vektor.. Om λ=0 eller 0 v då är v 0.. Om λ 0 och 0 v då med v mens den vektor som hr ( i) längden = v och (ii) smm riktning som v om λ > 0, motstt riktning om λ < 0 Exempel: Vektorn är given i nednstående figur. Skisser (rit) vektorern,.5, och Lösning: Addition v vektorer För tt dder två geometrisk vektorer och plcerr vi strtpunkten för i spetsen på ( vi prllellförflyttr vektorn så tt strtpunkten till hmnr på ändpunkten till ). Då är summn den vektor som hr strtpunkt i :s strtpunkt och ändpunkt i :s ändpunkt.

5 5 v C A + B Definition 4. Låt AB och BC. Då är AC På liknnde sätt får vi summn v fler vektorer v v vn. Vi prllellförflyttr vektorer så tt ändpunkt för vektorn v k lir strtpunkt för v k. Summn lir då den vektor som hr strtpunkt i v :s strtpunkt och ändpunkt i v n :s ändpunkt. Exempel: Skisser summn c d för nednstående vektorer: Lösning: Se nednstående figur. D B c C d A + + c + d E Alltså, c d = AB BC CD DE AE ===================================

6 6 v Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Anmärkning: Om och är skild från 0 och ej prllell vektorerer då kn vi erhåll summn med hjälp v digonlen i den prllellogrm som konstruers med hjälp och (den här gången med gemensm fotpunkt), se figuren nedn. D C A B AC Sutrktion v två vektorer definiers genom ( ) Exempel: Skisser för nednstående vektorer och. Lösning: Se figuren nedn - ==================================== Linjär komintioner v vektorer Definition 5. Låt,, n vr reell tl (= sklärer) och v, v,..., vn givn vektorer. Vektorn v v nvn klls för en linjär komintion v vektorern v, v,..., vn

7 7 v Exempel: Skisser vektorn v c för nednstående vektorer, och c. Lösning: Se figuren nedn - V c ========================================== RÄKNELAGAR Sts. Följnde räknelgr gäller för vektoropertioner: ) u v v u ( kommuttiv lgen) ) ( u v) w u ( v w) ( ssocitiv lgen) c) v 0 v d) v ( v) 0 e) v v f) 0 v 0 g) 0 0 h) ( ) v v v ( distriutiv lgen) i) ( u v) u v ( distriutiv lgen) De flest v ovnstående lgr följer direkt från definitionen. Andr, ) ) h) och i) evisr mn med hjälp v elementär geometri och nednstående figurer. T ex från figuren

8 8 v följer u v AC v u dvs egenskpen ). Egenskpen i) viss med hjälp v likformig tringlr och följnde figurer: för λ >0 och, för λ < 0, [ Om λ =0 är påståendet i) uppenrt korrekt eftersom åd leden lir 0 i dett fll.] ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgift. Vi etrktr en prllellogrm med hörnen i punktern A, B, C och D ( se nednstående figur). Låt S vr skärningspunkten melln digonlern. Låt E vr den punkt som ligger i mitten v sidn AB och F den punkt som ligger på linjen genom A och C så tt AF AC. Vi etecknr AB och AD. Utryck följnde vektorer som linjär komintioner v och. ) CA ) Lösning: AS c) BD d) DB e) SE f) BF g) FE

9 9 v Anmärkning. Vi nvänder oft tt (enligt definitionen för vektorddition) en vektor lltid skrivs som summn PQ PM MQ (där M är en godtycklig punkt). ) CA CD DA ) AS AC ( ) c) BD BA AD d) DB DA AB e) SE SA AE CA AB ( ) f) BF BA AF AC ( ) 5 g) FE FA AE AC AB ( ) Uppgift. Förenkl följnde uttryck utn tt rit motsvrnde figurer: PQ kn ) AB DA PC BP ) AB CB CD Lösning: ) Vi skriver om summn ( vi fktisk nvänder den kommuttiv lgen) för tt få tt ndr vektor strtr i ändpunkten för först vektor, tt tredje strtr i slutet v ndr och tt fjärde strtr i slutet v tredje vektor: AB DA PC BP DA AB BP PC DC ) Vi nvänder reltionen: CB BC AB CB CD AB BC CD AD Svr: ) DC ) AD I nednstående uppgifte nvänder vi oft fäljnde två omskrivningr v en vektor MN :. Enligt definitionen för vektorddition kn vi lltid skriv om en vektor MN som summn MN MO ON ( för en godtyckligt vld punkt O i rummet).. MN NM ( MN och NM är två motstt vektorer Uppgift. Låt O, A och B vr tre punkter i rummet. Uttryck vektorn komintion v vektorern OA och OB. (se figuren nedn) AB som en linjär

10 0 v AB AO OB OA OB OB OA Svr. AB OB OA Uppgift 4. Låt S vr mittpunkten på sträckn A B ( se figuren nedn). Låt vidre O vr en (godtyckligt vld) punkt i rummet. Uttryck vektorn Lösning: OS som en linjär komintion v vektorern OA och OS OA AS OA AB OA ( OB AO OB) OA ( OA OB) OA OB Svr: OS OA OB Mång stser i geometrin kn vi härled och evis med hjälp v vektorer. Ett exempel hr vi i nednstående exempel där vi evisr tt för tringelns tyngdpunkt T gäller OT ( OA OB OC) Uppgift 4. Låt ABC vr en tringel. Vi etecknr med A, B, C mittpunkter på BC, AC och AB. Låt vidre T vr skärningspunkten melln mediner AA och BB. (En smmnindningssträck melln tringelns hörn och motstående sids mittpunkt klls medin. )

11 v ) Bestäm i vilket förhållnde delr punkten T sträckn AA. ) Vis tt den tredje medin CC går genom smm punkt T, (dvs tt medinern i en tringel skär vrndr i en end punkt. Punkten T klls tringelns tyngdpunkt) c) Vis tt OT ( OA OB OC) Lösning: ) Vi etecknr med x den okänd kvoten melln AT och AA. Alltså, vi söker x så tt x AA AT. På smm sätt söker vi tlet y så tt Vidre etecknr vi AB och och på två olik sätt: BT y BB AC och uttrycker AT som en linjär komintion v x x i) AT x AA x( AB BA) x( ( )) (*) Andr sätt tt eräkn vektorn AT : Vi går genom punkten B. ii) AT AB BT AB y BB y( BA AB) y( ) ( y) Från (* ) och (**) hr vi x x y ( y) eller ( om vi skriver, på vr sin sid) y (**) x y x ( y ) ( ) (***) Eftersom, är icke prllell vektorer är (***) möjlig endst om följnde två villkor är uppfylld x y 0 och y x 0. Från y x 0 hr vi x y x som vi sustituerr i y 0 och får

12 v x x x 0 x. Därför y x. Alltså, vi hr fått AT x AA AA och BT y BB BB. Därmed / delr v medinen AA ligger melln hörnet A och T och / melln T och sidns mittpunkten A. Alltså T delr AA i förhållndet :. ) Låt S vr skärnings punkt melln den tredje medinen CC och medinen AA. ( Vi sk vis tt S och T smmnfller och därmed lir det exkt en skärningspunkt för ll tre mediner.) Vi hr fått i ) delen tt AT AA. På smm sätt som i ) får vi tt AS AA. Därmed AT AS. Eftersom AT och AS är lik vektorer med gemensm strtpunkt måste ders ändpunkter smmnfll. Därför är S=T. Vi hr evist tt den tredje medinen går genom skärningspunkten T för de ndr två mediner. Alltså ll tre mediner går genom en end punkt. c) Vi nvänder och delen och eräknr OT : OT OA AT OA AA OA ( AO OA ) OA [ OA ( OB OC )] OA OB OC, vd skulle eviss.

Relevanta dokument

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär