Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov"

Transkript

1 Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

2 Så lycks d med det ntionell proet För tt få t så mycket som möjligt källens mttekonent ill i ppmntr dig tt ställ mång frågor till olontärern. De finns på plts idg för din skll och de ill hjälp till Själklrt kn d ställ ilk mttefrågor d ill; de ehöer inte hndl om en specifik ppgift på öningsproet. Här följer någr plggtips från oss på Mttecentrm: Rit pp prolemet: Inget förklrr ett prolem så r som en figr och det mest går tt rit. Sk d räkn t måtten på en hge? Rit hgen Sk d lös en trigonometrisk ektion? Rit enhetscirkeln T prolemet steg för steg: De flest oss kn inte håll mssor steg i hdet smtidigt så h för n tt lltid skri ner ll delr i din träkning så lir det färre slrfel och åde d, lärren och olontärern kn lättre följ med i hr d hr tänkt. Jo med grndteknikern: Inom mtemtiken ygger de mer ncerde metodern oft på grndtekniker som mn hr lärt sig i tidigre mttekrser eller kpitel så se till tt ö lite etr på eempelis prioriteringsreglern, ektionslösning och ndr grndtekniker om de mer ncerde metodern känns knepig. Prt mtte: Hjälp dig själ och ndr genom tt diskter prolemen tillsmmns. Genom tt prt mtte ör d på llt möjligt: din egen förståelse, hr prolem kn ttckers på fler olik sätt, ditt mtemtisk språk och ditt mttesjälförtroende. Kn d förklr en metod för en kompis så et d tt d själ ehärskr den. Prtr d mtte ör och förereder d dig äen inför det mntlig ntionell proet Klitet istället för kntitet: Tänk klitet istället för kntitet. Ägn hellre en hel lektion åt tt erkligen försök förstå Pytghors sts än tt räkn t hypotensn i 30 olik tringlr tn tt förstå d d fktiskt gör.

3 Tips för tt lös en specifik ppgift Läs ppgiften noggrnt Förstår d ppgiften? Vd frågs det efter egentligen? Det kn r något som sk räkns t eller något som sk ställs pp för tt sedn räkns t. Om inte, d är det d inte förstår? Är det iss ord i ppgiften eller är det ett räknesätt som ppgiften er dig tt nänd? Koll pp de delr som d inte förstår genom tt slå pp orden, äddr kåt i oken för tt fräsch pp minnet eller fråg en olontär 3 Innn d örjr lös ppgiften, ställ dig frågn: Förstår jg ilken metod som sk nänds för tt lös ppgiften? Om inte, koll pp liknnde ppgifter och titt på hr lösningsmetodern är där. När d et ilken metod som sk nänds till den ppgift d sitter med kn d ställ dig själ följnde frågor: Förstår jg metoden som nänds? Förstår jg rför jst denn metod nänds till denn typ prolem? Om inte, gå tillk till snittet med den metoden i oken och fräch pp minnet eller fråg en olontär. Räknt klrt och sret är glet? Då sk d felsök sret Gå noggrnt igenom träkningrn för tt se om d gjorde någr räknefel och ställ dig än en gång frågorn i de först tå pnktern för tt försäkr dig om tt d erkligen hr förstått frågn och nänt rätt räkneopertioner. Känns träkningen och metoden fortfrnde rätt, räkn om ppgiften på en helt ny sid tn tt tjkik på den gml träkningen Fortfrnde fel sr och sret är detsmm som d fick först gången d räknde? Då hr d troligtis inte gjort ett slrfel, tn nänder fel metod. Gå tillk och koll hr liknnde ppgifter hr lösts. Känner d tt d ändå inte kommer idre på egen hnd, fråg en olontär Läs mer ingående tips på mtteoken.se

4 (8) Formler till ntionellt pro i mtemtik, krs 5 Alger Regler )( )( )( 33)( 333 ( )( ) 33 ( )( ) 33 ( )( ) Andrgrdsektioner p q 0 c 0 pp 4c q Binomilstsen n n n kknn n n n n n n n )(... k 0 n k 0 Aritmetik Prefi T G M k h d c m n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Potenser yy y y y y )( n n )( 0 Logritmer 0 lg yy e ln yy lg lg lg y lg lg y lg p lg lg p y Asoltelopp om 0 om Skolerket

5 (8) Fnktioner Rät linjen Andrgrdsfnktioner y k m k y y y c 0 y c 0, där inte åde och är noll Potensfnktioner y C Eponentilfnktioner y C 0 och Sttistik och snnolikhet Stndrdikelse för ett stickpro ( ) ( n s )... ( n ) Lådgrm Normlfördelning Täthetsfnktion för normlfördelning f ( ) e Skolerket

6 3(8) Differentil- och integrlklkyl Deritns definition f ( ) lim h0 f ( h) h f ( ) lim f ( ) f ( ) Deritor Fnktion Derit n där n är ett reellt tl n n ( > 0) ln ln ( 0 ) e k e e k k e tn tn k f () k f () f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ( ( ) 0) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g ( g( )) Kedjeregeln Om y f ( z) och z g( ) är tå derierr fnktioner så gäller för y f ( g( )) tt dy dy dz y f ( g( )) g( ) eller d dz d Skolerket

7 4(8) Primiti fnktioner Fnktion k n ( n ) Primiti fnktioner k C n C n ln C ( 0) e e C k e e C k k ( 0, ) C ln C C Komple tl Representtion i z iy re r( i ) där i Argment rg z tn y Asoltelopp z r y Konjgt Om z iy så z iy Räknelgr zz r r (( ) i( )) z z r (( ) i( )) r de Moires formel n n n z ( r( i )) r ( n i n) Skolerket

8 5(8) Geometri Tringel h A Prllellogrm A h Prllelltrpets h( ) A Cirkel A πr d π 4 O πr πd Cirkelsektor πr 360 r A πr 360 Prism V Bh Cylinder V πr h Mntelre A πrh Pyrmid Bh V 3 Kon Klot πr h V 3 Mntelre A πrs 4πr 3 V 3 A 4πr Likformighet Skl Tringlrn ABC och DEF är likformig. d e c f Areskln = (Längdskln) Volymskln = (Längdskln) Skolerket

9 6(8) Topptringel- och trnserslstsen Om DE är prllell med AB gäller Bisektrisstsen AD BD AC BC DE CD CE och AB AC BC CD CE AD BE Vinklr 80 Sidoinklr w Vertiklinklr L skär tå prllell linjer L och L 3 w Likelägn inklr w Alterntinklr Kordstsen Rndinkelstsen cd Pythgors sts c Aståndsformeln d ) ( y ) ( y Mittpnktsformeln m y y och ym Skolerket

10 7(8) Skolerket Trigonometri Definitioner c c tn Enhetscirkeln y y tn Sinsstsen c C B A Cosstsen A c c Arestsen C T Trigonometrisk formler ) ( ) ( ) ( ) ( (3) () () ) ( c där c och tn Cirkelns ektion ) ( ) ( r y

11 8(8) Ekt ärden Vinkel (grder) (rdiner) 0 π π π π π 3π 5π π tn 0 3 Ej def Mängdlär A B A och B A B Aeller B A \ B Aoch B A C G och A Tlteori Kongrens (mod c) om differensen är delr med c Om (mod c) och (mod c) gäller tt. (mod c). (mod ) c Om (mod c) gäller tt 3. m m (mod c) för ll heltl m 4. n n (modc) för ll heltl n 0 Aritmetisk n s smm n n där ( n ) d n n Geometrisk k s smm k n där n k n Komintorik Permttioner Komintioner n P( n, k) n ( n ) ( n )... ( n k ) där 0 k n ( n k) n P( n, k) n C( n, k) där 0 k n k k k( n k) Skolerket

12 KrsproMtte5 DethärproetärgjortMttecentrmpågrndttdennkrsärsånyttinggmlkrsprofinns.Därför reflekterrinnehålletintenödändigtishrdetriktigproetlirttset. Seiställetdettsomenmöjlighetttrepeterochpptäcktddehöertränmerpå.Ingpoängärtstt.Istället ärissppgifter,somknsketrmertidänndr,mrkerdemed(#). Lyck&till& Uppgift )Angelldelretilltlet30. )Vilkdessärtriildelre? c)vilktlenärprimtl? Uppgift Bestämdetminstntrligtletsomppfyller '()*+'5) Uppgift3(#) Beis,medhjälpindktion,ttsmmndeförstddtlenärlikmed..Medndrordtt: =. Uppgift4 LåtmängdenArdefinierdsom4 = N 7: 7 5. MängdenNrepresenterrmängdenllntrligtl0,,,3,4,5, Angesntellerflsktförföljndepåståenden: ). 4 > ){,3} 4 c) 4 d) 4 = 5 e) 4 ()

13 Uppgift5 Lottoärettspeldärdskälj7tl35.Omdfårllrätt(deehöerinterinågonspecifikordning)inner dhögstinsten. A. Hrmångoliklottorderfinnsdet? Påstryktipsetskdiställetälj,för3mtcher,omdesltrmed:ttlgAinner,ttlgBinner,elleromdetlir ogjort.trelterntiförrjemtch.härspelrlltsåordningenroll. B. Ärdetstörstsnnolikhetttfå7rättpålottoeller3rättpåstryktipset? Uppgift6 Förklrdsommensmedföljndegrfteoretiskegrepp: A. Vndring B. Väg C. Eleräg D. Stig E. Hmiltonstig F. Hmiltoncykel Uppgift7 Ritengrfmedminst5nodersomhrenElerkrets. Uppgift8 Lösdifferentilektionen DE = 37 + medillkoretg(0) =. Uppgift9(#) DF HittdenllmännlösningentilldeninhomogendifferentilektionenG H 8G = 67.Srekt. Uppgift0 Nednfinnstårekrsitdefinierdetlföljder.Beräknnågrelementiföljdenochgöromdetärenritmetisk ellergeometrisktlföljd.beräknsednsmmnde0försttlen. )K L =,''''''K M = K MNL + 3 )K L = 3,''''''K M = K MNL ()

14 Uppgift Förttseometttlärdelrtmed6räckerdetmedttekräftttdetärdelrtmedoch3.Förklrrfördetär så. Uppgift OmK 3'()*+'4),ochO '()*+'4),estämminstpositiheltlsomppfyller: KO' '()*+'4) Uppgift3(#) Beistt > 'ärdelrtmed3förll N. Uppgift4(#) Antttentj,somförsökerknäckdittFceook\lösenord,kntest00000oliklösenordrjeseknd. A. Omdittlösenordrestårsiffrorn0\9,hrlångtmåstedetrförtttjeninteskknnhinn testllmöjligheterinomenrimligtid?ensäker rimligtid kntilleempelr0årellerlängre. B. Omlösenordetfåreståsiffror,år9storokstäerochår9småokstäer,hrlångtehöerdå lösenordetrförtttjeninteskhinntestllmöjligheterinomenrimligtid? Ensäker rimligtid kntilleempelr0årellerlängre. Uppgift5 Enmänniskhrmelln0och00000hårstrånpåhdet.FörklrdDirichletslådprincipär,ochnänddenför tteisttminsttåpersonerpåjordenhrlikmånghårstrånpåhdet. Uppgift6 Bestämenprtiklärlösningtilldifferentilektionen G H + '7G = ()

15 Uppgift7(#) Newtonsslningslgsertsomföljer: +U +V = W(U U 0) DärUärettföremålstempertrefterVminter,U X äromginingenstempertrochwärenkonstnt.låtidethär flletw = 0,07. A. Enpizztstrgnenochärdå75grder.Denställspåettordiettgrderrmtrm.Hrlång tidtrdetinnnpizznär75grderrm? B. Antttrmmetlltidhrsmmtempertr.Förklriorddttrycketetyder: lim ](V) = U 0 V Uppgift8(#) Enrtfåglrärtrotningshotdeochiologerärdärförintresserdettförsökförståhrmångdenfågelrten somkommerfinnsifrmtiden. A. Enkeltttrycktosererrdeföljnde:jflerfåglrsomfinns,destoflerföds.Alltsåärtilläthstigheten proportionellmotntletfåglr.ställppendifferentilektionsomeskrierdett. B. Bestämdenllmännlösningentillonstående(homogen)differentilektion. C. LåttidsrielnVrepresenterntlårefter004.UtgåfråntidenV = 0år004,dådetfnns30fåglr.År 04fnnsdet00dessfåglr.Bestämenlösningtilldifferentilektionensomppfyllerdessillkor. D. Enligtdennmodell,hrmångfåglrkommerdetfinnsår04? E. Enligtdennmodellkommerdetår04finns] 00 = 955'677'95'73'4'736,lltsånästnen triljon,fåglr.ärdetrimligt?vrför/rförinte? Uppgift9 Utecklttrycket 7 + G _ medhjälpinomilstsen. Uppgift0 Tlethrdelrn,, 3, 4, 6,.Smmnlldelretilletttlknskrismedfnktionen`()somttls sigmn.idethärflletär ` = = 8 Viserlltsått` >. A. Förklrrfördetlltidgällertt`. B. Detärintelltidsnttt`.Hittettmoteempelsomisrdet. 4()

16 Lösningsförslgochfcit Uppgift'' A. Delrnär:,, 3, 5, 6, 0, 5, 30 B. Triildelreärochtletsjält,lltså:, 30 C., 3, 5.(Komihågttinteärettprimtl.) Uppgift'' Viknräknttt37 '()*+'5),såiknskrippgiftensom: '()*+'5) Ochfrån + 4'()*+'5)'seritt =. Uppgift'3' Vårtsfllär =,förilketifår =. Vårindktionshypotes:Antttpåståendetärsntförettheltl = c: de f = (c ) = c. = ge f Indktionssteget( = c + ): de fhl = c + c + = c ge fhl = c +. = c. + c + f i + (c + )' Frånindktionshypotesenetitt: de fhl = c. + (c + ) Vilketjärprecislikmedge fhl.alltsåärpåståendeteistförllheltl. Uppgift'4' Mängden4 = {0,,,3,4,5}. A. Flskt,4innehållerendstheltl. B. Snt,{,3}ärendelmängd. C. Flskt,4innehålleringnegtitl. D. Flskt,detfinns6elementi4. E. Snt,dentommmängdenärendelmängdtillllmängder. 5()

17 Uppgift'5' )AntletmöjligLottorderärenkomintion7tlfrån35möjlig: )Antletmöjligstryktipsrder:3 L> = '594'33. Eftersom67450' > '59433etyderdet: k e*vv*lmnv = < = k pvqgwvmcnlmnv Såsnnolikhetenärstörrettinnpåstryktipset. >_ j = 6'74'50 Desstom,eftersomdetfinnsmerinformtiontillgängligidstryktipsetsmtcher(informtionomlgen,spelrn, derssenstemtcheretc.)såknoddsenrännättre.ilottofinngensådninformtiontttillgå. Uppgift'6' A. Vndring:Enförflyttningiengrffrånhörntillhörnlängsenellerflerknter. B. Väg:Enndringdäringenkntpssersmeränengång. C. Eleräg:Enägsompsserrrochenknternigrfenektengång. D. Stig:Enndringdäringethörnpssersmeränengång. E. Hmiltonstig:Enstigdärrjehörnigrfenesöksektengång. F. Hmiltoncykel:EnHmiltonstigsompåörjsochsltsismmhörn. Uppgift'7' EnElerkretsärenElerägsomörjrochsltrismmhörn.Häräretteempelmedsehörnhämttfrån mtteoken.se,mendetfinnsoändligtmångmöjligheter: Detiktigsteärttllhörnhrjämngrd. 6()

18 Uppgift'8' Genomttintegrerådsidorfåri G 7 = ' = 37. Sednknieräkn: G 0 = r = r r EftersomietG 0 = etilltsåttr = ochsretär: G 7 = Uppgift'9' DenhomogenlösningenärG t = r F. AnsättprtiklärlösningentillG f = 47 + w,deritnlirdåg f = 4.Insättningiektionenger: w = w = 67 Vilketgerföljndetåektioner: 84 = 6 4 8w = 0 Dettger4 = N> N> ochw = y >. Fllständigllmänlösninggesdå: G = G t + G f = r F därrärenkonstnt. Uppgift'0' A.Dettärenritmetisktlföljd,eftersomdifferensenmellnrjeelementtillnästärkonstnt3. Förstelementet:K L =. Förttfåfrmärdetpåettelementkninändföljndeformel:K M = K L + ( )+ Tiondeelementetärdå:K LX = = 9 Smmnenritmetisktlföljdfåsföljndeformel: n M = M { h{ }. n LX = K L + K LX = 0( + 9) = 55 7()

19 B.Dettärengeometrisktlföljd,eftersomkotenmellnrjeelementochdetföregåendeärkonstnt. Förstelementet:K L = 3. Koten:W =. Smmnengeometrisktlföljdfåsföljndeformel: n M = K L(W M ) W n LX = K L(W M ) W = 3(LX ) = 3069 Uppgift'' Etttlsomärdelrtmedoch3ärocksådelrtmed 3 = 6. Viknocksåskridetmermtemtiskttförligtsåhär: Omtletärdelrtmedetyderdetttärenmltipel,lltså = KförnågottlK. Påsmmsätt,omärdelrtmed3,etyderdettt = Kärenmltipel3.Eftersomsjälklrtinteärdelrt med3,måstedetrksomärdelrtmed3,ochknskrisk = 3OförnågottlO. Alltsåkniskritletsom: = 3 O = 6O Dettärenmltipel6ochdärförärdelrtmed6,medndrord: 0'()*+'6) Uppgift'' Enligträknereglernförkongrenserkniskri: K O 3 '()*+'4) Viknräknt3 = 43: KO 43'()*+'4) Eftersom43 3'()*+'4)ärrättsr = 3. Uppgift'3' Vieisrdettmedindktion.Uppenrligenär > = = 0delrtmed3,eftersom0ärdelrtmedll tl.dettgörårindktionss. Indktionshypotes:Antttpåståendetgällerförnågottl = c: 3' 'c > c Indktionssteg:Låt = c + ochförenklprentesern: 8()

20 c + > c + = c > + 3c. + 3c + c Termern+och trtrndr,ochgenomttflyttomtermernfåri: c > c + 3c. + 3c Frånindktionshypotesenetittc > cärdelrtmed3.desstomärdendrtermernmltipler3och därmedocksådelrmed3. Alltså,eftersomrjetermärdelrmed3,ärhelttrycketdelrtmed3,ochpåståendetäreistförllheltl. Uppgift'4' Rimligtid låterihärrminst0år,lltså = 35'360'000seknder. ViknlåtU()renfnktionsomgertidenUeroendelängdenpålösenordet,lltsåntltecken,. )Idethärflletär U = 0M 00'000 = 0M 0 _ = 0MN_ ViillhittsåttU > 35'360'000: 0 MN_ > 35'360'000 5 > log'(35'360'000) > log 35'360' ,5 Alltsåehöerlösenordetrminst4teckenlångt. )Idethärflletfinnsdet = 68möjligtecken,såihr U = 68M 0 _ Medsmmolikhet,U > 35'360'000fåriträkningen: 68 M 0 _ > 35'360'000 ' log 68 > log'(35'360'000 0 _ ) > log'(35'360'000 0_ ) log 68 = 7,4 Alltsåehöerlösenordetnendstrminst8teckenlångt. (Attdettrminst0årtttestllmöjligheteretyderdockintettlösenordetnödändigtisärsäkert,förmodligen ehöerintellmöjlighetertestnndittlösenordkommerpp.) 9()

21 Uppgift'5' Dirichletslådprincip:Om)föremålskplcersilådor,och) >,såkommerminstenlådttinnehållmerän ettföremål. Idethärfllettgörs lådorn ntlethårstrånpåhdet.detfinnslltså = 00'000lådor. Föremålen är lltsåntletmänniskor,somär) 7 0 Å.Eftersom) > måstedetfinnsminstettntlhårstrånsomfler människorhr. Uppgift'6' Enkorrektnsättningär:G f = w 7 + r förkonstnter4, w, r.dessderitär:g f = 4 7 w 7 Insättningidifferentilektionenger: 4 7 w w 7 + r = w w 7 + 7r = w w 7 + 7r = Genomttmtchkoefficienteriänster\ochhögerledfåriföljndeektioner: 74 w = 4 + 7w = ' 7r = ' Vilketgerföljndelösningr: 4 = 4 5 ''''w = 3 5 '''r = 7 ' Enprtiklärlösningärlltså: G f = Uppgift'7' )VihrttU X = ochw = 0,07ochsätterinärdenidifferentilektionen: +U = 0,07(U ) +V Förenklingger: U H + 0,07U =,54 EnkorrektnsättningtillprtiklärlösningenärU f = 4,ochderitnärU f = 0.Insättningiektionenger: =,54 0()

22 Medlösningen: 4 = DenhomogenlösningenärU t = r NX,XjÇ.Lösningenlirlltså: U V = r NX,XjÇ + VillkoretU 0 = 75gerr = 53. VisklösU V = 75: 53 NX,XjÇ + = 75 NX,XjÇ = V = É ,07 5 Sr:Dettrcirk5minterförpizznttslntill75grder. )Närtidengårmotoändlighetensåkommerpizznstempertrnärmreochnärmreomginingenstempertr. Uppgift'8' Idethärflletrepresenterr](V)ntletfåglridtidenVochrärenkonstnt. ) DÑ DÇ = r ](V) )Ektionenonskrisomtill] H V r] V = 0ilketärenlinjärhomogendifferentilektionförst ordningenochdärförhrlösningen] V = w ÖÇ förkonstnterwochr. c)dendtihrärlltså] 0 = 30och] 0 = 00: ] 0 = w Ö X = w = 30 ] 0 = 30 Ö LX = 00 Ö LX = r = ln' ,9 Lösningenär: ] V = 30 X,LÅÇ d)år04är0årefter004,ochdärmedskieräkn] 0 : ] 0 = 30 X,LÅ.X 34 e)nej,detärinterimligt.enmtemtiskmodellsomgällerförissomständigheterochtidssklorehöerintelltid gäll.förmodligenörjrdetliontommtfördessenormtmångfåglrdåisåfllfödsdetnogintelikmång.en nnndifferentilektion,enmersofistikerdmodell,ehös. ()

23 Uppgift'9' Enligtinomilstsenärtecklingen: _ G X y G L > G G > ' L G y X G _ = 7 _ G X y G L > G G > L G y + 7 X G _ = 37 _ y G > 4G G > G y + 3G _ = 37 _ y G > G G > + 607G y + 3G _ Uppgift'0' )Eftersomochärdelretillrjetl,såärsmmnlldelreåtminstone + ilketärstörreän. )Ettprimtlcärrdelrtmedochc,såifår:` c c = + c c = ilketdefinititärmindreänc.detfinnsocksågottommoteempelsominteärprimtl,tilleempel6: ` 6 6 = = 5 6 (Symolen tläses intestörreänellerlikmed ) ()

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C OCH D

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C OCH D (7) FORMLER TILL NTIONELLT PROV I MTEMTIK KURS OH D LGER Rgl dgdsktio ( + ) = + + ( ) = + (kdigsgl) ( + )( ) = (kojugtgl) ( + ) = + + + ( ) = + + = ( + )( + = ( )( + + Ektio + p+ q = 0 ) ) ött p p p =

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C, D OCH E

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C, D OCH E FORMLER TILL NTIONELLT PROV I MTEMTIK KURS D OH E LGER Rgl dgdsktio kdigsgl kojugtgl Ektio p q ött p p p q o dä p o q p q RITMETIK Pi T G M k d m µ p t gig mg kilo kto di ti milli miko o piko 9 6 - - -

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C ALGEBRA Kdeigsegle ( + ) + + ( ) + Kojugtegel ( + )( ) Adgdsektioe Ektioe + p + q 0 ötte p p p p + q o 4 4 id + p o q q ARITMETIK Pefi Tiopotes

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

k9innehåll: Matte KONVENT Ma te ma tik Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se

k9innehåll: Matte KONVENT Ma te ma tik Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se Matte KONVENT Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik Ma te ma å tik Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se k9innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella

Läs mer

Innehåll. Kopieringsunderlag Breddningsdel Formelblad

Innehåll. Kopieringsunderlag Breddningsdel Formelblad Innehåll Information till lärare inför breddningsdelen i det nationella kursprovet i Matematik kurs A våren 1999...1 Inledning...1 Tidsplan våren 1999...1 Nyheter i kursprovet för Matematik kurs A vårterminen

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E (8 FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E ALGERA Rgl Adgdskvtio ( + = + + ( = + (kvdigsgl ( + ( = (kojugtgl ( + = + + + ( = + + = ( + ( + = ( ( + + Ekvtio + p+ q = ött p p p = + q o = dä + = p

Läs mer

Facit Arbetsblad. 7 a) 32 b) 35 c) 27 8 a) 5 b) 18 c) 4 9 a) 18 b) 30 10 a) 17 b) 19 11 a) 6 b) 0 12 a) 24 b) 35. 1 Tal

Facit Arbetsblad. 7 a) 32 b) 35 c) 27 8 a) 5 b) 18 c) 4 9 a) 18 b) 30 10 a) 17 b) 19 11 a) 6 b) 0 12 a) 24 b) 35. 1 Tal 1 Tal Arbetsblad 1:1 1 a) 18 9 06 b) 85 10 00 c) 0 1 080 9 060 d) 5 105 6 780 e) 78 8 970 9 05 f) 990 75 102 5 2 a) 0 = 2 2 2 5 b) 75 = 5 5 c) 6 = 2 2 a) 8 = 2 2 2 2 b) 28 = 2 2 7 c) 90 = 2 5 a) = 2 2

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C OCH D

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C OCH D (7 FORMLER TILL NTIONELLT PROV I MTEMTIK KURS OH D LGER Rgl dgdsktio ( + = + + ( = + (kdigsgl ( + ( = (kojugtgl ( + = + + + ( = + + = ( + ( + = ( ( + + Ektio + p+ q = ött p p p = + q o = dä + = p o = q

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Exempelsamling :: Vektorintro V0.95

Exempelsamling :: Vektorintro V0.95 Exempelsamling :: Vektorintro V0.95 Mikael Forsberg :: 2 noember 2012 1. eräkna summan a ektorerna (1, 2) och (3, 1) mha geometrisk addition 2. Tå ektorer u = ( 2, 3) och adderas och blir ektorn w = (1,

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrum.se Formelsmlingen.se Mtteoken.se Pluggkuten.se 4 Innehåll: Pluggtips Formelsmling Ntionell prov från tidigre

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C OCH D

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS C OCH D (7) FORMLER TILL NTIONELLT PROV I MTEMTIK KURS OH D LGER Rgl dgdskvtio ( + ) = + + ( ) = + (kvdigsgl) ( + )( ) = (kojugtgl) ( + ) = + + + ( ) = + + = ( + )( + = ( )( + + Ekvtio + p+ q = ött p p p = + q

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 6b

Facit - Tänk och Räkna 6b Fit Tänk oh Räkn Mätning oh sttistik A. B. C. A. B. C. A. B. C. 00 s s s 0 min min min 0 h h 0 h 0... h min h min h min.,. oh. h min.0 h min h min 0. Ktrineholm 0 ygn 0 ygn 0 ygn mån mån mån 00 min gr

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna B. Grevholm, J. Lundqvist, L-E. Persson & P. Wll Ett mentorprojekt för gymnsieelever i Luleå Hur får vi fler gymnsieelever intresserde v tt örj läs mtemtik vid universitetet? Den frågn hr mång mtemtiklärre

Läs mer

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING. Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Begrepp Uttryck, värdet av ett uttryck, samband, formel, graf, funktion, lista, diagram, storhet, enhet, tabell.

Begrepp Uttryck, värdet av ett uttryck, samband, formel, graf, funktion, lista, diagram, storhet, enhet, tabell. Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet samlar ett antal olika sätt att hantera rymdgeometriska beräkningar med formler på en grafräknare. Dessa metoder finns som uppgifter eller som en samling tips i en

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

Geometrisk optik F7 Reflektion och brytning F8 Avbildning med linser och speglar. Optiska system optiska instrument. Avbildning. Parallella strålar

Geometrisk optik F7 Reflektion och brytning F8 Avbildning med linser och speglar. Optiska system optiska instrument. Avbildning. Parallella strålar Optisk system optisk instrument Geometrisk optik F7 elektion oc rytning F8 Avildning med linser oc speglr Optisk system F9 Optisk instrument 1 2 Optisk system optisk instrument epetition: Avildning i särisk

Läs mer

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING Institutionen för naturvetenska, teknik och matematik (NAT) Institutionen för teknik och hållbar utveckling (THU) MATEMATISK FORMELSAMLING UPPLAGA 2 Innehåll Notation, mängdlära och logik........................

Läs mer

StyleView Scanner Shelf

StyleView Scanner Shelf StyleView Scnner Shelf User's Guide Mximl vikt: 2 ls ( kg) SV-vgn & Huvud-enhet Alterntiv - LCD-vgnr Alterntiv 2 - Lptop-vgnr Alterntiv 3 - Väggspår Alterntiv 4 - Bksid v SV-vgn 3 6 7 Reduce Reuse Recycle

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

Skogstorp i framtiden

Skogstorp i framtiden I SKOGSTORP www.skogstorp.om/soildemokrtern Skogstorp i frmtiden Redovisning v enkät genomförd under perioden Novemer- Deemer 2005. 1. Tyker Du liksom fler v oss tt det ehövs yggs en förifrt utnför skogstorp?

Läs mer

Förskolor och skolor i Järfälla

Förskolor och skolor i Järfälla 2013 ! I, *, I,,, w w, www/,?, w I,,, W * 016 I,,, www/ I 016 5 6, 7 8 9 10 Ö 11 611 11 11 11 11 11 13, 1426 /1415 1618 2023 / 2426, 27 016, 0 5, W,, 3 5 1 15 525 Ö Ö I 6 16 15 525 I 21,,,,, I 3 4, 5 6

Läs mer

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Programmeringsguide ipfg 1.6

Programmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd

Läs mer

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel.

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel. Kpitel 2: Lösningr till övningrn på s 38-40 2-6.1 (A (B A)) är en formel. Kj B Hnsen och Ted Jovicic Grundläggnde logik (1) A och B är formler enligt (1) (2) A är en formel (*enligt (1)*) A är en formel

Läs mer

OM REPAMERA HUR. Se mer info om deltagande föreläsare, workshopledare och bilder i slutet av denna utvärdering.

OM REPAMERA HUR. Se mer info om deltagande föreläsare, workshopledare och bilder i slutet av denna utvärdering. G N I R E D R UTVÄ h c o x i f, g l t t m o e i r e r s p h o h n s k d r e o r w u n d E t e d v n t t y n r e m i mx OM REPAMERA Föreläsningsserien RepMer rrngerdes under 2014 som ett smrbete melln Mlmö

Läs mer

1BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år

1BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år Matte KONVENT Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik Ma te ma tik Länktips: 1BInnehåll: Mattecentrum.se Pluggtips Formelsamlingen.se Formelsamling Nationella prov från tidigare år Matteboken.se

Läs mer

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se Matte KONVENT Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik Ma te ma Länktips: tik1ainnehåll: Mattecentrum.se Pluggtips Formelsamlingen.se Formelsamling Matteboken.se Nationella prov från tidigare

Läs mer

äkta Bredband, ett krav för framtidens multiservice nät?

äkta Bredband, ett krav för framtidens multiservice nät? äkta Bredband, ett krav för framtidens multiservice nät? U lf V in n e ra s D e s ig n c o n s u lta n t, C is c o S y s te m s 2 0 0 2, C is c o S y s te m s, In c. A ll rig h ts re s e rv e d. U lf V

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody Från fotbollspln till ffärspln Berättelsen om Newbody Vi hjälper skolor och föreningr tt tjän pengr till cuper, träningsläger och skolresor. Genom tt sälj vår populär strumpor och underkläder kn de lätt

Läs mer

1CInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år

1CInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år Matte KONVENT Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik Ma te ma tik Länktips: 1CInnehåll: Mattecentrum.se Pluggtips Formelsamlingen.se Formelsamling Nationella prov från tidigare år Matteboken.se

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Möbiustransformationer.

Möbiustransformationer. 224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver

Läs mer

Mål Aritmetik. Provet omfattar sidorna 6 41 och (kap 1 och 7) i Matte Direkt år 8.

Mål Aritmetik. Provet omfattar sidorna 6 41 och (kap 1 och 7) i Matte Direkt år 8. Mål Aritmetik Provet omfattar sidorna 6 41 och 206-223 (kap 1 och 7) i Matte Direkt år 8. Repetition: Repetitionsuppgifter 1 och 7, läxa 1-6 och 27-28 (s. 226 233 och s. 262-264) samt andra övningsuppgifter

Läs mer

Gustafsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dagverksamhet Servicecentral

Gustafsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dagverksamhet Servicecentral Gustfsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dgverksmhet Servicecentrl 1 På Gustfsgård uppskttr mn följnde sker: invånres välmående ett gott liv ktivt smrbete med de nhörig kompetens i gerontologisk vård personlens

Läs mer

Tal Räknelagar Prioriteringsregler

Tal Räknelagar Prioriteringsregler Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC BYGG DIN EGEN PC MEDIA PRO Introduktion Dett är Kjell & Compnys snguide till hur Dtorpketet MEDIA PRO monters. Att ygg en dtor är idg myket enkelt oh kräver ingen tidigre erfrenhet. Det ehövs ing djupgående

Läs mer

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng Tentmen i Eleffektytem C40 4 poäng Ondgen 5 december 004 kl 4.00-9.00 (Frågetund: 5.00, 6.00 och 7.30) Hjälpmedel: En hndkriven A4-id, Bet eller Joefon, fickräknre. Endt en uppgift per bld! Teern lämn

Läs mer

Frami transportbult 2,5kN

Frami transportbult 2,5kN 07/2012 Orginlbruksnvisning 999281910 sv Sprs för frmtid behov Frmi trnsportbult 2,5kN rt.nr 588494000 fr.o.m. tillverkningsår 2009 Orginlbruksnvisning Frmi trnsportbult 2,5kN Produktbeskrivning d Underhåll

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

L ÄR ARHANDLEDNING. Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg

L ÄR ARHANDLEDNING. Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg L ÄR ARHANDLEDNING Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg Negativa tal Utför beräkningarna. Addera svaren i varje grupp till en kontrollsumma. Alla kontrollsummor ska bli lika. 2 5 13 + ( 2) 11

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 2006 3. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 2006 3. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7 JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 1(41) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 006 3 Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7 NpMaB HT 006 LÖSNINGAR

Läs mer

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se

KONVENT. Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik. Pluggtips Formelsamlingen.se Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m Länktips: tikcinnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Mtteboken.se Ntionell prov från tidigre år Pluggkuten.se

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 4a

Facit - Tänk och Räkna 4a Vår tl Fit Tänk oh Räkn 9 9 69 996, 997, 998 998, 999, 000 6 6699, 6700, 670, 670, 670, 670 67 m, 67 m, 67 m 800 m, 900 m, 000 m 900 m, 90 m, 90 m NAF 06 7 9 d 6 8 e 7 76 f 8 8 d 6 e 0 f 8 9 7 8 88 d 80

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 3. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 3. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7 JENSENvuutbildning NpMaB vt005 1(39) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 005 3 Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7 MaB VT 005 LÖSNINGAR

Läs mer

LÄXA 3. 7 a) 3 120 b) 231 och 3 120 c) 235 och 3 120

LÄXA 3. 7 a) 3 120 b) 231 och 3 120 c) 235 och 3 120 acit till läorna LÄXA LÄXA a),75 0 b), 0 a) 7, b) 0, a) 0 b) 7 c) 00 00 km/s a), b) a) 900 b) 5, cm a) 50 cm b) 0 cm c) 0,5 cm a),5 b) 0,0 5,05,7,9,5, a) 00 b) 0 c) 79 7 a) b) 55 9,5 TIAN centi = hundradel,

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,

Läs mer