freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

Transkript

1 freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division Kvdrer och kvdrtrot Eponentilfunktion och logritmfunktion Histori 5 Länkr Eponentilekvtionen 6 Digrm och logritmisk sklor 9 Digrm Logritmisk sklor Räkneregler för eponenter och logritmer Logritmer och multipliktion, division Logritmtbell Förord Denn PDF är vsedd tt vr en utvidgning och ett förtdlignde till lärobokens vsnitt om logritmer. Logritmer är nödvändig för tt lös den viktig eponentilekvtionen. För Kursen Mb ingår sidn till. Mc bör läs hel stencilen. Denn tet kn fritt kopiers och sprids i stencilform för undervisningsbruk. /GRob G Robertsson

2 freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Funktioner och inverser Dess sidor är skrivn med fokus på eponentilfunktionen och dess invers logritmfunktionen. Logritmfunktionen är nödvändig för tt lös den viktig eponentilekvtionen. För tt få ett br mtemtiskt perspektiv så inleds vsnittet med en presenttion v två ndr funktioner och ders inverser, multipliktion-division och kvdrering-kvdrtrot. Multipliktion och division,5 multipliktion =, 5 definitionsmängd värdemängd, 5 division = värdemängd definitionsmängd,5 När funktionen är multipliktion blir inversfunktion division. Omvänt om funktionen är division blir inversfunktionen multipliktion. Eempel För tt beräkn pris med moms från ett givet pris utn moms multiplicers det momsfri priset med,5. För tt beräkn priset utn moms från ett givet pris med moms dividers priset med,5. Både multipliktion och division går tt beräkn utn räknehjälpmedel. G Robertsson

3 freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Kvdrer och kvdrtrot kvdrering = definitionsmängd värdemängd kvdrtrrot = värdemängd definitionsmängd När funktionen är kvdreing blir inversfunktion kvdrtrot. Omvänt om funktionen är kvdrtrot blir inversfunktionen kvdrering. Eempel Ytn v en kvdrt beräkns genom tt kvdrer sidn. Omvänt nvänds kvdrtroten för tt beräkn sidn på en kvdrt när tn är given. Att kvdrer är en opertion som enkelt kn utförs utn räknehjälpmedel. Kvdrtroten är en opertion som oft kräver räknehjälpmedel. Kvdrtroten ur tlen, 4, 9,... och tterligr någr tl behöver ing räknehjälpmedel. Kvdrtroten ur tlen, 5, 0,... och nästn ll ndr tl kräver räknehjälpmedel eller historiskt en tbell. G Robertsson

4 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 4(7) Eponentilfunktion och logritmfunktion 0 eponent = 0 definitionsmängd värdemängd lg logritm värdemängd 0,0 0, definitionsmängd = lg När funktionen är eponentilfunktionen blir inversfunktion logritmfunktionen. Omvänt om funktionen är logritmfunktionen blir inversfunktionen eponentilfunktionen. Bs och eponent I uttrcket 0 är 0 bs och eponent. I likheten 0 = är det tl som 0 sk upphöjs till för tt få. Tlet klls logritmen för. Mer precis är logritmen med bsen 0 för. Tlet kn vr vilket som helst positivt eller negtivt tl. Tlet blir lltid positivt. Vi skriver = lg, vnligt i böcker, eller = log vnligt på räknren. Eempel Eponentilfunktionen nvänds för tt beskriv tillvät i olik smmnhng. En befolkning på som ökr % vrje år hr förändringsfktorn,0. Efter ett år är befolkningen ,0 = 5 000, efter två år ,0 = 5 00 och efter n år är befolkningen ,0 n. Om befolkningen minskr med % blir förändringsfktorn 0,98. Eponentilfunktionen kn beskriv både ökning och minskning. Förändringsfktorn är lltid positiv. Eponentilfunktionen kräver nästn lltid räknehjälpmedel. G Robertsson

5 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 5(7) En rimlig fråg tt ställ är hur lång tid det tr för en befolkning tt fördubbls, minsk till hälften eller någon nnn nivå. För tt kunn svr på frågor v denn tp behövs logritmfunktionen som är inversen till eponentilfunktionen. Logritmfunktionen kräver också nästn lltid räknehjälpmedel. Histori Historiskt infördes logritmer v John Npier, skotsk mtemtiker (550 67). Upptäckten v logritmer räkns som en v vår kulturs störst vetenskplig bedrifter. Npier ville förenkl rbetskrävnde multipliktion, division och lckdes med hjälp v tbeller omvndl räknerbetet till ddition och subtrktion. Senre införde Henr Briggs, engelsk mtemtiker(556 60), logritmer med bsen 0. Tio-logritmer vr frm till modern dtorer vnlig för numerisk beräkningr. Logritmer med bsen 0 brukr beteckns med lg eller log. Förutom logritmer med bsen 0, som ingår i gmnsiets kurs M, förekommer logritmer med bsen e (e ) och. Logritmer hr hft en stor historisk betdelse då rbetskrävnde multipliktioner eller divisioner med hjälp v en tbell över logritmer kunde omvndls till enkl dditioner och subtrktioner. Billig elektronisk miniräknre hr gjort logritmer överflödig vid beräkning v multipliktion och division. Idg ingår logritmer i mtemtikundervisning som en nödvändig ingrediens för tt lös eponentilekvtioner. Länkr Universitetslektor Lrs Nstedt hr skrivit en trevlig rtikel om logritmerns stor historisk betdelse. Artikel i SvD Kindes Sempler hr skrivit om Npier, Briggs och logritmer i tidskriften N Teknik. På siten NumberPhile finns två inslg om logritmer, multipliktion med logritmer och beräkning v logritmtbeller. G Robertsson

6 Algebr Regler ( ) ( ) ( )( ) freeleks Funktioner, inverser och logritmer 6(7) ( ) b ( ) b ( )( ( )( ) ) Andrgrdsekvtioner p q 0 Eponentilekvtionen Eempel p p q Lös eponentilekvtionen c 0 b b 4c 7 =. Aritmetik Ekvtionen hr lösning med någonstns melln = och =. Prefi T G M k h d c m n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Potenser 7 9 Det sökt är oprktiskt plcert som eponent. För tt kunn lös denn ekvtion måste vi nvänd inversfunktionen till eponentilekvtionen. Tg logritmen för vänster och högerled. Vi får log 7 = log. b ( b) b ( ) n n Här sitter fortfrnde oprktiskt plcert. n Använd FORMELSAMLINGEN, Geometrisk n ( k ) där finns en nvändbr k räkneregel k... kför logritmer. där k summ k 0 Logritmer 0 lg e ln lg lg lg lg lg lg lg p p lg Absolutbelopp log 7 = log om 0 om 0 Det sökt hoppr ut från logritmfunktionen och lndr på rden frmför logritmfunktionen. log 7 = log Nu är problemet enkelt. Del bägge sidor med log. Ekt svr är = log 7 log. För numeriskt svr måste logritmern beräkns med miniräknre. Numeriskt svr är = 0, ,477..., Skolverket Svr eempel. Ekt svr = log 7 log ligger melln förväntde och. och numeriskt är,77 vilket G Robertsson

7 Regler ( ) ( ) ( )( ) ( ) b ( ) b ( )( ( )( ) ) freeleks Funktioner, inverser och logritmer 7(7) Andrgrdsekvtioner p q 0 Eempel Bkterier väer snbbt. Vrje q timme ökr ntlet bkterier med 0%. Hur lång tid tr det för 00 bkterier tt vä till bkterier? Aritmetik Lösning Förändringsfktorn är,. Efter timmr hr 00 bkterier ökt till När är ntlet bkterier ? Lös eponentilekvtionen = 00,. Förenkl ekvtionen till 000 =,. Logritmer ekvtionen b ( b log 000 = log,. p Använd FORMELSAMLINGEN, där finns enn nvändbr räkneregel för Geometrisk n ( k ) logritmer. k k... k där k p c 0 Prefi T G M k h d c m n p Potenser summ b b 4c ter gig 00, meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko ) b ( ) n n k 0 Logritmer 0 lg e ln lg lg lg lg lg lg lg p p lg Absolutbelopp om 0 om 0 Eponenten hoppr ner på rden frmför logritmfunktionen. log 000 = log, log 000 = log, som hr ekt lösningen log 000 = log, Numeriskt får vi = 0,9 = 6, Skolverket Svr eempel. Det tr 6 timmr. G Robertsson

8 ( ) ( )( ) ( ) b ( )( ( )( ) ) Andrgrdsekvtioner p q 0 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 8(7) Eempel En dtor minskr i värde med 0% vrje år. Hur lång tid tr detaritmetik för en dtor som kostr kronor tt minsk till hlv värdet? Lösning Förändringsfktorn är 0,8. Efter år är värdet ,8 När är värdet kronor? Lös eponentilekvtionen 4000 = ,8. Förenkl ekvtionen till 0,5 = 0,8. Logritmer ekvtionen b log 0,5 = log 0,8 (. p p Använd FORMELSAMLINGEN, där finns enn nvändbr räkneregel för Geometrisk n ( k ) logritmer. k k... k där k q c 0 b b 4c Prefi T G M k h d c m n p Potenser summ ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko b) b ( ) n n k 0 Logritmer 0 lg e ln lg lg lg lg lg lg lg p p lg Absolutbelopp om 0 om 0 Eponenten hoppr ner på rden frmför logritmfunktionen och vi får log 0,5 = log 0,8 log 0,5 = log 0, som hr lösningen =, Skolverket Svr eempel. Det tr drgt år. G Robertsson

9 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 9(7) Digrm och logritmisk sklor Digrm Om mn i digrm vill presenter dt där storleken vrierr från mcket litet till mcket stort är logritmisk skl lämpligre än vnlig linjär skl. Eemplet nedn illustrerr. dvärgnäbbmus,6 5,9 g åkersork g brun rått g röd räv 6,5 8 kg rådjur 0 8 kg älg kg 500 kg 500 kg 400 kg 00 kg 00 kg 00 kg 50 kg 5 kg 500 g 50 g 5 g älg rådjur röd räv brun rått åkersork dvärgnäbbmus älg rådjur röd räv brun rått åkersork dvärgnäbbmus Med en linjär skl märks nästn ingen skillnd melln den lill dvärgnäbbmusen och den mer än 000 gånger tngre rödräven. För eempel v denn tp är logritmisk skl lämpligre. G Robertsson

10 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 0(7) Logritmisk sklor Det finns mång fenomen där logritmisk sklor är lämplig. Ljud och decibel Bell [B] och vnligre decibel [db] är ett logritmiskt mått. Det nvänds för tt nge ett förhållnde till ett referensvärde och definiers enligt effekt B = log ( referensvärde ). Prefiet d (deci) betder tiondel effekt db = 0 log ( referensvärde ). Decibel nvänds oft för tt beskriv ljudnivå och nivå på ndr signler. En ökning med 0 db ( Bell) innebär en ökning med en fktor 0 v effekten. En ökning med 0 db ( Bell) innebär en ökning med en fktor 0 0 = 00 v effekten. En ökning med 0 db ( Bell) innebär en ökning med en fktor = 000 v effekten. Jordbävningr och Richterskln Richterskln är en skl som nvänds för tt nge strkn hos jordbävningr. Skln är en logritmisk skl där vrje steg motsvrr en ökning v mgnituden (skkningen) med 0 gånger. Vätejonkoncentrtion och ph ph är ett logritmiskt mått på surhet, det vill säg på koncentrtionen (ktiviteten) v vätejoner (H+) i en lösning. Lösningr med låg ph-värden är sur, och de med hög klls bsisk. Lösningr som hr ph 7 klls neutrl. Vtten hr vätejonkoncentrtion 0 7 mol/dm. ph-värdet är logritmen för vätejonkoncentrtionen med omvänt tecken. Astronomi och mgnitudskln Mgnitudskln som nvänds i stronomi är en logritmisk skl och ett kvntittivt mått på ljusflödet som kommer från en stjärn. Skln skpdes för 500 år sedn v den grekisk stronomen Hipprkos och nvänds fortfrnde. Himlens ljusstrkste stjärn hr mgnituden och G Robertsson

11 freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) den svgste som går tt se med blott ögt hr mgnituden 6. En stjärn v 6:e mgnituden är 00 gånger svgre än en v : mgnituden. Skln är logritmisk och överensstämmer med hur ögt uppfttr skillnder i ljusstrk. Bsen i stronomisk mgnitudskln är 5 00 (,5) då 5 steg svrr mot fktorn 00. G Robertsson

12 Aritmetik Algebr Prefi T G M k h d c m n p Regler ( ter ) gig meg b kilo hekto ( deci ) centi milli b mikro b nno piko ( ) ( ) b 0 b freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Potenser ( )( ) ( ) Räkneregler för eponenter och nlogritmer 0 Andrgrdsekvtioner b ( b) p q 0 b I FORMELSAMLINGEN finns räkneregler för både potenser och logritmer. p p b b 4c n Räknereglern Geometrisk liknr vrndr. n ( k q ) summ ( )( ) k k... k k n ( )( där k b c 0 ) Aritmetik Logritmer 0 lg e ln Prefi T G M k h d c m lg lg lg lg lg lg lg p n p p lg ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko om 0 Absolutbelopp om 0 Potenser ( ) b ( b) b n n n Skolverket Geometrisk n ( k ) k k... k där k summ k Logritmer och multipliktion, division Logritmer Absolutbelopp 0 lg lg lg lg om 0 om 0 e ln Här följer 5 eempel på hur logritmer kn nvänds vid multipliktion v tl Skolverket lg lg lg lg p p lg Eempel. Beräkn 0 00 med hjälp v logritmer. För eemplet behövs följnde tbell med 0-logritmer. tl decimlform 0,000 0,00 0,0 0, tl potensform logritm Digrmmet smmnfttr hur beräkningen utförs = = 0 log 0 + log 00 = log(0 00) + = G Robertsson

13 freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Steg Utför bestäm logritmen för 0 och 00 från tbellen log 0 = och log 00 = dder logritmern logritmen för produkten är + = kontroller vilket tl som svrr mot logritmen logritmen svrr mot 000 Svr eempel 0 00 = 000 Eempel. Beräkn med hjälp v logritmer. För eemplet behövs en tbell med 0-logritmer. tl potens 0 0, ,00 0 0, ,60 0 0, , , ,90 0 0,954 logritm 0,0000 0,00 0,477 0,60 0,6990 0,778 0,845 0,90 0,954 Digrmmet smmnfttr hur beräkningen utförs. = 6 0 0,00 0 0,477 = 0 0,778 log + log = log( ) 0,00 + 0,477 = 0,778 Steg Utför bestäm logritmen för och från tbellen log = 0,00 och log = 0,477 dder logritmern logritmen för produkten är 0,00 + 0,477 = 0,778 kontroller vilket tl som svrr mot logritmen logritmen 0,778 svrr mot nästn ekt mot 6. Svr eempel = 6 G Robertsson

14 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 4(7) Eempel. Beräkn 4 5 med hjälp v logritmer. Steg Utför bestäm logritmen för 4 och 5 från tbellen log 4 = 0,60 och log 5 = 0,6990 dder logritmern logritmen för produkten är 0,60 + 0,6990 =,0,0 = + 0,0 kontroller vilket tl som svrr mot logritmern logritmen svrr ekt mot 0 och 0,0 svrr nästn ekt mot. resulttet blir 0 = 0. Svr eempel 4 5 = 0 Eempel 4. Beräkn 6 med hjälp v logritmer. För eemplet behövs en tbell med 0-logritmer. tl potens 0 0, ,00 0 0, ,60 0 0, , , ,90 0 0,954 logritm 0,0000 0,00 0,477 0,60 0,6990 0,778 0,845 0,90 0,954 Digrmmet smmnfttr hur beräkningen utförs. 6 = 0 0, ,00 = 0 0,477 log 6 log = log(6 ) 0,778 0,00 = 0,477 Steg Utför bestäm logritmen för 6 och från tbellen log 6 = 0,778 och log = 0,00 beräkn skillnden v logritmern logritmen för kvoten är 0,778 0,00 = 0,477 kontroller vilket tl som svrr mot logritmen logritmen 0,477 svrr nästn ekt mot. Svr eempel 4. 6 = G Robertsson

15 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 5(7) Eempel 5. Beräkn,4,4 87 4,5 9,4 med hjälp v logritmer. Denn begreppsmässigt enkl beräkning är rbetskrävnde tt utför för hnd. Med logritmer är det enkelt tt beräkn ett pproimtivt värde. Digrmmet smmnfttr hur beräkningen utförs.,4,4 87 4,5 9,4 = 4,6 0,4969 +,69 +,78 -,578 0,970 =,698 Steg Utför bestäm logritmen för tlen med hjälp v tbellen på sidorn 6 7 dder och subtrher logritmern logritmen för resulttet blir,698 kontroller vilket tl som svrr mot logritmen logritmen,698 uppftts som + 0,698 0,698 svrr nästn ekt mot 4,6 och svrr mot en fktor 0. Svr eempel 5.,4,4 87 4,5 9,4 4,6 Kommentr Tbellen på sidorn 6 7 är 4-ställig. Dett betder tt logritmern är beräknde med 4 siffror. För bättre noggrnnhet fnns tbeller med fler siffror Vid mitten v 70-tlet hde billig elektronisk minräknre gjort logritmtbeller överflödig. Multipliktion och division med hjälp v logritmtbell är idg överflödig men logritmer hr fortfrnde en viktig roll i mtemtik och vetenskp. Logritmtbell På sidorn 6 och 7 viss en logritmtbell v den tp som tidigre vr vnlig i gmnsieundervisning. G Robertsson

16 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 6(7) G Robertsson

17 freeleks Funktioner, inverser och logritmer 7(7) G Robertsson