En studie av fel på tentamen i 5B1120 Introduktionskurs i matematik, 1 poäng 24/3 2005

Transkript

1 En studie v fel på tentmen i 5B110 Introduktionskurs i mtemtik, 1 poäng 4/ 005 Mikel Cronhjort, KTH Mtemtik mikelc@mth.kth.se Inledning Denn studie utgör en del v projektet Gymnsieskolns mål och mbitioner och högskoln förkunskpskrv och förväntningr. Syftet med projektet är tt krtlägg studenterns kunskpsnivå när de börjr sin högskolestudier, och jämför denn nivå med vd KTH i de först mtemtikkursern förutsätter tt studentern kn. I denn studie vill vi undersök kunskpsnivån genom tt studer vilk fel en grupp studenter på Öppen Ingång hr begått på tentmen i introduktionskursen i mtemtik. I projektet ingår även ndr studier v fel i studenters lösningr, t.ex. det rbete som studentern Emm Enström och Sr Isksson hr gjort om fel på tentmen i kursen Mtemtik 1. Ett nturligt sätt för en lärre tt utvärder hur studentern hr mottgit undervisningen i en kurs är tt studer vilk fel de gör på tentmen. Oft gör mn dett helt informellt i smbnd med tt mn rättr tentmen. Om mn försöker gör dett mer formellt, kn mn studer lösningsfrekvenser för de olik uppgiftern. En sådn studie kn vis hur olik kursvsnitt hr fungert. Fördelr med en sådn studie är tt resulttet blir objektivt och kvntittivt. En nckdel är tt lösningsfrekvensern inte kn vis vrför studentern hr hft svårigheter med uppgiftern. Mn vet efter en sådn studie vd som skll funger bättre, men inte hur mn skll uppnå tt det fungerr bättre. För tt få närmre informtion om vrför studentern inte hr lyckts lös uppgiftern, kn mn försök vgör vd ders fel beror på. Dett är betydligt svårre, eftersom studenterns fel i regel kn tolks på fler olik sätt. Den som gör studien måste oft giss hur studentern hr resonert. Resulttet blir subjektivt, eftersom det är en tolkning. Ett lterntiv för tt få ett mer detljert och nynsert resultt kn vr tt intervju studentern, men dett kräver en betydligt större rbetsinsts, och resulttet är fortfrnde en tolkning. Denn studie omfttr dels en kvntittiv nlys bserd på lösningsfrekvenser, dels en kvlittiv nlys med fokus på vrför studentern inte hr klrt v tt lös uppgiftern. Dess resultt bygger inte på någr intervjuer, utn br på studenterns inlämnde skriftlig lösningr. I den kvlittiv nlysen är målet tt så nog som möjligt beskriv de fel som studentern hr gjort, smt reflekter över vrifrån de observerde bristern härstmmr. Mteril Denn studie omfttr de fel som studentern på Öppen Ingång hr gjort på tentmen i kursen 5B110 Introduktionskurs i mtemtik, 1 poäng. Tentmen gvs i

2 två versioner, och denn studie omfttr endst version A. Det ger ett mteril som omfttr 5 studenters lösningr till de 9 uppgifter som fnns på tentmen. Uppgiftern på tentmen vr: 1. Förenkl följnde uttryck så långt som möjligt (x + ) - x.. Kvdrtkompletter uttrycket x + 6x Lös ekvtionen x + 4x 7 = 0. 5 / 4. Förenkl uttrycket. 5. Lös ekvtionen 5 = x. e t 6. Lös ut t ur formeln T =. π 7. Vd är sin v då cos v = -1/, 0 < v < π? 8. Lös ekvtionen cos x = cos x. 9. Rit kurvn (x + ) + y = 9. Skrivtiden vr 60 minuter, och ing hjälpmedel vr tillåtn. Mn kunde få 1p per uppgift och för godkänt krävdes 6p. Kvntittiv nlys Lösningsfrekvensern för de respektive uppgiftern vr: Uppgift nummer Antl felktig lösn Lösningsfrekv (%) Mn kn noter tt nästn ll klrde tt lös den först uppgiften. Uppgiftern 6 löstes v cirk procent v studentern. Uppgiftern 7 och 8 gick sämst, och löstes v mindre än hälften v studentern. Dess uppgifter hndlr om trigonometri. Uppgift 9, som hndlr om tt rit en cirkel utifrån en given ekvtion, innebr också problem för mång studenter. Den löstes v cirk två tredjedelr v studentern. Den genomsnittlig lösningsfrekvensen är 69%. Kvlittiv nlys För tt identifier viktig fel som begås v mång studenter kn det vr en hjälp tt ktegoriser felen. Fel är i llmänhet svår tt ktegoriser. För det först måste mn lltid gör en subjektiv tolkning v studentens lösning. För det ndr går fel tt beskriv på mång olik sätt, och ur olik synvinklr. En metod för ktegorisering är tt utgå från de uttolkde kompetenser som Plm m.fl. definierr [1]. Det rbete som CL-studentern Emm Enström och Sr Isksson hr gjort inom rmen för dett projekt utgår från dess kompetenser. En nnn metod är tt i likhet med Ljung m.fl. försök ktegoriser felen oberoende v

3 vilken kompetens de visr brister inom []. Dett tillväggångssätt hr nvänts i denn studie. Ktegoriseringen grunds enbrt på likheter melln beskrivningrn v felen. Efter ktegoriseringen nlysers vilk brister felen vslöjr inom de respektive kompetensern, eller i mtemtisk ämnesområden, eller om mn kn dr någr ndr slutstser v felen. Det är viktigt tt komm ihåg tt ktegoriseringen inte är ett mål i sig, utn t hjälpmedel för tt kunn hnter en stor mängd dt. Eftersom ktegoriseringen är subjektiv, så kn studier gjord v olik personer skilj sig mycket på den här punkten. Det viktig är emellertid nlysen v felen och de slutstser mn drr. Dess kn bli likrtde trots olik metoder för ktegorisering. Iblnd kn mn inte uttl sig om vrför en student inte hr klrt v tt lös en uppgift, exempelvis då studenten inte hr skrivit någonting. Ur den kvlittiv nlysens synvinkel är sådn fel ointressnt, och exkluders därför här. Vi fokuserr istället på sådn fel där det som studenten hr skrivit på något sätt belyser vrför studenten hr misslyckts med tt lös uppgiften. I något fll innehåller en lösning fler olik fel som kn beskrivs. Då inkluders ll felen i nlysen. Mterilet omfttr 5 tentmin à 9 uppgifter, vilket ger ett totlt ntl uppgifter som är 468. Av dess är 14 uppgifter felktigt löst. Blnd dess hr 94 fel kunnt beskrivs. Beskrivningen v fel gör ing nspråk på tt bli uttömmnde, och ll fel kn inte omnämns här. Fokus ligger på sådn fel som ntingen hr gjorts v ett ntl studenter, eller på enstk fel som är viktig för tolkningen v hur en student hr resonert. Blnd de beskrivn felen hr följnde ktegorier definierts: Trigonometri Potenser Logritmer Felktig, omotiverd formel Bristnde räknefärdighet Hntering v ekvtioner eller uttryck Observer tt dess ktegorier är v olik krktär. De tre först utgör ämnesområden, medn de tre sist är relterde till studentens resonemng och rbetssätt. Ett fel kn pss in under fler olik ktegorier. Exempelvis kn ett visst fel omftt både trigonometri och en felktig, omotiverd formel. I sådn fll hr felet kommenterts under ll de ktegorier som felet pssr in under. I dett smmnhng är huvudsyftet tt beskriv felen kvlittivt, snrre än tt kvntiser hur vnligt ett särskilt fel är, även om en del noteringr v kvntittiv krktär förekommer. Trigonometri Uppgiftern om trigonometri vr de som hde lägst lösningsfrekvens. Av de beskrivn felen hr sorterts under ktegorin trigonometri, dvs. cirk en tredjedel. Blnd dess kn mn urskilj följnde typer v fel: En vnlig feltyp är tt studenten missr tt ekvtioner v typen cos x = k hr två lösningr

4 per vrv. Denn typ v fel förekommer 10 gånger. Felet visr sig i lösningrn till uppgift 7, men även i uppgift 8, där mång studenter hävdr tt ekvtionen cos x = cos x medför tt x = x, utn tt tänk på periodiciteten eller tt det finns lösningr för -x = x + πn. En nnn frmträdnde feltyp v llvrlig rt som gäller trigonometri är tt studenten inte skiljer på vinklr och cosinus v vinklr, t.ex. på cos x och x. Studenten kn skriv t.ex. cos x = 60º=1/. Fel där cosinus v en vinkel sätts lik med en vinkel förekommer i 7 fll. Fel v denn typ skulle också kunn beskrivs som bristnde hntering v ekvtioner och uttryck. En del studenter påstår tt sinus eller cosinus i något fll hr ett värde som är större än 1. Dett fel förekommer 4 gånger. Potenser 16 v de beskrivn felen hndlr om potenser och potenslgr. Ett vnligt fel, som förekommer 9 gånger, är tt studentern inte vet hur mn skll skriv som en potens. Följnde vrinter förekommer i studenterns lösningr: = 1/ 5/ = 5 = / = (-1) = = = ( ) 1/ Det är uppenbrt tt studentern inte är vn tt omvndl ett rotuttryck till ett potensuttryck. Två studenter missr tt kvdrten v ett negtivt tl blir positiv. Logritmer 1 v de beskrivn felen hndlr om logritmer. Felen vittnr tydligt om tt mång studenter inte behärskr logritmlgrn. Dess fel skulle också i stor utsträckning kunn beskrivs som nvändnde v felktig, omotiverde formler. Jg ger här någr exempel på påståenden som studentern hr skrivit: ln 5 / ln = ln (5-) ln 5 / ln = ln 5 ln ln (Tπ 1/ ) = 1 ln (Tπ) ln ( / b) = ln / ln b ln e = e lnt ln π = Tπ

5 Felktig formel Ett mycket stort ntl fel beror på tt studentern nvänder felktig formler. Dess formler kn gäll trigonometrisk reltioner, lösningrn till en ndrgrdsekvtion, potens- eller logritmlgr, Pythgors sts m.m. Studentern prövr inte om en formel som de tror sig komm ihåg kn vr giltig. Eftersom gränsdrgningen för denn felktegori är svår tt gör, är det meningslöst tt försök nge hur mång gånger dett fel hr förekommit. Anmärkning: Denn felktegori hänger ihop med en kulturkrock melln gymnsiet och högskoln. På gymnsiet är studentern vn tt nvänd formelsmling. Därför är de inte vn tt behöv härled eller komm ihåg formler, eller kunn vgör om en formel kn vr riktig. Bristnde räknefärdighet Ett stort ntl fel beror på ren räknefel. Hit räknr vi t.ex. de fyr räknesätten, felktig kvdreringr, tppde minustecken, m.m. Det mest förvånnde är dock ett ntl fll där studentern inte inser tt eller hur de kn förenkl elementär uttryck: Någr exempel där en kvot i kvdrt förenkls genom tt utför divisionen innn kvdreringen: Exempel 1: Studenten hr kommit frm till uttrycket 6 7, och beräknr dett till 6 / 14 /. Om studenten istället hde utfört divisionen först, så skulle det knske h blivit rätt: 6 7 = 7 = 9 7 = 8 / 8 Exempel : Studenten vill förenkl uttrycket och kommer frm till där det tr stopp. Även här verkr det rimligt tt studenten hde kommit längre genom tt börj med 8 / 4 divisionen: = =. Exempel : Studenten hr misslyckts med smm uppgift genom tt skriv 8 / 8 / =. Det blir enklre om mn dividerr först. Exempel 4: Studenten beräknr 4 till 8 / 4. Om studenten hde dividert före

6 4 kvdreringen hde det ntgligen gått bättre: = = 4. Någr exempel med potenser, exponentilfunktioner och kvdrtrötter: Exempel 5: Studenten skriver tt e -t = t e -. Två studenter gör dett fel. Exempel 6: Studenten skriver tt x = x. Är dett br slrv, eller är det okunskp? Hur snbbt kn mn glömm vd mn håller på med? Exempel 7: Två studenter påstår tt 11 =. Hntering v ekvtioner eller uttryck Ett frmträdnde fel är tt studenter blndr ihop förenkling v uttryck och lösning v en ekvtion. Studentern verkr inte h klrt för sig vd de håller på med. Exempel: En student skll lös en ekvtion. Studenten förenklr vänsterledet, men nvänder ldrig högerledet. Som svr presenters det förenklde vänsterledet. En nnn student skll genomför en kvdrtkomplettering. Studenten bildr en ekvtion v uttrycket genom tt sätt det lik med noll, och löser sedn ekvtionen. En student skll förenkl ett uttryck, och hr kommit frm till 6x+9. För tt förenkl vidre delr studenten med, och skriver lltså 6x+9 = x+. En nnn student förenklr smm uttryck genom tt sätt det lik med noll, och bestämmer sedn x till -/. Även ett v felen som finns beskrivet i vsnittet om trigonometri kn tolks som tt studenten inte är klr över skillnden melln ekvtionslösning och förenkling. Studenten skrev cos(x) = 60º = 1/. Diskussion och slutstser Mterilet omfttr 5 tentmin. Det betyder tt om fem studenter begår ett särskilt fel så motsvrr det omkring 10 % v studentern som ingår i studien. Eftersom mterilet som studien bserr sig på är gnsk litet och br kommer från ett studieprogrm på KTH, så kn mn inte dr någon säker slutsts om hur stor ndel v studentern på KTH som skulle gör dett fel. Andelen vrierr säkert från progrm till progrm. Det progrm som studien bserr sig på är Öppen ingång, vilket innebär tt studentern senre väljer vilket progrm de vill gå. Mn hittr lltså dess studenter på ll progrm senre, men mn kn ändå inte hävd tt de skulle representer ll progrm, eftersom det inte finns någon nledning tt tro tt t.ex. de studenter från Öppen ingång som senre väljer progrmmet Elektroteknik skulle representer den genomsnittlig studenten på Elektroteknik. Men syftet med denn studie är inte tt kunn fstslå hur mång som gör viss fel, utn tt identifier viktig fel som förekommer. Om fem v de 5 studentern som studien bserr sig på hr gjort ett fel så är det tillräckligt mång för tt mn kn säg

7 tt det är ett fel som mång gör. Dessutom måste mn tänk på tt vi inte hr kunnt beskriv ll fel. De fel som vi inte hr kunnt beskriv döljer snnolikt ytterligre exempel på liknnde brister. De svgste studentern knske inte lämnr in något lösningsförslg lls. Trigonometri är ett område som mång studenter hr rbett med på gymnsiet, men inte tillräckligt mycket för tt behärsk det väl. Mång studenter uttrycker i undervisningssitutioner tt trigonometrisk ekvtioner är svår. Dett vspegls tydligt v lösningsfrekvensern på uppgiftern om trigonometri. Det är uppenbrt tt mång hr problem på dett område, och den kvlittiv nlysen visr tt mång studenter sknr även de mest grunläggnde kunskpern om de trigonometrisk funktionern. En slutsts kn vr tt mn på KTH måste ägn mer tid åt de trigonometrisk funktionern i mtemtikundervisningen. Potenser och logritmer verkr också vr områden som studentern inte behärskr så väl som mn på KTH önskr. Mn kn tyck tt det som studentern fller på är ett gnsk isolert fel, när de misslycks tt omvndl en kvdrtrot till en potens. Men den stor mängd vrinter som finns föreslgn i studenterns lösningr visr en stor generell osäkerhet om hur mn skll hnter potenser, eller knske formler i störst llmänhet. Dett hänger smmn med den ktegori som klls nvändnde v felktig, omotiverde formler. Om studentern vore mer vn vid tt vgör om en formel som de tror sig minns kn vr riktig, skulle de knske kunn klr v både potenser och logritmer bättre. En slutsts kn vr tt mn på ett tidigt stdium i mtemtikundervisningen bör prt om formler. Studentern kn behöv reflekter över vd det innebär tt en formel är snn, giltig, eller flsk. Mn kn också t upp vd det innebär tt bevis eller flsifier en formel. Det vore nog också br tt i en inlednde kurs behndl både potenser och logritmer från börjn. De fel som här beskrivs som bristnde räknefärdighet eller hntering v ekvtioner och uttryck verkr vr llvrlig. De visr på grundläggnde brister i mång studenters begrepps- och kommuniktionskompetens, definierde enligt [1]. Dess brister hr i mång fll snnolikt sitt ursprung i missförstånd eller luckor redn under grundskoletiden. Mång studenter verkr osäkr över likhetstecknets funktion, och över ekvtionslösning i llmänhet. Det är mycket svårt tt uppsktt hur mång studenter det kn hndl om, men en gissning kn vr melln 10 och 0 procent v studentern. En slutsts kn vr tt studentern behöver nvänd mtemtik mer, och tt presenttionen v mtemtisk resonemng måste lyfts frm mer i undervisningen. Referenser 1. Plm, T., Bergqvist, E., Eriksson, I., Hellström, T. och Häggström, C-M.: En tolkning v målen med den svensk gymnsiemtemtiken och tolkningens konsekvenser för uppgiftskonstruktion. Umeå Universitet, Pm nr 199 (004).. Ljung, B-O., Oscrsson, E. och Rosén, B.: Översiktsdignos i mtemtik inför skolstrten på treårig gymnsielinjer. Rpport från PRIM-gruppen nr 7, LHS, Stockholm (1991).

8