Algebra. Kapitel 5 Algebra

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Algebra. Kapitel 5 Algebra"

Transkript

1 Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver dem med ord och med lgebrisk uttrck. Elevern görs sedn uppmärksmm på tt det är skillnd i betdelse v det okänd tlet i ett uttrck jämfört med en ekvtion. Kpitlet fortsätter med övningr som behndlr likheter. Dett är ett försteg till tt lös ekvtioner, vilket kpitlet vsluts med. Borggården sidn 124 Dignos sidn 17 Rustkmmren sidn 18 Tornet sidn 144 Smmnfttning sidn 149 Utmningen sidn 10 Arbetsbld :1 Uttrck 1 :2 Uttrck 2 : Fler uttrck :4 Mönster 1 : Mönster 2 :6 Ekvtioner :7 Min utvärdering Läboken Lä 1 efter sidn 129 Lä 14 efter sidn 1 Lä 1 efter sidn Algebr

2 Sid Mål Mtteord När du hr rbett med det här kpitlet sk du obeknt tl lgebrisk uttrck likhet ekvtion > vet tt ett obeknt tl kn skrivs med en bokstv, t.e. eller > förstå och skriv lgebrisk uttrck > vet hur geometrisk mönster kn beskrivs och uttrcks C D Den ndr kmelen väger 80 kg, dditionen skrivs 0 kg + 0 kg. Smtl om tt dditionen är ett numeriskt uttrck. E Vis hur det numerisk uttrcket med dditionen v kmeler i uppgift D kn koppls till det lgebrisk uttrcket + 0. Förklr tt uttrcket visr tt den ndr kmelen lltid är 0 kg tngre än det först kmelen. Fråg elevern om hur mcket den ndr kmelen väger med olik värden på, till eempel 6 kg, 04 kg, 490 kg. F Smtl om tt 2 också är ett lgebriskt uttrck. Det visr tt den tredje kmelen lltid är 2 kg lätt re än den först kmelen. Fråg elevern hur mck et den tredje kmelen väger med olik värden på, till eempel 6 kg, 04 kg, 490 kg. > kunn förklr vd en ekvtion är och lös en ekvtion A Smtl om olik mönster. Ge eempel på olik mönster, till eempel i kkelplttor, mosikbilder, pärlplttor eller tpeter. Låt elevern berätt om olik mönster som de hr sett. Mönstret i uppgiften kn beskrivs som tt det finns lik mång vit plt tor som blå plttor plus en vit pltt till. B Smtl om tt det går tt beskriv ett mönster med bild och med ord. Sedn kn mn också beskriv ett mönster med ett lgebriskt uttrck. Då ger mn en generell beskrivning: Till stcken blå plttor behövs + 1 stcken vit plttor. Smtl om tt ntlet blå plttor och vit plttor beror v vrndr. När det finns ett mönster så går det tt förutsäg hur mönstret kommer tt se ut med fler plttor. Till 10 blå plttor behövs 11 vit plttor. Algebr Mål När du hr rbett med det här kpitlet sk du > vet tt ett obeknt tl kn skrivs med en bokstv, t.e. + 4 eller 8 > förstå och kunn skriv lgebrisk uttrck > vet hur geometrisk mönster kn beskrivs och uttrcks > kunn förklr vd en ekvtion är och lös en ekvtion Mtteord obeknt tl lgebrisk uttrck likhet ekvtion A Beskriv hur mönstret v vit och blå plttor är uppbggt. B Hur mång vit plttor behövs till 10 blå plttor? C Om du kllr ntlet blå plttor för, hur skriver du hur mång vit plttor som behövs till mönstret? D Först kmelen väger 0 kg. Andr kmelen väger 0 kg mer. Hur mcket väger den ndr kmelen? Hur skrivs dditionen? E Om vi kllr den först kmelens vikt för, hur ser dditionen ut? F Den tredje kmelen väger 2 kg mindre än den först kmelen. Om vi kllr den först kmelens vikt för, hur ser subtrktionen ut som beskriver den tredje kmelens vikt? Al ge br 101

3 Sid Uppslget behndlr lgebrisk uttrck med ddition och subtrktion. Gemensm introduktion Ge eempel på olik ungdomrs ålder, till eempel Isk 12 år och Alice 7 år. Fråg hur gmml Alice är när Isk är till eempel 1 år, 20 år. Fråg hur gmml Isk är när Alice är till eempel 10 år, 1 år. Kll sedn Isks ålder för och skriv ett utrck för Alices ålder. Kll sedn Alices ålder för och skriv ett uttrck för Isks ålder. Låt elevern rbet i pr där de sk ge eempel på olik människors åldrr, kll en v personerns ålder för och låt dem sedn skriv ett uttrck för de ndr personerns åldrr. Uppgiftern på sidn 126 behndlr värdet v ett uttrck medn uppgiftern på sidn 127 hndlr om tt skriv uttrck. Först väljer elevern blnd fler förslg och sedn skriver de uttrcken själv. > > Arbetsbld :1 Sid Uppslget behndlr lgebrisk uttrck med multipliktion och division. Gemensm introduktion Uppmn elevern tt rit en kvdrt och två rektnglr ll med smm bredd. I den en rektngeln skll längden vr dubbelt så lång som bredden och i den ndr rektngeln sk längden vr tre gånger så lång som bredden. Uppmn elevern tt kll figurerns bredd för och låt dem skriv uttrck för de tre längdern. I kvdrten blir uttrcket för längden, i rektnglrn 2 respektive. All elever kn skriv smm uttrck trots tt de ritt olik stor figurer. Förhållnden melln sidorn är desmm. Låt sedn elevern kll längden hos de olik frhörningrn för och låt dem skriv uttrck för bredden. I kvdrten blir uttrcket för längden och i rektnglrn _ 2 respektive _. I uppgift 1 och 18 måste elevern förstå vd som mens med dubbelt och hälften. > > Arbetsbld :2 > > Lä Algebr

4 Uttrck med lgebr Skriv det uttrck som betder Sm är 4 år äldre än Amer. b) mer än ) mer än När Amers ålder ändrs så ändrs Sms ålder. Om vi kllr Amers ålder för så är Sms ålder är ett uttrck för Sms ålder. ) 6 mindre än Amer b) 8 mindre än Sm ) 2 mer än z Amers ålder (år) Sms ålder (år) =12 b) 4 mindre än z = 14 c) 4 mindre än = betder 4 mer än. står istället för ett tl. b) 1 år c) 0 år c) 0 år z 4 z b) 1 år + 12 b) Kll kttens ålder för och skriv ett uttrck för hundens ålder. Välj i rutn. Osmn är tre år äldre än Mohmmed. Hur gmml är Osmn när Mohmmed är ) 10 år + ) Kll hundens ålder för och skriv ett uttrck för kttens ålder. Välj i rutn. Se på eemplet i rutn. Hur gmml är Sm när Amer är ) 7 år Mohmmed + +7 Osmn Skriv ett uttrck som betder Lel är fem år ngre än Mohmmed. Hur gmml är Lel när Mohmmed är ) 10 år b) 1 år c) 0 år Mohmmed Abir är 20 år gmml. Hur gmml är ) Ndim Abir c) Abbs Hmid ) 4 mer än b) 8 mer än c) 9 mer än ) 2 mindre än b) 4 mindre än c) mindre än b Kll Kemls ålder för. Skriv ett uttrck för b) Hmid Ndim Lel ) Nbils ålder Keml Abbs b) Ftims ålder Ftim år c) Lels ålder Nbil år Lel år år Alg ebr A lg e br Idrottsklubbens flgg är tre gånger så lång som den är bred. I klubbloklen finns en mtt med tre olik färger. _ Vi kllr mttns längd för. Längden på vrje del blir. 6m Om värdet på är 6 m blir vrje del = 2 m. Vi kllr bredden för. Längden är. är ett uttrck för flggns längd. Om värdet på är 40 cm är bredden 40 cm och längden är 40 cm = 120 cm. Hur lång blir vrje del i mttn i rutn om ) = m Hur lång är flggn i rutn om ) = 60 cm b) = 0 cm c) = 1, m ) delt med 4 Klubben hr också en klubbhndduk. Hur lång är hndduken om ) = 0 cm b) = 0,8 m Vilket uttrck betder dubbelt så mcket som? 2+ _ Vilket uttrck betder 4 gånger så mcket som? 4 b) = 9 m 2 Mttn är fem gånger så lång som den är bred. ) Kll bredden för. Skriv ett uttrck för mttns längd. c) = 4, m Vilket uttrck betder b) 2 c) en tredjedel v _ 4 Skriv ett uttrck som betder ) b) delt med 10 c) z delt med Låt z vr tlet 1. Hur mcket är då ) 4 z z b) c) z + 0 Låt vr tlet 24. Hur mcket är då ) 2 b) 8 Du sk blnd en törstsläckre. Du hr dl citronjuice, = dl. Hur mcket behöver du v ) vtten b) socker c) 12 "Törstsläckre" citronjuice 2 vtten _ socker b) Hur lång är mttn om är 2 m? Alg ebr A lg e br Al ge br 10

5 Sid Uppslget hndlr om tt skriv lgebrisk uttrck utifrån geometrisk figurer och om mönster. Gemensm introduktion till sidn 10 Utgå från en kvdrt och vis elevern tt mn räknr med vribler på smm sätt som med tl = 4 på smm sätt är = = 4 på smm sätt är = 4 Utgå även från en tringel och vis tt = 6 på smm sätt är + + =. Använd sedn de figurer som elevern ritde till introduktionen till förr uppslget eller rit dem igen. Låt elevern räkn ut hur stor omkrets de frhörningrn skulle h om = 6 cm. Gör på smm sätt med = 12 cm. Gemensm introduktion till sidn 11 Rit upp följnde mönster på tvln: Skriv figur 1, 2 och under figurern. Diskuter med elevern hur den fjärde, femte och tionde figuren ser ut. Diskuter också hur mång n kvdrter respektive tringlr det behövs till vrje n figur. Låt elevern komm på egn mönster och diskuter med elevern hur de tänkt. I uppgift 29 d och e kn elevern miss tt räkn med den blå kvdrten. Det kn också vr lätt för elevern tt tro tt det ökr med fem kvdrter istället för fr, för vrje n figur. I uppgift 0 kn det vr br tt förklr tt den svrt siffrn är densmm som figurens nummer, den grön siffrn är det ntl äpplen som det ökr med i vrje figur och den röd ettn är det äpple som finns i ll figurer i mönstret. > > Arbetsbld: : och :4 Sid 12 1 Uppslget behndlr mönster beskrivn med lgebr. Gemensm introduktion Här behövs: Tändstickor Utgå från rutn på sid 12 och låt elevern bgg figur 4 och med tändstickor. Fll gemensmt i tbellen och diskuter hur mn kn komm frm till ett lgebriskt uttrck för figur. Gör på motsvrnde sätt med rutn på sid 1. Gå nog igenom hur det kn komm sig tt de lgebrisk uttrcken skiljer sig åt melln de två mönstren. I uppgift 2 sk elevern gör på smm sätt som i rutn på sid 12 men med ett nnt mönster. Anledningen till tt elevern sk bokför ntlet stickor i en tbell är tt det är lättre tt se hur ntlet stickor ökr med figurens nummer. I tbellen kn de se tt för vrje figur så ökr ntlet stickor med 4. Om figurens nummer är till eempel så är ntlet stickor 4 = 12. Låt elevern kontroller tt det stämmer för ll figurer som de bggt. Antlet stickor i figur nummer är 4. Antlet stickor är lltså proportionellt mot figurens nummer. I uppgift 4 sk elevern gör på smm sätt som i rutn på sidn 1 men med ett nnt mönster. Observer skillnden melln mönstren på sid 12 och 1. På sidn 12 ökr ntlet stickor proportionellt med figurens nummer. På sidn 1 är ökningen lik stor hel tiden men det finns även en stick från börjn. Denn etr stick är mrkerd med rött i genomgångsrutn men inte i uppgift 4. Antlet stickor ökr med för vrje figur så i figur 4 finns det 4 stickor plus en stick till. Låt elevern kontroller tt det stämmer för ll figurer som de bggt. Antlet stickor i figur nummer är + 1. > > Arbetsbld : > > Lä Algebr

6 Fler uttrck Mönster Rektngeln är dubbelt så lång som bred. Ett uttrck för omkretsen blir då =6 Om vi kllr bredden för så blir längden 2. Omkretsen är 6. Här är ett mönster med cirklr och kvdrter. Mönstret ökr med en cirkel och en kvdrt för vrje n figur. Antlet kvdrter är lltid en mer än ntlet cirklr. Om = 4 cm blir omkretsen 6 4 cm = 24 cm. Skriv ett uttrck för omkretsen. ) b) ) Rit figur 4. b) Rit figur. c) Hur mång cirklr är det om ntlet kvdrter är 10? ) b) b Titt på mönstret i rutn. b b b b b Hur lång är omkretsen om ) = cm b) = 12 cm ) Rit figur 4. b) Rit figur. c) Hur mång vit kvdrter är det i figur 6? d) Hur mång fler kvdrter behöver du till vrje n figur? Hur lång är omkretsen om ) = cm e) Hur mång kvdrter är det i figur 10? b) = 8 cm z Hur lång är hästhgens omkrets om z = 2 m? z z Räkn ut hur mång äpplen som finns i ) figur 4 b) figur 10 c) figur 100 z Alg ebr A lg e br Mönster med stickor Här är ett mönster med stickor. Mönstret ökr med tre stickor i vrje n figur. Här är ett nnt mönster med stickor. 1 1 = 2 2 =6 =9 En röd stick från börjn och två n stickor till fig 2. 4 I figur 2 är ntlet stickor 2 = 6. I figur är ntlet stickor. Mn brukr skriv. Figur Figur Antlet stickor Antl stickor = = 2+1=7 4 Mönstret ökr med två stickor i vrje n figur. I vrje figur finns också den röd stickn. = I figur är ntlet stickor I figur är ntlet stickor Mn brukr skriv =2 +1 Titt på mönstret i rutn ovnför. ) Rit figur 4 och rit figur. b) Rit v tbellen och gör den klr. ) Titt på mönstret i rutn ovnför. Rit figur 4 och figur. c) Hur mång stickor behövs det till figur 100? Det betder tt är 100. b) Rit v tbellen och gör den klr. c) Hur mång stickor finns det i figur 100? Det betder tt = 100. Figur Antlet stickor = =7 4 = 12 4 b) Rit v tbellen och gör den klr. c) Skriv det uttrck som visr ntlet stickor i figur. Välj i rutn. Alg ebr Antl stickor 1 4=4 2 4=8 ) Rit figur 4 och figur. d) Hur mång stickor finns det i figur 0? Det betder tt = 0. Figur 1 2 ) Rit figur 4 och figur. b) Rit v tbellen och gör den klr. c) Skriv det uttrck som visr ntlet stickor i figur. Välj i rutn. 4 d) Hur mång stickor finns det i figur 10? Det betder tt = 10. A lg e br Al ge br 10

7 Sid 14 1 Uppslget behndlr likheter, ekvtioner. Gemensm introduktion Skriv ett uttrck och en ekvtion på tvln. Till eempel uttrcket + och ekvtionen + =. Smtl med elevern om skillnden i betdelsen v. I uttrcket kn h vilk värden som helst men i ekvtionen hr ett bestämt värde som går tt räkn ut. Skriv gärn någr fler eempel på tvln där elevern får vgör om det är ett uttrck eller en ekvtion. Smtl om likhetstecknets betdelse. Skriv till eempel följnde likheter på tvln och diskuter vilket tl som måste vr för tt likheten sk stämm. = 4 + = = 8 _ = Låt elevern skriv egn likheter som innehåller ett okänt tl och be en kompis tt räkn ut det okänd tlet. Det är skillnd i betdelse v det okänd tlet i ett uttrck och i en ekvtion. Det kn vr förvirrnde för elevern tt de först får lär sig tt bokstven kn stå för vilket tl som helst och sedn sk de räkn ut vilket värde hr i en ekvtion. Därför är det viktigt tt skillnden i betdelse melln uttrck och ekvtion diskuters och lfts frm. Sidn 14 hndlr om likheter och här är det viktigt tt elevern verkligen förstår tt i en likhet är det lltid lik mcket på båd sidor om likhetstecknet. Sidn 1 visr ett sätt tt bokför uträkningrn när mn löser en ekvtion. Det är br om elevern lär sig tt lltid skriv likhetstecknen under vrndr. > > Arbetsbld: :6 Sid Arbet tillsmmns uppgiften: ) Det är en fördel om elevern ritr hur mönstret blir när mn sätter ihop fler och fler bord. Det blir plts för två personer till för vrje bord. Det finns också lltid plts för två personer, en på vrje kortsid. När mn sätter ihop bord får mn plts med personer. Alltså två till för vrje ntt bord plus de två pltsern på kortsidorn. b) Även här är det en fördel om elevern ritr hur mönstret blir när mn sätter ihop fler och fler bord. Det blir plts för fr personer till för vrje bord. På smm sätt som i uppgiften blir det personer när mn sätter ihop ntl bord. Snt eller flskt kn elevern gör enskilt, i pr eller under lärrens ledning i helklss. > > Lä 1 Fcit till Dignos 1 11 år (0 ) 2 ) + 6 b) 6 c) 6 (4 60) ) b) c) 2 (4 60) 4 ) 8 b) 6 c) 6 (7, 60) 8 (61 64) 6 ) 1 st b) 1 st (6 71) (Arbetsbld :) = 1 (79 81) 9 ) = 17 b) = 6 (82 8) 10 ) = 7 b) = 21 (86 89) Om dignosen gått br fortsätter eleven tt rbet i Tornet (sid. 144). Elever som behöver trän mer går vidre till Rustkmmren på näst sid. Prentesern i fcit visr vilk uppgifter i Rustkmmren som eleven kn öv respektive moment. 106 Algebr

8 Likheter ekvtioner Ekvtioner Ett nnt ord för likhet är ekvtion. + är ett uttrck. Här kn betd olik tl. + = 9 är en likhet. Här är ett obeknt tl som går tt räkn ut. I stället för likhet kn mn säg ekvtion. När mn löser en ekvtion, räknr mn ut vilket tl som gör tt likheten stämmer. Tlet som mn söker, brukr mn kll för. Lös ekvtionen + 8 = 14 = 4 eftersom 4 + = 9. I vilken v rutorn står det A +4 b) en likhet B + 4 = 12 Lös ekvtionen. Börj med tt skriv v ekvtionen. I vilken v rutorn ) kn betd olik tl b) är ett obeknt tl som går tt räkn ut Vilket tl sk stå istället för bokstven så tt likheten stämmer. ) + = b) 8 + = c) 24 = 10 + z ) 9 = 11 6 b) 20 = c) z 12 = 6 ) = 8 + p b) = 40 q c) 0 = r 12 ) = 4 b) = c) = 6 Tlet är 6 eftersom = ) ett uttrck Börj med tt skriv v ekvtionen. Tänk så här: Vilket tl plus 8 är lik med 14? X + 8 = 1 4 Lik mcket på båd sidor om likhetstecknet. ) + 7 = 11 b) + = 12 c) 1 = + 6 ) 9 = 7 b) = 16 c) 20 = 4 ) + = 14 b) 8 = c) 6 = 9 Lös ekvtionen = I vilken likhet är = 10? + = 20 2 = + 1 I vilk likheter är = 8? + 4 = 12 + = = 20 I vilken likhet är z =? 1 = + z 10 z = 12 + z = 16 6=8 Tänk så här: Vilket tl delt med är lik med 8? 40 Tlet är 40 eftersom = 8. När mn löser ekvtioner skriver mn likhetstecknen under vrndr. Lös ekvtionen. Börj med tt skriv v ekvtionen. 2 b) = 10 c) = 8 ) = 1 2 ) 8 = 40 b) 4 = 6 c) 4 = ) = 2 b) 4 = c) = 7 Alg ebr Algebr Arbet tillsmmns Dignos Räkn ut kttens ålder när hunden är år. + Välj i rutn och skriv det uttrck som betder ) 6 mer än 6 b) 6 mindre än +6 c) 6 gånger _ 6 6 Skriv ett uttrck som betder ) mindre än b) en tredjedel v c) dubbelt så mcket som Låt z vr tlet 18. Hur mcket är då z ) z + 20 b) c) 2 z Skriv ett uttrck för omkretsen. Snt eller flskt? Om Hur mång kvdrter finns det i figur ) 4 Antlet stickor kn beskrivs med uttrcket är figurens nummer. b) 10 Skriv det uttrck som visr ntlet kvdrter i figur. Skriv den likhet där =. Figur 1 Alg ebr Figur 2 Figur +1 = = = 1 Lös ekvtionern. I stället för likhet kn mn säg ekvtion. ) + 6 = 2 b) 18 = 12 Ekvtionen ) 4 = 28 b) = A lg e br Al ge br 107

9 Rustkmmren Sid Uppslget hndlr om hur mn skriver uttrck med lgebr och hur mn räknr ut värdet v ett uttrck. Kontroller tt elevern förstår begreppen hälften och dubbelt. Sid Sidn 140 hndlr om tt skriv uttrck för omkretsen v olik figurer. Sidn 141 hndlr om tt rit mönster för tt förstå hur mönstret utveckls för vrje figur. Sid Uppslget hndlr om likheter och ekvtioner. På sidn 142 sk elevern inse skillnden i betdelse på i ett uttrck och i en likhet, en ekvtion. Sedn sk de förstå vd likhetstecknet betder. Det är viktigt tt elevern verkligen förstår tt det lltid sk vr lik mcket på båd sidor om likhetstecknet. En del elever tolkr likhetstecknet i betdelsen blir istället för det korrekt är lik med. Övningrn börjr med lucktl som är välkänd från tidigre årskurser, sedn bter vi ut luckn mot en bokstv. Luckor och bokstäver som okänd tl är plcerde på olik sidor v likhetstecknet för tt elevern sk tolk likhetstecknet rätt. Likheter med tl skrivn som en bokstv brukr klls för ekvtioner. Här löser lltså elevern ekvtioner på ett enkelt sätt. Tornet Sid Uppslget hndlr om förenkling v uttrck. Här nvänds begreppen vribel och förenkling för först gången. Elevern hr rbett med begreppen tidigre på Borggården men inte nvänt orden. Oft är en vribel en bokstv som kn stå för olik värden. När mn förenklr ett uttrck så summerr mn vribeltermer och siffertermer vr för sig så tt uttrcket blir enklre. Uppgift 92 och 9 c) innehåller även en subtrktion och kn innebär en svårighet för elevern. På sidn 14 sk elevern skriv uttrck för längden v en sträck. Uppgiftern ger möjlighet tt skriv uttrcken både som ddition och multipliktion. Till eempel i uppgift 96 ) kn elevern svr både + och 2. Uppmn dem tt skriv multipliktionen 2. Sid Uppslget hndlr om ekvtioner v en svårre tp än de som finns i Borggården. På sidn 147 får elevern en genomgång hur mn kn nvänd ekvtioner vid problemlösning. Det är en mcket nvändbr problemlösningsmetod. Sid Sidn 148 innehåller fler problemlösningsuppgifter där det är meningen tt elevern sk nvänd metoden ekvtionslösning. På sidn 149 finns en Smmnfttning som kn nvänds med Arbetsbld :7 för tt utvärder rbetet med kpitlet. > > Arbetsbld :7 108 Algebr

10 Utmningen Sid Uppgiftern 1 visr tl som kn koppls till geometrisk figurer. Elevern kn först rit figurern. När de ser figurern ritde kn de beskriv mönstret med ord och därefter enkelt t red på t.e. tionde tringeltlet. Uppgift 4 är ett enkelt ekvtionssstem. Elevern kn hitt smbnd på olik sätt för tt få frm värdet på de olik fruktern. Ett enkelt sätt är tt räkn ut vilket tl ett päron motsvrr är tt sätt in värdet för vindruvn och äpplet i den ndr ekvtionen. I uppgift 6 7 kn elevern lös uppgiftern med hjälp v tt prov sig frm eller tt rit bilder. När det gäller tt ställ upp ekvtioner så blir ekvtionen i uppgift 6: = 28 Här är ntlet pojkr. 7: 2 + = 7 Här är ntlet pojkr. 8: = 28 Här är ntlet motorcklr. 9: = 99 Här är ntlet får. I uppgift får elevern lös en uppgift i ) som sedn utveckls till en lgebrisk uppgift i b). I c)-uppgiften blir summn = + och i d)-upp giften blir summn = Algebr 109

11 Gemensmm ktiviteter Mönster med tl Skriv på tvln tlmönstret: Skriv också frågn: Vilket är tlet på Tl 1 Tl 2 Tl Tl 4 plts 0?. Förklr för elevern tt tl 1 i mönstret är 2, tl 2 är 4, tl är 6 osv. Fråg med hur mcket mönstret ökr för vrje ntt tl. Säg och skriv vrtefter: Jg kllr pltsen för tlet i mönstret för och skriver uttrcket 2 som visr vilket tl som står på pltsen för Tl. Tlet på plts 0 är då 2 0 = 100. Låt elevern diskuter prvis en stund och försök förstå lösningen. Låt något pr förklr. Skriv sedn någr liknnde tlmönster med fråg på tvln och låt elevern försök lös dem. T.e Fråg: Vilket tl sk stå på pltsen för Tl 40? Fråg: Vilket tl sk stå på pltsen för Tl 100? Ålder Här behövs: Ppper och penn Elevern rbetr i pr eller grupp. Vrje elev i gruppen kllr sin egen ålder för och skriver sedn ett uttrck för övrig fmiljemedlemmrs ålder på vr sin lpp. Elevern bter sedn lppr med vrndr och räknr ut de olik fmiljemedlemmrns ålder. De lämnr sedn tillbk lpprn med svren, vilk rätts v frågeställren. Tändstickssken Här behövs: Till vrje pr; ppper, penn, tom tändstickssk, bönor/godisbilr/mkroner Elevern rbetr i pr. De skriver en ddition/subtrktion på ppperet i form v ett lucktl, t.e. 8 + = 1. Elevern lägger tändstickssken över luckn, 8 + ASK = 1 och fller sken med det ntl bönor/godisbilr/ mkroner som motsvrr det tl som skns, här dvs. 7. På sken skriver elevern ett stort X. Pren bter plts med vrndr och löser vrndrs ekvtioner. Vilket tl sk stå i stället för X? Dr ut sken och kontroller. Vidreutveckl leken genom tt vis elevern tt de kn plcer sken på olik ställen. Mn kn t.e. skriv uppgiftern 17 = 20 ASK, ASK 6 = 0, 24 = ASK + 18 osv. Elevern får ett ntt ppper tt skriv ett ntt lucktl på och fller sken med det ntl föremål som motsvrr tlet som skns. Algebrspel Här behövs: Till vrje pr; en tärning, ppper och penn. Elevern rbetr i pr. Elevern skriver upp de tio olik uttrcken nedn på ett ppper. En elev slår tärningen. Det värde som tärningen hr blir värdet på. Eleven väljer ett v uttrcken och räknr ut värdet på uttrcket. Värdet på uttrcket blir elevens poäng. Sedn är det den ndres tur tt slå tärningen och räkn ut värdet på ett v de uttrck som återstår och skriv ned hur mång poäng hon får. Den som hr fått flest poäng när uttrcken är slut, hr vunnit Algebr

12 rbetsbld :1 Uttrck 1 Nmn: > > Dr streck melln de som hör ihop. mer än mindre än + mindre än mer än + > > Fll i de åldrr som ftts. Mmm Ppp Storsster Lillebror 0 år år 40 år 20 år år > > Fll i de uttrck som ftts. år år 9 år 4 år 7 år 12 år + 2 z z kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A Algebr 111

13 rbetsbld :2 Uttrck 2 Nmn: > > Dr streck melln de som hör ihop. gånger mer än En femtedel v _ + 2 mer än 2 mindre än Hälften v Dubbelt så mcket som _ 2 > > Räkn ut uttrckets värde = + 7 = 10 = 4 = = 6 = 10 > > Skriv ett uttrck som betder 4 mer än mindre än gånger så mcket som en tiondel v en femtedel v 7 gånger så mcket som > > Låt vr tlet 18. Hur mcket är då = 6 = + 2 = 2 = > > Låt vr tlet 12. Hur mcket är då 4 = 9 = + 4 = = 112 Algebr kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A

14 rbetsbld : Fler uttrck Nmn: > > Skriv ett uttrck för omkretsen > > ) Skriv ett uttrck för rektngelns omkrets. b) Räkn ut hur lång omkretsen är när = cm = 12 cm > > ) Skriv ett uttrck för rektngelns omkrets. b) Räkn ut hur lång omkretsen är när = 10 m 2 = 2 m kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A Algebr 11

15 rbetsbld :4 Mönster 1 Nmn: > > Rit figur 4 och. figur 1 figur2 figur figur 4 figur > > Hur mång streck hr ) figur b) figur 10 c) figur 100 > > Rit figur och 4. figur 1 figur2 figur figur 4 figur > > Hur mång vit rutor hr ) figur b) figur 10 c) figur 100 > > Rit figur 4 och. figur 1 figur2 figur figur 4 figur > > Hur mång prickr hr ) figur 6 b) figur 10 c) figur Algebr kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A

16 rbetsbld : Mönster 2 Nmn: >> figur 1 figur2 figur figur 4 figur ) Rit figur 4 och figur. b) Hur mång kulor finns det i figur 6? c) Hur mång kulor finns det i figur 10? d) Skriv ett uttrck som visr ntlet kulor i figur. > > Fll i tbellen. Figur Antl kulor 1 figur 1 figur2 figur ) Hur räknr du ut ntlet kulor i den fjärde figuren? Välj rätt svr b) Räkn ut hur mång kulor det finns i figur 10. c) Räkn ut hur mång kulor det finns i figur 1. d) Skriv det uttrck som visr ntlet kulor i figur > > Fll i tbellen. Figur Antl stickor figur 1 figur2 figur ) Hur räknr du ut ntlet stickor i den fjärde figuren? Välj rätt svr b) Räkn ut hur mång stickor det finns i figur 10. c) Räkn ut hur mång stickor det finns i figur 100. d) Skriv ett uttrck som visr ntlet stickor i figur kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A Algebr 11

17 rbetsbld :6 Ekvtioner Nmn: >Lös > ekvtionen X + = 1 1 X = = X = 6 + X 2 = X X 6 = X 1 2 = = 2 X 2 = 8 X 2 4 = 4 X = 7 X 2 4 = 6 X = 7 X 116 Algebr kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A

18 rbetsbld :7 Min utvärdering Kpitel : Algebr MtteBorgen 6A Nmn: Dtum: När jg sk: skriv ett uttrck känner jg mig: Säker Gnsk säker Osäker räkn ut vilket värde ett uttrck hr skriv ett uttrck för en omkrets rit fortsättningen på ett mönster förklr med ett uttrck hur ett mönster är uppbggt förklr vd det är för skillnd på ett okänt tl i ett uttrck och i en ekvtion lös en ekvtion Vd i kpitlet vr roligst och vrför? kopiering tillåten snom Utbildning b Mtte Direkt Borgen 6A Algebr 117

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 4a

Facit - Tänk och Räkna 4a Vår tl Fit Tänk oh Räkn 9 9 69 996, 997, 998 998, 999, 000 6 6699, 6700, 670, 670, 670, 670 67 m, 67 m, 67 m 800 m, 900 m, 000 m 900 m, 90 m, 90 m NAF 06 7 9 d 6 8 e 7 76 f 8 8 d 6 e 0 f 8 9 7 8 88 d 80

Läs mer

uppdrag: matte Gunnar Kryger Andreas Hernvald Hans Persson Lena Zetterqvist Mattespanarna

uppdrag: matte Gunnar Kryger Andreas Hernvald Hans Persson Lena Zetterqvist Mattespanarna uppdrg: mtte Gunnr Kryger ndres Hernvld Hns Perssn Len Zetterqvist Mttespnrn ISN 978-9-7-0- ndres Hernvld, Gunnr Kryger, Hns Perssn, Len Zetterqvist ch Liber re d k t i n Mirvi Unge Thrsén, Mri Österlund

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Räkneövning 1 atomstruktur

Räkneövning 1 atomstruktur Räkneövning 1 tomstruktur 1. Atomerns lägen i grfen (ett mteril som består v endst ett end tomlger v koltomer och vrs upptäckt gv Nobelpriset i fysik, 010) ligger i de gitterpunkter som viss i figuren

Läs mer

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi 9) MTLBLbortion Linjär lgebr med geometri Hndledre: Krim Dho 2624 IT Björn ndersson Johnnes Nordkvist Erik Isoniemi MTLB är ett progrm för berbetning v mtemtisk problem. I denn rpport sk vi vis hur nvändndet

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR

Läs mer

Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON. Så hjälper du igelkotten

Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON. Så hjälper du igelkotten N KLUBBE 13 Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON Så hjälper du igelkotten i vinter 1 Hej! u är den tiden på året N då djuren förbereder sig för den kll vintern. Mång fåglr flyger långt långt bort till vrmre länder.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag] Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck > VD r ordet: Frösund stsr på nörigfrågorn > Frösund främjr kvinnors företgnde i Indien > 5 frågor: Sofi Hägg-Jegebäck APRIL 2015 Nyetsbld med ktuell informtion till dig som rbetr i Frösund. VD HAR ORDET

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

KOMMLIN FILIPSTADS. Fax: 0590-615 99 E-post: kommun@fi lipstad.se. Revisionsrapport angående gemensam administrativ nämnd

KOMMLIN FILIPSTADS. Fax: 0590-615 99 E-post: kommun@fi lipstad.se. Revisionsrapport angående gemensam administrativ nämnd FILIPSTADS KOMMLIN Dtum 2013-03-12 För kdnnedom: Kommunstyrelsen Kommuffillmhige Revisionsrpport ngående gemensm dministrtiv nämnd Vi hr, tillsmmns med revisorem i Kristinehmns, Krlskog och Storfors kommuner

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls

Läs mer

KLARA Manual för kemikalieregistrerare

KLARA Manual för kemikalieregistrerare KLARA Mnul för kemiklieregistrerre Version 16.4 (2015-05-08) Utrbetd v Anders Thorén och Björn Orheim Först utgåv 2002-11-01 Innehåll Introduktion 3 Vd är KLARA? 3 Systemkrv och övrig informtion 3 Vd säger

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer

Månadsrapport juni 2014. Social- och äldrenämnden Äldre- och omsorgsavdelningen

Månadsrapport juni 2014. Social- och äldrenämnden Äldre- och omsorgsavdelningen Måndsrpport juni 2014 Socil- och äldrenämnden Äldre- och omsorgsvdelningen 1 Ekonomi och verksmhet 1.1 Resultt per verksmhet 1.1.1 Resultt juni 2014 Intäkter Kostnder Verksmhet Kom. ers. Fsg v verksm.

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015. FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.

Läs mer

Kmerobjektiv oc elokusering Zoomobjektiv Ett kmerobjektiv sk normlt vbil ett objekt som beinner sig på någr meters vstån på en ilm i en krtig örminskning. Det innebär tt okllängen på et objektiv mn sk

Läs mer

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen, KTH Meknik 2008 05 20 Meknik för I, SG09, Lösningr till probletenten, 2008 05 20 Uppgift : En bo ed ssn och längden är i sin en ände onterd i en kulled på en vertikl vägg. I den ndr änden A är fäst två

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING Se till tt lmellgrdinen fästes i ett tillräckligt säkert underlg. Ev motor och styrutrustning skll instllers v behörig elektriker. 1 Montering Luxor monters med de

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

Nystartsjobb /särskilt nystartsjobb

Nystartsjobb /särskilt nystartsjobb Arbetsförmedlingens fktbld. Arbetsgivre. 2015-08. Nystrtsjobb /särskilt nystrtsjobb Du kn få ekonomisk ersättning om du nställer en person som hr vrit utn rbete en längre tid eller är ny i Sverige. Stödet

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3 Föreläsning 7b 3329 Längdskln är L = 2 3 eller 2 : 3 som det oft skrivs i smbnd med krtor. Från teorin får vi tt A, reskln är längdskln i kvdrt det vill säg A = L 2. I denn uppgift ger det A = ( ) 2 2

Läs mer

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI... Olik typer v tl Vi sk se hur vi utgående från de nturlig tlen kn konstruer de hel tlen, de rtionell tlen och de reell tlen och diskuter räknereglern som de uppfyller. Nturlig tl Vi påminner lite om nturlig

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN NpMaB HT 2006 LÖSNINGAR 3

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN NpMaB HT 2006 LÖSNINGAR 3 freeleks NpMB ht006 1(31) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 006 3 NpMB HT 006 LÖSNINGAR 3 Del I: Digitl verktg är INTE tillåtn 3 Del 1 # 1 (/0) Lös ekvtionen....................

Läs mer

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen 2016-05-23 Sid 1/2 Tjänsteskrivelse Dnr: LKS 2016-235 Kommunstyrelseförvltningen Leif Schöndell, 0523-61 31 01 leif.schondell@lysekil.se Pln för lik rättigheter och möjligheter i rbetslivet uppdrg till

Läs mer

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,

Läs mer

Matematik. Namn: Datum:

Matematik. Namn: Datum: Matematik Namn: Datum: Multiplikation, tabell 2 och 4. Hur många ben har djuren tillsammans? + = = + + = = + + + + = = + = = + + + = = Skriv färdigt multiplikationen! 3 4 = 4 2 = 2 5 = 4 6 = 4 0 = 4 5

Läs mer

Skriv meningar. Använd orden i burkarna. mus. myra. Använd bokstäverna och gör egna ord. Hitta ord. Skriv de ord som fi nns i ordet: PASS

Skriv meningar. Använd orden i burkarna. mus. myra. Använd bokstäverna och gör egna ord. Hitta ord. Skriv de ord som fi nns i ordet: PASS Fit sid. 2 5 Skriv orden till dern. Skriv meningr. Använd orden i burkrn. Lös ordflätn. Oj, här hr det blivit fel d. Det sk vr en penn. bok kk Vem är jg? Svret får du i de blå rutorn. båt fyr lego Jg tr

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Nystartsjobb /särskilt nystartsjobb

Nystartsjobb /särskilt nystartsjobb Arbetsförmedlingens fktbld. Arbetsgivre. 2015-04. Nystrtsjobb /särskilt nystrtsjobb Du kn få ekonomisk ersättning om du nställer en person som hr vrit utn rbete en längre tid eller är ny i Sverige. Stödet

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna

GOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna GOLV Norgips Golvskivor nvänds som underlg för golv v trä, vinyl, mttor och ndr beläggningr. Här de tre viktigste konstruktionern 1. Ett lg golvskivor på träunderlg 2. Flytnde golv med två lg golvskiv

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody Från fotbollspln till ffärspln Berättelsen om Newbody Vi hjälper skolor och föreningr tt tjän pengr till cuper, träningsläger och skolresor. Genom tt sälj vår populär strumpor och underkläder kn de lätt

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Månadsrapport september 2013. Individ- och familjeomsorg

Månadsrapport september 2013. Individ- och familjeomsorg Måndsrpport september 2013 Individ- och fmiljeomsorg Innehållsförteckning 1 Ekonomi och verksmhet... 3 1.1 Resultt per verksmhet... 3 1.2 Volymer, sttistik och kostndsnyckeltl... 5 Individ- och fmiljeomsorg,

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

Tentamen i Databasteknik

Tentamen i Databasteknik Tentmen i Dtsteknik lördgen den 22 oktoer 2005 Tillåtn hjälpmedel: Allt upptänkligt mteril Använd r frmsidn på vrje ld. Skriv mx en uppgift per ld. Motiver llt, dokumenter egn ntgnden. Oläslig/oegriplig

Läs mer

Allmän information (1 av 1)

Allmän information (1 av 1) ASI Uppföljning ASI Uppföljning är en stndrdintervju för uppföljning v personer i missruks- och eroendevård. Den nvänds för tt stämm v personens sitution och hjälpehov smt för uppföljning v instser. Intervjun

Läs mer