Nautisk matematik, LNC022, Lösningar

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Nautisk matematik, LNC022, Lösningar"

Rasmus Bengtsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 Nutisk mtemtik, LN022, Lösningr 1. () För vilken eller vilk vinklr v melln 0 oh 180 är sin v = 0, 25? Räknren ger oss v 14, 5, då finns okså lösningen , 5 = 165, 5 i det givn intervllet. (b) För vilken eller vilk vinklr v melln 0 oh 180 är os v = 0, 15? Räknren ger oss v 98, 6, vilket är end lösningen i intervllet. () En rätvinklig tringel hr ktetern 7 m oh 9 m. eräkn vinkeln melln den kort kteten oh hypotenusn. För denn vinkel v är motstående ktet 9 m oh närliggnde ktet 7 m. Då blir tn v = 9/7, vilket ger v 52, 1. (d) I en rätvinklig tringel är en v vinklrn 33. Den kortre v ktetern är 4,3 m. eräkn hypotenusns längd. Eftersom 33 är den minst vinkeln (övrig är ju 90 oh 57 ) så är dess motstående ktet 4,3 m. Med hypotenusn = x m gäller då sin 33 = 4, 3 x Hypotenusns längd är 7,9 m. x = 4, 3 sin 33 7, 9 2. Givet vektorern = (1, 2) oh b = (2, 3). eräkn () b (b) + b () + b (d) vinkeln melln oh + b. () b = (1, 2) (2, 3) = ( 2) 3 = 2 6 = 4 (b) + b = (1, 2) + (2, 3) = (1 + 2, 2 + 3) = (3, 1) () + b = (3, 1) = = 10 3, 16 (d) os = ( + b) + b = ( 2) ( 2) 2 10 = , 9

2 3. En krft F 1 med storleken 2 N är riktd mot norr. En nnn krft F 2 med storleken 3 N är riktd så tt resultnten F 1 + F 2 är riktd mot öster. estäm F 2 :s riktning (vinkel i förhållnde till nordriktningen) oh storleken v F 1 + F 2. Situtionen beskrivs i figuren: Norr F 1 F 2 F 1 + F 2 Öst Den sökt vinkeln är 180, där os = F 1 F 2 = 2 3 Storleken v F 1 + F 2 beräkns med Pythgors sts: 48, 2. F F 1 + F 2 2 = F 2 2 F 1 + F 2 = = 5 2, 236 lltså: F 2 :s riktning är , 8, storleken v resultnten är 2, 2 N.

3 4. I en tringel är två sidor 15 m oh 23 m. Tringelns störst vinkel är 112. Hur lång är den återstående sidn? Obs: här finns två möjlig tolkningr! Vi börjr med den tolkning som innebär tt sidn 23 m är störst oh tt vinkeln 112 står emot denn: = b = 23 För tt få tg i sidn behöver vi vinkeln oh sinusstsen. Först kn vi nvänd sinusstsen för vinkeln (grntert spetsig, då den inte är störst) oh därefter få med vinkelsummn. sin 15 = sin Nu får vi sidn med sinusstsen: Sidn är lltså irk 12,7 m. 37, 206 = , 794 sin = 23 sin , 7 Den ndr tolkningen innebär tt den okänd sidn är störst oh står mot vinkeln 112 : = b = 23 Här får vi sidn direkt med osinusstsen: Sidn är lltså i dett fll irk 31,8 m. 2 = os , 8

4 5. I en sfärisk tringel är två v sidorn 105 oh 107, vinkeln melln dess sidor är 106. eräkn återstående sid oh vinklr. Vi inför betekningr enligt figuren: = 106 = 105 b = 107 Eftersom sfärisk osinusstsen kn nvänds hel vägen, oh är säkrre för vinklr, nvänder vi den: os = os os b + sin sin b os os os b os os = os b os + sin b sin os os = sin b sin os b os os os b = os os + sin sin os os = sin sin 109, 3 110, 9 Om mn vill nvänd sfärisk sinusstsen för vinklrn oh, sk mn tänk på tt är minst sidn. Därför är okså = 106 den minst vinkeln oh för oh måste mn lltså välj det trubbig lterntivet när mn löser sinusekvtionen.

5 6. Ett frtyg håller frten 12,1 knop oh kursen 350 genom vttnet, frten över grund är 13,4 knop medn kursen över grund är 8. eräkn strömmens frt oh kurs. Figuren visr de ingående hstighetsvektorern, där v gv + v s = v g. N v s v gv vög 18 v s Strömmens frt fs kn beräkns med osinusstsen, då fgv = 12, 1 oh fg = 13, 4 smt mellnliggnde vinkel 18 är känd. fs 2 = fgv 2 + fg 2 2 fgv fg os 18 fs 4, 19 Eftersom ks = kg + = 8 + vill vi beräkn vinkeln, som okså finns i strömtringeln. Sinusstsen ger oss denn vinkel, som måste vr spetsig, då den inte står mot störst sidn. sin fgv = sin 18 fs 63, 16 Därmed är ks = , 2 oh enligt tidigre fs 4, 2 knop. lterntiv lösningsmetod: Vi kn skriv vektorern i koordintform (polär koordinter): v s = v g v gv = (13.4 os 8, 13.4 sin 8 ) (12.1 os 350, 12.1 sin 350 ) = = (13.4 os os 350, 13.4 sin sin 350 ) (3.9661, ) Nu är fs = v s oh tn(ks) (rit figur!), vrmed ks 71.2.

6 7. Flygpltsern Mdrid rjs oh Moskv Sjeremetjevo hr koordintern N, W respektive N, E. () Hur långt är det (på hvsnivån) melln dess flygpltser längs storirkeln? Vi betrktr en sfärisk tringel med =Mdrid rjs, =Moskv Sjeremetjevo, =nordpolen. b Då blir = = 34 02, b = = oh = ( 3 34 ) = Sfärisk osinusstsen ger oss : os = os os b + sin sin b os 30, 7654 Distnsen blir därmed M eller 60 1, km. (b) Vilken är utflygningskursen från Mdrid om mn följer storirkeln? Denn kurs motsvrr vinkeln i vår tringel. Återigen nvänder vi sfärisk osinusstsen: os = os b os +sin b sin os os = os os b os sin b sin 45, 85 () Vilk koordinter hr den plts som ligger hlvvägs längs rutten? Vi söker punkten P oh kompletterr figuren med meridinen melln nordpolen oh P. Figuren visr situtionen oh det vi känner till. v d b /2 /2 P Vi konstterr först tt ltituden för P är 90 d oh longituden är :s longitud plus v. Sfärisk osinusstsen igen: os d = os(/2) os b + sin(/2) sin b os d 39, 9762 os v = os(/2) os b os d sin b sin d 17, 2340 Dett ger ltituden 50, N oh longituden 13, E.

7 8. En ö stupr lodrätt ner i hvet. Rkt ovnför stupet står ett högt torn. 400 m från ön (räknt i hvsnivån) befinner sig en observtör på en båt 10,0 m över hvsytn oh ikttr ön med sitt torn. Synvinkeln melln öns strndlinje oh stupets topp uppmäts till 34,0, synvinkeln från stupets topp till tornets topp är 5,00 (se figuren). eräkn stupets oh tornets höjder. Vi ritr om figuren en ning. Om mn drr en linje prllellt med hvsytn på 10 m höjd, får mn en rätvinklig tringel enligt figuren: b 10 m m Den lill vinkeln beräkns: tn = Nu är stupets höjd b + 10 m oh tornets höjd är b m. tn(39 ) = 400 1, 432 = 400 tn(39 ) 307, 685 tn(34 ) = b b = 400 tn(34 ) 255, Dett ger stupets höjd 265, 5 m oh tornets höjd 52, 2 m.

Relevanta dokument

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln