Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter"

Transkript

1 Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner Exempel Determinntregler Crmers regel Adjunktformeln Ett elkretsproblem Determinnter Historien bkom determinntbegreppet är lite brokig Den först gången determinntliknnde resultt upptäcktes vr v den tyske filosofen och mtemtikern Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) när hn kom frm till ett determinntvillkor för när ett - system hr en nollskild lösning Hn skrev också upp lösningsformler som i ll väsentlighet påminner om vd vi numer kllr Crmers regel Lösningsformlern återupptäcktes på -tlet v den Gottfried Wilhelm Leibniz engelske mtemtikern Colin Mclurin för system upp till storlek Den schweiziske mtemtikern Gbriel Crmer generliserde regeln år till tt gäll godtyckligt stor kvdrtisk system och gv en llmän metod för tt beräkn determinnter vi utveckling Den som först börjde studer determinnter som ett mer självständigt ämne vr den frnske mtemtikern Alexndre- Théophile Vndermonde och hn kn sägs vr den som grundde den modern determinntteorin Teorin utveckldes vidre och fick den först systemtisk frmställningen i ett viktigt rbete v lndsmnnen Augustin Cuchy år 8, men det vr först på 8-tlet som determinnter blev mer känd inom mtemtiken genom fler rbeten v den tyske mtemtikern Crl Jcobi

2 Vd är en determinnt? Vd krävs för tt ett kvdrtiskt linjärt ekvtionssystem x x n x n b x x n x n b n x n x nn x n b n sk h exkt en lösning? Med ndr ord, vd krävs llmänt för tt en kvdrtisk mtris sk h en invers? Egentligen vet vi redn svret: Det krävs tt mtrisen kn rdreducers till enhetsmtrisen E Men det svret ger oss inget direkt villkor för när en llmän mtris hr en invers Vi sk istället försök tt härled ett mer direkt svr -fllet Vi börjr med -fllet Ett llmänt -system kn skrivs { x x b, x x b Låt oss för enkelhets skull nt tt För tt lös systemet multiplicerr vi ndr rden med och dderr en multipel v först rden till ndr rden, Den ndr rden blir då { x x b - x x b ( ) x b b Här ser vi tt systemet hr exkt en lösning om Vänsterledets uttryck klls för koefficientmtrisens determinnt och beteckns Om ser vi också tt systemet hr exkt en lösning om determinnten

3 -fllet För -system blir det lite mer omständigt, men om mn utför mnipultionern rätt fås i slutänden tt ett -system hr exkt en lösning om x x x b x x x b x x x b Dett uttryck klls för koefficientmtrisens determinnt och beteckns På ett liknnde sätt kn vi gå vidre och definier determinnter för större kvdrtisk mtriser Snbbformler för små determinnter Det finns enkl minnesregler för hur mn beräknr små determinnter -determinnter Om determinnten är så ritr vi ut höger- och vänsterdigonlern c c Determinntens värde är nu högerdigonlprodukten minus vänsterdigonlprodukten c b d b d b d b c d d bc Den viktig egenskpen hos determinnter är lltså tt det A A inverterbr Vi sk nu lär oss någr olik tekniker för tt beräkn determinnter Övning Beräkn

4 -determinnter (Srrus regel) Kofktorutveckling Vi plcerr kopior v de två först kolumnern till höger om determinnten 8 och ritr ut höger- och vänsterdigonler, 8 Determinntens värde får vi genom tt lägg ihop högerdigonlproduktern och dr ifrån vänsterdigonlproduktern Observer tt denn regel gäller endst för -determinnter Övning Beräkn När vi kofktorutvecklr en determinnt uttrycker vi dess värde i determinnter v mindre storlek (sk minorer) och reducerr därmed problemet ett steg Minorer En minor M ij v en determinnt är den deldeterminnt vi får när rd i och kolumn j stryks i den stor determinnten Övning M 8 Bestäm minoren M till

5 Utveckling längs en rd Vi kn beräkn en determinnt genom tt utveckl den längs en rd Vi illustrerr med ett exempel, I determinnten kn vi nu välj en rd (vilken som helst), tex rd, som vi utvecklr längs Vrje element på denn rd kommer ge upphov till en term i kofktorutvecklingen Termen som svrr mot det först elementet får vi genom tt multiplicer :n med minoren som återstår när rden och kolumnen som :n ingår i stryks Termen hr också ett tecken frmför sig som ges v motsvrnde element i följnde teckentbell Denn tbell byggs upp med ett :tecken i övre vänstr hörnet och sedn förekommer tecknen växelvis Näst term i utvecklingen blir multiplicert med motsvrnde minor Här hr vi nu ett minustecken frmför termen eftersom motsvrnde position i teckentbellen hr ett minustecken

6 Sedn får vi en term med gånger motsvrnde minor Denn gång med ett plustecken frmför Som synes växlr tecknet melln och Den sist termen hr därför ett minustecken Dett är kofktorutvecklingen v determinnten längs den tredje rden De mindre determinntern beräkns sedn med vlfri metod (tex med Srrus regel eller kofktorutveckling) Utveckling längs en kolumn Kofktorutveckling längs en kolumn går till på smm sätt som längs en rd Säg tt vi vill beräkn smm determinnt som tidigre längs den ndr kolumnen Precis som förut kommer vrje element i kolumnen ge en term i utvecklingen Elementet ger termen: gånger motsvrnde minor Tecknet frmför termen är eftersom teckentbellen hr ett minus där :n står

7 Vi fortsätter sedn med de ndr tre elementen som ger tre minortermer med lternernde tecken, Ovnstående formel är kofktorutvecklingen v determinnten längs den ndr kolumnen Övning ) Utveckl determinnten längs den ndr rden b) Utveckl determinnten längs den tredje kolumnen 8 Rd- och kolumnopertioner Den ndr tekniken som vi sk nvänd för tt beräkn determinnter är rd- och kolumnopertioner Tillväggångssättet liknr det vi nvänder vid gusseliminering Vi rd- och kolumnopertioner förenklr vi determinnten tills den blivit så enkel tt vi direkt kn beräkn dess värde Rdopertioner Om vi utför en rdopertion på en determinnt så förändrs dess värde enligt följnde regler: A A A A A A Övning Rätt eller fel? ) b) 8 8 c)

8 För prktisk räkning kn det vr enklre tt vänd på reglern och skriv A A A A, där A A Strtegin när vi beräknr en determinnt är tt vi med rdopertioner omvndlr determinnten till en speciellt enkel determinnt, tex en tringulär determinnt Värdet v en tringulär determinnt är nämligen lik med produkten v digonlelementen Sts t t t n t t n t nn t t t nn Beviset är tt kofktorutveckl determinnten hel tiden längs den först kolumnen, t t t n t t t t n n t t nn t nn t t n t t t t t nn t nn Exempel Vi illustrerr metoden med ett exempel, Först byter vi plts på rd och för tt få bort nolln i övre vänstr hörnet Dett steg gör tt determinnten byter tecken, Sedn vill vi h nollor under :n i först kolumnen, och det får vi genom tt dder två gånger först rden till den ndr rden Denn rdopertion ändrr inte determinntens värde Vi byter plts på rd och (Noter teckenbytet) 8

9 Till sist dderr vi tre gånger ndr rden till tredje rden för tt få en tringulär determinnt som vi direkt kn beräkn Kolumnopertioner På determinnter kn vi också utför kolumnopertioner, och då förändrs determinntens värde enligt reglern A A A A, där A A Övning Utför kolumnopertionern ) c) b) Exempel Vi sk beräkn determinnten Det först vi kn noter är tt den ndr och fjärde kolumnen är nästn lik, så om vi subtrherr den en kolumnen från den ndr så får vi en kolumn med mång nollor i vilket öppnr för en kofktorutveckling, Kofktorutveckl den fjärde kolumnen () Kofktorutveckl den ndr rden () ( ) Det är vnligt tt mn blndr olik tekniker på dett sätt

10 Exempel Vd är villkoret på tlet för tt ekvtionssystemet x y z v x y z v x y z v x y z v skll h precis en lösning? Skriver vi systemet i mtrisform x y z v så vet vi tt ekvtionen hr precis en lösning när koefficientmtrisen hr en invers och det är när dess determinnt inte är noll Vi beräknr lltså determinnten Vi börjr med tt utför någr rdopertioner - - När vi nu fått en kolumn med mång nollor i kofktorutvecklr vi längs den Sedn ser vi tt först och ndr kolumnen nästn är lik Kofktorutveckl den först kolumnen ( ) ( ) ( ( )() ( )() ) ( )( ) Determinnten är skild från noll när och

11 Determinntregler Om A och B är n n-mtriser och är en sklär då gäller tt det(a) n det A det(ab) det A det B det(a T ) det A det(a ) det A Dess determinntregler kn tex nvänds för tt förenkl determinntuttryck innn de beräkns Crmers regel Crmers regel säger tt om mtrisen A är inverterbr så hr det linjär ekvtionssystemet Ax b lösningen x i det A i det A, för ll obeknt x i, där A i är mtrisen A men med kolumn i erstt med högerledet b Exempel Bestäm x ur ekvtionssystemet x y z x y z x y z Eftersom vi br vill bestämm en vribel i systemet kn Crmers regel vr lämplig Nu vet vi visserligen inte om koefficientmtrisen är inverterbr men det märker vi när vi beräknr determinnten i nämnren Enligt Crmers regel är x I täljrdeterminnten hr vi erstt kolumnen som svrr mot x med högerledet Srrus regel ger, Alltså är x /

12 Bevis v Crmers regel ( -fllet) Ett llmänt -system kn skrivs x x x b x x x b x x x b eller mer kompkt som en mtrisekvtion Ax b Om vi börjr med tt betrkt uttrycket x det A x Enligt ekvtionssystemet är den ndr kolumnen lik med högerledet Vi hr lltså vist tt b b b det A x det A det A x det A det A På motsvrnde sätt får vi frm formlern för x och x så kn vi multiplicer in x i den ndr kolumnen (kolumnen som just svrr mot x ) x x x Adder nu lämplig multiplr v kolumn och till kolumn, x x x x x x x x x x x x x x

13 Säg tt vi hr en -mtris A Adjunktformeln och vill bestämm inversen till A, A x x x x x x x x x Ett sätt tt gör dett på är tt ställ upp AA E, x x x x x x x x x och försök bestämm x ij :n ur smbndet Om vi tittr på den först kolumnen i enhetsmtrisen i högerledet så ser vi tt den bestäms genom tt multiplicer rdern i A-mtrisen med först kolumnen i A -mtrisen, x x x x x x x x x Om vi br vore intresserde v denn först kolumn så skulle vi kunn skriv smbndet melln leden som x x x, Från dett smbnd kn vi lös ut x, x och x med Crmers regel x x x det A det A det A det A det A det A M det A, M det A, M det A Tittr vi sedn på de ndr kolumnern i enhetsmtrisen så kn vi på smm sätt bestämm de två ndr kolumnern i mtrisen A I slutänden fås formeln A det A Dett klls för djunktformeln M M M M M M M M M T

14 Exempel Bestäm inversen till Enligt djunktformeln ges inversen v A det A M M M M M M M M M Vi beräknr determinnten och minorern det A M M (), T,, M M M M M M M Inversen är A T,,,,,,

15 Bestäm hur mycket ström som går genom resistorn R i kretsen till höger Ett elkretsproblem Inför strömmr och spänningr I I U R R R R R U U ± Ohms lg ger U U U () U R I, U R I, U R I, U R I, U R I Stoppr vi in dess smbnd i () till () så får vi ekvtioner som br innehåller strömmr U I I I U U Kirchhoffs strömlg ger I I I I I I () I I I I () I I R I R I R I ( ) R I R I R I ( ) R I R I U ( ) Stoppr vi sedn in I och I enligt () och () in i ( ) till ( ) så får vi ekvtioner som br innehåller I, I och I, R I (R R )I R I R I (R R )I R I R I (R R )I U Kirchhoffs spänningslg U U U () eller i mtrisform R (R R ) R R R R R R (R R ) I I I U U U U ()

16 Eftersom vi br söker I och koefficientmtrisen innehåller mång symboluttryck är det enklst tt nvänd Crmers regel I R R R R U (R R ) R (R R ) R R R R R R (R R ) Svret är lltså I R R R R ( R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ) U Täljrdeterminnten räknr vi ut med en kofktorutveckling längs den ndr kolumnen, R R R R U (R R ) U(R R R R ), (U) R R R R och nämnrdeterminnten räknr vi ut med Srrus regel R (R R ) R R R R R R (R R ) R (R R )(R R ) R R R R R R R (R R )(R R ) R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R

17 Avsnitt Determinnter L Använd determinnter för tt vgör om följnde mtriser är inverterbr ( ) ) b) 8 ( ) cos ϕ sin ϕ c) d) sin ϕ cos ϕ En mtris A är inverterbr om och endst om det A Vi beräknr därför determinnten v respektive mtrisern och kontrollerr om den är noll ) Med minnesregeln får vi c b d Alltså är mtrisen inverterbr b c d d bc b) Vi beräknr -determinnten med Srrus regel Tg de två först kolumnern i determinnten och plcer kopior v dess till höger om determinnten, 8 8 Determinntens värde får vi genom tt lägg ihop högerdigonlproduktern och dr ifrån vänsterdigonlproduktern 8 8 Mtrisen är inte inverterbr c) Srrus regel ger () () () () () () 8 8 Dett visr tt mtrisen är inverterbr d) Vi får tt determinnten är cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ ( sin ϕ) sin ϕ cos ϕ sin ϕ b) Mtrisen är därför inverterbr (för ll värden på ϕ) L Hur mång lösningr hr ekvtionssystemen? c) x x x x x x x x x x x x x x x x x x b) Ett sätt tt vgör hur mång lösningr systemet hr är tt gusseliminer till ett slutschem och där vläs svret I dett fll kn vi dock få ett snbbre svr genom tt beräkn koefficientmtrisens determinnt Om det så vet vi tt systemet måste h exkt en lösning Om det hr slutschemt en nollrd vilket vnligtvis betyder tt vi ntingen hr en prmeterlösning eller tt systemet sknr lösning

18 Men i dett fll hr vi ett homogent system (högerledet består br v nollor) och då kommer ll nollrder vr v typen Vi kommer lltså h en prmeterlösning Om vi summerr så hr vi lltså determinnt exkt en lösning, determinnt prmeterlösning Vi bestämmer nu determinntens värde L För vilk värden på konstnten är mtrisen inverterbr? ( Vi kn bestämm exkt när mtrisen är inverterbr genom tt beräkn dess determinnt Br när determinnten är skild från noll är mtrisen inverterbr Vi hr ) ( )( ) och vi ser tt när inte är en rot till polynomet så är mtrisen inverterbr, dvs när och är mtrisen inverterbr Systemet hr därför en prmeterlösning c) Vi kn nvänd smm resonemng som i b-uppgiften, men denn gång kn vi inte uteslut tt systemet sknr lösning om determinnten är noll eftersom vi inte hr ett homogent system Vi hr därför tt determinnt exkt en lösning, determinnt prmeterlösning eller sknr lösning Skulle det vis sig tt determinnten är noll får vi gå den lång vägen och gusseliminer Koefficientmtrisens determinnt är { Se uppgift Lc } Svret är tt systemet hr exkt en lösning L Beräkn determinnten Vi sk lös uppgiften med två metoder Metod (Kofktorutveckling) Vi kn välj tt kofktorutveckl längs en rd eller en kolumn i determinnten Förslgsvis väljer vi en rd/kolumn med mång nollor i sig så tt så mång termer som möjligt blir noll i utvecklingen I vår determinnt spelr det ingen roll vd vi väljer så vi väljer rd,

19 Vrje element i rden ger upphov till en term i utvecklingen Vrje term är elementet gånger motsvrnde minor och tecknen frmför termern ges v motsvrnde rd i teckentbellen Minorern i utvecklingen kn vi räkn ut på vlfritt sätt, tex med kofktorutveckling I determinnten väljer vi tt utveckl längs den ndr kolumnen (eftersom vi br hr ett nollskilt element där) Vi utvecklr determinnten ( () () ) längs den först rden ( ) ( ) ( () () ) Om vi smmnställer uträkningen hr vi ( ) ( ) () Metod (Rdopertioner) Med hjälp v rdopertioner kn vi reducer en determinnt till en tringulär determinnt vrs värde är produkten v digonlelementen Vid vrje rdopertion ändrs determinntens värde enligt reglern A A A A, där, A A När vi rdreducerr nvänder vi smm strtegi som vid gusseliminering Vi börjr med (, )-elementet och ser till tt få nollor under, -

20 Noter tt rdopertionen inte ändrde determinntens värde Vi går vidre till (, )-elementet och utför en rdopertion så tt vi får nollor därunder, Nu hr vi fått en tringulär determinnt och dess värde är produkten v digonlelementen () - Lb Beräkn determinnten Den först frågn vi ställer är: sk vi kofktorutveckl eller nvänd rdopertioner? I dett fll är nog rdopertioner tt föredr eftersom kofktorutveckling brukr mn normlt nvänd när determinnten innehåller någon rd eller kolumn med mång nollor Vi får () Lägg märke till tt strtegin vid rdreduceringen inte är identisk med vnlig gusseliminering Vi struntr i tt rdreducer uppåt eftersom det räcker med tt vi når en tringulär determinnt på slutet

21 Lc Beräkn determinnten 8 L Är mtrisen inverterbr? Här ser vi tt den tredje kolumnen hr mång nollor i sig, så vi börjr med tt utveckl längs den Eftersom det br finns ett nollskilt element i kolumnen hr utvecklingen br en term, 8 I den ny determinnten hr den fjärde kolumnen endst ett nollskilt element så vi utvecklr längs den () 8 Att vi får ett minustecken frmför :n kn vi se genom tt strt vid (, )- elementet med ett :tecken och sedn gå stegvis mot :ns position och vid vrje steg byt tecken Vi vet tt mtrisen är inverterbr om och endst om determinnten När vi sk beräkn determinnten ser det ut tt vr ett gränsfll melln om vi sk kofktorutveckl eller rdreducer Vi kn börj med en rdopertion, Här kn det vr lämpligt tt utveckl längs den ndr rden, Vi hr nu en tringulär determinnt och får värdet som produkten v digonlelementen, Mtrisen är lltså inverterbr Den determinnt vi nu hr fått är en -determinnt och den skulle vi kunn räkn ut med Srrus regel men smtidigt ser vi tt den först kolumnen br hr ett nollskilt element, så vi utvecklr längs kolumnen istället, () 8 () (8 )

22 L Hur mång lösningr hr ekvtionssystemet? x x x x x x x x x x x x x x x x Först och främst hr systemet exkt en lösning om koefficientmtrisens determinnt är skild från noll Eftersom systemet är homogent så kommer det i fllet tt determinnten är noll tt h en prmeterlösning Vi hr lltså determinnt exkt en lösning determinnt oändligt mång lösningr Determinnten är Det verkr inte finns någon öppning för en kofktorutveckling så vi rdreducerr istället, Här kn det vr lämpligt tt utför en kolumnopertion för tt flytt nollorn från tredje kolumnen till den ndr kolumnen - L Mtrisern A, B 8 är inverterbr Beräkn det ( C AB(B AC ) ) och C 8 8 Istället för tt först beräkn den komplicerde mtrisprodukten och sedn t determinnten v llt sk vi nvänd determinntreglern det(ab) det A det B det(a ) (det A) smt mtrisräknereglern och förenkl uttrycket innn vi sätter igång tt räkn Först delr vi upp uttrycket i fktorer det ( C AB(B AC ) ) det C det A det B det(b AC ) Den sist fktorn kn förenkls med regeln för inverser, det C det A det B det(b AC ) och vi utvecklr nämnren i determinntfktorer det C det A det B det B det A det C det B det B det B det B det B det B Determinnten v B är enkel tt beräkn eftersom B är en tringulär mtris, 8 det B Vi hr därmed tt det ( C AB(B AC ) ) det B Alltså hr systemet oändligt mång lösningr

23 ( L Skriv upp inversen till mtrisen Adjunktformeln säger tt A ( M M det A M M ) med djunktformeln ) T, där M, M, M och M är mtrisens minorer Minoren M ij till mtrisen får vi genom tt stryk rd i och kolumn j i mtrisen och t determinnten v delmtrisen I vårt fll är M M och determinnten är det A Inversen är Kontroll: A A A ( ( M M () ) ( ) T ( ) ( ) ) Lb Skriv upp inversen till mtrisen med djunktformeln Vi nvänder djunktformeln återigen A det A M M M M M M M M M Minorern och determinnten får vi till det A Här ser vi tt en invers skns eftersom determinnten är noll L Lös systemet { x y x y 8 med Crmers regel Vi skriver först ekvtionssystemet i mtrisform ( ) ( ) ( x y 8 För tt vi sk kunn nvänd Crmers regel måste koefficientmtrisen vr inverterbr, dvs determinnten vr skild från noll, Enligt Crmers regel är vrje obeknt lik med kvoten v två determinnter 8 8 x och y ) T

24 Nere i nämnren hr vi koefficientmtrisens determinnt I täljren tr vi determinnten v den mtris vi får när den kolumn i koefficientmtrisen som svrr mot vribeln ersätts med högerledet x y Vi kontrollerr också svret x y,, x y () 8 De fyr determinntern beräknr vi med de vnlig metodern { Srrus } () (), { Utveckl först kolumnen }, { Utveckl ndr kolumnen }, { Utveckl tredje kolumnen } Lösningen är lltså Lb Lös systemet med Crmers regel x y z x y z x y z Vi kontrollerr svret x, y, z x y z ( ), x y z ( ) ( ) x y z ( ) ( ), Crmers regel ger tt lösningen (förutstt tt vi hr exkt en lösning) ges v x, y, z 8

c) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen?

c) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen? Avsnitt Determinanter L Använd determinanter för att avgöra om följande matriser är inverterbara ( ) a) b) 5 8 ( ) cos ϕ sin ϕ c) d) sin ϕ cos ϕ En matris A är inverterbar om och endast om det A Vi beräknar

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi 9) MTLBLbortion Linjär lgebr med geometri Hndledre: Krim Dho 2624 IT Björn ndersson Johnnes Nordkvist Erik Isoniemi MTLB är ett progrm för berbetning v mtemtisk problem. I denn rpport sk vi vis hur nvändndet

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p. HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl.9.-3. Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI... Olik typer v tl Vi sk se hur vi utgående från de nturlig tlen kn konstruer de hel tlen, de rtionell tlen och de reell tlen och diskuter räknereglern som de uppfyller. Nturlig tl Vi påminner lite om nturlig

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................

Läs mer

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 10/1 2015

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 10/1 2015 Tentmen i ETE Ellär och elektronik, 0/ 20 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Observer tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. g 2 v in

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

14 Spelteori Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt

14 Spelteori Två-personers nollsummespel och konstantsummespel: sadelpunkt 14 Spelteori 14.1 Två pers nollsummespel: sdelpunkt 14.2 Två pers nollsummespel: rndomiserd strtegi, dominns, grfisk lösning 14.3 LP och nollsummespel 14.4 Två personer - icke konstnt spel. 14.5 Intro

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater. Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING Se till tt lmellgrdinen fästes i ett tillräckligt säkert underlg. Ev motor och styrutrustning skll instllers v behörig elektriker. 1 Montering Luxor monters med de

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Tentamen i EDA320 Digitalteknik-syntes för D2

Tentamen i EDA320 Digitalteknik-syntes för D2 CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för dtorteknik Tentmen i EDA320 Digitlteknik-syntes för D2 Tentmenstid: tisdgen den 24 ugusti 999, kl. 08.45-2.45, Sl: mg. Exmintor: Peter Dhlgren Tel. expedition

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer