TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018"

Transkript

1 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =?

2

3 TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men vi skulle vilj pproimer den på något sätt med ett uttryck v enklre slg (polynom) som åtminstone är giltigt när en given punkt =. Vnlig metoder som vi redn känner till inkluderr tt br pproimer f med en konstnt f() (f:s värde i = ) eller knske med hjälp v tngenten till f i =. Båd metodern är vettig, men om vi behöver en bättre pproimtion då? Konstnten är ett polynom v grd noll och tngenten ett polynom v grd. Hur hittr vi en pproimtion v godtycklig grd n? Vi söker lltså ett polynom p() som stämmer överens med f när en punkt =. Låt oss illustrer vd vi menr. y f() + f () + f () 2 2 f() f() + f () Det verkr rimligt tt välj koefficientern i polynomet p() så tt p() = f(), p () = f () och så vidre (tt uttrycken hr smm derivtorer upp till önskd ordning i = ). Dett är också precis vd vi kommer tt gör! 2 Epnsion v snäll funktioner Vi kn gör dett systemtiskt när = med hjälp v en så klld Mclurinutveckling. Vi kommer hel tiden tt kräv tt funktioner är tillräckligt snäll (deriverbr) för vårt ändmål. I llmänhet kräver vi tt f är kontinuerligt deriverbr n + gånger om vi vill pproimer med ett polynom v grd n. Vi skriver dett lite kortre som f C n+, underförstått tt dett gäller när origo. Vi kn utläs dett som f tillhör klssen v (n + )-gånger kontinuerligt deriverbr funktioner. Dett betyder tt funktionen f, först derivtn f, ndr derivtn f och så vidre till och med f (n+) eisterr och är kontinuerlig funktioner.

4 Om f C n+ så gäller tt Mclurinutveckling f() = f() + f () + f () 2! där resten r() är liten när noll. Polynomet p n () = f() + f () + f () 2! 2 + f (3) () 3! klls för Mclurinpolynomet för f v ordning n. 2 + f (3) () 3! f (n) () n + r(), n! f (n) () n n! Observer tt grden för p n är högst n (det kn händ tt termer försvinner på grund v tt någon derivt är noll i origo). Bevis. Vi utnyttjr upprepd prtiell integrtion. Genom ett smrt vl v primitiv funktion, d (t ) =, erhåller vi tt dt f() = f() + ˆ f (t) dt = f() + ˆ f (t) dt = f() + [ (t )f (t) ] ˆ (t )f (t) dt = f() + f () [ ] (t ) = f() + f 2 ˆ () f (t ) 2 (t) + f (3) (t) dt 2 2 = f() + f () f () + = f() + f () f () + ˆ (t ) 2 f (3) (t) dt 2 [ ] (t ) 3 f (3) (t) 3! ˆ ˆ ˆ (t ) 3 f (4) (t) dt 3! = f() + f () f () + 3 3! f (3) (t ) 3 () f (4) (t) dt 3! ˆ = = p n () + ( ) n (t ) n f (n+) (t) dt. n! Här får vi på köpet en representtion v resten r(), nämligen tt ˆ r() = ( ) n (t ) n f (n+) (t) dt = n! ˆ ( t) n f (n+) (t) dt. n! (t )f (t) dt Dett brukr klls Lgrnges restterm på integrlform; vi återkommer till dett! Det finns nu fler frågor. Vd mens med tt resten är liten när noll? Vd händer om vi är intresserde kring en punkt = och? Innn vi svrr på dess frågor, låt oss betrkt ett eempel. 2

5 Utveckling v sin y sin = + cos + sin 2 2! + cos 3 + 3! 3 /6 + 5 /5! = 3 3! + 5 5! + 3 /6 f() Desto fler termer vi tr med (ju högre grd polynomet p n hr), desto bättre stämmer polynomet överens med funktionen när noll. Precis som önskt. Resttermen är helt enkelt felet r() = f() p n (). Tydligt är tt dett fel beror på både och grdtlet n (och självklrt funktionen f). 3 Resttermen Hur hnterr vi resttermen? Ett sätt är tt jämför med uttryck v typen n som vi vet hur de beter sig när noll. På grund v konstruktionen måste r uppfyll tt r() = r () = r () = = r (n) () = eftersom koefficientern i p n () vlts för just dett ändmål (vis dett!). Vidre följer det tt r (n+) () = f (n+) () (förutstt tt f (n+) är definierd) eftersom p (n+) n () blir identiskt lik med noll. Det finns fler följder v denn likhet, och en vrint som gör det enkelt för oss tt räkn är tt uttryck restermen med hjälp v stor ordo. Stor ordo Definition. Vi säger tt f() = O( n ) då är när noll om det finns en begränsd funktion B() så tt f() = B() n för när noll. En funktion begränsd när noll är något som inte eploderr när vi befinner oss när origo. Skissr mn en grf sk mn kunn rit in grfen i en rektngel. Till eempel är inte begränsd när origo. Men är begränsd när nolln (men inte när ). Mn bör lltså + preciser i vilket område mn menr när mn säger tt något är begränst. 3

6 y I figuren kn mn se tt det går tt stäng in /( + ) när origo (svrt rektngel), men det är omöjligt tt rit en rektngel som täcker / ovsett hur liten sidlängd mn väljer prllellt med -eln (röd försöket). En br sk tt komm ihåg är tt ll funktioner som är kontinuerlig när origo är begränsde när origo. Däremot behöver så klrt inte en begränsd funktion vr kontinuerlig. Vi kommer tt ägn oss en hel del åt så kllde ordo-klkyler. Följnde smbnd gäller. För när noll och m, n gäller: (i) O( n ) ± O( m ) = O( m ) om m n ( lägst vinner ); (ii) O( n )O( m ) = O( m+n ); (iii) Om f() = O( n ) och m n så är f() = O( m ) (vi kn sänk eponenten); (iv) B()O( n ) = O( n ) om B() är begränsd; (v) O( m ) n = O( mn ) och O((O( m )) n ) = O( mn ); (vi) O( n ) då om n >. Egenskper för stor ordo Observer speciellt fllet (i) med n = m och minus; vi hr lltså O( n ) O( n ) = O( n ). Ordo-termer tr ldrig ut vrndr eftersom det kn vr olik funktioner B() i de olik ( uttrycken. Vi kn även h negtiv eponenter som till eempel O, då oft underförstått ) 4

7 tt dett gäller när istället för när noll (nnrs är ordo-termen inte liten). Vi kn även tänk oss uttryck som O( α ) för α som inte är heltl. Viss försiktighet krävs dock så tt llt är definiert (α = /2 ger en kvdrtrot som inte är så pigg på negtiv tl som beknt, därv beloppet i uttrycket ovn). Ett nnt speciellt fll är O(). Dett är lltså endst en begränsd funktion. I norml fll kn vi inte gör så mycket med dett uttryck så om det dyker upp behöver vi ntgligen gör något nnorlund. Till eempel så gäller O( 5 ) O( 3 ) = 2 ( O( 3 )) + O( 3 ) = 2 ( O( 3 )) ( + O( 2 )) = O( 3 ), + O( 2 ) och då bråket är begränst när noll (vrför?) så är lltså llt lik med O(). Mn kn även hmn i situtionen tt mn hr potenser v uttryck som innehåller ordo-termer. Systemtiskt kn mn gå till väg som i följnde eempel. Låt t = O( 4 ). Då gäller tt ( t 2 = t t = 2 2 ) ( O( 4 ) 2 2 ) O( 4 ) = O( 4 ), ( t 3 = t t 2 = 2 2 ) O( 4 ) ( O( 4 ) ) = 3 + O( 4 ), ( t 4 = t t 3 = 2 2 ) O( 4 ) ( 3 + O( 4 ) ) = O( 4 ), När mn hr vnn inne knske mn tr lite genvägr... Om t = + O( 2 ), vd är + t + O(t 3 )? Lösning. Vi stoppr helt enkelt in vd t är och förenklr: + t + O(t 3 ) = + + O( 2 ) + O(( + O( 2 )) 3 ) = + + O( 2 ) + O( 3 ) = + + O( 2 ). Här hr vi undersökt ( + O( 2 )) 3 och ser tt den lägst eponent som dyker upp är när termen dyker upp i produkten. Alltså måste dett uttryck vr = O( 3 ). Eftersom vi redn hr en O( 2 )-term så tillför dett inget och vi erhåller svret ovn. 5

8 Vd innebär det tt f() = O( n )? Oft hndlr det om tt beskriv hur snbbt en funktion f() går mot noll (eller kvlittivt hur liten den är när noll). Mn kn då tänk sig tt uttrycket i ordo-termen ger en gräns för hur stor f() kn vr och mer eller mindre trycker ihop grfen för f() på ett visst sätt när origo. Betrkt följnde eempel (där f() är den blå kurvn). y y f() = O() y f() = O() y f() = O( 2 ) f() = O( 4 ) Om f är tillräckligt snäll (i meningen deriverbr) kn mn vis tt följnde smbnd gäller. Om f C n+ när origo så är f() = p n () + O( n+ ), där p n () är Mclurinpolynomet v ordning n. Bevis. Om vi erinrr oss Lgrnges restterm på integrlform kn vi skriv f() = p n () + ˆ ( t) n f (n+) (t) dt. n! 6

9 Då måste Här är r() = ˆ n n! ( t) n ˆ f (n+) (t) dt n! t n f (n+) (t) dt n! m f (n+) (t) t ˆ dt = B() n+. B() = n! m t f (n+) (t) begränsd på, te,, eftersom f (n+) (t) är en kontinuerlig funktion. Således måste r() = O( n+ ). Mclurinpolynomet v ordning n för f() = e kn fås enkelt eftersom f (n) () = e för ll n, så f (n) () = och e = ! + 4 4! + + n n! + O(n+ ). Vi utvecklr f() = cos. Då är f () = sin, f () = cos, f (3) () = sin och f (4) () = cos. Sen börjr vi om med sin igen. Enligt formeln för Mclurinutveckling erhåller vi nu cos = ! + O(6 ). Polynomet är Mclurinpolynomet v både ordning 4 och 5 smtidigt eftersom f (5) () = så 5 -termen skns. Även om polynomet hr grd 4 (inte 5). När mn 4! vet om situtioner som denn är det lämpligt tt skriv O( 6 ) eftersom dett är mer precist. Vet mn däremot inte om tt 5 -termen skns måste mn skriv O( 5 ). All dess ordo-termer ställer till lite bekymmer iblnd (speciellt när mn läser fcit). Precis som ovn kn fler lterntiv vr snn men det betyder så klrt inte tt de är lik br. Ett nnt eempel är sin = 3 /6 + O( 4 ) och sin = 3 /6 + O( 5 )? Båd är korrekt. Vilken skulle du välj? Det är den sist mn brukr finn i tbeller, men vi lltid kn sänk eponenten i ordo-termen ty O( 5 ) = B () 5 = B () 4 = O( 4 ) där O( 4 ) = B 2 () 4 med B 2 () = B (). Vi flyttr lltså ett v :en till den begränsde termen (vilket är ok då är begränsd när noll). Vi tppr lltså lite informtion men likheten är fortfrnde snn. Vi kn skriv O( 3 ) också, men då försvinner 3 -termen in i ordo-termen. Slutstsen blir tt välj så hög eponent som möjligt. Den uppmärksmm läsren hr nu märkt något gnsk underhållnde: sekvensen v likheter kn endst läss från vänster till höger! Vr således lite försiktig. Lösningen på det formell problemet är tt nvänd ndr beteckningr istället för likhet, lterntivt skriv ut de begränsde funktionern hel tiden. 7

10 Se upp med ordo-klkylen! Ett vrningens ord inför tentn: slrv inte med ordo-termern! Uppgifter med principfel i ordo-hntering brukr render noll poäng. Påstå inte tt ett uttryck är mer precist än det är genom tt svr med för hög ordo-term (typisk fel i stil med tt påstå tt vänsterled och högerled är smm i ( O( 5 )) O( ) där bäst korrekt ordo-termen i vänsterledet är O( 6 )) och tt inte nvänd termer som är meningslös på grund v närvron v en ordo-term (te O( 3 )). 4 Stndrdutvecklingr Låt oss sml någr vnlig utvecklingr som med fördel kn memorers för tt snbbt kunn nvänds. Smtlig kn härleds direkt från formeln för Mclurinutvecklingr även om någr stycken kn görs lite enklre med viss trick (vi undersöker ett pr närmre på näst föreläsning). (i) e = ! + + O(n ) (ii) ln( + ) = n + ( )n 3 n + O(n+ ) (iii) cos = ! ± 2k (2k)! + O(2k+2 ) (iv) sin = 3 3! + 5 5! ± 2k (2k )! + O(2k+ ) (v) tn = O( ) (vi) ( + ) α α(α ) = + α Vnlig funktioner α(α )(α 2) 3 + 3! α(α ) (α n) n + O( n+ ) n! (vii) rctn = n + ( )n 5 2n + O(2n+ ) Utvecklingen v tn knske bör kommenters. Koefficientern som trillr ut följer ett mönster v s.k. Bernoullitl, men dett ligger lite utnför kursen. Enklst knske är tt härled de termer mn behöver för situtionen om inte tbellen finns tillgänglig eller memorerd. Ett krångligre eempel? Visst, mn kn gör sker hur bökig som helst! 8

11 Finn Mclurinutvecklingen för cos(sin ) v ordning 5. Lösning. Låt t = sin. Då är t = 3 3! + O(5 ), t är när noll när är när noll (viktigt!), och cos t = t2 2 + t4 4! + O(t6 ) = ( ) ! + O(5 ) + ( + O( 3 ) ) 4 + O(t 6 ) 4! = ! + O(6 ) + 4 4! + O(6 ) + O(( + O( 3 )) 6 ) = O( 6 ). 4! Vd händer om vi betrktr sin(cos ) istället? Undersök sken och vr försiktig med ordotermen! 5 Tylorutvecklingr Vi hr nämnt problemet tidigre: vd händer om vi vill pproimer f kring en punkt = istället där? Vi kommer åt dett problem genom tt betrkt g(t) = f(t + ), så vi låter lltså t =. Genom en Mclurinutveckling v g erhåller vi då följnde: g(t) = g() + g ()t + g () 2 t2 + + g(n) () t n + O(t n+ ) n! Här är g() = f(), g () = f (), och så vidre, och vi kn formuler uttrycket i vribeln i stället. Vi summerr resulttet i följnde sts. Om f är en (n + )-gånger kontinuerligt deriverbr funktion när = så är f() = f() + f ()( ) + f () 2 Tylorutveckling ( ) f (n) () ( ) n + O(( ) n+ ). n! Observer här tt termen O(( ) n+ ) är liten när är när i stället för när är när noll. Dett är viktigt! Konstruktionen med g(t) = f(t + ) gör tt vi i princip lltid kn nt tt = när vi bevisr stser. Med ndr ord gäller motsvrnde stser för Tylorutvecklingr som gäller för Mclurinutvecklingr. ( ) Finn Tylorutvecklingen för rctn kring = 3 v ordning 2 med restterm på ordo-form. 2 9

12 Lösning. Låt f() = rctn ( ) 2. Då är f () = 2 + (/2) 2 = /2 och f () = 4 ( + 2 /4) 2. Vi söker utvecklingen kring = 3, så = 3 i stsen ovn. Således erhåller vi tt ( 3 f(3) = rctn, f 2) (3) = Enligt stsen ovn ser vi tt 2 + 9/2 = 2 3, smt f 3 (3) = 4 ( /4) 2 = ( ) ( 3 rctn = rctn + 2 2) 2 6 ( 3) 3 69 ( 3)2 + O(( 3) 3 ). Självklrt kn mn i princip lltid likt vid härledning v Mclurinutvecklingr nvänd stsen ovn direkt (deriver och räkn ut f(), f () och så vidre, precis som i emplet ovn) men oft kn vi rädd situtionen med en känd Mclurinutveckling. Hur? Vi betrktr ett pr eempel för tt illustrer. Mclurinutveckl polynomet till ordning 2. Utveckl även polynomet kring = med ordning 2. Lösning. Mclurinpolynomet v ordning 2 ges v och utvecklingen kn skrivs = O( 3 ). Nu råkr 3 -termen skns så vi skulle lik gärn (bättre) kunn skriv O( 4 ). Vd händer när vi söker en Tylorutveckling kring =? Enklst är oft tt låt t+ = eftersom vi då hr när ett när t när noll. Alltså, = (t + ) 4 + 2(t + ) 2 3(t + ) + 4 = + 4t + 6t 2 + 4t 3 + t 4 + 2(t 2 + 2t + ) 3(t + ) + 4 = 4 + 5t + 8t 2 + O(t 3 ) = 4 + 5( ) + 8( ) 2 + O(( ) 3 ). Här kn vi inte skriv O(( ) 4 ) eftersom det finns en t 3 -term. Det kn lltså bli skillnd beroende på vilken punkt vi rbetr i (inte så förvånnde om vi tänker efter). Tylorutveckl + sin() kring = π 2.

13 Vi låter = t + π 2. Om är när π så är t när. Vi Mclurinutvecklr då 2 g(t) = f ( t + π ) ( = +sin t + π ) = +cos t = 2 t2 ( π/2) O(t4 ) = 2 +O(( π/2) 4 ), 2 där vi nvänt den känd trigonometrisk formeln sin(t + π/2) = cos t, t R. 6 Tillämpningr En vnlig tillämpning för Mclurinutvecklingr är beräkning v gränsvärden. sin Beräkn lim. Vi löser dett genom tt Mclurinutveckl sin (se tidigre eempel): sin = (3 /6) + O( 5 ) = + O( 2 ), då. Vi kn lltså Mclurinutveckl uttryck istället för tt memorer stndrdgränsvärden! Näst föreläsning kommer tt innehåll mssvis med fler tillämpningr!

14

15 TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningr v Mclurinutvecklingr John Thim 4 mrs 28 Entydighet Om vi hr ett polynom som pproimerr en snäll funktion br, kn vi då vr säkr på tt koefficientern i polynomet är Mclurinkoefficientern? Fktum är tt vi fktiskt kn det! Entydighet Om f är (n + )-gånger kontinuerligt deriverbr, dvs f C n+, och f() = n n + O( n+ ) så är = f() och k = f (k) () k! för k =, 2,..., n. Bevisskiss: Mclurinutvecklingen finns, så vi måste h likheten n n + O( n+ ) = f() + f () + f () 2! f (n) () n + O( n+ ). n! Med = får vi = f(). Sen är det locknde tt deriver för tt bestämm, men ordotermen är obehglig då den inte behöver vr deriverbr. Men om vi utnyttjr tt = f() kn vi förkort bort ett överllt (även i ordo-termen): n n + O( n ) = f () + f () 2! Alltså är = f () och så vidre. Vi lndr till slut i tt där vi kn låt. n + O() = f (n) () n! + + f (n) () n + O( n ). n! + O(),

16 2 Utvecklingr från derivtn Om mn vet en utveckling för derivtn f () kn mn direkt hitt utvecklingen för f() genom tt betrkt integrlklkylens huvudsts: f() = f() + ˆ f (t) dt. Härled Mclurinutvecklingen för ln( + ). Lösning. Låt f() = ln( + ). Som beknt ges derivtn v f () =. Vi kn utveckl + denn som ( + ) : + = ( ) n n + r(). Vi stnnr på n v en nledning. Eftersom f() = ln = så är ln( + ) = n + ( )n 3 n + ˆ r(t) dt. Resttermen då? I dett fll så ser vi tt Mclurinpolynomet är en geometrisk summ, så r() = n + ( ) k = + ( )n ( ) = ( )n n +. Alltså blir (för > ) r() n. Vi kn nu uppsktt integrlen v feltermen. Om gäller tt ˆ ˆ r(t) dt t n dt = n+ n + = O(n+ ) eftersom +. När < måste vi minst kräv tt < < (vrför?). Men vi kn gör det enklre för oss och helt enkelt nt tt /2. Då är + /2 och + 2. Liknnde klkyl som ovn ger oss O( n+ ). Dett krävde gnsk precis kunskp om resttermen, men det går tt gör liknnde rgument även när vi inte hr så enkl fll. Vi återkommer till dett i näst föreläsning. Det finns även en sts i boken som implicerr resulttet ovn. Dett resultt är generellt nvändbrt så låt oss formuler stsen. Om f C när noll smt f () = O( p ) för något heltl p, så är f() = O( p+ ) såvid f() =. Observer här tt vi bsolut inte påstår tt mn kn deriver ordo-termen. Som formuleringen lyder så vet vi priori tt f eisterr. 2

17 3 Utvecklingr vi nstser Om mn studerr utvecklingrn för sin och cos ser mn tt den udd funktionen sin endst hr udd eponenter och tt den jämn funktionen cos endst hr jämn eponenter. Dett gäller generellt för udd respektive jämn funktioner. Använd utvecklingen för sin för tt finn Mclurinpolynomet v ordning 4 för rcsin. Lösning. Vi vet tt rcsin( ) = rcsin(), så rcsin är udd. Det innebär lltså tt rcsin = O( 5 ). Vi söker och 3. Nu vet vi tt sin rcsin = för och eftersom sin = + 3 /6 + O( 5 ) måste då O( 5 ) ( O( 5 )) 3 + O(( O( 5 )) 5 ) =. 6 Vänsterledet kn vi skriv om som + ( ) O( 5 ) 6 och för tt dett sk vr lik med högerledet måste lltså = och 3 3 /6 =. Med ndr ord erhåller vi tt rcsin = O(5 ). Kontroller dett genom tt deriver f() = rcsin direkt! 4 Gränsvärden En vnlig tillämpning för Mclurinutvecklingr är beräkning v gränsvärden. cos + 2 Beräkn lim. 2 Vi löser dett genom tt Mclurinutveckl cos och + 2 : cos + 2 = 2 /2 + O( 4 ) ( + 2 /2 + O( 4 )) 2 2 = 2 ( + O( 2 )) = + O( 2 ), då. 2 Vi kn lltså Mclurinutveckl uttryck istället för tt memorer mssvis med stndrdgränsvärden! Oft är det också någon slgs kncelltion inblndd. Utvecklingr kn vr ett br sätt tt plock bort beteende som är likdnt i summor. 3

18 cos sin Finn gränsvärdet lim. ln( + 3 ) Vi löser problemet nlogt med föregående klkyl: ( ) cos sin O( 5 ) 2 3! lim = lim ln( + 3 ) 3 + O( 6 ) = lim + 3 O(2 ) = + O( 3 ) 3. = lim O( 5 ) 3 + O( 6 ) rctn sin 2 tn 2 Finn gränsvärdet (om det eisterr) lim. 2 ln( + 2 ) Lösning. Låt t = sin 2. Då är och därmed är t = ) 2 ( 3 3! + O(5 ) = O( 6 ) 3! Vidre är och rctn t = t + O(t 3 ) = ! Vi hr lltså + O( 6 ) + O ( ( 2 + O( 4 )) 3) = ! tn 2 = 2 + O( 6 ) 2 ln( + 2 ) = 2 ( 2 + O( 4 )) = 4 + O( 6 ). + O( 6 ). rctn sin 2 tn 2 2 ln( + 2 ) = ! 2 + O( 6 ) 4 + O( 6 ) = 2 + 3! O(2 ) + O( 2 ) 2 3! = 3. 5 Gränsvärden mot oändligheten Vi behöver i fllet när vi söker ett gränsvärde mot oändligheten inför en ny vribel som går mot noll då. Den vnligste tekniken vi nvänder är tt bryt ut det som dominerr ur vrje term och då få sker kvr som går mot noll. Dess sker brukr ge lämplig ny vribel. 4

19 ( Räkn ut gränsvärdet lim ) Lösning. Vi försöker bryt ut det som dominerr i vrje term. I den först är det 4 -termen och i den ndr 2 -termen. Således hr vi ( ) = ( = + ( ) ( 4 + O + ( ) ( ( + O 2 + ) ))) 2 2 = ( ) 2 + O, då. 2 Här hr vi nvänt t = 2 och s = 2 + som ny vribler. 6 Asymptoter Vis tt hr en symptot då. Lösning. Vi visr dett genom tt finn symptoten (om den finns). Mot oändligheten är det 2 -termen som dominerr i kvdrtroten, så vi börjr med tt bryt ut denn = Eftersom kn vi nt tt =. Låt nu t = 4. Då gäller tt t då. 2 2 Eftersom + t = + 2 t + O(t2 ) ser vi nu tt ( = 2 + ( 2 4 ) ( ( + O ) )) 2 = 2 ( ) O. Observer här tt O ( ( 4 ) ) 2 ( = O ) ( ) = O så termer innehållnde 2 försvinner in i denn. Vi hr nu vist tt det finns en symptot 2 /2 då eftersom O(/) då. 5

20 7 Etrempunkter En Mclurinutveckling beskriver hur en funktion beter sig loklt när origo. Alltså borde denn informtion kunn nvänds för tt undersök om det finns ett loklt m eller min i origo. Självklrt borde smm sk kunn görs i ndr punkter genom tt nvänd lämplig Tylorutveckling i stället. Vi betrktr ett pr eempel. Avgör om sin punkten hr. hr en lokl etrempunkt i origo och vgör om så är fllet vilken krktär Lösning. Vi Mclurinutvecklr sin och finner då tt sin = O(4 ) = 2 ( ) 6 + O(2 ). När är när ser vi tt uttrycket i prentesen y är. Funktionsvärdet i = är och om vi 6 flyttr oss lite från = så är funktionsvärdet strikt mindre än ett. Dett är definitionen v ett loklt mimum! Mer precist innebär likheten ovn tt det finns ett δ > så tt sin < för < < δ, se figuren till höger. δ δ f() Avgör om 2 + ep( 2 ) tn hr en lokl etrempunkt i origo och vgör om så är fllet vilken krktär punkten hr. Lösning. Vi utvecklr uttrycket: 2 + ep( 2 ) tn = 2 + ( O( 4 ) ) = O(5 ) ( ) 4 = O(2 ). ) ( O(5 ) Här ser vi tt uttrycket är större än 2 när > (men när noll) och mindre än 2 när < (men när noll) eftersom 3 välr tecken. Dett är således vrken en meller minpunkt eftersom ingen v dess definitioner är uppfylld. Formellt innebär det tt för vrje (litet) δ > hr funktionen utseendet till höger. Är dett en så klld tersspunkt? δ y δ f() 6

21 TATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lgrnges form John Thim 5 mrs 28 Lgrnges form för resttermen Vi hr tidigre nvänt resttermen på ordo-form med god resultt. Oftst i smbnd med gränsvärden, etrempunktsundersökningr eller ndr lokl egenskper. Vd kn mn gör om mn vill h ett resultt som gäller globlt, eller åtminstone på ett förutbestämt intervll kring en punkt? Vi behöver lltså en mer precis kontroll på hur resttermen (dvs felet i utvecklingen) beter sig. Lgrnges form Om f C n+ när = så kn resttermen r() i Mclurinutvecklingen v ordning n för f skrivs r() = f (n+) (ξ) (n + )! n+ för något ξ melln och för vrje fit när origo. Bevis. Kom ihåg från föreläsning tt r() = ˆ ( t) n f (n+) (t) dt. n! Eftersom ( t) n för t melln och, smt tt både ( t) n och f (n+) (t) är kontinuerlig, kn vi nvänd medelvärdesstsen för integrler som säger tt det för vrje finns ett tl ξ melln och så tt r() = f (n+) (ξ) ˆ = f (n+) (ξ) (n + )! n+, vilket är precis vd vi vill vis! ( t) n n! ] t= dt = f (n+) ( t)n+ (ξ) [ (n + ) n! t=

22 Funktionen ξ Observer tt dett är punktvis. För vrje fit hr vi resttermen på denn form. Tlet ξ beror lltså på vilket värde hr och bör därför egentligen betrkts som en funktion ξ() v. Dett kn ställ till det om mn inte är försiktig. På det sättet vi kommer tt nvänd Lgrnges form kommer vi dock inte tt påverks då vi hel tiden kommer jobb med så kllde likformig uppskttningr (som gäller för ll värden i något fit intervll för den vribel vi betrktr). Däremot kn funktionen ξ() potentiellt vr ordentligt elk (vi vet inte hur den ser ut eftersom den definiers vi medelvärdesstsen för vrje ). Det går lltså inte tt deriver resttermen r() på Lgrnges form hur som helst och även integrtion bör utförs försiktigt där mn helst uppskttt bort llt ξ-innehåll innn någon integrl dyker upp. Iblnd skriver mn ξ = θ, där θ [, ] för tt mrker tt ξ beror på. Observer här tt även θ vrierr när vi ändrr, men är begränsd melln och. Låt oss betrkt ett eempel. Låt f() = ( + ) 5. Vi vet från binomilstsen precis hur dett ser ut (Pscls tringel och så vidre). Alltså, f() = för ll. Låt oss utveckl f till ordning 3. Då är f() = r() där r() = f (4) (ξ) 4. Det är tydligt tt vi måste ändr ξ beroende på hur vi väljer. Dett 4! är klrt eftersom vi vet tt r() = och det är det end sättet dess två uttryck kn mtchs på: f (4) (ξ) 4 = f (4) (ξ) 4! 4! = 5 + 5ξ + 5 = 5 + ξ = 5 om då f (4) (ξ) = 2ξ + 2, vilket ger ett ξ som beror på (linjärt till och med!). I det generell fllet beror så klrt inte ξ så enkelt på, men eemplet visr tt ett beroende gnsk direkt uppstår. För motsvrnde Tylorutveckling kn resttermen skrivs r() = f (n+) (ξ) (n + )! ( )n+ där ξ ligger melln och (och när är fit). 2 Tillämpningr Så vd kn vi nvänd dett till? I princip de situtioner då vi inte enbrt är intresserde v vd som händer (väldigt) när en viss punkt. Allt från tt vis tt en viss Mclurinutveckling konvergerr på något intervll då vi fortsätter mot oändligheten med ntlet termer till tt vi knske mer precist vill uppsktt en integrl där vi inte känner till någon elementär primitiv funktion. Vi fortsätter nu lltså med en rd eempel på hur vi kn nvänd oss v Lgrnges 2

23 form på resttermen. Först smmnfttr vi stegen som oft ingår i nvändndet v Lgrnges restterm. Vnlig tekniker I llmänhet gör vi ett byte först och utvecklr en stndrdutveckling och sen pluggr in den gml vribeln i resttermen för den enkl utvidgningen. Se till tt håll koll här på vrt ξ ligger. Försök få en uppfttning om storleksordningen på r() för olik n. Hur stort n krävs? Är det överhuvudtget möjligt? Räkn ut derivtn f (n). Tips kn fås från hur Mclurinutvecklingen ser ut (men den räcker inte!). Uppsktt resttermen så tt vi får bort ξ. Utgå från det värst som är möjligt på det intervll vi rbetr. Låt oss räkn någr eempel för tt förtydlig. Skriv upp resttermen r() på Lgrnges form för utvecklingen v ordning för + 3. Lösning. Låt g(t) = ( + t). Vi betrktr g(t) = ( + t) = t + t 2 t 3 + r(t), där r(t) = g(4) (ξ) t 4 med ξ melln och t. Vrför stnnr vi vid n = 3? Jo, vi kommer ersätt t 4! med 3, så då får vi med llt upp till ordning. Eftersom g (4) 24 (t) = (dett måste ( + t) 5 räkns ut) så hr vi lltså r(t) = 24 4!( + ξ) 5 t4 = ( + ξ) 5 t4, för något ξ melln och t. Vrför inte skriv ξ t? Fktum är tt vi inte vet om t är positiv eller negtiv så då behövs lite belopp här och där för tt vr säkr. Enklre tt uttryck sken med ord! Vi återgår till : + 3 = r( 3 ) = ( + ξ) 5, för något ξ melln och 3. Observer tt krvet på ξ nu ändrts till motsvrnde krv för. Dett är viktigt! Vi kn också jämför med tt direktutveckl f() =. Då blir Mclurinpolynomet detsmm ( )

24 (givetvis) och resttermen får formen f (2) (ξ) 2 2! = ( ξ ( + ξ 3 ) ξ 2 ( + ξ 3 ) ξ 8 ( + ξ 3 ) ξ 5 ( + ξ 3 ) ξ 2 ( + ξ 3 ) ξ 9 ξ 6 ( + ξ 3 ) 7 45 ξ 3 ( + ξ 3 ) 6 + ( + ξ 3 ) 5 ) 2. ( + ξ 3 ) 8 ( ) En nturlig fråg nu är så klrt hur dett resultt kn stämm överens med ( ) eftersom de båd uttrycken ser ordentligt olik ut. Tänk dock på tt det är olik ξ i de två uttrycken. Det end vi påstår är tt för vrje finns ett ξ melln och 3 och ett ξ 2 melln och så tt resttermen i ( ) får smm numerisk värde som ( ), med ξ = ξ respektive ξ = ξ 2. Så båd vrintern ger en korrekt likhet. Vilken skulle du välj tt rbet med? Vis tt + ( ) ( ) 5 2 för 2. Lösning. Det end som blir kvr inne i bsolutbeloppet är resttermen vi tog frm i föregående eempel. Eftersom 2 är Då blir + ξ eftersom ξ ligger melln 8 och 3. Alltså blir ( ) 5 ( + ξ) 5 2 ( 2 8 ) 5 = Här vr det lltså viktigt vilk värden ξ kn nt! 2. Uppskttningr v funktionsvärden Typiskt skulle mn kunn vilj vet pproimtiv vilket värde en given funktion hr i en viss punkt =. Ett sätt är tt pproimer funktionen med dess Mclurinpolynom, som går lätt tt räkn ut numeriskt i en viss punkt (till eempel = ). Felet i denn uppskttning måste dock vr under kontroll, så vi behöver nvänd Lgrnges restterm med = och se hur stort dett blir. Uppsktt tlet cos 4 med ett fel < 6. 4

25 Lösning. Vi vet tt cos = 2 2 2n + + ( )n (2n)! + cos ξ ( )n+ (2n + 2)! 2n+2, för något ξ melln och. Resten kn vi uppsktt (för = /4) med cos ξ ( )n+ (2n + 2)! 2n+2 4 2n+2 (2n + 2)! eftersom cos ξ. Vi kn nu test n för tt se när dett blir < 6. Vi ser tt n = inte duger men med n = 2 erhåller vi (4 + 2)! = 2 2 6! < 4 5 =.5 6. Alltså är där R < 6. cos 4 = R Uppsktt 3 med ett fel < 3. Lösning. Att försök utveckl 3 = + 2 visr sig väldigt svårt då = 2 är för stort. Vi försöker skriv om 3 =, och ser då tt = 5 8 = , vilket verkr mer lovnde. Vd vi gjort är tt vi förlängt 3:n med en kvdrt och sen introducert en nnn kvdrt v ungefär smm storlek. På så sätt får vi något när ett inne i roten när vi bryter ut jämn kvdrter. Vi utvecklr + : + = ( + ξ) 5/2 8 3, 3! där ξ ligger melln och (och vårt = 6/8). Vi uppskttr resttermen (för hel utvecklingen) för tt se om dett räcker: ( + ξ) 5/2 3 3! ( + ξ) 5/2. Eftersom ξ ligger melln och = 6/8 blir nämnren som värst 6/8 = 75/8. Vi kn då uppsktt tt ( + ξ) 5/2 ( ) 5 ( 75 = 8 5 ) 5 3 > 9 5 ( 5 3 ) 5 2 = 9 ( ) 5 5 6

26 där vi utnyttjt tt 3 > 3. Nu kn vi uppsktt resttermen med = < < 2 2 < 3. Alltså hr vi ( 9 3 = ) + R = R där R Integrlklkyl Mn kn även hitt pproimtiv värden för numerisk integrler. Dett åstdkoms genom tt mn pproimerr integrnden med dess Mclurinpolynom. Problemet ligger i tt vi behöver h kontroll över hur resttermen beter sig över hel integrtionsområdet. Det räcker lltså inte med resttermen på ordo-form, utn vi behöver nvänd oss v Lgrnges restterm. Beräkn pproimtivt ˆ / d med ett fel som är < 9. Lösning. Vi utvecklr integrnden och låter t = 4 3 : + 43 = ( + t) /2 = + 2 t 8 t2 + r(t) = r(4 3 ), där r(t) = 3 8 ( + ξ) 5/2 t 3 för något ξ melln noll och t. Vi uppskttr r(4 3 ) genom 3! r(4 3 ) 3 8 3! (43 ) 3 = 4 9 eftersom + ξ då ξ ligger melln och 3 smt. Alltså är ˆ /8 ] / d = [ = ˆ /8 ˆ /8 r(4 3 ) d r(4 3 ) d, där ˆ /8 r(4 3 ) d 4 ˆ /8 9 d = 2 5 [ ] /8 8 = 2 3. Eftersom 2 3 = 24 3 > 9 så är felet < 9. 6

27 2.3 Konvergens? En gnsk nturlig fråg är så klrt vd som händer om vi tr med oändligt mång termer i Mclurinpolynomet (och vd det skulle betyd). Ett sett tt resoner på är tt nlyser resttermen och se vd som händer med den när ntlet termer går mot oändligheten. Ett nnt sätt är tt stirr på polynomet och funder. Följnde eempel är gnsk intressnt med tnke på tt smtlig Mclurinpolynom är identiskt lik med noll. Konvergens v utvecklingr Iblnd kn mn hmn i urrtde situtioner. T till eempel följnde funktion: { e /2,, f() =, =. Denn funktion är intressnt då f (n) () = för vrje positivt heltl n (vis det). Alltså är ll Mclurinkoefficienter lik med noll och ll Mclurinpolynom p n () = för ll. Mn kn tänk sig tt dett ldrig kn vr en br pproimtion, men låt oss rit hur f ser ut: y f() Verkr inte helt glet ändå! Tydligt tt pproimtionen inte fungerr när vi flyttr oss för långt från origo, vilket är ett fenomen som inträffr då och då. Däremot är dett ett eempel på en funktion där ll termer stämmer överens med Mclurinpolynomet, men även om mn tr med oändligt mång termer blir det br likhet i en end punkt ( = ). Vi återkommer till problemet tt hitt konvergensområden senre (potensserier). 7

28

29 TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 4 mrs 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om en integrl konvergerr eller divergerr. Inte lik mycket på vd det ekt värdet blir. Låt oss börj med tt definier vd vi menr med en generliserd integrl. Definition. Låt f vr kontinuerlig på ], b[. En integrl ˆ b f() d säges vr generliserd i om = eller om f() är obegränsd då +, smt generliserd i b om b = eller om f() är obegränsd då b. Vi säger helt enkelt tt en integrl är generliserd i en punkt om det uppstår problem med begränsningen i punkten. Noter tt krvet på tt f är kontinuerlig på ], b[ är strkre än nödvändigt. Vi skulle kunn nöj oss med tt kräv tt f är Riemnnintegrbel på ], b[ (eller mer korrekt på ll slutn delintervll v ], b[). Integrlen integrlen ˆ 7 ˆ2 d är inte generliserd, integrlen ˆ d är generliserd i både och i. d är generliserd i + och + 2 Så hur menr vi då tt vi sk hnter generliserde integrler? Definition. Om f är kontinuerlig på ], b[ så definierr vi den generliserde integrlen enligt ˆ b f() d = lim s + ˆ c s f() d + lim t b om båd gränsvärden eisterr ändligt (oberoende v vrndr). ˆ t c f() d, där < c < b,

30 Mn kn gnsk enkelt vis tt vlet v c inte påverkr resulttet (vrför?). Vi tr med båd potentiellt generliserde punktern på en gång, men i fllet tt integrlen inte är generliserd smmnfller gränsvärdet med den klssisk definitionen på Riemnnintegrlen. Dett ligger också till grund för följnde sts. Sts. Om ˆ b g() d eisterr (som ändlig gränsvärden) så gäller för konstnter c och c 2 tt f() d och ˆ b ˆ b Linjäritet ( c f() + c 2 g() ) ˆ b ˆ b d = c f() d + c 2 g() d. När vi säger tt en generliserd integrl eisterr nvänder vi iblnd begreppet konvergent. Definition. Om den generliserde integrlen eisterr kllr vi den för konvergent. I de fll där något v gränsvärden inte eisterr kllr vi integrlen för divergent. Värt tt noter är tt en vnlig Riemnn-integrl v en Riemnnintegrbel funktion på ett intervll [, b] självklrt är konvergent. Undersök om (den generliserde) integrlen ˆ d är konvergent. Lösning. Vi börjr med tt skiss den re vi kn tolk integrlen som. y y = b 2

31 Integrlen är generliserd i både = och i. Vi behöver lltså gör två undersökningr. Vi börjr med och väljer c = : ˆ d = [ 2 ] = 2 2 2, då +. Mot = går det lltså tt definier integrlen. Vd händer i b =? Vi undersöker: Alltså divergerr ˆ ˆ b d = [ 2 ] b = 2 b 2, då b. d och då är även hel integrlen i frågn divergent. Det räcker lltså i det här fllet tt undersök den ndr biten eftersom den är divergent. Hr mn en ning om tt något är divergent bör mn börj med den delen. Undersök om ˆ cos d är konvergent. Lösning. Vi vet hur cosinus ser ut och det är endst i b = integrlen är generliserd. Utn tt tänk så mycket kn vi direkt från definitionen test: ˆ b cos d = [sin ] b = sin b?, då b. Gränsvärdet skns lltså i dett fll i stället för tt bli oändligt stort. Integrlen divergerr ändå. Mer villkorlig konvergens; symmetri Här kn mn knske funder lite över hur ren är fördeld. Cosinus är en periodisk funktion som befinner sig lik mycket ovnför -eln som under, borde då inte den positiv och negtiv ren t ut vrndr och integrlen bli noll? Svret är mj.. Enligt definitionen ovn så är integrlen divergent. Ing tveksmheter lls. Divergent. Vill vi tt svret sk bli noll (pg v re-rgumentet) måste vi definier begreppet konvergent integrl på något nnt sätt. Dett kn görs och mn prtr då om (ännu mer) villkorligt konvergent integrler. Cuchys principlvärde är ett eempel som nvänds på intervll symmetrisk kring = : ˆ (ˆ ɛ ˆ ) p.v. f()d = lim f() d + f() d. ɛ + Dett gränsvärde kn eister även då integrlen inte är konvergent som vi definiert det tidigre. Betrkt eempelvis f() = / för. ɛ För tt t bort dess vrter v möjlig konvergens introducerr vi begreppet bsolutkonvergens. 3

32 Definition. Om ˆ b f() d < kllr vi Absolutkonvergens ˆ b f() d för bsolutkonvergent. Fler sker bör kommenters ngående denn definition. Vi summerr lite viktig fkt. (i) Om (ii) Om ˆ b ˆ b f() d < så är ˆ b f() d konvergent. f() d är bsolutkonvergent gäller ˆ b ˆ b f() d f() d. (iii) Om f() för < < b så eisterr lltid gränsvärden lim och lim t b ˆ t c f() d om vi tillåter resulttet. (iv) Speciellt gäller föregående för f(). s + ˆ c s f() d Vi överlämnr till boken tt bevis påståenden Definition. Om f och ˆ b f() d är divergent skriver vi ˆ b f() d =. Dett betyder inte tt integrlen är konvergent, utn br ett kortre sätt tt nge tt integrlen v en icke-negtiv funktion divergerr. Vi kn inte skriv på dett sätt om inte f() (tänk till eempel på eemplet med f() = cos vi såg tidigre). Vis tt ˆ sin d är konvergent. Lösning. Tricket är tt prtilintegrer: ˆ b sin d = [ cos ] b ˆ b Integrlen i högerledet är bsolutkonvergent eftersom ˆ b cos d 2 ˆ b cos 2 d. [ d = ] b = 2 b 4

33 då b. Alltså är integrlen vi strtde med konvergent eftersom cos b cos cos b då b. Mn kn också vis tt integrlen inte är bsolutkonvergent (mn blir då tvungen tt nlyser lite noggrnnre hur sin ser ut för < < ). Tekniken som nvänds ovn för tt konstter tt cos är bsolutkonvergent är en mycket nvändbr jämförelseprincip. Låt oss formuler den mer generellt. 2 Sts. Om f() g() för < < b så gäller tt: (i) ˆ b g() d konvergent ˆ b ˆ b f() d konvergent. f() d ˆ b g() d. Speciellt gäller (ii) ˆ b f() d divergent ˆ b f() d divergent. Är ˆ ln 3 d konvergent? Lösning. Vi vet från grundkursen tt ln för >, så ln är också snt för >. Således måste ˆ ˆ ln d 3 d < 2 ˆ b eftersom d = då b. Vi hr nu enligt jämförelsestsen ovn vist tt 2 b integrlen i fråg är konvergent. Avgör om ˆ 3 d är konvergent Lösning. Vi ser tt för : eftersom + 2. Då vi vet tt följer det v föregående sts tt kompkt (och slrvigt) som = 3 = ˆ ˆ ˆ d är konvergent och ˆ ˆ 3 d = 3 d så 3 d är konvergent. Oft skriver vi dett lite mer ˆ + 2 d 3 d < 2 5

34 ˆ eftersom vi vet tt d <. Vi jämför oft med uttryck v formen α, så följnde eempel är br tt komm ihåg. Följnde påståenden gäller: Vnlig jämförelsefunktioner (i) (ii) ˆ ˆ d < om och endst om α < ; α d < om och endst om α >. α Beviset v påståenden ovn hndlr br om tt räkn ut integrlern. Vi ser tt om α : ˆ [ ] α d = = α α α α α α då om och endst om α <. Om α > blir den ndr termen oändlig. Vd händer då när α =? Vi undersöker: ˆ d = [ln ] = ln då +. Integrlenˆär lltså inte konvergent i dett fll. Fllen för d hnters på smm sätt. Kortfttt ser vi tt α ˆ b [ ] α b d = = b α α α α α om och endst om α >. Om α = blir det en logritm nlogt med ovn: ˆ b d = [ln ]b = ln b då b. Integrlen ˆ d är divergent eftersom ˆ 3 ˆ + 2 d = Olikheten följer från tt + 2/ 3 då. ˆ 3 d ( + 2/ ) d =. Mn kn även nöj sig med tt undersök hur funktionern beter sig loklt kring de generliserde punktern. Mer precist kn vi gör följnde. 6

35 Sts. Låt f och g vr kontinuerlig funktioner sådn tt: (i) f() och g(), eller f() och g(), på ], b[; (ii) ˆ b f() d och ˆ b (iii) < lim b f() g() <. Då gäller tt g() d är generliserde endst i = b; ˆ b f() d är konvergent ˆ b g() d är konvergent. Det fktum tt gränsvärdet eisterr (möjligen lik med ) följer för tt det är icke-negtiv funktioner vi rbetr med (eller mer korrekt tt funktionern inte välr tecken). Att vi kräver tt gränsvärdet för kvoten f/g ligger strikt melln och innebär tt f och g beter sig ungefär likdnt när vi närmr oss b. Då förefller det rimligt tt båd integrlern ender konvergerr eller divergerr. Ett noggrnnre bevis återfinnes i boken. På smm sätt kn vi gör om integrlern endst är generliserde i =. Om så är fllet och f() < lim + g() < så är ender båd integrlern konvergent eller divergent. Avgör om ˆ ( ) e / sin d är konvergent. Lösning. Eftersom > vet vi tt e / > så den först fktorn i integrnden är negtiv medn för stor kommer sin tt vr positiv. Vi Mclurinutvecklr (i vribeln t = / respektive s = / ) och ser tt Vi jämför med ( e / ) sin = 3/2 stsen ovn) och ser tt ( e / ) sin ( + O ( 2 )) ( = + O ( ) 2. ( + O som är negtiv (men så länge f och g hr smm tecken går llt br i / 3/2 = + O 7 ( ), då ))

36 ˆ och således konvergerr integrlen i fråg om och endst om d konvergerr. Svret är 3/2 lltså konvergent eftersom den sist integrlen är känt konvergent (se jämförelsefunktionern ovn). Avgör om ˆ ln( + ) d är konvergent. Lösning. Eftersom > vet vi tt ln( + ) > så integrnden är positiv. Integrlen är generliserd i = så vi Mclurinutvecklr för tt se hur beteendet ser ut: ln( + ) + O() = = ( ) + O. Det dominernde beteendet ges lltså v / så vi jämför med denn funktion: ln( + ) = + O( ), då +. Således är integrlen i fråg konvergent om och endst om denn integrl är divergent så ˆ ln( + ) ˆ d är divergent. Ett lite svårre eempel? Här kommer en gmml uppgift-5 från en tent. d är konvergent. Vi vet tt Konvergerr integrlen ˆ ( ) sin rctn d? Motiver noggrnt. ln( + ) Lösning. Eftersom integrlen är generliserd både i och så delr vi upp i två delr: ( ) ( ) ˆ sin rctn ˆ sin rctn d + ln( + ) d. ln( + ) Vi börjr med tt undersök integrlen på [, ]. För ], ] gäller tt ( ) sin rctn ln( + ) rctn ln( + ). Nu vet vi tt rctn och ln( + ) då, så rctn lim + ln( + ) =. 8

37 Låt därför g() = och f() = g() rctn för >. Då är f, g ln( + ) för > och både f och g är kontinuerlig för >. Vidre visde vi ovn tt f() g() ], [ då +, så enligt jämförelsestsen på gränsvärdesform följer det tt ( ) ˆ sin rctn d ln( + ) kommer vr bsolutkonvergent eftersom vi vet tt ˆ d <. Vi undersöker nu integrlen på [, [. Vi skriver ( ) ( sin rctn f() = + O ( ) ) rctn = 3/2 ln( + ) ln( + ) ( ( )) = + O rctn ln( + ) 3/2 så vi låter g() = 3/2 för >. Då gäller tt ln( + ) ( ( )) f() g() = + O rctn π, då. 3/2 2 Eftersom f och g är kontinuerlig och icke-negtiv på ], [ smt tt gränsvärdet mot för f/g är π ˆ 2 ], [ så följer det från jämförelsestsen på gränsvärdesform tt f() d är konvergent om och endst om ˆ ˆ g() d är konvergent. Vi undersöker denn integrl: 3/2 ln( + ) d ˆ d ln 2 3/2 eftersom ln( + ) ln 2 för. Den sist integrlen är känd som konvergent (α = 3/2 är större än ). Svr. Konvergent! Uppgifter v typen ovn brukr vr tråkig läsning vid rättning. Det är missuppfttningr om vd som är förutsättningr och följder, slrv med tt preciser tt krv är uppfylld smt missförstånd om vd jämförelsestsern egentligen säger. Ett förslg på lösningsgång när det gäller jämförelsestsen på gränsvärdesform följer. 9

38 . Del upp integrlen så tt vrje delintegrl är generliserd i högst en punkt. Betrkt sedn en integrl i tget. 2. Antg tt ˆ b f() d endst är generliserd i =. Identifier hur integrnden beter sig när = (den punkt integrlen är generliserd i). Använd Mclurinutvecklingr, uppskttningr eller gissningr. Vi sk vis i näst steg tt vlet är vettigt. 3. Konstter tt f() inte håller på tt väl tecken när =. 4. Antg tt vi tycker f() beter sig som g() när. Typiskt här är tt vi skriver f() = f() f() g(). Vi visr sen tt om lim = L så sk < L < gäll g() + g() (om f() är positiv när = ). Blir L = hr vi vlt g() så tt g() väer betydligt snbbre än f(). Får vi L = så väer g() lldeles för långsmt. Det är lltså viktigt tt konstter tt < L <. 5. Avgör konvergens för I = ˆ b g() d. Om integrlen blir för komplicerd knske det finns bättre vl för g(). Konstter om integrlen är konvergent eller divergent. 6. Hänvis till jämförelsestsen på gränsvärdesform och dr slutstsen tt konvergent precis då ˆ b Förslg på lösningsgång ˆ b g() d är konvergent (vilket vi precis undersökte). f() d är

39 TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generliserde summor ) John Thim 5 mrs 28 En funktion s: N R brukr klls tlföljd, och vi skriver oft s n i stället för s(n). Dett innebär lltså tt för vrje heltl n så är s n något reellt tl. Andr beteckningr finns, till eempel nvänds oft s[n] för tt mrker tt det hndlr om den diskret funktion (dvs en tlföljd). Det är inget speciellt med N mer än tt vi måste börj någonstns och fortsätt till oändligheten. Vi kn lik gärn tänk oss en tlföljd s n där n = 4, 3, 2,.... Eller s n där n =, 2, 4, 6,... och så vidre. (i) s n = 3 n, n =,, 2,..., dvs s =, s = 3, s 2 = 3 2 och så vidre. (ii) s n = 2 n, n = 4, 5, 6,..., dvs s = /6, s = /32, s 2 = /64 och så vidre. Speciellt är vi intresserde v summor v tlföljder. Om k är en tlföljd kn vi låt s n = n = n k, något vi stött på vid mång tillfällen tidigre. vis som geometrisk summor. Vi skpr lltså en ny tlföljd s n, n =, 2, 3,..., från tlföljden k, k =, 2, 3,... vis k = 3 k ger s n = n 3 k = 3 (n+) 3 = 3 2 ( ), n =,, 2, 3,... 3 n+

40 Numerisk serier Det som är nytt nu är tt vi tänker låt n. Frågn uppstår då hur vi sk tolk summn med oändligt mång termer. Låt oss kll gränsvärdet s så tt s = lim s n i de fll då dett n gränsvärde eisterr, vilket förefller vr en nturlig definition (jämför med de generliserde integrlern). I eemplet ovn ser vi tt ( 3 s = lim s n = lim ) = 3 n n 2 3 n+ 2. Definition. Om k, k =,, 2,... är en tlföljd definierr vi serien s enligt s = k = lim n n k i de fll då dett gränsvärde eisterr. Vi kllr s n = n k för delsummor v k. Det kn gå åt skogen på två olik sätt i definition: (i) Om gränsvärdet blir någon oändlighet, dvs s n eller s n då n. (ii) Om gränsvärdet inte ens eisterr som någon oändlighet, till eempel s n = ( ) n. I det först fllet skriver vi iblnd k = respektive k =, även om dess inte är reell tl. Men det ger en smidigre nottion (precis som för generliserde integrler). Definition. Om en serie eisterr som ett ändligt reellt tl kllr vi serien för konvergent. Annrs säger vi tt serien är divergent. Vi skriver iblnd (formellt) serien konvergent? k även då serien inte eisterr. Speciellt i formen v frågn Är Avgör om ( + 2k) och är konvergent. 2k 2

41 Lösning. Den först serien är divergent eftersom delsummorn är ritmetisk så n ( + 2n + )(n + ) ( + 2k) = = (n + ) 2, då n. 2 Den ndr serien är konvergent eftersom delsummorn är geometrisk med q <, ty n 2 = 2 (n+) = 2 ( 2 (n+)) 2, då n. k 2 Vi hr här lltså direkt vgjort konvergensfrågn genom tt helt enkelt (försök) räkn ut seriern. Sts. Om lim k k så är k divergent. Divergenstestet Observer tt dett villkor för divergens inkluderr fllet när gränsvärdet lim k k inte eisterr. Bevis. Låt oss skriv k lite kretivt enligt k = ( k ) ( k ) = s k s k. Om summn är konvergent så gäller tt både s k s och s k s då k. Men dett innebär enligt likheten ovn tt k = s k s k s s = då k. Med ndr ord, om serien är konvergent så måste k då k. Negtionen v dett är påståendet i stsen ovn. Observer tt omvändningen inte gäller. Det räcker lltså inte tt k för tt en serie sk konverger. Det klssisk moteemplet är den s.k. hrmonisk serien som divergerr. k k= Den geometrisk serien till q k = q. q k konvergerr om och endst om q < och konvergerr då Geometrisk serier Dett följer från formeln för geometrisk summor: n q k = qn+ q q såvid q <. Om q ser vi tt k = q k då k, så serien är inte konvergent i dett fll. 3

42 Vrt börjr serien? Det är inget speciellt med tt vi betrktr summor v tlföljder k där k =,, 2,.... Vi kn lik gärn undersök summor där k = m, m +, m + 2,..., dvs k. All stser stämmer ändå. Om en summ konvergerr eller inte hr br tt gör med hur termern k beter sig för stor k. Om vi börjr med k =, k = 2 3 eller k = 74 kvittr för frågn om konvergens. k=m Vi kn även del upp summor i delr i de fll då dess delr beter sig br. Sts. Om c är en konstnt gäller tt Vidre gäller tt c k = c k. ( k + b k ) = k + med undntget då vi får fllen + eller, eller tt gränsvärden inte eisterr ens med oändlighetern tillåtn. Dess fll måste nlysers noggrnnre. b k Bevisskiss. Beviset följer återigen direkt från tt betrkt delsummor. För sådn får vi lltid del upp och bryt ut konstnter. Vd händer sen när ntlet termer går mot oändligheten? Om llt konvergerr är det frid och fröjd. ( Som eempel på ett urrtt fll kn mn betrkt ( ) k +( ) k+). All termern i serien är noll, men slår vi sönder i två delr uppstår två serier som båd divergerr ordentligt. 2 Positiv serier Om k för ll k kllr vi serien k för positiv. Om en sådn serie divergerr går det mot oändligheten och vi skriver som beknt serien konvergent (och lik med ett tl s ). Med ndr ord gäller följnde. k = i det fllet. Om inte dett händer är Sts. Om k för ll k så gäller tt k < om och endst om serien är konvergent. 4

43 Positiv serier hr mång trevlig egenskper. Blnd nnt gäller följnde: Sts. Om k b k för ll k så är k b k. Speciellt gäller tt (i) (ii) b k konvergent k konvergent, k divergent b k divergent. Bevis. Beviset följer v tt olikheten gäller för ll delsummor eftersom k b k. Vis tt är konvergent. + 2k Lösning. Eftersom + 2 k 2 k erhåller vi tt + 2 k 2 = 2 k eftersom dett är en geometrisk serie. Inte nog med tt vi nu vet tt serien konvergerr, vi vet också tt den konvergerr mot något som inte är större än 2. Cuchys integrlkriterium Sts. Om f() är en vtgnde funktion för så gäller tt f(k) < k= ˆ f() d <. Beviset följer i princip från en enkel skiss. Vi ritr in en vtgnde icke-negtiv funktion f och mrkerr en övertrpp (de ros rektnglrn) och en undertrpp (de blå rektnglrn) med heltlssteg. 5

44 y y = f() Vi ser då direkt tt summn v ren hos de n först ros rektnglrn blir n f(k) och n+ tt summn v ren hos de n först blå rektnglrn blir f(k). Vidre ser vi tt ren melln y = f() och -eln då n ligger melln dess rektngelreor. Således gäller n f(k) k=2 ˆ n k=2 n f() d f(k). Vi låter n och stsen följer. Om f är strängt vtgnde blir olikhetern strikt (för ändlig n). k= k= Vis tt k= < om och endst om α >. kα Lösning. Dett följer v Cuchys jämförelseprincip eftersom är vtgnde för > (eftersom α > ) och tt vi vet tt ˆ α d < precis då α > (se förr föreläsningen). α Vis tt n k= k 2 2 n för n =, 2,.... 6

45 Lösning. Eftersom är vtgnde för > följer det från Cuchys jämförelsests tt 2 n k= n k = + 2 k=2 ˆ n k + 2 [ d = + ] n = 2 2 n. Specifikt vet vi då tt k= är konvergent och konvergerr till något som är 2. k2 Sts. Om k och b k smt k < lim < k b k så gäller tt k < b k <. k= k= Med ndr ord, om gränsvärdet eisterr och ligger strikt melln och så konvergerr ender båd seriern eller så divergerr båd två. Avgör om k= sin(/k) k är konvergent. Lösning. Om k är stor är /k liten och sin(/k) = /k + O(/k 3 ). Vi får lltså en etr /k från täljren och jämför därför med /k 2 : sin(/k)/k /k 2 = /k2 + O(/k 4 ) /k 2 = + O(/k 2 ), då k. Alltså är serien i fråg konvergent om och endst om är konvergent eftersom termern k2 k= är positiv (för stor k är sin /k > ). Den sist serien är välkänd som konvergent (se eemplet ovn) och därmed är den efterfrågde serien också konvergent. 7

46 3 Absolutkonvergens Definition. Om Absolutkonvergens k är konvergent kllr vi k= k= k för bsolutkonvergent. Det följer direkt tt en bsolutkonvergent serie är konvergent med k k= k. k= Vis tt cos k 2 k (2 + sin k) är konvergent och inte är större än 2. Lösning. Vi visr tt serien är bsolutkonvergent. Vi hr nämligen cos k 2 k (2 + sin k) = 2 cos k k 2 + sin k 2 k = 2 är serien bsolutkon- eftersom cos k och 2 + sin k. Eftersom cos k vergent och 2 k (2 + sin k) 2. 2 k = /2 4 Alternernde serier Vi kllr serier där termer välr tecken, vrnnn positiv och vrnnn negtiv, för lternernde. För sådn serier finns, om vi kräver tt k vtr mot noll, ett krftfullt resultt. Sts. Om k är en lternernde serie sådn tt 2 3 är en vtgnde k= Leibniz sts följd och k då k så är serien konvergent. Bevis. Antg tt (nnrs kn vi lik gärn betrkt minus serien). Krvet tt k är vtgnde innebär då tt + 2, 3 + 4, etc, smt tt 2 + 3, och så vidre. 8

47 y Tnken är nu tt betrkt två olik delsummor s 2n och s 2n+. Vi ser då tt s 2n = ( + 2 ) + ( ) + + ( 2n + 2n ), där möjligen är +, eftersom ll prenteser är. Alltså en följd v icke-negtiv tl och s 2n är vände (gränsvärde finns lltid om vi tillåter ). Vidre är s 2n+ = + ( ) + ( ) + + ( 2n + 2n+ ) b, där b möjligen är, eftersom ll prenteser är. Alltså en följd v icke-positiv tl och s 2n+ är vtgnde (gränsvärde finns lltid om vi tillåter ). Dessutom hr vi s 2n+ s 2n = 2n+, vilket innebär tt b b. Dett innebär tt båd och b måste vr ändlig. Men vi vet också tt k vilket i sin tur visr tt = b. Således konvergerr serien. Vis tt serien ( ) k k= k är konvergent men inte bsolutkonvergent. Lösning. Med k = ( ) k /k ser vi tt k = /k är en vtgnde följd och tt k. Eftersom serien är lternernde visr nu Leibniz sts tt den är konvergent. Mot vd? Br fråg, fktiskt till ln 2 (gå tillbk till Mclurinvsnittet och studer ln( + ) och funder över hur dett kn komm sig). Däremot är serien inte bsolutkonvergent eftersom k = k= k= k =. Dett är som beknt den hrmonisk serien. 9

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 0 januari 207 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar

TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 9 januari 27 Entydighet Om vi har ett polynom som approximerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips TNA004 Anlys II för ED, KTS, MT Lektionsuppgifter med kommentrer/lösningstips VT 06 TNA004, Anlys II - Lektion Denn lektion hndlr om beräkning v reor och kurvlängd.. Areberäkning Aren melln två funktionskurvor,

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier TATA4: Föreläsning 6 Potensserier Johan Thim januari 7 Vi ska nu betrakta serier där termerna inte längre är konstanter. Speciellt ska vi studera så kallade potensserier. Dessa definieras som a k x k a

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler TATA4: Föreläsning Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 7 mrs 16 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer, men

Läs mer

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys Mtemticentrum Mtemti NF ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Mtemtis Anlys en vribel Toms Clesson och Per-Anders Ivert Generliserde integrler och summor. Generliserde integrler över obegränsde intervll

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009 Innehåll Sommrmtte del Mtemtisk Vetenskper 8 pril 009 5 Ekvtioner och olikheter 5. Komple tl............ 5.. Algebrisk definition, imginär rötter....... 5.. Geometrisk representtion, polär koordinter...

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten

Bilaga 1. Beskrivning av uppgifterna och provresultaten Bilg 1. Beskrivning v uppgiftern oh provresultten 1997-00 I det följnde redoviss lydelsen på de olik uppgifter som ingår i testet oh resulttet för de fyr år som testet hittills hr nvänts. Härigenom kn

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer