EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER"

Ida Nyberg
för 4 år sedan
Visningar:

1 EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär trnsformtion) om följnde två villkor är uppfylld Villkor. T( u + v) = T( u) + T( v) Villkor. T(ku ) = kt( u) för vrje sklär k och ll uu, vv VV. T ex. rottion kring origo, spegling i en linje, spegling i ett pln i R 3, projektion v en vektor på en linje, projektion v en vektor på ett pln i R 3 är linjär vbildningr. En linjär vbildning från R n till R m kn definiers med hjälp v en m n mtris A genom: y = Ax. Exempel. Låt A=. Då är y = Ax dvs y = x en linjär vbildning som vbildr tvådimensionell vektorer x på tredimensionell vektorer y. Exempelsvis vektorn x 3 = vbilds på y = = 6 5 Anmärkning: Eftersom en punkt P tillhörnde ortvektor OP hr smm koordinter, istället tt säg vektorn (x, x,x n ) kn vi säg punkten (x, x,x n ). cos v sin v Exempel. Låt A =. Avbildningen y = Ax beskriver rottionen vinkeln v sin v cos v π kring origo. Låt v =. Bestäm bilden v punkten P=(,). 4 Lösning. π π cosv sin v cos sin A = = 4 4 = sin v cosv π π sin cos 4 4 Vi skriver punktens koordinter som kollonvektor (nnrs är mtrisprodukt ej definierd) och beräknr A = = Svr: Sid v 5

2 Definition ( v egenvektor och egenvärde för en kvdrtisk mtris ) Låt A vr en kvdrtisk mtris dvs en mtris v typ n n. Om det finns en nollskild vektor v och en sklär λ så tt Av = λ v (*) då klls vv mtrisens egenvektor och tlet λ klls mtrisens egenvärde. Geometrisk tolkning. Vi kn betrkt vbildningen v Av där vrje n-dimensionell vektor v vbilds på Av. Geometriskt betyder Av = λ v tt egenvektorn vv är prllell med sin bild Av. v T(v) Anmärkning. Nollvektorn godkänns lltså INTE som egenvektor till en kvdrtisk mtris A. Däremot tlet kn vr ett egenvärde till A. Dett ät fllet om Av v dvs A v = för någon nollskylld vektor v. Eftersom ovnstående homogen system hr icke-trivil lösningr om och endst det(a)= hr vi tt λ är ett egenvärde till A om och endst om det(a). Därför gäller följnde ekvivlens: (λ är ett egenvärde till A) (det(a) ) ( A är INTE inverterbr). Anmärkning. Om v är en egenvektor till A som svrr mot egenvärde λ, dvs om Av = λ v då är u = tv (där t är en sklär skild från ) också en egenvektor med smm egenvärde. Bevis: Au = A ( tv) = tav = tλ v = λtv = λu Alltså Au = λu V.S.B Bestämning v egenvärden och egenvektorer För tt bestämm λ och v skriver vi om (*) : Av = λ v ( A λi) v eller Sid v 5

3 ( n ( m x n n x ( nn n x (**) Eftersom vv enligt definitionen, söker vi icke-trivil lösningr, och de finns endst om eller ( ( n m ( nn n n (***) Ekvtionen är (efter utveckling v determinnten) en lgebrisk ekvtion v grd n. Ekvtionen klls för den krkteristisk ekvtionen eller, i någr böcker, sekulrekvtion. Steg. Vi löser först den krkteristisk ekvtionen ( EKV ) och får mtrisens egenvärden. Steg. För vrje egenvärden (dvs. lösning till EKV) λ k substituerr vi λ=λ k i ( A λ I ) v ( EKV) och bestämmer motsvrnde egenvektor. Uppgift. Bestäm ll egenvärden och egenvektorer för följnde mtriser: ) 4 3 b ) c) d) 3 ) Lösning Vi löser följnde två ekvtioner : ( EKV ) och ( A λ I ) v ( EKV) Steg. Först löser vi den krkteristisk ekvtionen, EKV, och får eventuell reell egenvärden: (4 λ ( λ (4 λ( λ + λλ 5λλ + 6 Sid 3 v 5

4 Ekvtionen hr två reell lösningr och 3 och därför hr vi två egenvärden λλ =, λλ = 3. Steg. Låt vv = xx yy. För vrje reell lösning λ k till EKV substituerr vi λ=λ k i EKV, dvs i följnde ekvtion Och bestämmer motsvrnde egenvektorer. (4 λ ( λ xx yy = i) λλ =. Vi hr (4 ) ( ) xx yy =, xx yy =, Vi får system (som hr icke trivil lösningr) xx yy xx yy Härv xx yy ~ ( eeee ffffff vvvvvvvvvvvvvvvv, tt eeee yy = tt ooooh ddärrrrrrrr xx = tt) vv = xx yy = tt tt = tt där t ( Nollvektorn är INTE en egenvektor. ) ii ) På smm sätt får vi för λλ = 3 en tillhörnde egenvektor är vv = tt Svr: ) Egenvärdet λλ = med motsvrnde egenvektor vv = tt, t och egenvärdet λλ = 3, med motsvrnde egenvektor vv = tt. b) λλ =, vv = tt, t ; λλ, vv = tt 3, t. c) Steg. λ det( A λ I ) ger (3. (4 Vi utveklr determinnten efter tredje rden: λ det( A λi ) = (4 = (4 [ λ(3 + ] = (4 ( λ 3λ + ) (3 Den krkteristisk ekvtionen (4 λ )( λ 3λ + ) hr tre lösningr λ =, λ och λ = 3 4 som är mtrisens egenvärden. = Anmärkning: Om vi utvecklr determinnten på ett nnt sätt och förenklr då får vi tredjegrdsekvtion λ λ 4 λ + 8 Sid 4 v 5

5 Om det finns heltlslösningr till ovnstående ekvtion så är de delre till konstnt termen 8. Vi testr heltlsfktorer till 8 : ±, ± ± 4 ooooh ± 8. Tlet λ = är en lösning (kontroller själv) och därför är polynomet λ λ 4 λ + 8 delbrt med (λ ). Polynomdivision ger ( λ λ 4 λ + 8)/(λ ) = λ + 6λ 8 Ekvtionen λ + 6λ 8 ger två lösningr till λλ = och ; λλ 3 = 4. xx Steg. Låt vv = yy zz. För vrje egenvärde λ k substituerr vi λ=λ k i EKV, och bestämmer motsvrnde egenvektor. ( Kontroller nednstående svr.) Svr c) λλ =, vv = tt, t ; λλ =, vv = tt, t ; λλ 3 = 4, vv 3 = tt, t Svr d) λλ, vv = tt, t ; λλ =, vv = tt, t ; λλ 3 = 3, vv 3 = tt, t Uppgift. Antg tt mtrisen A hr egenvektorn v som svrr mot egenvärdet λ. Vis tt då v också är egenvektor till mtrisern ) A b) A 3A + I Bestäm motsvrnde egenvärden i båd fll. Lösning: ) Enligt ntgnde gäller Av = λv (ekv) Vi multiplicerr (ekv) med A från vänster och får A v = λav A v = λ v Allterntivt kn vi direkt beräkn A v=aav= Aλv=λAv=λλv=λ v Alltså, från A v = λ v, ser vi tt v också är en egenvektor till A som tillhör egenvärdet λ. b) ( A 3A + I) v=a v 3Av+v= λ v 3λv +v =(λ 3λ +)v, därför är v en egenvektor till A 3A + I med tillhörnde egenvärdet (λ 3λ +). Sid 5 v 5

Relevanta dokument

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell