Finaltävling den 20 november 2010

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Finaltävling den 20 november 2010"

Olof Månsson
för 5 år sedan
Visningar:

1 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning Låt T betekn tringelren Tringlrns sidor hr då längdern 2T, T, 2 3T resp Enligt tringelolikheten gäller tt summn v två sidolängder, vilk som helst, lltid överstiger den tredje sidns längd, dvs om sidlängdern är, b oh, så gäller + b >, + > b oh b + > Men för den ktuell tringeln gäller inte dett överllt; vi hr nämligen T T = 5 3T < 2T Det finns lltså ingen tringel med de givn höjdmåtten Svr Någon sådn tringel finns inte Problem 2 Betrkt fyr linjer y = kx k 2 för olik heltl k Fyr olik punkter (x i, y i ) är sådn tt vr oh en tillhör två olik linjer oh på vrje linje ligger preis två v dem Låt x 1 x 2 x 3 x 4 Vis tt x 1 + x 4 = x 2 + x 3 oh y 1 y 4 = y 2 y 3 Lösning Låt (x, y) vr en gemensm punkt till linjern y = kx k 2 oh y = lx l 2, k l Då är x(k l) = k 2 l 2 x = k + l y = k(x k) = kl Låt y = ix i 2 oh y = jx j 2 vr de två återstående linjern (i, j, k, l är olik heltl) Om (k +l, kl) är en v de fyr punktern måste exkt en v de övrig punktern ligg på linjen y = kx k 2 oh exkt en på linjen y = lx l 2 Av dess båd sk den en ligg på linjen y = ix i 2 oh den ndr på linjen y = jx j 2 Skärningen melln linjen y = ix i 2 oh linjen y = jx j 2 måste följktligen vr den fjärde punkten oh vi kn utn inskränkning nt tt punkterns koordinter är (k + l, kl), (i + j, ij), (i + k, ik), (j + l, jl) (Vrt oh ett v heltlen i, j, k, l förekommer i exkt två v koordintern) y (j) (k) (3) (4) (i) x (1) (2) (l) (1) (2) (3) (4) (k + l, kl) (j + l, jl) (i + k, ik) (i + j, ij)

2 (Anm y-skln är något hoppressd i förhållnde till x-skln i figuren för tt ge bättre överskådlighet) Vi kn utn inskränkning nt tt k + l är den minst summn Det följer tt k + l i + k, vrv l i, oh k + l j + l, vrv k j Såväl i + k som j + l är därför i + j, dvs i + j är den störst summn Det gäller lltså tt x 1 + x 4 = (k + l) + (i + j) = (i + k) + (j + l) = x 2 + x 3 (vi behöver inte bekymr oss om vilken summ som är störst v i + k oh j + l), smt tt y 1 y 4 = (kl)(ij) = (ik)(jl) = y 2 y 3 Påståendet är därmed vist Problem 3 Finn ll nturlig tl n 1 sådn tt det finns ett polynom p(x) med heltlskoeffiienter för vilket p(1) = p(2) = 0 oh där p(n) är ett primtl Lösning Betrkt polynomet p(x) = x + 2 x m x m, där 0, 1, 2,, m är hel tl Bild differensen melln p(r) oh p(s) för heltlen r oh s 1 (r s) + 2 (r 2 s 2 ) + + m (r m s m ) Koeffiienten för k, r k s k, kn för k = 1, 2,, m skrivs som en produkt v två heltl där den en fktorn är r s (r k s k ) = (r s)(r k 1 + r k 2 s + r k 3 s rs k 2 + s k 1 ), dvs r s är en delre till p(r) p(s) Antg tt villkoren i uppgiften är uppfylld Först observerr vi tt n > 2 Det gäller då tt n 1 är en positiv delre till p(n) p(1) = q oh n 2 en positiv delre till p(n) p(2) = q, där q är ett primtl Men till ett godtykligt primtl q finns br de positiv delrn 1 oh q oh vi måste h n 2 = 1 oh n 1 = q, vilket ger n = q + 1 = 3 oh q = 2 För tt villkoren sk vr uppfylld måste lltså n = 3 oh q = 2 Det återstår tt vis tt det existerr ett polynom med nämnd egenskper; ett sådnt är p(x) = (x 1)(x 2) = x 2 3x + 2 Svr n = 3 Problem 4 Vi skpr en tlföljd genom tt sätt 1 = 2010 oh kräv tt n är det minst tl som är större än n 1 oh dessutom är delbrt med n Vis tt 100, 101, 102, bildr en ritmetisk tlföljd Lösning Vi börjr med tt konstter tt n n 1 n, så = < Dett visr tt 100 = 100k, för något k < 100 För dett k är följden 100k, 101k, 102k, en ritmetisk tlföljd den llmänn termen är nk för n 100 Men melln två suessiv termer nk oh (n + 1)k är differensen k < 100 < n + 1 Melln nk oh (n + 1)k kn det följktligen inte finns något tl som är delbrt med n + 1 för n 100 Nämnd ritmetisk följd måste därför vr identisk med den sökt tlföljden 100, 101, 102, Anm I själv verket är påståendet snt för n 50 Det gäller nämligen tt 49 = 2549, 50 = 2550, 51 = 2601, 52 = 2652 osv Vi hr här en ritmetisk serie med differensen k=51 Tlföljden för n 100 inleds med 100 = 5100, 101 = 5151, 102 = 5202 osv

3 Problem 5 Betrkt mängden v tringlr där sidlängdern uppfyller ( + b + )( + b ) = 2b 2 Bestäm vinklrn i den tringel för vilken vinkeln mitt emot sidn med längden är så stor som möjligt Lösning Låt hörnen som står mot sidorn med längdern, b, vr A, B, C resp Vi beteknr vinkelmåtten med smm bokstäver som tringelns hörn Villkoret kn lterntivt skrivs ( + b) 2 = 2b eller (1) 2 = b b Enligt osinusstsen gäller okså (2) 2 = b b os A Om vi kombinerr (1) oh (2) finner vi tt villkoret okså kn skrivs som (3) 2b = 2b os A os A = Eftersom, b, är positiv storheter är os A positiv, vilket betyder tt vinkeln vid A är < 90 Enligt sinusstsen gäller vidre tt (4) sin A = sin C = sin A sin C Av (3) oh (4) följer tt tn A = sin C Vinkeln A är mximl när tn A är så stor som möjligt oh vi finner tt 0 < tn A 1 med likhet om oh endst om sin C = 1, dvs när A = 45 oh C = 90 smt B = 45 För denn tringel gäller = b oh = 2b oh insättning visr tt villkoret är uppfyllt Alterntiv lösning Efter tt h notert smbndet (3) oh konsttert tt 0 < A < 90 kn vi nvänd följnde geometrisk resonemng Låt oss fixer oh vrier b oh i förhållnde till Låt D vr fotpunkten till höjden mot AC eller dess förlängning oh låt mätetlet för höjden vr h (vrierr när b oh vrierr) Att mximer vinkeln A är ekvivlent med tt mximer tn A B B h h A b b b D C A C D Vi observerr tt mätetlet för höjden inte kn överstig längden v sidn BC oh vi får tn A = h = 1, med likhet om oh endst om h =, vilket inträffr när D smmnfller med C (oh endst då), dvs när tringeln ABC är rät med rät vinkel vid C Men tn A = 1 A = 45 Det betyder tt vinkeln vid B är 45

4 Svr Den sökt mximl vinkeln är 45 De båd övrig vinklrn är 45 oh 90 Problem 6 Ett ändligt ntl rutor på ett oändligt rutt ppper är målde röd Vis tt mn på ppperet kn rit in ett ntl kvdrter, med sidor utefter rutnätets linjer, sådn tt (1) ingen rut i nätet tillhör mer än en kvdrt (en knt kn däremot tillhör mer än en kvdrt), (2) vrje röd rut ligger i någon v kvdrtern oh ntlet röd rutor i en sådn kvdrt är minst 1 5 oh högst 4 5 v ntlet rutor i kvdrten Lösning Eftersom ntlet röd rutor är ändligt, går det tt för något n 1 hitt en kvdrt med sidn 2 n sådn tt smtlig röd rutor befinner sig i kvdrten Låt p ( n) vr ndelen rutor när sidlängden är 2 n Låt oss välj det minst heltlet n för vilket ll röd rutor inneslutes Om r(n) 4 5, bildr vi i stället en kvdrt med sidn 2 n+1 Vi hr då fyr gånger så mång rutor oh vi får 1 5 r(n + 1) 1 4 Se nednstående exempel med n = 2, där röd rutor är mrkerde med punkter r(2) = > < r(3) = 64 < 4 5 Om för något n 1 ll röd rutor inneslutes i en kvdrt så tt r(n) < 1 5, delr vi in kvdrten i fyr delkvdrter med sidn 2 n 1 För vrje sådn delkvdrt gäller tt r(n 1) 4 5, ty om det för någon delkvdrt gäller tt r(n 1) > 4 5, måste r(n) > 1 5 i föregående steg, motsägelse Betrkt en delkvdrt i tget Om r(n 1) 1 5 för någon delkvdrt hr vi åstdkommit en kvdrt v önskt slg Om däremot r(n 1) < 1 5 för någon delkvdrt, fortsätter vi proeduren genom tt del in kvdrten i fyr mindre delkvdrter med sidn 2 n 2 Vi kn på dett sätt gör en fortstt indelning i mindre delkvdrter tills ll röd rutor innesluts i kvdrter sådn tt kvoten röd rutor uppfyller villkoren Den minst kvdrt som vi på dett sätt kn bild hr sidn 2 Vi behöver br t hänsyn till kvdrter som innehåller minst en röd rut; om en kvdrt med sidn 2 innehåller minst en oh högst tre röd rutor är villkoren uppfylld Vi noterr tt fllet med fyr röd rutor i en delkvdrt med sidn 2 ldrig är ktuell, eftersom vi då i föregående steg måste h hft en kvot som överstiger 1 5 I nednstående figur ges ett exempel där vi strtr med en kvdrt med sidn 2 3 NV NO SV SO I figuren till vänster hr vi 12 röd rutor v totlt 64, vilket ger r(3) = 3 8 < 1 5 Vi går därför vidre till figuren i mitten, där vi hr fyr delkvdrter, för vilk två uppfyller villkoren NV oh SO De båd övrig, NO oh SV, gör det inte, vilket leder till fortstt indelning i delkvdrter

5 Vi hr i dett fll fått två kvdrter med sidn 4, där ndelen röd rutor är 1 4 i båd fllen, oh två delkvdrter med sidn 2, där ndelen röd rutor är 3 4 resp1 4

Relevanta dokument

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v