Stokastiska variabler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Stokastiska variabler"

Transkript

1 Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök v denn typ bör utfllsrummet vbilds t.ex. på reell xeln. Sådn vbildningr klls stokstisk vribler. Definition 4. En stokstisk vribel är en reellvärd funktion med ett utfllsrum som definitionsmängd. Således är, trots benämningen, en stokstisk vribel i själv verket en funktion. Mn brukr oft beteckn dem med grekisk bokstäver, t.ex. ξ (ksi, η (et, ζ (zet, τ (tu,... Vi betecknr med Ω ξ värdemängden för en stokstisk vribel ξ vrs definitionsmängd är Ω. Exempel 4.2 Låt Ω vr mängden v ll människor i världen. I dett utfllsrum kn vi t.ex. betrkt följnde stokstisk vribler ω A(ω människns ålder ω V (ω människns vikt ω L(ω människns längd Om måttenheten för vribeln A är ett år är värdemängden v A en delmängd v de hel tlen; A säges vr en heltlsvärd stokstisk vribel. Däremot är den lämpligste värdemängden för V (och L R + {x : x > 0}. b Låt Ω vr mänden v fmiljer med tre brn, smt ξ och η stokstisk vribler som nger ntlet pojkr resp. flickor i fmiljen. Vi hr då Ω ξ Ω η {0,, 2, 3}. c Betrkt försöket 6 kst med ett mynt och låt ξ vr ntlet kron. Då är Ω ξ {0,, 2, 3, 4, 5, 6}. 25

2 I fortsättningen betrkts två fll. I det först nts tt Utfllsrummet är ändligt (eller högst numrerbrt Låt Ω {ω,..., ω n } och ξ vr en stokstisk vribel. Eftersom ξ är en funktion så är även Ω ξ ändligt och n(ω ξ n(ω n. Sätt Ω ξ {x,..., x n } (k n och betrkt mängden A i {ω : ξ(ω x i } (dett skrivs oft kortre {ξ x i }. Enligt definitionen är A i, i,..., k, en händelse och dess snnolikhet kn bestämms: P(A i P ( {ω : ξ(ω x i } ω u A i P : f(x i ( {ωu } Definition 4.3 Tlen f(x i, i,..., k, bestämmer en funktion f som klls frekensfunktionen för ξ. Sts 4.4 En frekvensfunktion f uppfyller (i f(x i 0, i,... (ii k f(x i. Bevis Eftersom f(x i P(A i och Ω k A i, A i A j, i j, följer påståendet ur Definition 3.3. Definition 4.5 Låt ξ vr en stokstisk vribel. Funktionen F ξ (x P(ξ x, x R, klls fördelningsfunktionen för ξ. Exempel 4.6 Låt ξ vr summn v poängtlen vid kst med två symmetrisk tärningr. Ur figuren i Exempel 3.6 frmgår tt ξ hr följnde frekvensfunktion Ω ξ f ξ (x och fördelningsfunktionen 26

3 0 x < 2 2 x < x < x < x < 6 F ξ (x 5 6 x < x < x < x < x < 35 x < 2 2 x Rit in dess funktioner i ett koordintsystem! Låt ϕ vr en funktion från R till R och ξ en stokstisk vribel. Det är klrt tt även η ϕ(ξ är en stokstisk vribel. Vi skll bestämm frekvensfunktionen för η. Låt Ω {ω,..., ω n }, Ω ξ {x,..., x k } och Ω η {y,..., y m }. Då gäller tt n(ω η n(ω ξ n(ω (m k n. Sätt C i {x : ϕ(x y i }. Vi hr {ω i : η(ω i y j } {ω i : ξ(ω i x u } x u C j och följktligen, ( P(η y i P {ω i : ξ(ω i x u } x u C j P{ω i : ξ(ω i x u } x u C j f ξ (x u : f η (y j. x u C j Funktioner som oft förekommer i dett smmnhng är ξ, ξ p (p är ett positivt heltl. Betrkt en stokstisk vribel ξ och dess frekvensfunktion f. Frekvensfunktionen innehåller ll informtion om ξ. Men för tt bättre förstå beteenden v ξ krkteriserr mn fördelningen v ξ genom tt bestämm värden v viss funktionler (eller krkteristikor(funktionl en funktion vrs definitionsmängd och värdemängd är en funktionsklss (t.ex. frekvensfunktioner resp. R ( de reell tlen. De viktigste krkteristikorn är väntevärdet och vrinsen. Vi skll först definier väntevärdet för en stokstisk vribel ξ; dett beteckns med E(ξ. 27

4 Definition 4.7 Låt ξ vr en stokstisk vribel med frekvensfunktionen f(x, x Ω ξ {x,..., x k }. Väntevärdet för ξ är då tlet E(ξ x i f(x i x Ω ξ x f(x. Väntevärdet är m..o. ett vägt medeltl v de olik värden på ξ. Anmärkning 4.8 Då Ω ξ är numrerbrt, men inte ändligt, definiers väntevärdet som ovn, dvs E(ξ x Ω ξ x f(x. I dett fll säges väntevärdet exister om summn x Ω ξ x f(x är ändlig. Exempel 4.9 Låt ξ vr likformigt fördeld över Ω ξ {, 2,..., n}, dvs P(ξ i n. Då är E(ξ i n n n + n 2 + n. 2 I dett exempel smmnfller således det ritmetisk medeltlet v elementen i Ω ξ väntevärdet v ξ. och Exempel 4.0 Låt ξ vr ntlet erhålln kron vid tre kst med ett symmetrisk mynt. ξ hr då följnde frekvensfunktion ( Ω ξ {0,, 2, 3} x f(x Väntevärdet blir E(ξ 4 x i f(x i 0 f(0 + f( + 2 f(2 + 3 f( Sts 4. Väntevärdet för en smmnstt stokstisk vribel ϕ(ξ är E ( ϕ(ξ ϕ(x i f(x i x Ω ξ ϕ(x f(x. (Om Ω ξ inte är oändligt bör summn vr bsolutkonvergent, dvs x Ω ξ ϕ(x f(x <. Se Anmärkning

5 Bevis Låt Ω {ω,..., ω n }, η(ω i ϕ ( ξ(ω i, Ω ξ {x,..., x k } och Ω η {y,..., y m } (m k n. Sätt C j {x i : ϕ(x i y j } Då gäller {ω i : η(ω i y j } {ω i : ξ(ω i x u }. x u C j Låt f η och f ξ vr frekvensfunktionern för η resp. ξ. Vi hr E(η E ( ϕ(ξ m y i f η (y i m y i P(η y i m y i P(ξ x u x u C i m y i P(ξ x u x u C i m ϕ(x u P(ξ x u x u C i ϕ(x u P(ξ x u u ϕ(x u f ξ (x u. u Exempel 4.2 Låt ϕ(ξ ξ + b. Då fås E ( ϕ(ξ E(ξ + b (x u + bf ξ (x u u x u f ξ (x u + b u u f ξ (x u E(ξ + b. Definition 4.3 Låt ξ vr en stokstisk vribel med väntevärdet E(ξ. Vrinsen för ξ är tlet V(ξ E (( ξ E(ξ 2. Den positiv kvdrtroten v vrinsen klls stndrdvvikelsen för ξ och beteckns D(ξ. 29

6 Vrinsen mäter vritionen för ξ kring väntevärdet, dvs den är ett slgs spridningsmått. Enligt Sts 4. gäller tt V(ξ (x i µ 2 f(x i, E(ξ µ. Sts 4.4 V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2. b V(c 0, c är en konstnt. c V(ξ + b 2 V(ξ,, b konstnter. Bevis Sätt E(ξ µ; vi hr V(ξ E ( (ξ µ 2 (x i µ 2 f(x i (x 2 i + µ 2 2µx i f(x i x 2 i f(x i + µ 2 2µ µ E(ξ 2 ( E(ξ 2. Fllen b och c lämns till läsren som övningsuppgifter. x 2 i f(x i + µ 2 f(x i 2µ x i f(x i Exempel 4.5 Låt ξ vr likformigt fördeld över Ω {, 2,..., n}. Då är E(ξ +n 2 (enligt Exempel 4.9. Vi skll bestämm vrinsen för ξ: E(ξ 2 i 2 n För tt beräkn summn n i2 observer tt i 2 (i+3 i 3 3 i 3 fås (utför räkningen! i 2 n(n + (2n +. 6 n i 2. (verifier dett!. Då 30

7 Följktligen V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2 n(n + (2n + 6 n2 2. ( n Exempel 4.6 (Binomilfördelning Låt n vr ett positivt heltl och 0 < p <. Sätt ( n f(k p k ( p n k, k {0,, 2,..., n}. k Vi skll vis tt f är en frekvensfunktion: (i Det är klrt tt f(k 0, k 0,, 2,..., n. (ii Vidre är f(k ( n p k ( p n k k ( p + ( p n, enligt binomilteoremet. Tlen n och p klls fördelningens prmetrr. Att en stokstisk vribel är binomilfördeld med prmetrrn n och p beteckns ξ Bin(n, p. Vi bestämmer väntevärdet för ξ: E(ξ Sätt m k, då fås k f(k ( n k p k ( p n k k n! k k!(n k! pk ( p n k k np n k (n! (k!(n k! pk ( p n k. n E(ξ np m!(n m! pm ( p n m m0 n ( n np p m ( p n m np, m m0 3

8 enligt binomilteoremet. För tt bestämm vrinsen behövs E(ξ 2. Vi utgår från E ( ξ(ξ k(k f(k. På smm sätt som ovn fås tt E ( ξ(ξ n(n p 2. Således V(ξ E(ξ 2 E(ξ 2 E ( ξ(ξ + E(ξ E(ξ 2 n(n p 2 + np n 2 p 2 np( p. Exempel 4.7 (Hypergeometrisk fördelning Låt N, N, N 2 och n vr positiv heltl sådn tt N N + N 2 och n min(n, N 2. Sätt ( N ( N2 f(k k n k ( N, k {0,,..., n}. n Vi skll vis tt f är en frekvensfunktion: (i Det är klrt tt f(k 0, k 0,,..., n. (ii Vidre är n f(k, ty ( N (se övningsuppgift 9, kpitel 2. k ( N2 n k ( N + N 2 n ( N, n Att en stokstisk vribel ξ är hypergeometriskt fördeld med prmetrrn N, N, n beteckns ξ Hyp(N, N, n. Vi bestämmer väntevärdet för ξ: E(ξ k f(k k ( N ( N2 k n k ( N n k N! k!(n k! N 2! (n k!(n 2 n+k! N! n!(n n! n N N k (N! (k!(n k! N 2! (n k!(n 2 n+k! (N! (n!(n n! n N N ( N ( N2 k n k ( N k n. 32

9 Sätt m k ; då fås n N n N m0 ( N ( N2 m n m ( N n n N N. Vid beräkningen v vrinsen utgår mn från uttrycket E ( ξ(ξ k(k ( N ( N2 k n k ( N... n Följktligen n(n N (N N(N. V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2 E ( ξ(ξ + E(ξ ( E(ξ 2 n N N N N N N n N. Sätt N N p, N N N Exempel 4.8 (Poissonfördelning Låt λ > 0 och sätt Vi visr tt f är en frekvensfunktion: p : q. Då fås E(ξ np, V(ξ npq N n N. (i Det är klrt tt f(k 0, k 0,,... f(k λk k! e λ, k {0,..., }. (ii Vidre är f(k, ty λ k k! e λ e λ λ k k! e λ e λ. (Vi hr nvänt McLurinutvecklingen för e x ; e x + x + x2 2! + x3 3! +... Att en stokstisk vribel ξ är Poissonfördeld med prmetern λ beteckns ξ Po(λ. Vi bestämmer väntevärdet: E(ξ k f(k k λk k! e λ λ k (k! e λ λe λ λ k (k! λ. 33

10 Vrinsen är V(ξ λ. Således smmnfller väntevärdet och vrinsen för en Poissonfördeld stokstisk vribel. Exempel 4.9 (Geometrisk fördelning Låt 0 < p < och sätt f(k ( p k p, k {, 2, 3...}. Det gäller tt (i f(k 0, k, 2,..., och (ii k f(k, ty f(k k ( p k p p ( p k k p ( p. k Vi beräknr väntevärdet. E(ξ k f(k k k( p k p p k( p k. k k För tt beräkn summn k k( pk sätt h(x k ( xk, 0 < x <. Vi kn deriver h(x genom tt deriver under summtionstecknet; då fås d dx h(x k( x k. ( k Å ndr sidn h(x ( x k ( x ( x k. k ( x k ( x x x ; följktligen d dx h(x x 2. (2 Dett gäller inte i llmänhet; här gäller det eftersom h är en potensserie med konvergensrdien (Se t.ex. Sjöberg: Anlytisk funktioner vsnitt

11 Ur ( och (2 följer k( x k x 2. k Härv följer tt E(ξ p k Vrinsen beräkns på ett nlogt sätt: V(ξ p p 2. k( p k p p 2 p. Vi betrktr nu det ndr fllet: Stokstisk vribler som hr en täthet Definition 4.20 Låt ξ vr en stokstisk vribel vrs värdemängd är ett intervll Ω ξ (, b. Mn säger tt ξ hr en täthet f om P(ξ A A f(xdx, där A Ω ξ är en union v ett ändligt (eller högst numrerbrt ntl öppn intervll, dvs A n I i, I i Ω ξ (, b (eller A I i. Funktionen f klls även frekvensfunktionen för ξ. Ur Definition 4.9 följer tt en täthet (frekvensfunktion f uppfyller (i f(x 0, x Ω ξ (, b (ii b f(xdx. Fördelningsfunktionen för ξ definiers på smm sätt som i det ändlig fllet, dvs F (x P(ξ x, x R. Följktligen gäller tt 0, x, F (x x f(xdx, < x b,, x > b. 35

12 Vidre är F kontinuerlig, icke-vtgnde och d dxf (x f(x i de punkter där F är deriverbr. Om och b + gäller det tt lim x F (x 0 och lim x + F (x. Ur definitionen följer också P(x ξ x 2 P(x < ξ x 2 P(x ξ < x 2 P(x < ξ < x 2 x2 x f(xdx F (x 2 F (x. Exempel 4.2 Betrkt funktionen f : x cx, c > 0. Eftersom f 0 på [0, kn vi bestämm konstnten c så tt f blir en frekvensfunktion på [0, ]. Vi hr f(xdx 0 0 cx dx [ c 2 x2] c c Fördelningsfunktionen är F (x x 0 2t dt [t2 ] x 0 x2, x [0, ] och F (x 0 då x < 0 smt F (x då x >. Definition 4.22 Väntevärdet för ξ är E(ξ b xf(xdx Då och/eller b + är väntevärdet en generliserd integrl och kn vr divergent. Om dett är fllet säges den stokstisk vribeln skn väntevärde. Utn bevis ger vi följnde sts: Sts 4.23 Låt ϕ vr en funktion från R till R. Väntevärdet för den smmnstt vribeln ϕ(ξ är (förutstt tt det existerr E ( ϕ(ξ b ϕ(xf(xdx. Definition 4.24 Låt E(ξ µ. Vrinsen för ξ är V(ξ E ( (ξ µ 2 b (x µ 2 f(xdx. Sts 4.25 V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2 b V(c 0, c är en konstnt

13 c V(ξ + b 2 V(ξ. Bevis Jfr Sts 4.4. Exempel 4.26 (Likformig fördelning En stokstisk vribel ξ är likformigt fördeld över intervllet (, b om den hr tätheten Funktionen f uppfyller (i f 0 och (ii b f(xdx b b dx. f(x, x (, b. b E(ξ E(ξ 2 b b x f(xdx b x b dx b + 2. x 2 f(xdx b + b 2. 3 V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2... (b 2. 2 Exempel 4.27 (Exponentilfördelning En stokstisk vribel ξ är exponentilfördeld med prmetern λ > 0 om den hr tätheten f(x λe λx, x 0. Då är 0 f(xdx E(ξ E(ξ λe λx dx..., x f(xdx... λ, x 2 f(xdx... 2 λ 2, V(ξ 2 λ 2 λ 2 λ 2. 37

14 Exempel 4.28 (Normlfördelning En stokstisk vribel ξ är normlfördeld med prmetrrn µ och σ > 0 om den hr tätheten (se fig. 4. f(x 2πσ 2 e (x µ2 2σ 2, x R. Att f(xdx kn beviss genom tt beräkn dubbelintegrlen f(yf(xdydx (se t.ex. Björup & Edén: Anlys i en och fler dimensioner s. 23 och övning 44. y f(x µ x fig. 4. Observer tt f är symmetrisk kring punkten µ. Det gäller E(ξ V(ξ x f(xdx... µ x 2 f(xdx µ 2... σ 2. (Utför integrtionern! Att ξ är normlfördeld med prmetrrn µ och σ beteckns ξ N(µ, σ. Betrkt vribeln η ξ + b, där och b är konstnter. Då gäller E(η E(ξ + b µ + b, V(η 2 V(ξ 2 σ 2 och vidre (utn bevis η ξ + b är normlfördeld med prmetrrn µ + b, σ ( η N(µ + b, σ. Följktligen gäller tt den stndrdiserde vribeln ζ ξ µ är normlfördeld med σ prmetrrn 0 och ( ζ N(0,. 38

15 Fördelningsfunktionen för den stndrdiserde normlfördelningen (dvs µ 0, σ beteckns φ: Låt ξ N(00, 0. Vi bestämmer φ(x P(ζ x x ( ξ 00 P(ξ 25 P 0 2π e y2 2 dy P(ζ 2, 5 φ(2, 5 0, 9938, ( P(ξ 92 P ζ P(ζ 0, 8 0 φ( 0, 8 φ(0, 8 0, 788, P(85 ξ 2 P(ζ, 2 P(ζ, 5 φ(, 2 φ(, 5 φ(, 2 + φ(, 5 0,

16 Övningsuppgifter. En bilhndlre hr femton bilr i ett lger. Av dess är fem felfri och de övrig hr mindre felktigheter. Mn väljer på måfå fyr bilr i lgret. Låt ξ vr ntlet därvid erhålln felfri bilr. Bestäm frekvensfunktionen för ξ. 2. En urn innehåller fem kulor mrkerde, 3, 3, 4, 5. Mn tr på måfå med återläggning två kulor ur urnn. Bestäm frekvensfunktionen för skillnden melln den störst och minst erhålln poängen. 3. Betrkt smm urn som i föregående övning. Mn tr på måfå två kulor ur urnn utn återläggning. Bestäm frekvensfunktionen för den erhålln poängsummn. 4. Den stokstisk vribeln ξ, med Ω ξ {, 2, 3, 4}, hr frekvensfunktionen f ξ (x x. Bestäm smt frekvensfunktionen för vribeln η (ξ En stokstisk vribel ξ hr frekvensfunktionen f(x 0, 2, x { 2,, 0,, 2}. Bestäm utfllsrum och frekvensfunktion för ξ b ξ I ett lotteri finns 00 lotter, v vilk 50 inte ger någon vinst, 30 ger vinsten 2 mk, 0 vinsten 0 mk, 8 vinsten 20 mk och 2 vinsten 50 mk. Låt ξ vr vinsten om mn köper en lott. Bestäm väntevärdet E(ξ. Vd är ett rimligt pris på lottern? 7. Bestäm väntevärdet b vrinsen för den stokstisk vribeln som infördes i övning Bestäm väntevärdet b vrinsen för den stokstisk vribeln som infördes i övning 5 och b. 9. För en stokstisk vribel ξ gäller E(ξ 7 och D(ξ 5. Beräkn väntevärdet och stndrdvvikelsen för vribeln η 0 2ξ. 0. Låt ξ vr en stokstisk vribel med väntevärdet E(ξ och stndrdvvikelsen D(ξ. Mn bildr vribeln η ξ E(ξ D(ξ. Vis tt E(η 0 och D(η.. Beräkn vrinsen för en stokstisk vribel med binomil b hypergeometrisk c Poisson d geometrisk fördelning. 2. (Psclfördelning Låt n vr ett positivt heltl och 0 < p <. Bevis tt ( k f(k p n ( p k n, k {n, n +, n + 2,...} n är en frekvensfunktion smt bestäm väntevärdet och vrinsen. 40

17 3. Vis tt följnde funktioner är frekvensfunktioner: f(x (n + x n, x (0,, n > 0 2 b f(x π, x (0, x2 4. Bestäm konstnten k så tt f(x k e x θ, x R, blir en frekvensfunktion. 5. Vis tt F (x 2 π rcsin x, x (0, är en fördelningsfunktion. Bestäm frekvensfunktionen smt beräkn följnde snnolikheter P(0 < ξ < 0, 5, P(0, 25 < ξ < 0, 5 och P( ξ 0, 5 > 0, Bestäm väntevärdet och vrinsen för en stokstisk vribel med den frekvensfunktion som infördes i övning 3 och b. 7. (Cuchyfördelning Bstäm konstnten c så tt f(x c +x 2, x R, blir en frekvensfunktion. Vis tt väntevärdet ej existerr (och således inte heller vrinsen. 8. En stokstisk vribel ξ är normlfördeld med prmetrrn 50, 0 ( ξ N(50, 0. Bestäm följnde snnolikheter P(ξ 65 b P(ξ 25 c P(ξ 35 d P(ξ 70 e P(40 < ξ 60 f P( ξ 50 < 20 g P( ξ Melln vilk symmetrisk värden på µ fller 95 %, 99 % respektive 99,9 % v den stndrdiserde normlfördelningen? 20. För en normlfördeld stokstisk vribel ξ gäller tt P( < ξ < 40 0, 3085 och tt P(40 < ξ < 60 0, Bestäm väntevärde och stndrdvvikelse för vribeln ξ. 4

Oberoende stokastiska variabler

Oberoende stokastiska variabler Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2

Tentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2 Tentamen den april 7 i Statistik och sannolikhetslära för BI Uppgift : Låt händelserna A, B, C och D vara händelser i samband med ett försök. a) Anta att P(A)., P(A B)., P(A B).6. Beräkna sannolikheten

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Reliability analysis in engineering applications

Reliability analysis in engineering applications Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik,

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik, Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, 0 Tentamen består av åtta uppgifter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng för betyg, minst 0 poäng för 4 och minst 40 för 5. Examinator: Ulla Blomqvist,

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011 Matematisk statistik, LMA, för DAI och EI den 5 aug Tentamen består av åtta uppgifter om totalt 5 poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för och minst för 5. Examinator: Ulla Blomqvist Hjälpmedel:

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Föresläsningsanteckningar Sanno II

Föresläsningsanteckningar Sanno II STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson Föresläsningsnteckningr Snno II 1 Gmmfunktionen I fler v vår vnlig snnolikhetsfördelningr

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Svar till gamla tentamenstal på veckobladen

Svar till gamla tentamenstal på veckobladen Svar till gamla tentamenstal på veckobladen Data/Eletro 4 A Patienten är ett allvarligt fall B Patienten är under 4 år C Någon av patientens föräldrar har diabetes 8 + + + + + 8 + a) P(A).4 och P(C).8

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd. Föreläsning V; Kontinuerlig förd. Ufallsrummet har hittills varit dsikret, den stokastisk variabeln har endast kunnat anta ett antal värden. Ex.vis Poissonfördeln. är antal observationer inom ett tidsintervall

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.

Veckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp

Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Våra vanligaste fördelningar

Våra vanligaste fördelningar Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro

Tentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, data/elektro 039 Tentamen består av åtta uppgiter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng ör betyg 3, minst 30 poäng ör 4 och minst 40 ör 5. Examinator:

Läs mer

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P

Läs mer

Svar till gamla tentamenstal på veckobladen

Svar till gamla tentamenstal på veckobladen Svar till gamla tentamenstal på veckobladen Veckoblad : Data/Eletro 54 A = Patienten är ett allvarligt fall B = Patienten är under 4 år C= Någon av patientens föräldrar har diabetes 8 + + + 5 + 5 + 8 +

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik för BI2 den 16 januari 2009

Tentamen i matematisk statistik för BI2 den 16 januari 2009 Tentamen i matematisk statistik för BI den 6 januari 9 Uppgift : Ett graviditetstest att använda i hemmet är inte helt tillförlitligt. Ett speciellt test visar positivt resultat för kvinnor, som inte är

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler

Exempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat

Läs mer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer

Centrala gränsvärdessatsen (CGS). Approximationer TNG006 F7 25-04-2016 Centrala gränsvärdessatsen (CGS. Approximationer 7.1. Centrala gränsvärdessatsen Vi formulerade i Sats 6.10 i FÖ6 en vitig egensap hos normalfördelningen som säger att en linjär ombination

Läs mer

Övningstentamen 1. A 2 c

Övningstentamen 1. A 2 c Övningstentamen Uppgift : På en arbetsplats skadades % av personalen under ett år. 6% av alla skadade var män. % av alla anställda var kvinnor. Är det manliga eller kvinnliga anställda som löper störst

Läs mer

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)

Repetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Formellsamling och teori Nästa varje ekva.on som vi använder under kursen finns I samlingen. Tricket i examen är hica räc metod/fördelning.ll

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

4.2.1 Binomialfördelning

4.2.1 Binomialfördelning Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Repetitionsföreläsning

Repetitionsföreläsning Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson

Läs mer

TENTAMEN. Matematik och matematisk statistik 6H3000/6L3000

TENTAMEN. Matematik och matematisk statistik 6H3000/6L3000 Namn: ersonnummer: Klass: Kurs: Kursnummer: Moment: rogram: Åk: Examinator: Rättande lärare: Datum: Tid: Hjälpmedel: Omfattning och betygsgränser: TENTMEN Matematik och matematisk statistik H/L TEN DD/DE/D/MT

Läs mer

Övningstentamen 1. c) Beräkna sannolikheten att exakt en av A eller B inträffar (6 poäng)

Övningstentamen 1. c) Beräkna sannolikheten att exakt en av A eller B inträffar (6 poäng) Övningstentamen Uppgift : Vid ett experiment kan en händelse A, en händelse B eller både A och B inträffa. I en serie om 00 försök har man sammanställt följande statistik: i 90 fall har minst en av A eller

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Repetition. Repetition. Repetition. X: slumpvariabel (s.v.) betraktas innan ett försök är genomfört. x: observerat värde efter försöket är genomfört.

Repetition. Repetition. Repetition. X: slumpvariabel (s.v.) betraktas innan ett försök är genomfört. x: observerat värde efter försöket är genomfört. X: slumpvrel (s.v.) etrkts nnn ett försök är genomfört. : oservert värde efter försöket är genomfört. En s.v. är kontnuerlg om den kn nt ll tänkr värden ett ntervll. Fördelnngsfunkton (cdf): F () = P(X

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-01-13 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Niklas

Läs mer

Sannolikhetsbegreppet

Sannolikhetsbegreppet Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer