Stokastiska variabler
|
|
- Ulla-Britt Katarina Mattsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök v denn typ bör utfllsrummet vbilds t.ex. på reell xeln. Sådn vbildningr klls stokstisk vribler. Definition 4. En stokstisk vribel är en reellvärd funktion med ett utfllsrum som definitionsmängd. Således är, trots benämningen, en stokstisk vribel i själv verket en funktion. Mn brukr oft beteckn dem med grekisk bokstäver, t.ex. ξ (ksi, η (et, ζ (zet, τ (tu,... Vi betecknr med Ω ξ värdemängden för en stokstisk vribel ξ vrs definitionsmängd är Ω. Exempel 4.2 Låt Ω vr mängden v ll människor i världen. I dett utfllsrum kn vi t.ex. betrkt följnde stokstisk vribler ω A(ω människns ålder ω V (ω människns vikt ω L(ω människns längd Om måttenheten för vribeln A är ett år är värdemängden v A en delmängd v de hel tlen; A säges vr en heltlsvärd stokstisk vribel. Däremot är den lämpligste värdemängden för V (och L R + {x : x > 0}. b Låt Ω vr mänden v fmiljer med tre brn, smt ξ och η stokstisk vribler som nger ntlet pojkr resp. flickor i fmiljen. Vi hr då Ω ξ Ω η {0,, 2, 3}. c Betrkt försöket 6 kst med ett mynt och låt ξ vr ntlet kron. Då är Ω ξ {0,, 2, 3, 4, 5, 6}. 25
2 I fortsättningen betrkts två fll. I det först nts tt Utfllsrummet är ändligt (eller högst numrerbrt Låt Ω {ω,..., ω n } och ξ vr en stokstisk vribel. Eftersom ξ är en funktion så är även Ω ξ ändligt och n(ω ξ n(ω n. Sätt Ω ξ {x,..., x n } (k n och betrkt mängden A i {ω : ξ(ω x i } (dett skrivs oft kortre {ξ x i }. Enligt definitionen är A i, i,..., k, en händelse och dess snnolikhet kn bestämms: P(A i P ( {ω : ξ(ω x i } ω u A i P : f(x i ( {ωu } Definition 4.3 Tlen f(x i, i,..., k, bestämmer en funktion f som klls frekensfunktionen för ξ. Sts 4.4 En frekvensfunktion f uppfyller (i f(x i 0, i,... (ii k f(x i. Bevis Eftersom f(x i P(A i och Ω k A i, A i A j, i j, följer påståendet ur Definition 3.3. Definition 4.5 Låt ξ vr en stokstisk vribel. Funktionen F ξ (x P(ξ x, x R, klls fördelningsfunktionen för ξ. Exempel 4.6 Låt ξ vr summn v poängtlen vid kst med två symmetrisk tärningr. Ur figuren i Exempel 3.6 frmgår tt ξ hr följnde frekvensfunktion Ω ξ f ξ (x och fördelningsfunktionen 26
3 0 x < 2 2 x < x < x < x < 6 F ξ (x 5 6 x < x < x < x < x < 35 x < 2 2 x Rit in dess funktioner i ett koordintsystem! Låt ϕ vr en funktion från R till R och ξ en stokstisk vribel. Det är klrt tt även η ϕ(ξ är en stokstisk vribel. Vi skll bestämm frekvensfunktionen för η. Låt Ω {ω,..., ω n }, Ω ξ {x,..., x k } och Ω η {y,..., y m }. Då gäller tt n(ω η n(ω ξ n(ω (m k n. Sätt C i {x : ϕ(x y i }. Vi hr {ω i : η(ω i y j } {ω i : ξ(ω i x u } x u C j och följktligen, ( P(η y i P {ω i : ξ(ω i x u } x u C j P{ω i : ξ(ω i x u } x u C j f ξ (x u : f η (y j. x u C j Funktioner som oft förekommer i dett smmnhng är ξ, ξ p (p är ett positivt heltl. Betrkt en stokstisk vribel ξ och dess frekvensfunktion f. Frekvensfunktionen innehåller ll informtion om ξ. Men för tt bättre förstå beteenden v ξ krkteriserr mn fördelningen v ξ genom tt bestämm värden v viss funktionler (eller krkteristikor(funktionl en funktion vrs definitionsmängd och värdemängd är en funktionsklss (t.ex. frekvensfunktioner resp. R ( de reell tlen. De viktigste krkteristikorn är väntevärdet och vrinsen. Vi skll först definier väntevärdet för en stokstisk vribel ξ; dett beteckns med E(ξ. 27
4 Definition 4.7 Låt ξ vr en stokstisk vribel med frekvensfunktionen f(x, x Ω ξ {x,..., x k }. Väntevärdet för ξ är då tlet E(ξ x i f(x i x Ω ξ x f(x. Väntevärdet är m..o. ett vägt medeltl v de olik värden på ξ. Anmärkning 4.8 Då Ω ξ är numrerbrt, men inte ändligt, definiers väntevärdet som ovn, dvs E(ξ x Ω ξ x f(x. I dett fll säges väntevärdet exister om summn x Ω ξ x f(x är ändlig. Exempel 4.9 Låt ξ vr likformigt fördeld över Ω ξ {, 2,..., n}, dvs P(ξ i n. Då är E(ξ i n n n + n 2 + n. 2 I dett exempel smmnfller således det ritmetisk medeltlet v elementen i Ω ξ väntevärdet v ξ. och Exempel 4.0 Låt ξ vr ntlet erhålln kron vid tre kst med ett symmetrisk mynt. ξ hr då följnde frekvensfunktion ( Ω ξ {0,, 2, 3} x f(x Väntevärdet blir E(ξ 4 x i f(x i 0 f(0 + f( + 2 f(2 + 3 f( Sts 4. Väntevärdet för en smmnstt stokstisk vribel ϕ(ξ är E ( ϕ(ξ ϕ(x i f(x i x Ω ξ ϕ(x f(x. (Om Ω ξ inte är oändligt bör summn vr bsolutkonvergent, dvs x Ω ξ ϕ(x f(x <. Se Anmärkning
5 Bevis Låt Ω {ω,..., ω n }, η(ω i ϕ ( ξ(ω i, Ω ξ {x,..., x k } och Ω η {y,..., y m } (m k n. Sätt C j {x i : ϕ(x i y j } Då gäller {ω i : η(ω i y j } {ω i : ξ(ω i x u }. x u C j Låt f η och f ξ vr frekvensfunktionern för η resp. ξ. Vi hr E(η E ( ϕ(ξ m y i f η (y i m y i P(η y i m y i P(ξ x u x u C i m y i P(ξ x u x u C i m ϕ(x u P(ξ x u x u C i ϕ(x u P(ξ x u u ϕ(x u f ξ (x u. u Exempel 4.2 Låt ϕ(ξ ξ + b. Då fås E ( ϕ(ξ E(ξ + b (x u + bf ξ (x u u x u f ξ (x u + b u u f ξ (x u E(ξ + b. Definition 4.3 Låt ξ vr en stokstisk vribel med väntevärdet E(ξ. Vrinsen för ξ är tlet V(ξ E (( ξ E(ξ 2. Den positiv kvdrtroten v vrinsen klls stndrdvvikelsen för ξ och beteckns D(ξ. 29
6 Vrinsen mäter vritionen för ξ kring väntevärdet, dvs den är ett slgs spridningsmått. Enligt Sts 4. gäller tt V(ξ (x i µ 2 f(x i, E(ξ µ. Sts 4.4 V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2. b V(c 0, c är en konstnt. c V(ξ + b 2 V(ξ,, b konstnter. Bevis Sätt E(ξ µ; vi hr V(ξ E ( (ξ µ 2 (x i µ 2 f(x i (x 2 i + µ 2 2µx i f(x i x 2 i f(x i + µ 2 2µ µ E(ξ 2 ( E(ξ 2. Fllen b och c lämns till läsren som övningsuppgifter. x 2 i f(x i + µ 2 f(x i 2µ x i f(x i Exempel 4.5 Låt ξ vr likformigt fördeld över Ω {, 2,..., n}. Då är E(ξ +n 2 (enligt Exempel 4.9. Vi skll bestämm vrinsen för ξ: E(ξ 2 i 2 n För tt beräkn summn n i2 observer tt i 2 (i+3 i 3 3 i 3 fås (utför räkningen! i 2 n(n + (2n +. 6 n i 2. (verifier dett!. Då 30
7 Följktligen V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2 n(n + (2n + 6 n2 2. ( n Exempel 4.6 (Binomilfördelning Låt n vr ett positivt heltl och 0 < p <. Sätt ( n f(k p k ( p n k, k {0,, 2,..., n}. k Vi skll vis tt f är en frekvensfunktion: (i Det är klrt tt f(k 0, k 0,, 2,..., n. (ii Vidre är f(k ( n p k ( p n k k ( p + ( p n, enligt binomilteoremet. Tlen n och p klls fördelningens prmetrr. Att en stokstisk vribel är binomilfördeld med prmetrrn n och p beteckns ξ Bin(n, p. Vi bestämmer väntevärdet för ξ: E(ξ Sätt m k, då fås k f(k ( n k p k ( p n k k n! k k!(n k! pk ( p n k k np n k (n! (k!(n k! pk ( p n k. n E(ξ np m!(n m! pm ( p n m m0 n ( n np p m ( p n m np, m m0 3
8 enligt binomilteoremet. För tt bestämm vrinsen behövs E(ξ 2. Vi utgår från E ( ξ(ξ k(k f(k. På smm sätt som ovn fås tt E ( ξ(ξ n(n p 2. Således V(ξ E(ξ 2 E(ξ 2 E ( ξ(ξ + E(ξ E(ξ 2 n(n p 2 + np n 2 p 2 np( p. Exempel 4.7 (Hypergeometrisk fördelning Låt N, N, N 2 och n vr positiv heltl sådn tt N N + N 2 och n min(n, N 2. Sätt ( N ( N2 f(k k n k ( N, k {0,,..., n}. n Vi skll vis tt f är en frekvensfunktion: (i Det är klrt tt f(k 0, k 0,,..., n. (ii Vidre är n f(k, ty ( N (se övningsuppgift 9, kpitel 2. k ( N2 n k ( N + N 2 n ( N, n Att en stokstisk vribel ξ är hypergeometriskt fördeld med prmetrrn N, N, n beteckns ξ Hyp(N, N, n. Vi bestämmer väntevärdet för ξ: E(ξ k f(k k ( N ( N2 k n k ( N n k N! k!(n k! N 2! (n k!(n 2 n+k! N! n!(n n! n N N k (N! (k!(n k! N 2! (n k!(n 2 n+k! (N! (n!(n n! n N N ( N ( N2 k n k ( N k n. 32
9 Sätt m k ; då fås n N n N m0 ( N ( N2 m n m ( N n n N N. Vid beräkningen v vrinsen utgår mn från uttrycket E ( ξ(ξ k(k ( N ( N2 k n k ( N... n Följktligen n(n N (N N(N. V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2 E ( ξ(ξ + E(ξ ( E(ξ 2 n N N N N N N n N. Sätt N N p, N N N Exempel 4.8 (Poissonfördelning Låt λ > 0 och sätt Vi visr tt f är en frekvensfunktion: p : q. Då fås E(ξ np, V(ξ npq N n N. (i Det är klrt tt f(k 0, k 0,,... f(k λk k! e λ, k {0,..., }. (ii Vidre är f(k, ty λ k k! e λ e λ λ k k! e λ e λ. (Vi hr nvänt McLurinutvecklingen för e x ; e x + x + x2 2! + x3 3! +... Att en stokstisk vribel ξ är Poissonfördeld med prmetern λ beteckns ξ Po(λ. Vi bestämmer väntevärdet: E(ξ k f(k k λk k! e λ λ k (k! e λ λe λ λ k (k! λ. 33
10 Vrinsen är V(ξ λ. Således smmnfller väntevärdet och vrinsen för en Poissonfördeld stokstisk vribel. Exempel 4.9 (Geometrisk fördelning Låt 0 < p < och sätt f(k ( p k p, k {, 2, 3...}. Det gäller tt (i f(k 0, k, 2,..., och (ii k f(k, ty f(k k ( p k p p ( p k k p ( p. k Vi beräknr väntevärdet. E(ξ k f(k k k( p k p p k( p k. k k För tt beräkn summn k k( pk sätt h(x k ( xk, 0 < x <. Vi kn deriver h(x genom tt deriver under summtionstecknet; då fås d dx h(x k( x k. ( k Å ndr sidn h(x ( x k ( x ( x k. k ( x k ( x x x ; följktligen d dx h(x x 2. (2 Dett gäller inte i llmänhet; här gäller det eftersom h är en potensserie med konvergensrdien (Se t.ex. Sjöberg: Anlytisk funktioner vsnitt
11 Ur ( och (2 följer k( x k x 2. k Härv följer tt E(ξ p k Vrinsen beräkns på ett nlogt sätt: V(ξ p p 2. k( p k p p 2 p. Vi betrktr nu det ndr fllet: Stokstisk vribler som hr en täthet Definition 4.20 Låt ξ vr en stokstisk vribel vrs värdemängd är ett intervll Ω ξ (, b. Mn säger tt ξ hr en täthet f om P(ξ A A f(xdx, där A Ω ξ är en union v ett ändligt (eller högst numrerbrt ntl öppn intervll, dvs A n I i, I i Ω ξ (, b (eller A I i. Funktionen f klls även frekvensfunktionen för ξ. Ur Definition 4.9 följer tt en täthet (frekvensfunktion f uppfyller (i f(x 0, x Ω ξ (, b (ii b f(xdx. Fördelningsfunktionen för ξ definiers på smm sätt som i det ändlig fllet, dvs F (x P(ξ x, x R. Följktligen gäller tt 0, x, F (x x f(xdx, < x b,, x > b. 35
12 Vidre är F kontinuerlig, icke-vtgnde och d dxf (x f(x i de punkter där F är deriverbr. Om och b + gäller det tt lim x F (x 0 och lim x + F (x. Ur definitionen följer också P(x ξ x 2 P(x < ξ x 2 P(x ξ < x 2 P(x < ξ < x 2 x2 x f(xdx F (x 2 F (x. Exempel 4.2 Betrkt funktionen f : x cx, c > 0. Eftersom f 0 på [0, kn vi bestämm konstnten c så tt f blir en frekvensfunktion på [0, ]. Vi hr f(xdx 0 0 cx dx [ c 2 x2] c c Fördelningsfunktionen är F (x x 0 2t dt [t2 ] x 0 x2, x [0, ] och F (x 0 då x < 0 smt F (x då x >. Definition 4.22 Väntevärdet för ξ är E(ξ b xf(xdx Då och/eller b + är väntevärdet en generliserd integrl och kn vr divergent. Om dett är fllet säges den stokstisk vribeln skn väntevärde. Utn bevis ger vi följnde sts: Sts 4.23 Låt ϕ vr en funktion från R till R. Väntevärdet för den smmnstt vribeln ϕ(ξ är (förutstt tt det existerr E ( ϕ(ξ b ϕ(xf(xdx. Definition 4.24 Låt E(ξ µ. Vrinsen för ξ är V(ξ E ( (ξ µ 2 b (x µ 2 f(xdx. Sts 4.25 V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2 b V(c 0, c är en konstnt
13 c V(ξ + b 2 V(ξ. Bevis Jfr Sts 4.4. Exempel 4.26 (Likformig fördelning En stokstisk vribel ξ är likformigt fördeld över intervllet (, b om den hr tätheten Funktionen f uppfyller (i f 0 och (ii b f(xdx b b dx. f(x, x (, b. b E(ξ E(ξ 2 b b x f(xdx b x b dx b + 2. x 2 f(xdx b + b 2. 3 V(ξ E(ξ 2 ( E(ξ 2... (b 2. 2 Exempel 4.27 (Exponentilfördelning En stokstisk vribel ξ är exponentilfördeld med prmetern λ > 0 om den hr tätheten f(x λe λx, x 0. Då är 0 f(xdx E(ξ E(ξ λe λx dx..., x f(xdx... λ, x 2 f(xdx... 2 λ 2, V(ξ 2 λ 2 λ 2 λ 2. 37
14 Exempel 4.28 (Normlfördelning En stokstisk vribel ξ är normlfördeld med prmetrrn µ och σ > 0 om den hr tätheten (se fig. 4. f(x 2πσ 2 e (x µ2 2σ 2, x R. Att f(xdx kn beviss genom tt beräkn dubbelintegrlen f(yf(xdydx (se t.ex. Björup & Edén: Anlys i en och fler dimensioner s. 23 och övning 44. y f(x µ x fig. 4. Observer tt f är symmetrisk kring punkten µ. Det gäller E(ξ V(ξ x f(xdx... µ x 2 f(xdx µ 2... σ 2. (Utför integrtionern! Att ξ är normlfördeld med prmetrrn µ och σ beteckns ξ N(µ, σ. Betrkt vribeln η ξ + b, där och b är konstnter. Då gäller E(η E(ξ + b µ + b, V(η 2 V(ξ 2 σ 2 och vidre (utn bevis η ξ + b är normlfördeld med prmetrrn µ + b, σ ( η N(µ + b, σ. Följktligen gäller tt den stndrdiserde vribeln ζ ξ µ är normlfördeld med σ prmetrrn 0 och ( ζ N(0,. 38
15 Fördelningsfunktionen för den stndrdiserde normlfördelningen (dvs µ 0, σ beteckns φ: Låt ξ N(00, 0. Vi bestämmer φ(x P(ζ x x ( ξ 00 P(ξ 25 P 0 2π e y2 2 dy P(ζ 2, 5 φ(2, 5 0, 9938, ( P(ξ 92 P ζ P(ζ 0, 8 0 φ( 0, 8 φ(0, 8 0, 788, P(85 ξ 2 P(ζ, 2 P(ζ, 5 φ(, 2 φ(, 5 φ(, 2 + φ(, 5 0,
16 Övningsuppgifter. En bilhndlre hr femton bilr i ett lger. Av dess är fem felfri och de övrig hr mindre felktigheter. Mn väljer på måfå fyr bilr i lgret. Låt ξ vr ntlet därvid erhålln felfri bilr. Bestäm frekvensfunktionen för ξ. 2. En urn innehåller fem kulor mrkerde, 3, 3, 4, 5. Mn tr på måfå med återläggning två kulor ur urnn. Bestäm frekvensfunktionen för skillnden melln den störst och minst erhålln poängen. 3. Betrkt smm urn som i föregående övning. Mn tr på måfå två kulor ur urnn utn återläggning. Bestäm frekvensfunktionen för den erhålln poängsummn. 4. Den stokstisk vribeln ξ, med Ω ξ {, 2, 3, 4}, hr frekvensfunktionen f ξ (x x. Bestäm smt frekvensfunktionen för vribeln η (ξ En stokstisk vribel ξ hr frekvensfunktionen f(x 0, 2, x { 2,, 0,, 2}. Bestäm utfllsrum och frekvensfunktion för ξ b ξ I ett lotteri finns 00 lotter, v vilk 50 inte ger någon vinst, 30 ger vinsten 2 mk, 0 vinsten 0 mk, 8 vinsten 20 mk och 2 vinsten 50 mk. Låt ξ vr vinsten om mn köper en lott. Bestäm väntevärdet E(ξ. Vd är ett rimligt pris på lottern? 7. Bestäm väntevärdet b vrinsen för den stokstisk vribeln som infördes i övning Bestäm väntevärdet b vrinsen för den stokstisk vribeln som infördes i övning 5 och b. 9. För en stokstisk vribel ξ gäller E(ξ 7 och D(ξ 5. Beräkn väntevärdet och stndrdvvikelsen för vribeln η 0 2ξ. 0. Låt ξ vr en stokstisk vribel med väntevärdet E(ξ och stndrdvvikelsen D(ξ. Mn bildr vribeln η ξ E(ξ D(ξ. Vis tt E(η 0 och D(η.. Beräkn vrinsen för en stokstisk vribel med binomil b hypergeometrisk c Poisson d geometrisk fördelning. 2. (Psclfördelning Låt n vr ett positivt heltl och 0 < p <. Bevis tt ( k f(k p n ( p k n, k {n, n +, n + 2,...} n är en frekvensfunktion smt bestäm väntevärdet och vrinsen. 40
17 3. Vis tt följnde funktioner är frekvensfunktioner: f(x (n + x n, x (0,, n > 0 2 b f(x π, x (0, x2 4. Bestäm konstnten k så tt f(x k e x θ, x R, blir en frekvensfunktion. 5. Vis tt F (x 2 π rcsin x, x (0, är en fördelningsfunktion. Bestäm frekvensfunktionen smt beräkn följnde snnolikheter P(0 < ξ < 0, 5, P(0, 25 < ξ < 0, 5 och P( ξ 0, 5 > 0, Bestäm väntevärdet och vrinsen för en stokstisk vribel med den frekvensfunktion som infördes i övning 3 och b. 7. (Cuchyfördelning Bstäm konstnten c så tt f(x c +x 2, x R, blir en frekvensfunktion. Vis tt väntevärdet ej existerr (och således inte heller vrinsen. 8. En stokstisk vribel ξ är normlfördeld med prmetrrn 50, 0 ( ξ N(50, 0. Bestäm följnde snnolikheter P(ξ 65 b P(ξ 25 c P(ξ 35 d P(ξ 70 e P(40 < ξ 60 f P( ξ 50 < 20 g P( ξ Melln vilk symmetrisk värden på µ fller 95 %, 99 % respektive 99,9 % v den stndrdiserde normlfördelningen? 20. För en normlfördeld stokstisk vribel ξ gäller tt P( < ξ < 40 0, 3085 och tt P(40 < ξ < 60 0, Bestäm väntevärde och stndrdvvikelse för vribeln ξ. 4
Diskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merOberoende stokastiska variabler
Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 2 John Lindström 3 ugusti 217 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 1/22 Grundläggnde begrepp Stokstisk vribel Snnolikhetsfunktion
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 3 och 4 HT07
Föreläsningsmnus i mtemtisk sttistik för lntmätre, veck 3 och 4 HT07 Bengt Ringnér September 5, 2007 Inledning Dett är preliminärt undervisningsmteril. Synpunkter är välkomn. 2 Stokstisk vribler En stokstisk
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merTentamen den 11 april 2007 i Statistik och sannolikhetslära för BI2
Tentamen den april 7 i Statistik och sannolikhetslära för BI Uppgift : Låt händelserna A, B, C och D vara händelser i samband med ett försök. a) Anta att P(A)., P(A B)., P(A B).6. Beräkna sannolikheten
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merStokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen
Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen Denna föreläsning kommer mest att vara en repetition av stoff från grundkursen. Längden på detta dokument kan tyckas vara oproportionerligt
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merTentamen LMA 200 Matematisk statistik,
Tentamen LMA Matematisk statistik, Tentamen består av åtta uppgifter motsvarande totalt poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för 4 och minst 4 poäng för. Examinator: Ulla Blomqvist, ankn
Läs merReliability analysis in engineering applications
Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merTentamen LMA 200 Matematisk statistik,
Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, 0 Tentamen består av åtta uppgifter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng för betyg, minst 0 poäng för 4 och minst 40 för 5. Examinator: Ulla Blomqvist,
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merMATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS. Tentamen måndagen den 17 oktober 2016 kl 8 12
Kurskod: TAMS65 Provkod: TEN MATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS Tentmen måndgen den 7 oktober 206 kl 8 2 Hjälpmedel: Formelsmling i mtemtisk sttistik utgiven v mtemtisk institutionen och/eller formelsmling
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merTopologi och konvergens
Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U. Poissonfördelningen: ξ är Po(λ) λ = genomsnittligt antal händelser i ett intervall. Sannolikhet: P(ξ = ) = e λ λ! Väntevärde: E(ξ) = λ Varians:
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merMatematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011
Matematisk statistik, LMA, för DAI och EI den 5 aug Tentamen består av åtta uppgifter om totalt 5 poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för och minst för 5. Examinator: Ulla Blomqvist Hjälpmedel:
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merLaborationstillfälle 3 Numerisk integration
Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.
Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs mer9 Dubbelintegralens definition
Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merFöresläsningsanteckningar Sanno II
STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson Föresläsningsnteckningr Snno II 1 Gmmfunktionen I fler v vår vnlig snnolikhetsfördelningr
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merSvar till gamla tentamenstal på veckobladen
Svar till gamla tentamenstal på veckobladen Data/Eletro 4 A Patienten är ett allvarligt fall B Patienten är under 4 år C Någon av patientens föräldrar har diabetes 8 + + + + + 8 + a) P(A).4 och P(C).8
Läs mer1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.
Föreläsning V; Kontinuerlig förd. Ufallsrummet har hittills varit dsikret, den stokastisk variabeln har endast kunnat anta ett antal värden. Ex.vis Poissonfördeln. är antal observationer inom ett tidsintervall
Läs merStokastiska Processer
Kapitel 3 Stokastiska Processer Karakteristisk funktion: Den karakteristiska funktionen φ ξ : R n C för en R n -värd s.v. definieras för t R n. φ ξ (t) = E{e iπ(t ξ +...+t nξ n) } = E{e iπtt ξ } Den karakteristiska
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merTryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13
Tryckfel i K. Vännman, Matematisk Statistik, upplaga 2:13 Kasper K. S. Andersen 11 oktober 2018 s. 10, b, l. 8: 1 4 17.62 1 5 17.62 s. 25, Tabell 1.13, linje 1, kolonn 7: 11 111 s. 26, Figur 1.19 b, l.
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merTeorifrå gor kåp. 5.2 9.3
Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså
Läs mer1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14
Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merVåra vanligaste fördelningar
Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver
Läs merTentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentmen TEN, HF, mj 8 Mtemtis sttisti Kursod HF Srivtid: 4:-8: Lärre och emintor : Armin Hlilovic Hjälmedel: Bifogt formelhäfte ("Formler och teller i sttisti " och miniränre v vilen ty som helst Förjudn
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merStudieplanering till Kurs 3b Grön lärobok
Studieplnering till Kurs 3b Grön lärobok Den här studieplneringen hjälper dig tt häng med i kursen. Plneringen följer lärobokens uppdelning i kpitel och vsnitt. Iblnd får du tips på en inspeld genomgång
Läs merFöreläsningsanteckningar i analys I januari 2009
Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5
Läs merSvar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.
Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018
TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs mer