Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Appendix. De plana triangelsatserna. D c"

Thomas Martinsson
för 7 år sedan
Visningar:

1 ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr: = oh 1 =, vilket ger 1 = 2, 2 = 2 2 Vi dderr de två senste likhetern ledvis: = ( ) = = (i sist steget nvände vi tt = ).

2 restsen: Tringelns re T ges v formeln T = 1 2 sin h h evis: I figurern ser vi tt sin = h, ovsett om höjden h ligger invändigt eller utvändigt. ärur får vi h = sin. å är tringelns re T = 1 2 h = 1 sin. 2

3 Sinusstsen: I vrje tringel gäller, med gängse etekningr på sidor oh vinklr: sin = sin = sin evis: restsen kn skrivs på tre sätt, ll ger smm resultt: T = 1 2 sin = 1 2 sin = 1 2 sin Om mn multiplierr ll leden med 2 oh dividerr dem med, så får mn vrmed den sinusstsen är evisd! 2T = sin = sin = sin

4 osinusstsen: I vrje tringel gäller, med gängse etekningr på sidor oh vinklr: 2 = os p h p F h p F evis: Låt i vnlig ordning stå för sidn, oh låt p vr sidn F (med F enligt figurern). Vi delr in eviset i två fll, eroende på om vinkeln är spetsig eller truig, just så som figurern visr. 1) I den vänstr tringeln är vinkeln spetsig, så os är positivt oh p = os. Pythgors sts på de åd rätvinklig deltringlrn ger: 2 = h 2 + p 2, 2 = h 2 + ( p) 2 = h p + p 2 = {ur den förr likheten} = p Sätter vi in p = os, så får vi osinusstsens formel. 2) I den högr tringeln är vinkeln truig, lltså är os negtivt. en spetsig utvändig vinkeln vid är 180, så p = os(180 ) = os. 2 = h 2 + p 2, 2 = h 2 + ( + p) 2 = h p + p 2 = {ur den förr likheten} = p Sätter vi in p = os, så får vi återigen osinusstsen.

5 e sfärisk tringelstsern Sfärisk sinusstsen: I vrje sfärisk tringel gäller, med gängse etekningr på sidor oh vinklr: sin sin = sin sin = sin sin O F E evis v den sfärisk sinusstsen, i fllet då sidorn är mindre än 90. Vår sfärisk tringel är, entrum i sfären heter O. Låt sfären h rdien 1. r höjden från till plnet O, dess fotpunkt kllr vi F. r höjdern från till rdiern O oh O oh kll ders fotpunkter respektive E. ärmed hr vi fyr rätvinklig tringlr tt ret med: O, EO, F oh F E. Vi konstterr först tt O =, OE =, F = oh EF =. Sträkorn oh E uttryks i tringelvinklrn: = sin, E = sin. Sträkn F kn nu uttryks på två sätt: F = sin = E sin sin sin = sin sin sin sin = sin sin ett kn görs med vilket pr v sidor/vinklr som helst, så vi hr därmed fstställt tt vilket är den sfärisk sinusstsen. sin sin = sin sin = sin sin

6 Sfärisk osinusstsen: I vrje sfärisk tringel gäller, med gängse etekningr på sidor oh vinklr: os = os os + sin sin os O G F E evis v den sfärisk osinusstsen, i fllet då sidorn är mindre än 90. etekningrn i figuren är desmm som i föregående figur, men här hr tillkommit en sträk EG, som är höjden från E mot sidn O. en sfärisk ossinusstsen kommer här ur det fktum tt O = OG + G. (1) För tt se hur stsen följer v dett, konstterr vi först tt EO = F EG =, OE =, O = oh EF =. Vi uttryker nu sidorn i ekvtion (1) med hjälp v dess vinklr: O = os, OG = OE os = os os, G = EF sin = E os sin = sin os sin. ärmed uttryker ekvtion (1) smndet os = os os + sin sin os oh den sfärisk osinusstsen är evisd.

7 Girrds formel ren v den sfärisk tringeln är + + π ren vser den del v enhetssfären som egränss v tringeln. Först: två storirklr vgränsr fyr områden, prvis kongruent, v sfären. ess s.k. månr (engelsk lunes) hr ren 2v om vinkeln melln storirklrn i den ktuell månen är v. Månens ndel v hel sfärens re 4π är ju v 2π. III E I II T evis: Om vi eteknr ren v den sfärisk tringeln med T, reorn v de sfärisk tringlrn E, E, med I, II respektive III, så ser vi tt de de prvis ildr månr: T + I = 2, T + II = 2, T + III = 2. ett ger 3T = 2( + + ) (I + II + III) 2T = 2( + + ) (T + I + II + III) = 2( + + ) 2π, det sist eftersom de fyr områden tillsmmns utgör en hlv sfär. ärmed T = + + π.

Relevanta dokument

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................