ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT"

Transkript

1 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som ett komplement till den ordinrie kurslitterturen till en kurs i envribelnlys vid Uppsl universitet. Grovt räknt är kompendiet uppdelt i fem delr: funktioner, derivt, integrler, serier och ordinär differentilekvtioner. Tnken är tt dess sk täck llt mteril som är relevnt för kursen i fråg. Istället för tt lägg fokus på flertlig exempel på vrje del hr jg försökt lägg fokus på förklringr för tt ök förståelsen för ämnet och dess koncept, oft med ett fåtl väl vld exempel för tt belys viktig detljer. Min förhoppning är tt dett kompendium sk kunn komm någon person till hjälp med någon del v envribelnlys, vilket jg ser som en viktig grund för fortstt mtemtik och en stor del v nturvetenskpen.. Funktionsbegreppet Innn vi kn börj studer funktioner måste vi först bestämm vd vi menr med en funktion. Begreppet mängd kommer för oss vr väldigt viktigt. Mängder är väldigt viktig och nvänds i nästn ll områden v mtemtiken. Mängder hr bstrkt och precis definitioner men för oss räcker det tt tänk sig en mängd som en väldefinierd smling objekt. Det får inte finns någon tvetydighet huruvid ett visst objekt ingår i mängden eller inte... Grundläggnde koncept. Definition.. En funktion f från en mängd D till en mängd V är en regel som till vrje element x D (läses x i D) ssocierr ett och endst ett element f(x) V. Vi skriver dett som f : D V. D klls för definitionsmängd och V klls för värdemängd. Om mn hr en given funktion mrkerr vi dess definitionsmängd genom tt skriv D f och smm för värdemängden. Noter tt fler element i D f kn vbilds på smm element i V f och tt två funktioner, även om de hr smm formel, är olik om ders definitionsmängder är olik. Från och med nu kommer både definitionsmängd och värdemängd vr delmängder v de reell tlen, R, för ll funktioner. Dett betyder tt de är en smling v reell tl, knske till och med ll. Om inget nnt nges nts dess vr så stor som möjligt där funktionen kn definiers. Att en mängd A är en delmängd v en mängd B skrivs som A B. All funktioner vi kommer håll på med är definierde på intervll v reell tl eller kombintioner v fler intervll. Vi beskriver dess mer ingående med en definition. Definition.. Givet två mängder A R och B R kn vi bild den ny mängden A B vilket är mängden v ll tl x så tt x A eller x B smt mängden A B vilket är mängden v ll tl x så tt x A och x B. Ett öppet intervll (, b) är mängden v ll tl x R så tt < x < b.

2 DAN STRÄNGBERG Ett slutet intervll [, b] är mängden v ll tl x R så tt x b. Vi kn även kombiner de olik typern så tt vi får till exempel [, b) Exempel.3. Intervllet (0, ) är ll tl 0 < x <. (0, ) (, 5 ] är ll tl 0 < x < smt ll tl < x 5. En viktig egenskp som ll intervll hr är tt de sitter ihop. Mn kn gå från en änden v intervllet till ndr utn tt stöt på någr hål... Grfer. Om vi hr en funktion f kn vi titt på dess grf. Grfen till f är ll punkter i plnet, som skrivs R, som uppfyller ekvtionen y = f(x), lltså ll punkter (x, y) R där y = f(x). En llmän punkt (x, y) i plnet ligger lltså på grfen v f om x D f och y = f(x). Att kunn skiss och föreställ sig grfer till funktioner kn underlätt väldigt mycket i problemlösning och grfern till viss stndrdfunktioner bör mn lär sig utntill. Att kunn visuliser ett problem kn ge ledtrådr till vd mn kn gör för tt lös det eller hjälp till tt se vd som skiljer ett problem från ett nnt. Figur. Grfen till funktionen f(x) = x.3. Speciell funktioner. Viss funktioner hr speciell egenskper som hr egn nmn och gör undersökndet v dess funktioner enklre. Definition.4. En funktion f klls () jämn om för vrje x D f även x D f och f( x) = f(x) (tänk f(x) = x ) () udd om för vrje x D f även x D f och f( x) = f(x) (tänk f(x) = x) (3) växnde (strikt) om x < x f(x ) f(x ) (f(x ) < f(x )) (4) vtgnde (strikt) om x < x f(x ) f(x ) (f(x ) < f(x )) Funktioner som uppfyller 3 eller 4 klls gemensmt för monoton funktioner.

3 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 3 Tnkeväckre: Vilk värden kn en udd funktion nt i x = 0? Glöm inte tt visuliser hur funktioner med dess egenskper kn se ut! Om vi hr ett pr funktioner f, g kn vi skp ny funktioner med hjälp v de vnlig räknesätten. Definition.5. Låt f, g vr funktioner. För vrje tl x som ligger i båd funktionerns definitionsmängder bildr vi funktionern () (f + g)(x) = f(x) + g(x) () (f g)(x) = f(x) g(x) (3) ((fg)(x) ) = f(x)g(x) f (4) (x) = f(x), om g(x) 0 g g(x) (5) (f g)(x) = f(g(x)), om x D g och g(x) D f Återigen, glöm inte tt försök visuliser hur dess ny funktioner ser ut i termer v de gml..4. Inversfunktioner. Definition.6. Låt f : D V. En inversfunktion till f är en funktion f : V D så tt (f f)(x) = x och (f f )(y) = y för ll x D och y V. Om f hr en invers klls f inverterbr. Om f hr en inversfunktion så hr den endst en sådn. Det följer även v definitionen tt inversefunktionen till f är f. Noter tt f inte är smm sk som f! Vd krävs för tt en funktion sk h en invers? Eftersom en funktion br får nt ett end värde för vrje element i sin definitionsmängd måste f uppfyll krvet f(x ) = f(x ) x = x eller det ekvivlent x x f(x ) f(x ) för nnrs skulle inversen behöv vbild ett och smm element på fler olik element. Dett klls tt f är injektiv eller ett-till-ett. Om f är definierd på ett intervll är f injektiv om och endst om f är strikt monoton. Sts.7. Låt f vr en inverterbr funktion. Då gäller: () x = f (y) y = f(x) () (f ) = f (3) Grfen v f är reflektionen i linjen y = x v grfen v f Det kn händ tt en funktion inte hr en invers på hel sin definitionsmängd men kn h det om mn begränsr definitionsmängden till en mindre mängd. Dett är vd mn gör med de trigonometrisk funktionern för tt hitt ders inverser. Till exempel hr sin x ingen invers på R men om vi begränsr oss till intervllet ( π, π ) blir den injektiv och vi kn då hitt en invers. Dessutom kn funktioner vr sin egen invers. Exempel.8. f(x) = x är sin egen invers eftersom (f f)(x) = f(f(x)) = f( x ) = x..5. Trigonometrisk funktioner. Enhetscirkeln ges v ekvtionen x + y =. Den består v ll punkter (x, y) R som hr vståndet till origo. Låt P t vr den punkt på enhetscirkeln som befinner sig på vståndet t från (, 0) längs cirkeln (inte det rk vståndet), räknt moturs om t > 0 och medurs om t < 0. Då hr P t koordinter (cos t, sin t). Dett definierr de båd funktionern cos och sin. Enligt denn definition ger lltså cos t x-koordinten v P t och sin t ger dess y-koordint. Direkt ur denn definition följer ett ntl viktig och nvändbr egenskper:

4 4 DAN STRÄNGBERG Egenskper.9. cos t + sin t =, klls för trigonometrisk ettn cos( t) = cos t, så cos är en jämn funktion sin( t) = sin t, så sin är en udd funktion cos( π t) = sin t sin( π t) = cos t cos(π t) = cos t sin(π t) = sin t cos(t + πn) = cos t, för ll heltl n sin(t + πn) = sin t, för ll heltl n De sist två egenskpern säger tt både cos och sin är π-periodisk. Med lite mer rbete kn mn även vis följnde två formler: Egenskper.0. sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t Härifrån följer ndr nvändbr formler. Om s = t får vi till exempel formlern för dubbl vinkeln. Med hjälp v sin och cos kn vi även definier en tredje funktion enligt tn t = sin t cos t. Dett är en π-periodisk funktion vilket kn viss genom tt nvänd formlern för summn v två vinklr för sin och cos..6. Gränsvärden. Definition.. En funktion f går mot gränsvärdet L när x går mot, skrivs lim x f(x) = L, om för vrje ε > 0 finns ett δ > 0 så tt om 0 < x < δ så gäller x D f och f(x) L < ε. Dett betyder tt om vi väljer x tillräckligt när så ligger f(x) när L och ju närmre x är till desto närmre är f(x) till L. Noter tt vi behöver öppn intervll runt, pg den strikt olikheten i definitionen. Sådn intervll klls för omgivningr v. Mn kn också definier gränsvärdet från endst ett håll, höger eller vänster. Vi skriver dett som lim f(x) = L respektive lim f(x) = L. Noter tt eftersom definitionen v gränvärde tr x + x båd sidorn v i nspråk smtidigt så gäller tt lim f(x) lim f(x) = L och lim x x + f(x) = L smtidigt. x För tt en funktion sk h ett gränsvärde i måste den lltså h både höger- och vänstergränsvärde och dess måste vr lik. Denn egenskp kn nvänds för tt vis tt en funktion hr eller inte hr ett gränsvärde i en viss punkt. Exempel.. Signumfunktionen ges v sgn(x) = x och sgn(0) = 0. Dett betyder tt den x ntr värdet för positiv x, för negtiv x och ntr värdet 0 i x = 0. Därför hr vi lim sgnx = x 0+ lim x 0 sgnx = vilket betyder tt gränsvärdet i x = 0 inte existerr eftersom höger- och vänstergränsvärden inte är lik. Det finns ett ntl räkneregler för gränsvärden som kn beviss direkt ur definitionen och som är viktig tt håll koll på. Vi formulerr dett i vår först sts. Sts.3. Låt lim f(x) = L, lim g(x) = M och låt k vr en konstnt. Då gäller x x () lim (f + g)(x) = L + M x () lim (f g)(x) = L M x

5 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 5 (3) lim (fg)(x) = LM x (4) lim kf(x) = kl x (5) lim x ( f g ) (x) = L M, om M 0 (6) lim x (f(x)) m n = L m n, för heltl m, n där L > 0 om n är jämnt och L 0 om m < 0 (7) Om f(x) g(x) för ll x i en omgivning v så gäller L M Dess gäller även för höger- och vänstergränsvärden. Mn kn säg tt gränsvärden fungerr som mn vill. Exempel.4. lim C = C där C är en konstnt. x lim x = x Med hjälp v dett och den tidigre stsen kn vi direkt hitt gränsvärdet v ll rtionell funktioner så länge det inte är ett nollställe till nämnren. Exempel.5. x + x lim x x 4 = lim x x(x + ) (x + )(x ) = lim x x x = 4 = Här är ett nollställe till nämnren men vi kn förkort bort det nollstället och kn då hitt gränsvärdet. Följnde sts är en direkt följd v sist delen v förr stsen och kn nvänds för tt hitt en del mer komplicerde gränsvärden Sts.6 (Krmstsen). Låt f(x) g(x) h(x) i en omgivning v utom möjligen i. Låt vidre lim f(x) = lim h(x) = L. Då gäller också lim g(x) = L. x x x ( ) Exempel.7 (Uppgift 78, sid. 7 i [?]). Vd hr funktionen g(x) = x sin för definitionsmängd? Vd är lim x sin? ( ) x x 0 x ( ) Funktionen x sin är definierd för ll x 0, lltså är D g = (, 0) (0, ) x För ( tt ) hitt gränsvärdet noterr vi tt sin x för ll x, lltså gäller x x sin x. Vidre hr vi lim x = lim x = 0 så vi kn nvänd krmstsen med x ( ) x 0 x 0 ( ) f(x) = x, g(x) = x sin, h(x) = x och vi får då lim x sin = 0. x x 0 x Slutligen sk vi titt på sk vi titt på vd som händer om x ± eller om f(x) ± när x. För dett ges två definitioner som bygger på den vnlig. Definition.8. lim f(x) = L om för vrje ε > 0 det existerr ett tl R så tt om x > R så x gäller x D f och f(x) L < ε och motsvrnde för. Definition.9. lim x f(x) = om för vrje positivt tl B det existerr ett δ så tt om 0 < x < δ så gäller x D f och f(x) > B och motsvrnde för På smm sätt som tidigre hr vi både höger- och vänstergränsvärden. Exempel.0. lim x 0 x =. lim x 0 x = men lim x 0+ x = så lim x 0 x existerr inte. Däremot gäller

6 6 DAN STRÄNGBERG. Kontinuitet och derivt Vi sk nu titt närmre på ett pr viktig typer v funktioner, nämligen de kontinuerlig och de deriverbr funktionern... Kontinuitet. En funktions värde i en punkt behöver inte vr smm som dess gränsvärde i den punkten, funktionen behöver inte ens vr definierd i gränsvärdet. Om en funktions gränsvärde i punkten är smm som dess värde i punkten så sitter funktionen ihop i den punkten, vi behöver inte lyft pennn för tt rit den punkten när vi ritr upp grfen. Dett leder oss till en definition. Definition.. En funktion klls kontinuerlig i en inre punkt D f om lim x f(x) = f(), nnrs klls funktionen diskontinuerlig i. Den klls kontinuerlig i en inre punkt eftersom definitionen v gränsvärde kräver en omgivning v, även fst denn kn vr hur liten som helst. Alltså kn mn lltid hitt tl på vrder sid om som fortfrnde ligger i definitionsmängden. På smm sätt som vi hr högeroch vänstergränsvärden kn en funktion också vr höger- och vänsterkontinuerlig. Dett sker genom tt helt enkelt byt ut gränsvärdet i definitionen mot motsvrnde. Definition.. En funktion f där D f = [, b] klls kontinuerlig i en vänsterändpunkt om den är högerkontinuerlig där och den klls kontinuerlig i en högerändpunkt om den är vänsterkontinuerlig där. Vi behöver en sist definition innn vi kn gå vidre. Definition.3. En funktion klls kontinuerlig på ett intervll I om den är kontinuerlig i vrje punkt i intervllet. En funktion klls kontinuerlig om den är kontinuerlig i vrje punkt i sin definitionsmängd. Nu är vi redo tt titt närmre på vilk funktioner som är kontinuerlig. I princip kn mn säg tt en funktion är kontinuerlig om mn kn rit upp dess grf utn tt lyft pennn men det finns viss undntg och det är viktigt kunn skilj på när en funktion är kontinuerlig och när den inte är det. Exempel.4. Funktionen f(x) = kn inte rits utn tt lyft pennn men den är ändå kontinuerlig eftersom punkten x = 0, som är den end där gränsvärdet kn skilj från funktionsvärdet x enligt förr föreläsningen, inte tillhör dess definitionsmängd. En funktion med en definitionsmängd som inte sitter ihop kn h en grf som inte sitter ihop men ändå vr kontinuerlig. Däremot måste grfen till en kontinuerlig funktion sitt ihop om dess definitionsmängd sitter ihop. Alltså måste en kontinuerlig funktion som är definierd på ett intervll h en grf som sitter ihop. All funktioner vi stött på tidigre är kontinuerlig på sin respektive definitonsmängder, utom signumfunktionen som inte är kontinuerlig eftersom dess gränsvärde i x = 0 inte ens existerr men dess värde är definiert till 0 (noter dock tt den skulle vr kontinuerlig om mn vlde tt inte definier den i x = 0). Alltså är ll polynom och rtionell funktioner, sin, cos, tn, x ll kontinuerlig. Följnde sts säger hur mn kn skp fler kontinuerlig funktioner om mn redn hr två. Sts.5. Låt f, g vr kontinuerlig i punkten x =. Då är även följnde funktioner kontinuerlig i x = : () f + g () f g

7 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 7 (3) fg (4) kf, för ll konstnter k R (5) f, om g() 0 g (6) (f(x)) n, om f() > 0 för jämn n (7) f g, om g är kontinuerlig i och f är kontinuerlig i g() Ovsett om g är kontinuerlig eller inte i x = men lim g(x) = L och f är kontinuerlig i L så x gäller ( ) lim f(g(x)) = f(l) = f lim g(x) x x Vi kn med ndr ord bryt ut kontinuerlig funktioner ur gränsvärden. Den sist egenskpen i stsen ovn kn då ses som ett specilfll v denn egenskp. Om en funktion är odefinierd eller diskontinuerlig i en punkt men kn definiers om så tt den blir kontinuerlig i säger vi tt f hr en borttgningsbr diskontinuitet i. Dett händer om lim f(x) = lim f(x) = L men f() L eller om / D f. Vi kn då skp en ny funktion x + { x f(x), för x F (x) = Denn funktion är då kontinuerlig och klls för en kontinuerlig L, för x = utvidgning v f. Exempel.6. Funktionen f(x) = + x3 är inte definierd för x = som är en borttgningsbr diskontinuitet eftersom vi x hr + x 3 x = ( + x)( x + x ) = x + x ( + x)( x) x x + x och lim = 3. Vi kn då definier funktionen x x + x 3, för x F (x) = x 3, för x = som då är en kontinuerlig utvidgning v f. Om däremot lim f(x) lim f(x) hr vi ingen möjlighet tt hitt en kontinuerlig utvidgning. Då hr f en hoppdiskontinuitet. Vi kn till exempel inte hitt någon kontinuerlig x + x utvidgning till f(x) = x i x = 0. Kontinuerlig funktioner definierde på slutn intervll hr någr väldigt viktig egenskper som vi formulerr i två stser. Sts.7 (Extremvärdesstsen). Låt f : [, b] R vr kontinuerlig. Då existerr punkter p, q [, b] så tt f(p) f(x) f(q) för ll x [, b]. f hr lltså ett minst värde och ett störst värde som den dessutom ntr. I synnerhet kn f inte väx mot oändligheten på [, b]. Noter tt stsen fllerr om f är diskontinuerlig i någon punkt i intervllet eller om intervllet inte är slutet. Sts.8 (Stsen om mellnliggnde värden). Låt f : [, b] R vr kontinuerlig och låt c vr ett tl så tt f() < c < f(b). Då existerr ett tl x (, b) så tt f(x) = c.

8 8 DAN STRÄNGBERG Den här stsen visr tydligt på liknelsen tt en funktion som är kontinuerlig på ett intervll kn rits utn tt lyft pennn eftersom den säger tt vrje tl melln f() och f(b) nts. Om vi nvänder extremvärdesstsen kn vi skärp stsen om mellnliggnde värden något så tt den visr tt ll tl melln funktionens störst och minst värde nts. Innn vi går vidre gör vi en sist definition som vi kommer nvänd oss v senre. Definition.9. En funktion f definierd på ett intervll [, b], utom möjligtvis i ett ntl punkter = x 0 < x < < x n = b i [, b] klls bitvis kontinuerlig på [, b] om det för vrje i existerr en funktion F i som är kontinuerlig på intervllet [x i, x i ] och som uppfyller F i (x) = f(x) för ll x (x i, x i )... Derivering. En linje i plnet kn skrivs som y = kx + m, där k är linjens lutning. Om vi hr två punkter (x 0, y 0 ) och (x, y ) på linjen kn vi få frm k enligt k = y y 0 = y x x 0 x. Antg nu tt vi hr grfen till en kontinuerlig funktion så tt y = f(x). Om vi väljer två tl x 0, x får vi två punkter (x 0, f(x 0 )), (x, f(x )) på grfen. Linjen som går melln dess två punkter hr då lutningen k = f(x ) f(x 0 ), eller om vi skriver x = x 0 + h så får vi k = f(x 0 + h) f(x 0 ) = x x 0 x 0 + h x 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h f(x 0 + h) f(x 0 ) Om vi nu låter h 0 så tt x x 0 får vi lim vilket, om dett gränsvärde h 0 h existerr, ger oss lutningen på linjen som är tngent till grfen i punkten (x 0, f(x 0 ). Dett värde klls då grfens lutning i x 0. Vi kn nvänd dett för tt definier en ny funktion. Definition.0. Låt f vr en kontinuerlig funktion. Derivtn v f är en funktion f som uppfyller f f(x + h) f(x) (x) = lim för ll punkter x D f där gränsvärdet existerr. Om h 0 h f (x) existerr säger vi tt f är deriverbr i x. Om f är deriverbr i vrje punkt på ett intervll I säger vi tt f är deriverbr på I. Om f är deriverbr i vrje punkt i D f säger vi tt f är deriverbr. En punkt där en funktion inte är deriverbr klls singulär. f är lltså en funktion som i vrje punkt ger lutningen v f:s grf i den punkten. f mäter hur snbbt f förändrs. Det kn händ tt även f är en kontinuerlig funktion. Då klls f kontinuerligt deriverbr och vi kn deriver en gång till. Vi får då en funktion f som klls ndrderivtn till f. I llmänhet kn vi skriv n:te derivtn som f (n). Andr skrivsätt är dn f dx n och Dn f. Exempel.. Låt f(x) = x 3 + x 4x + 5. Då är f ((x + h) 3 + (x + h) 4(x + h) + 5) (x 3 + x 4x + 5) (x) = lim = h 0 h (x + h) 3 x 3 (x + h) x 4(x + h) ( 4x) 5 5 = lim + lim + lim + lim = h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h x 3 + 6x h + 6xh + h 3 x 3 x + xh + h x 4x 4x 4h = lim + lim + lim = h 0 h h 0 h h 0 h = 6x + x 4 Allmänt gäller tt om f(x) = x r så är f (x) = rx r och om f(x) = k där k är en konstnt så är f (x) = 0. Dett är två viktig stndrdderivtor.

9 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 9 Det är oft mycket svårre än så tt beräkn derivtor direkt ur definitionen. Det finns dock ett ntl deriveringsregler som underlättr. De först tre är direkt följder v räknereglern för gränsvärden. Sts. (Deriveringsregler). Låt f, g vr deriverbr i x. Då är även följnde funktioner deriverbr i x och ntr följnde värden: () (f + g) (x) = f (x) + g (x) () (f g) (x) = f (x) g (x) (3) (kf) (x) = kf (x), för ll konstnter k R (4) ((fg) ) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x), klls för produktregeln f (5) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (g(x)), klls för kvotregeln (6) (f g) (x) = f (g(x))g (x), om g är deriverbr i x och f är deriverbr i g(x), klls för kedjeregeln Egenskp 6 kn skrivs på ett snyggt sätt om vi nvänder ett nnt skrivsätt. Låt y = f(u) och u = g(x) så tt y = f(u) = f(g(x)) = (f g)(x). Då får vi dy dx = dy du du dx. Exempel.3. Låt f(x) = ( x ) 3. Enligt kedjeregeln är då f (x) = 3 ( x ) 5 ( 4x) = 6x( x ) 5. Ett pr ndr viktig stndrdderivtor som mn bör kunn utntill är derivtorn för de trigonometrisk funktionern. Dess är d sin x = cos x dx d cos x = sin x dx Exempel.4. Derivtn för tn x kn härleds med hjälp v kvotregeln. d dx tn x = d dx ( sin x cos x ) = cos x ( sin x) cos x där trigonometrisk ettn nvändes i sist steget. = cos x = + tn x När mn kn deriver funktioner kn mn börj fråg sig om en funktion är derivtn v någon nnn funktion. Givet en funketion f, existerr det en funktion F så tt F = f? Definition.5. En primitiv funktion till en funktion f är en funktion F så tt F (x) = f(x) för ll x D f. All stndrdderivtor kn nvänds för tt hitt primitiv funktioner. Till exempel hr vi tt sin x är en primitiv funktion till cos x. Primitiv funktioner, om de existerr, är inte unik. Eftersom derivtn v en konstnt funktion är 0 kn vi dder en konstnt till en primitiv funktion och få en ny primitiv funktion. Mer precist, låt F uppfyll F (x) = f(x) och bild funktionen G(x) = F (x) + k för någon konstnt k R. Enligt deriveringsreglern får vi då G (x) = (F + k) (x) = F (x) + k = F (x) + 0 = F (x) = f(x), lltså är även G(x) en primitiv funktion. Vi kommer prt mer om dett när vi kommer till integrler. Vi kn utök definitionen v derivt till slutn intervll genom tt nvänd höger- och vänstergränsvärden på smm sätt som vi gjorde med kontinuitet.

10 0 DAN STRÄNGBERG Definition.6. Vi säger tt en funktion f definierd på ett intervll [, b] är deriverbr i om existerr och i b om existerr. f( + h) f() lim h 0+ h f(b + h) f(b) lim h 0 h Vi kn nu säg lite mer om vilk funktioner som är derivtor. Sts.7. Låt f vr deriverbr på [, b] och låt f () < c < f (b). Då existerr ett tl x (, b) så tt f (x) = c Derivtor uppfyller lltså tt mellnliggnde värden nts och om en funktion inte uppfyller denn egenskp kn den heller inte h en primitiv funktion. Låt f vr en deriverbr funktion. Om (, f()) och (b, f(b)) är två punkter på dess grf kn vi bild linjen som går melln dess två punkter. Om vi nu tänker oss hur grfen kn se ut är det lätt tt övertyg sig om tt det måste finns minst en punkt på grfen där tngenten är prllell med den här linjen, ovsett hur konstig grfen ser ut melln dess två punkter och det finns mång exempel från vår omvärld som uppfyller denn egenskp. Om mn tillexempel färds melln två punkter med en viss medelhstighet måste mn under resn minst en gång h hft smm hstighet som sin medelhstighet. Dett beskrivs v följnde sts. Sts.8 (Medelvärdesstsen). Låt f vr kontinuerlig på [, b] och deriverbr på (, b). Då existerr en punkt c (, b) så tt f(b) f() b = f (c) Exempel.9 (Uppgift 4, sid. 8 i [?]). Låt f(x) = cosx + x på intervllet [0, x]. Enligt exempel på sidn 38 i [?] gäller sin x < x för ll x (0, ). Enligt medelvärdesstsen finns då ett c (0, x) så tt f(x) f(0) = f (c) cos x + x = sin c + c > 0 x 0 x där den vslutnde olikheten följer v nämnd exempel. Eftersom x > 0 multiplicerr vi båd sidor med x och får cos x + x > 0 cos x > x vilket gäller för ll x > 0. Eftersom båd sidor v denn olikhet är jämn funktioner gäller den även för ll x < 0. Följnde sts är ett specilfll v medelvärdesstsen där f() = f(b): Sts.0. Låt f vr kontinuerlig på [, b] och deriverbr (, b) smt f() = f(b). Då existerr ett tl c (, b) så tt f (c) = 0 Det finns även en generlisering v medelvärdesstsen. Sts.. Låt f, g vr kontinuerlig på [, b] och deriverbr på (, b) smt låt g (x) 0 för ll x (, b). Då existerr ett tl c (, b) så tt f(b) f() g(b) g() = f (c) g (c)

11 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT.3. Implicit derivering. Vi sk nu titt på en tillämpning v kedjeregeln. Lösningsmängden till en ekvtion i två vribler F (x, y) = 0 (det vill säg ll punkter (x, y) R som uppfyller F (x, y) = 0) beskriver i llmänhet en kurv i plnet, till exempel kn en cirkel med rdie r ses som lösningsmängden till ekvtionen x + y = r. Denn kurv behöver inte vr grfen till någon funktion då smm x-värde kn h fler y-värden, som i exemplet. Iblnd kn mn lös ut y som en funktion v x, men br om kurvn smmnfller med grfen till en funktion v x och iblnd br på en viss del v kurvn. Låt oss istället tänk oss tt ekvtionen bestämmer y i termer v en eller fler funktioner v x implicit, till skillnd från explicit där vi hr en formel. Vi kn då fortfrnde hitt lutningen v kurvn i en v dess punkter genom tt nvänd en teknik som klls implicit derivering som bygger på kedjeregeln. Dett illustrers bäst med ett exempel: Exempel.. Vi vill hitt tngentens ekvtion till kurvn x y 3 x 3 y = i punkten (, ). Vi deriverr implicit: d dx (x y 3 x 3 y ) = d dx = 0 xy 3 + x d dx y3 3x y x 3 d dx y = 0 xy 3 + 3x y dy dx 3x y x 3 y dy dx = 0 vilket i punkten (, ) blir Tngentens ekvtion ges då v xy 3 3x y = x 3 y dy dx 3x y dy dx y 3xy = (x 3xy) dy dy dx = y 3xy x 3xy = 4 8 = 7 4 y y 0 = k(x x 0 ) y = 7 4 (x + ) y = 7 4 x Implicit derivering kn även nvänds för tt hitt speciell derivtor, så som derivtn v olik inversfunktioner. Exempel.3. Låt y = ln x. Då gäller e y = x d dx ey = d dx x = e y dy dx = dy dx = e y = x.4. l Hôpitls regler. Derivering [ ] kn även nvänds för tt lös viss typer v gränsvärden, 0 [ nämligen sådn v typen eller v typen. Dett görs med hjälp v två stser som 0 ] brukr klls l Hôpitls regler. dx

12 DAN STRÄNGBERG Sts.4. Låt f, g vr deriverbr på (, b) och låt g (x) 0 för ll x (, b). Låt vidre och Då är lim f(x) = lim g(x) = 0 x + x + f (x) lim x + g (x) = L f(x) lim x + g(x) = L Kommentr.5. L får vr vilket tl som helst, till och med ±, lim kn byts ut mot lim x + x b eller lim för något c (, b), = och b = tillåts också. x c Sts.6. Låt f, g vr deriverbr på (, b) och låt g (x) 0 för ll x (, b). Låt vidre och Då är lim g(x) = ± x + f (x) lim x + g (x) = L f(x) lim x + g(x) = L Smm modifiktioner som i förr stsen [ gäller ] även här. Noter vidre tt den här stsen k gäller även för ll gränsvärden v typen men det end intressnt fllet är just fllet då k = ± eftersom det nnrs blir 0. Det är viktigt tt komm ihåg tt t kvoten v derivtorn när mn nvänder någon v l Hôpitls regler och inte derivtn v kvoten. [ ] sin x 0 Exempel.7. lim är v typen x 0 x 0 och vi hr lim x 0 cos x sin x säger oss tt lim = så vi hr verifiert ett v stndrdgränsvärden. x 0 x f (x) Det kn händ tt även lim x g är v typen (x) l Hôpitl igen, om krven är uppylld. Exempel.8. = så l Hôpitls först regel [ ] 0 [ eller. Då kn mn prov tt nvänd 0 ] x [ ] lim x e x = x [ ] = lim x e x = = lim x e x = 0 Om vi byter ut mot ett godtyckligt tl och e mot ett nnt godtyckligt tl b kn vi nu x bevis ännu ett stndrdgränsvärde, nämligen lim x b x = 0. Slutligen kn viss ndr gränsvärden mnipulers så tt de blir v typen [ ] 0 [ eller. 0 ]

13 ( sin x Exempel.9 (Uppgift 8, sid. 3 i [?]). lim x 0 x ln( sin x x ) x så tt lim x 0 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 3 lim x 0 x x cos x sin x sin x ( x ) x cos x x sin x cos x lim x 0 4x sin x + x cos x = lim x 0 cos x 4 cos x + cos x x sin x = lim x 0 ) x = [ ]. Låt y = ( sin x x ln( sin x x lim ) x 0 x = [ 0 0 ] = x cos x sin x = lim x 0 x sin x sin x = [ 0 0 ] = 4 sin x + x cos x = [0 0 ] = cos x 6 cos x x sin x = 6 ) x ln y = lim y = x 0 e 6 Den sist impliktionen håller eftersom funktionen f(x) = e x är en kontinuerlig funktion, så tt ( ) lim y = lim f(ln y) = f lim ln y x 0 x 0 x 0.5. Kurvritning. Ett v de störst nvändningsområden för derivering är tt undersök funktioners egenskper. Till exempel sätter derivtn begränsningr på hur vilt en funktion får bete sig melln två punkter så tt vi med större säkerhet kn fyll gpet på rätt sätt. Vi sk nu se hur mn kn nvänd derivering för tt t red på hur en funktions grf ser ut. Vi börjr med tt undersök en speciell typ v punkt för en funktion. Definition.30. Låt f vr en deriverbr funktion. En punkt x D f klls kritisk om df dx (x) = 0. Vd innebär dett för grfen till en funktion? Eftersom derivtn i en punkt ger grfens lutning i den punkten betyder det tt grfens lutning i en kritisk punkt är 0, grfen är lltså prllell med x-xeln. Dett är lltså en punkt där funktionen beter sig som en konstnt. En funktion kn bete sig på fyr sätt vid en kritisk punkt som ll klssificers efter derivtns nollställen. Exempel.3 (Fll ). Låt x = vr en kritisk punkt till en funktion f(x) och låt f (x) 0 för x < och f (x) 0 för x > i en omgivning v. Det betyder tt funktionens värde vtr frm till x = där den stnnr v och sedn vänder så tt funktionens värde börjr ök igen efter x =. Det betyder tt f() är ett loklt minimum till funktionen, vilket betyder tt det är det minst värde som funktionen ntr i en omgivning v. Ett exempel på en sådn funktion är f(x) = x som hr en sådn kritisk punkt i x = 0. Exempel.3 (Fll ). Låt återigen x = vr en kritisk punkt till en funktion f(x) men låt denn gång f (x) 0 för x < och f (x) 0 för x > i en omgivning v. Den här gången ökr lltså funktionens värde frmtill x = där den vänder för tt sedn börj vt. Det betyder lltså tt punkten x = är ett loklt mximum till funktionen. Ett exempel på en funktion med ett loklt mximum är f(x) = x 4 x 3 som hr ett loklt mximum i punkten x = 0 Lokl mximum och minimum klls gemensmt för extremvärden. Ett globlt mximum är en punkt x 0 så tt f(x 0 ) f(x) för ll x D f och ett globlt minimum är en punkt x 0 så tt f(x 0 ) f(x) för ll x D f. I synnerhet är ett globlt mximum även ett loklt mximum och ett globlt minimum är även ett loklt minimum. Däremot kn en funktion h extrempunkter som inte är globl mximum eller minimum. En funktion behöver inte ens h ett globlt mximum eller minimum, så som till exempel f(x) = kx för k 0.

14 4 DAN STRÄNGBERG Exempel.33 (Fll 3). Låt x = vr en kritisk punkt till en funktion f(x) och låt f (x) 0 för ll x i en omgivning v. Det betyder tt funktionen vtr frm till x = där den tillfälligt stnnr v för tt sedn vt igen. Funktionen hr lltså en pltå i punkten x = som klls för tersspunkt. Till exempel hr funktionen f(x) = x 3 en sådn tersspunkt i x = 0. Exempel.34 (Fll 4). Låt x = vr en kritisk punkt till funktionen f(x) och låt f (x) 0 för ll x i en omgivning v. Det betyder tt funktionen växer frm till x = där den tillfälligt stnnr v för tt sedn väx igen. Återigen hr funktionen en pltå i punkten x = som också klls för tersspunkt. Till exempel hr funktionen f(x) = x 3 en sådn tersspunkt i x = 0. Genom tt hitt derivtns nollställen och gör upp en teckentbell kn mn identifier funktionens ll kritisk punkter och vilken typ dess hr. Dett hjälper väldigt mycket vid kurvritning men det räcker inte hel vägen. Låt oss börj med tt studer kontinuerlig funktioner definierde på slutn intervll. Extremvärdesstsen grnterr tt en sådn funktion hr ett globlt mximum och ett globlt minimum, men den säger oss inte hur vi sk hitt dess. Derivtn hjälper oss nu en bit på vägen genom tt låt hos hitt ll kritisk punkter och ge oss en ning om hur snbbt funktionen växer eller vtr vid olik punkter. Men det kn händ tt dess mximum och minimum inte är en kritisk punkt. Till exempel kn dess punkter vr singulär punkter eller ändpunkter. Därför måste dess punkter också undersöks och ll värden jämförs för tt kunn hitt de globl mximum och minimum. Exempel.35. Låt f(x) = x 3 x vr definierd på intervllet [, ]. f(x) är då deriverbr på hel sin definitionsmängd så vi behöver inte undersök någr singulär punkter för tt hitt dess globl mx och min. Vi börjr därför med tt hitt ll kritisk punkter och dess kritisk värden och jämför sedn dess med funktionens värden i ändpunktern. Vi börjr därför med tt lös ekvtionen f (x) = 0: d dx (x3 x) = 0 3x = 0 x = 3 x = ± 3 Båd dess punkter ligger i definitionsmängden så vi undersöker värdet i de båd punktern. f( ) = = f( ) = = f() = 8 = 6 f( ) = 8 + = 6 Slutligen måste vi även t red på vd f (x) hr för tecken på båd sidor v de kritisk punktern. Vnligtvis görs dett med en teckentbell men i det här fllet kn vi t en liten genväg. Eftersom derivtn är en jämn funktion behöver vi br titt på en sidn v x = 0 för tt bestämm den helt. Vi ser snbbt tt derivtn är negtiv på [0, ) och positiv på 3

15 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 5 Figur. Grfen till funktionen f(x) = x 3 x ( 3, ), och hr smm tecken på motsvrnde negtiv intervll eftersom derivtn är jämn, vilket betyder tt x = 3 är ett loklt minimum medns x = 3 är ett loklt mximum. Vi hr nu i princip llt vi behöver för tt kunn skiss grfen till f som ser ut som i figur 3.. Om vi istället hr en funktion definierd på ett öppet, ändligt intervll (, b) kn vi på precis smm sätt studer kritisk punkter och kontroller singulär punkter men istället för tt undersök värdet i ändpunktern måste vi istället titt på det ensidig gränsvärdet då funktionen går mot de båd punktern och b eftersom funktionen inte är definierd i ändpunktern. Vi är inte längre grnterde tt en sådn funktion ntr ett globlt mximum eller minimum. En så enkel funktion som f(x) = x definierd på (, ) ntr vrken störst eller minst värde eftersom till exempel ovsett hur när vi befinner oss x = vi lltid kn hitt ett tl som ligger lite närmre. Om definitionsmängden är ett intervll som är öppet i en änden och slutet i ndr får mn nvänd sig v rätt metod i rätt ände v intervllet. Om definitionsmängden består v fler intervll, till exempel om D f = (0, ) (, 7] kn vi titt på vrje intervll för sig. När vi hr en funktion definierd på ett öppet intervll (, b) kn det händ tt lim f(x) = x + ±. Vi säger då tt funktionen hr en vertikl symptot i punkten x =. Om vi lättr på krvet tt funktionen måste vr kontinuerlig på hel intervllet kn dett även ske i inre punkter på intervllet, inte br ändpunktern. Till exempel hr funktionen f(x) = en vertikl symptot x i x = 0. En vertikl symptot är lltså en linje x = c som när funktionen närmr sig linjen börjr funktionens grf väx så fort tt den ldrig korsr linjen; grfen försvinner bort i oändligheten innn den kommer frm. Noter tt det räcker tt det ensidig gränsvärdet går mot ± från en hållet för tt det sk vr en vertikl symptot. Om vi istället hr en funktion definierd på ett obegränst intervll, till exempel [0, ) eller hel R = (, ), kn det även händ tt lim f(x) = L (eller när x ). Vi säger då x tt funktionen hr en horisontell symptot y = L. Dett är lltså en linje som funktionens grf kommer närmre och närmre ju längre bort på x-xeln vi går men den kommer ldrig frm. Vår gode vän f(x) = bjuder på ett exempel även här eftersom lim x x x = lim x x = 0 så funktionen hr en horisontell symptot y = 0 åt båd hållen. Funktionen f(x) = rctn x hr två olik horisontell symptoter, y = π då x och y = π då x.

16 6 DAN STRÄNGBERG Det kn även händ tt en funktion hr en sned symptot. Vi säger tt en funktion f hr en sned symptot y = kx + m om lim (f(x) (kx + m)) = 0 eller lim (f(x) (kx + m)) = 0. Till x x x 3 exempel hr f(x) = en sned symptot y = x åt båd hållen eftersom, för x >>, x4 f(x) = x 3 x4 x3 x 4 = x3 = x3 x 4 x = x så lim x ± ( x 3 x4 x ) = 0. Slutligen sk vi se hur vi kn nvänd oss v ndrderivtn för tt skiss en funktions grf. För tt förstå dett bäst behöver vi se f (x) i sig som en egen funktion. Lutningen på f (x) ges då v funktionens ndrderivt, f (x). Om ndrderivtn är negtiv betyder det lltså f (x) lutr neråt, lltså vtr f (x) vilket i sin tur betyder tt f(x) böjer sig neråt. Vi kllr därför f konkv på ett intervl I om f (x) < 0 för ll x I. På smm sätt böjer f v uppåt om f (x) > 0 och vi säger tt f är konvex på ett intervll I om f (x) > 0 för ll x I. En punkt där f(x) byter från tt vr konkv till tt vr konvex klls för en inflektionspunkt. I en sådn punkt hr vi f (x) = 0. I synnerhet hr vi tt om x = är en kritisk punkt till f och f (x) < 0 så är punkten ett loklt mximum och om istället f (x) > 0 så är punkten ett loklt minimum. Om även f (x) = 0 kn vi inte dr någon slutsts. Att undersök ndrderivtn går oft snbbre än tt gör en teckentbell för tt undersök kritisk punkter men den ger oss ingen extr informtion. Däremot får vi informtion om hur grfens llmänn utseende eftersom vi får dess konkvitet. Vi vslutr med ett exempel. Exempel.36 (Uppgift 6, sid. 5 i [?]). Låt y = x. Eftersom dett är en rtionell funktion där täljren är v en grd högre än nämnren misstänker vi direkt tt denn grf hr sned symptoter. Vi testr därför följnde: ( ) ( x 3 x ) x lim x x (kx + m) = lim x x ( (kx + m) = x ) ( ) x lim x (kx + m) = lim (x (kx + m)) x x Vilket blir 0 om och endst om k =, m = 0 så vi ser tt y = x är en sned symptot till höger. På smm sätt kn vi se tt y = x är en sned symptot även åt vänster. Nämnren hr dessutom två nollställen, x = ± vilket får oss tt misstänk vertikl symptoter här. lim x lim x + lim x lim x + x 3 x = x 3 x = x 3 lim x lim x + x = lim x x 3 x = lim x + x3 x = x = x = x = Derivtn är, enligt kvotregeln, y (x) = 3x (x ) x 4 (x ) = x4 3x (x ) = x (x 3) (x så vi ) ser tt de kritisk punktern är x = 0 och x = ± 3.

17 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 7 Figur 3. Grfen till f(x) = x3 x (blå) och f(x) = x (grön). Andrderivtn är, igen enligt kvotregeln, y (x) = (4x3 6x)(x ) (x 4 3x ) (x )x (x ) 4 = x 5 + 4x 3 6x (x ) 4 = x(x + 3)(x ) (x ) 4 = x(x + 3) (x ) 3. Vi gör nu en teckentbell: x (, 3) = 3 ( 3, ) = (, 0) = 0 y > 0 0 < 0 odef < 0 0 y < 0 < 0 < 0 odef < 0 0 y odef x (0, ) = (, 3) = 3 ( 3, ) y < 0 odef < 0 0 > 0 y < 0 odef > 0 > 0 > 0 y odef Andrderivtn säger oss tt x = 3 är ett loklt mximum och x = 3 ett loklt minimum. Den säger oss inget om x = 0 men teckenväxlingen där säger oss tt det är en tersspunkt. Det end som återstår nu är tt undersök värdet i ll intressnt punkter. Nu kn vi skiss grfen, som vi ser i figur Integrler Vi sk nu börj titt närmre på en nnn del v klkylen som innefttr tt hitt ren som begränss v kurvor. För tt gör dett definierr vi integrlen som ger ren melln grfen v en funktion och x-xeln. Vi kommer sedn se tt dett är när kopplt till derivering. 3.. Integrlens definition. Vi sk börj med tt titt på hur vi kn beräkn ren under grfen till en kontinuerlig funktion definierd på ett slutet intervll I = [, b]. Antg tt vi hr

18 8 DAN STRÄNGBERG en mängd punkter P = {x 0, x,..., x n } så tt = x 0 < x < < x n < x n = b. Vi kllr en sådn mängd en prtition v I. Eftersom f är kontinuerlig på vrje intervll [x i, x i ] ntr den ett störst och minst värde på det intervllet enligt extremvärdesstsen. Kll den punkt som ger störst värdet för u i och den punkt som ger det minst värdet för l i, så tt f(l i ) f(x) f(u i ) för ll x [x i, x i ] och låt x i = x i x i smt låt P = mx x i, i n klld normen v prtitionen. Eftersom ren v en rektngel är lik med dess bs gånger dess höjd får vi f(l i ) x i A i f(u i ) x i där A i är ren under grfen på intervllet [x i, x i ]. Vi gör nu en definition: Definition 3.. Den undre Riemnnsummn L(f, P ) för funktionen f och prtitionen P = {x 0, x,..., x n } är summn n L(f, P ) = f(l ) x + f(l ) x + + f(l n ) x n = f(l i ) x i och den övre Riemnnsummn U(f, P ) är U(f, P ) = f(u ) x + f(u ) x + + f(u n ) x n = i= n f(u i ) x i Om vi hr två prtitioner P, P säger vi tt P är en förfining v P om vrje punkt i P också ingår i P. Det är inte svårt tt övertyg sig om tt ju finre uppdelning vi hr desto närmre kommer de båd Riemnnsummorn tt vr den fktisk ren under grfen på intervllet, om funktionen inte är för konstig. Därför hr vi tt L(f, P ) L(f, P ) U(f, P ) U(f, P ). Dett leder oss till ännu en definition. Definition 3.. Om det existerr ett och endst ett tl I så tt för vrje prtition P v intervllet [, b] gäller L(f, P ) I U(f, P ) kllr vi funktionen f integrerbr på [, b] och vi kllr I för den definit integrlen v f på [, b] och skriver I = f(x)dx Vi kn tänk oss tt vi gör prtitionen finre och finre så tt den undre och den övre summn närmr sig vrndr. Till slut är de så när tt endst ett tl får plts melln dem och det är integrlen. Noter tt integrlen ger ren med tecken, den räknr re över x-xeln positivt medns den räknr re under x-xeln negtivt. Det är också viktigt tt komm ihåg tt integrlen br ger ett tl, den är enhetslös. Om vi beräknr en re med hjälp v en integrl måste vi därför lägg till en enhet eftersom en re hr enhet, till exempel kvdrtmeter. Vnligt är tt mn lägger till.e. för reenheter, vilket kommer följs här. Vi kllr, b gemensmt för integrtionsgränser, den undre och b den övre, f klls integrnd, x klls integrtionsvribel och dx klls för differentilen v x. Om integrnden beror v fler än en vribel nger differentilen vilken vribel mn integrerr över. Det visr sig tt ll kontinuerlig funktioner på ett slutet intervll är integrerbr över det intervllet. Följnde sts ger oss ett ntl räkneregler för integrlen. Sts 3.3. Låt f, g vr integrerbr på intervllet [, b] och låt c [, b]. Då gäller () f(x)dx = 0 i=

19 () (3) (4) f(x)dx = b f(x)dx (f(x) + bg(x))dx = f(x)dx = c f(x)dx + ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 9 c f(x)dx + b f(x)dx (5) Om f(x) g(x) för ll x [, b] så gäller (6) f(x)dx f(x) dx (7) Om f är udd gäller (8) Om f är jämn gäller c c c c f(x)dx = 0 f(x)dx = c 0 g(x)dx, för ll konstnter, b R f(x)dx f(x)dx g(x)dx Det finns även en medelvärdessts för integrler. Den säger tt det finns en rektngel, med smm bs som integrtionsintervllet och en höjd som överensstämmer med ett tl melln funktionens störst och minst värde på integrtionsintervllet, som hr smm re som den re funktionen begränsr. Sts 3.4. Låt f vr kontinuerlig på intervllet [, b]. Då existerr en punkt c [, b] så tt f(x)dx = (b )f(c) Vi kn nu definier medelvärdet v en funktion på ett intervll som f = f(x)dx b Om vi hr en funktion som är bitvis kontinuerlig på [, b] kn vi utök definitionen enligt f(x)dx = n x i i= x i f(x)dx Med ndr ord integrerr vi vrje kontinuerlig bit för sig och summerr ihop resulttet. 3.. Anlysens fundmentlsts. Vi sk nu koppl ihop integrering och derivering. Trots tt ders definitioner till ytn är väldigt olik är de tätt smmnkopplde. Dett beskrivs v en sts som klls nlysens fundmentlsts. Den är så viktig tt dess bevis ges trots det begränsde tidsutbudet på denn kurs. Stsen säger i princip tt integrering och derivering är vrndrs motstser. Sts 3.5. Låt f vr kontinuerlig på ett intervll I som innehåller punkten x =. Definier en funktion F (x) enligt F (x) = x f(t)dt Då är F deriverbr på I och är där en primitiv funktion till f. Vidre hr vi tt om G är en primitiv funktion till f på I gäller f(x)dx = G(b) G() = G(x) b = [G(x)] b

20 0 DAN STRÄNGBERG Bevis. Enligt definitionen v F hr vi F F (x + h) F (x) (x) = lim h 0 h ( x+h = lim f(t)dt h 0 h = lim h 0 h x+h x = lim h 0 h hf(c(h)) f(t)dt x f(t)dt ) enligt medelvärdesstsen för integrler Då h 0 minskr intervllet som c kn befinn sig i. Därför gäller lim h 0 c(h) = x och eftersom f är en kontinuerlig funktion följer lim f(c(h)) = f(x) h 0 så vi hr F (x) = f(x)och F är lltså en primitiv funktion till f. Vidre gäller tt om G(x) är en nnn primitiv funktion till f måste det exister ett tl C så tt F (x) = G(x) + C och därför hr vi även x f(t)dt = G(x) + C Om vi nu sätter x = vet vi tt integrlen blir 0 enligt integrlens egenskper vilket tvingr C = G(). Om vi slutligen sätter x = b får vi nu f(t)dt = G(b) G() Med hjälp v den här stsen reducers problemet tt hitt ren under en grf till problemet tt hitt en primitiv funktion till f och sedn evluer denn i rätt punkter. Därför kn vi helt enkelt vänd på vår stndrdderivtor för tt få tillgång till stndrdintegrler. Till exempel vet vi sedn tidigre tt d b dx (sin x) = cos x vilket lltså betyder tt cos xdx = sin x b = sin b sin Mer om reberäkningr. Utrustde med nlysens fundmentlsts sk vi nu gör ett återbesök i problemet tt beräkn ren under grfen till en funktion som inspirerde oss till tt definier integrlen från först börjn. Kom ihåg tt integrlen enbrt ger ren med tecken så delr v grfen som ligger ovnför x-xeln räkns positivt medns delr under x-xeln räkns negtivt. Om vi vill hitt ren som begränss v grfen till en funktion och x-xeln, ovsett om grfen befinner sig under eller över x-xeln, fungerr lltså integrlen br om grfen hel tiden befinner sig på en sidn om x-xeln (om det är under får vi byt tecken på integrlen för tt få ut ren). För tt bot dett problem kn vi se till tt grfen hel tiden befinner sig ovnför x-xeln så tt ll re räkns positivt. Dett kn vi gör genom tt integrer beloppet v funktionen istället för br funktionen. Vi bör lltså integrer f(x) dx om vi vill få ut den totl ren som begränss v grfen.

21 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT Dett ger oss genst ett problem. Även om vi kn hitt en primitiv funktion till f, hur hittr vi en primitiv funktion till f? Den enklste lösningen på problemet är tt helt enkelt del upp intervllet [, b] till fler intervll där funktionen f hr smm tecken över hel intervllet och integrer funktionen över vrt och ett v dess intervll eftersom vi där kn lös ut beloppstecknet. Exempel 3.6. För tt illustrer problemet och dess lösning nvänder vi oss v en enkel funktion så tt vi inte tppr bort intuitionen i en mss krånglig beräkningr. Låt därför f(x) = x på intervllet [, ]. En primitiv funktion till f får vi v F (x) = x +C där C är en godtycklig ( konstnt. ) ( Denn) konstnt hr ingen betydelse för integrlen eftersom F (b) F () = b + C + C = (b ) så för tt gör det enkelt för oss väljer vi C = 0. Aren som begränss v grfen till f är uppenbrligen inte 0 men eftersom integrlen räknr med tecken blir integrlens värde 0: xdx = x = ( ) = = 0 Det är i det här fllet lätt tt beräkn ren utn tt nvänd oss v integrlen. Om vi delr upp intervllet i [, 0] och [0, ] ser vi tt grfen på de båd intervllen utgör två tringlr med smm bs som höjd, i dett fll. Eftersom ren v en tringel är bsen höjden reenheter blir ren v dess båd tringlr + =.e. Vi ser tt F (x) = x ger just ren v en tringel med bs och höjd x. Om vi nu vill få frm denn re med hjälp v integrlen sk vi lltså istället integrer f(x) = x. Vi får då f(x) dx = = = 0 0 x dx x dx + ( x)dx + = ( ) 0 x ( = 0 = + = vilket som vi sett är rätt svr, precis som vi ville. ) x dx xdx + x 0 ( 0 Det händer också tt mn vill beräkn ren som begränss v två grfer,den en över den ndr, istället för en grf och x-xeln. Det finns en metod för tt lös även dett problem. Metoden går ut på tt beräkn integrlen v båd grfern och sedn dr bort integrlen v den undr grfen från integrlen v den övre grfen för tt på så vis t bort llt som inte ligger melln de båd grfern. Om vi hr två kontinuerlig funktioner f(x) g(x) för ll x [, b] och kllr ren v området melln funktionern för A kn vi skriv dett som A = g(x)dx f(x)dx = ) (g(x) f(x))dx

22 DAN STRÄNGBERG Denn formel gäller även om funktionern kn nt negtiv värden eftersom g(x) f(x) lltid är positivt eller 0 så länge f(x) g(x). Om vi vill gör oss v med krvet tt f(x) g(x) på hel intervllet kn vi lägg till beloppstecken så tt vi istället får A = g(x) f(x) dx som lltså gäller ovsett vd f(x) och g(x) ntr för värden så länge de båd är kontinuerlig. I prktiken resulterr dett, enligt diskussionen före, i tt mn delr upp integrlen i mång integrler över mindre intervll där f(x) g(x) eller g(x) f(x) gäller, där mn lltså nvänder den tidigre formeln. Exempel 3.7 (Uppgift 4, sid. 37 i [?]). Vi hoppr över skissningen v de båd kurvorn och hoppr direkt på beräkningen v ren som begränss v de båd funktionern f(x) = x x och g(x) = 6x x. För tt gör dett behöver vi först hitt ders skärningspunkter. Det intressnt området ligger melln dess. f(x) = g(x) f(x) g(x) = 0 (x x) (6x x ) = 0 x 8x = 0 x 4x = 0 x(x 4) = 0 x = 0 x = 4 Det intressnt området ligger lltså melln x = 0 och x = 4. Innn vi kn beräkn ren behöver vi nu vet vilken funktion som är störst. Eftersom dess två punkter är de end skärningspunktern måste en och smm funktion vr överst på hel intervllet [0, 4] och det räcker därför med tt beräkn värdet v de båd funktionern i en punkt c (, b) för tt vgör vilken som är störst. Vi gör det lätt för oss och väljer x =. f() = =, g() = 6 = 5 f() så g(x) är störst på intervllet [0, 4] och därför beräknr vi integrlen Svret blir lltså 64 3.e. 4 0 (g(x) f(x))dx = = 8 = (8x x )dx [ x xdx ] 4 0 = = [ 3 x3 = 64 3 x dx 3.4. Indefinit och generliserde integrler. Innn vi börjr titt på olik metoder för tt beräkn integrler sk vi titt på två ndr typer v integrler som vi kn nvänd i fler situtioner än för tt integrer funktioner som är kontinuerlig på slutn intervll. Båd definitionern vi gör är inspirerde v vår gml definition och nlysens fundmentlsts. Definition 3.8. Den indefinit integrlen v en funktion f(x) på ett intervll I är funktionen, definierd på I, f(x)dx = F (x) där F (x) = f(x) för ll x I. ] 4 0

23 ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT 3 Den indefinit integrlen är lltså en opertion som ger en primitiv funktion till funktionen den nvänds på. Om inget nnt nges nts I vr det störst möjlig intervll på vilket mn kn definier en primitiv funktion. När vi beräknr en indefinit integrl är det viktigt tt komm ihåg tt dder en integrtionskonstnt, oft C. Integrtionskonstnten kn spel stor roll och vi kn hitt mång exempel på sådn situtioner i fysiken. För tt välj ett enkelt kn vi tänk oss en sten som fller fritt under påverkn v endst en konstnt grvittionskrft. Vi hr då (t) = g där är stenens ccelertion och g är grvittionsccelertionen (vi låter t [0, )). Eftersom ccelertionen är tidsderivtn v hstigheten kn vi skriv v(t) = (t)dt = gt + C och vi ser då tt v(0) = C. Integrtionskonstnten ger då lltså utgångshstigheten, den hstighet stenen hde när vi börjde räkn. Om stenen släpptes från stillstående vid tiden t = 0 så är C = 0 till exempel. Den ndr typen v integrl vi sk titt på gäller när ntingen gränsern i integrlen eller integrnden är obegränsd, lltså kn gå mot ±. Definition 3.9. Låt f vr kontinuerlig på intervllet [, ). Den generliserde integrlen v f över [, ) är då f(x)dx = lim r r f(x)dx och om f är kontinuerlig på (, b] är den generliserde integrlen v f över (, b] f(x)dx = lim r r f(x)dx Om gränsvärdet existerr säger vi tt integrlen konvergerr. Om gränsvärdet är respektive säger vi tt integrlen divergerr mot oändligheten respektive negtiv oändligheten. Annrs säger vi tt integrlen divergerr. Definition 3.0. Låt f vr kontinuerlig på [, b). Vi definierr då den generliserde integrlen f(x)dx = lim r b r f(x)dx och om f är kontinuerlig på (, b] definierr vi den generliserde integrlen f(x)dx = lim r + r f(x)dx På smm sätt som tidigre kn dess integrler konverger, diverger mot oändligheten, diverger mot negtiv oändligheten eller br diverger. Noter tt den senre definitionen tillåter funktioner där lim x b f(x) = och ndr liknnde situtioner.

24 4 DAN STRÄNGBERG Exempel 3.. Låt f(x) = x, g(x) = och h(x) = cos x. Då hr vi x f(x)dx = x dx = lim r [ln x]r = lim r ln r = så integrlen divergerr mot oändligheten. Däremot hr vi så integrlen konvergerr mot. Vidre hr vi 0 g(x)dx = x dx [ = lim ] r r x = lim ( r ) + r h(x)dx = vilket inte existerr så integrlen divergerr. Exempel 3.. Låt f(x) = x och g(x) = x 0 x dx = = 0 + = 0 cos xdx = lim r [sin x]r 0 = lim r sin r och låt <. Då hr vi så integrlen konvergerr mot. Däremot hr vi 0 0 x dx = lim x dx r 0+ r [ ] = lim x r 0 r = lim r r 0 = g(x)dx = 0 x dx = lim [ln x] r 0 r = ln lim ln r r 0 Så integrlen divergerr mot oändligheten. Innn vi går vidre behövs en sts som kn hjälp oss tt vgör om komlicerde integrler konvergerr eller divergerr genom tt jämför dem med enklre integrler.

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Föreläsning 8: Extrempunkter

Föreläsning 8: Extrempunkter Krlstds universitet Mtemtik Nicls Bernhoff Repetition: Bestämd integrl: Räkneregler: Föreläsning 8: Extrempunkter f(x)dx = [F(x)] b =F(b) F(), där F (x) = f(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. f(x)dx=0 f(x)dx= kf(x)dx=k

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter Avsnitt Determinnter Vd är en determinnt? Snbbformler för små determinnter Kofktorutveckling Minorer Utveckling längs en rd Utveckling längs en kolumn Rd- och kolumnopertioner Rdopertioner Kolumnopertioner

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015. Begrepp och definitioner Egenskaper och satser Typiska problem Reella tal. Rationella tal. a(b + c) = ab + ac Bråkräkning. Irrationella

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet Denna modul omfattar kapitel P och kapitel 1 kursboken Calculus av Adams och Essex och

Läs mer

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips TNA004 Anlys II för ED, KTS, MT Lektionsuppgifter med kommentrer/lösningstips VT 06 TNA004, Anlys II - Lektion Denn lektion hndlr om beräkning v reor och kurvlängd.. Areberäkning Aren melln två funktionskurvor,

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer