Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH"

Transkript

1 Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH

2 Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn smm symbol som den primitiv funktionen f(x) dx, men mn måste nog håll isär dem. I den endimensionell nlysen gäller den s.k. insättningsformeln F (x) = f(x) dx f(x) dx = F (b) F (), så släktskpet är uppenbrt. Men den bestämd integrlen definiers egentligen på ett helt nnt sätt: mn kn se den som ren under grfen till f, om vi räknr ren med tecken så tt den är negtiv då ren ligger under x-xeln. På ett motsvrnde sätt definiers integrlen v funktioner v två vribler som en volym med tecken, o.s.v. Vi sk här introducer den bestämd integrlen genom insättningsformeln, eftersom det är så vi rbetr med den när vi sk bestämm den. Därefter sk vi se hur den så definierde bestämd integrlen kn tolks som en re med tecken. På vägen ser vi då tt vi till en godtycklig kontinuerlig funktion kn konstruer en primitiv funktion genom tt mät just ren under grfen och får därför tt ll kontinuerlig funktioner hr en primitiv funktion. Slutligen sk vi se lite på hur vi numeriskt kn bestämm en bestämd integrl när vi inte kn bestämm en formel för den primitiv funktionen. En ordentlig genomgång v den bestämd integrlen kräver egentligen tt mn börjr i ndr änden och definierr den som en re eller volym. Dett görs i integrtionsteorin, men det lämnr vi till en egen kurs. Efter tt vi på dett sätt hr bestämt vd en bestämd integrl är, tittr vi närmre på dess tolkning i form v ett gränsvärde v summor, s.k. Riemnnsummor. När vi gör det tittr vi också närmre på vd integrnden egentligen är för typ v objekt och vi ntyder hur tolkningen vi Riemnnsummor hjälper oss tt förstå de prktisk tillämpningrn v integrler. Slutligen generliserr vi den bestämd integrlen lite. Vi kn se den bestämd integrlen som tt vi integrerr en funktion längs ett intervll med vseende på x. Betydelsen v x är tt den mäter båglängd på dett kurvstycke. Mer precist, dx är längden v ett (infinitesimlt) liten bit v intervllet. Dett kn generlisers till tt vi integrerr funktioner (v två vribler) längs pln kurvor med vseende på båglängden, lltså längden v kurvn. Krvet är br tt kurvn är en styckvis C -kurv, så tt vi kn definier båglängden på den. Vi sk se hur dett definiers och tt den prktisk beräkningen v en sådn integrl innebär tt vi beräknr en vnlig bestämd integrl. Den bestämd integrlen Låt f vr en funktion som är kontinuerlig i en omgivning till intervllet [, b]. Om F är en primitiv funktion till f i denn omgivning, kllr vi skillnden F (b) F () för den bestämd integrlen v f över intervllet [, b]. Denn beror uppenbrligen inte på vilken primitiv funktion vi väljer, ty om G är en nnn primitiv funktion till f så vet vi tt G(x) = F (x) + C för någon konstnt C. Det följer tt G(b) G() = F (b) F (). Den bestämd integrlen beror därför endst v f och intervllet [, b] och vi inför därför

3 Integrlklkyl 2 (3) beteckningen f(x) dx för denn. En nnn beteckning som är oft nvänd är [F (x)] b. Vi hr därför tre olik beteckningr för smm sk: f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Av dess sk vi ge den först en lterntiv tolkning i näst vsnitt medn den mellerst är en bekväm kortform v den till höger, som är vår ursprunglig definition. Exempel Vi hr tt 6 3 [ x x 2 3 dx = 3 ] 6 3 = = 63. När mn nvänder den först v beteckningr ovn kn det vr värt tt noter tt det inte spelr någon roll vd mn kllr integrtionsvribeln. Vi hr t.ex. f(x) dx = f(u) du = f(t) dt och så vidre, eftersom i ll fllen är det tlet F (b) F () som sk beräkns. Vi tillåter fllen = och b = under förutsättning tt integrlen får mening som ett gränsvärde. T.ex. sk tolks som f(x) dx X lim f(x) dx = lim (F (X) F ()). X X Exempel 2 Vi hr tt dx x 2 = [ x ] = lim X ( X + ) = 0 + =. På smm sätt tillåter vi tt funktionen f endst är definierd och kontinuerlig på det öppn intervllet ], b[ om vi kn beräkn integrlen över ll intervll [α, β], där < α < β < b, och får ett gränsvärde när α och β b. Nturligtvis behöver vi inte gör gränsövergång i en ände där integrnden f är kontinuerlig.

4 Integrlklkyl 3 (3) Exempel 3 0 dx dx = lim = lim(2 2 α) = 2. x α 0 α x α 0 Vi sk nu ge ett ntl räkneregler för den bestämd integrlen, vilk ll är direkt konsekvenser v dess definition: ) f(x) dx = 0, b) c) d) e) f(x) dx = b cf(x) dx = c f(x) dx, f(x) dx, (f(x) + g(x))dx = f(x) dx = c f(x) dx + g(x) dx, f(x) dx + f(x) dx. c Den sist formeln är ekvivlent med tt F (b) F () = (F (c) F ()) + (F (b) F (c)). Noter tt det finns inget krv på tt c sk ligg melln och b. En nnn viktig observtion är tt om g(x) f(x) i [, b] så gäller tt g(x) dx f(x) dx. Bevis. Vi börjr med fllet tt g(x) = 0 överllt. Då är f(x) 0 och dess primitiv funktion är därför växnde i intervllet, vrför f(x) dx = F (b) F () 0. Ur dett följer sedn tt om f(x) g(x) 0 överllt, så är Dett är påståendet. f(x) dx g(x) dx = (f(x) g(x)) dx 0. En direkt konsekvens v dett är tt om m f(x) M för x b, så gäller tt m b f(x) dx M. Till dess räkneregler kommer sedn formeln för prtiell integrtion: f(x)g(x)dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x)dx, vilken följer direkt ur motsvrnde formel för primitiv funktioner, smt

5 Integrlklkyl 4 (3) Sts : Stsen om vribelsubstitution Om f är en kontinuerlig funktion och g en deriverbr och strängt monoton funktion sådn tt g(α) = och g(β) = b, så gäller tt f(t) dt = β α f(g(x))g (x)dt. Denn sts följer nturligtvis direkt ur kedjeregeln som tidigre. Hur mn prktiskt kn skriv ut räkningrn frmgår v näst exempel. Exempel 4 0 xdx + x 2 = t = + x 2 dt = 2xdx t(0) =, t() = 2 2 dt [ ] 2 2 t = t = 2. Funktionern g(x) ges lltså här v g(x) = + x 2 men nvänds som en ny vribel t. Integrlen mäter en re Vi sk nu gör en geometrisk tolkning v uttrycket f(x) dx, som i sin tur sk gör det möjligt för oss tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. Vi börjr med tt gör en indelning = x 0 < x <... < x n = b v intervllet [, b] i delintervll. Vi hr då tt n F (b) F () = (F (x k ) F (x k )). k= Ur medelvärdesstsen [] och eftersom F = f, följer tt det i vrje intervll [x k, x k ] finns (minst) ett ξ k sådnt tt F (x k ) F (x k ) = f(ξ k )(x k x k ). Högerledet kn tolks som ren v en rektngel med bs v bredd k x = x k x k och höjd f(ξ k ). Noter tt ren här räkns med tecken: om f(ξ k ) < 0 blir ren negtiv. Om vi summerr ll bidrgen får vi tt n f(x) dx = F (b) F () = f(ξ k ) k x. Högerledet åskådliggörs i figuren nedn. k=

6 Integrlklkyl 5 (3) y x x 2... x k ξ k x k+... b x Av figuren verkr det som tt summn v rektngelreorn är lik stor som ren under kurvn. [2] Vi vill därför tolk f(x)dx = Aren under grfen y = f(x) över [, b]. Vi nvänder här uttrycket ren under grfen till tt men ren melln grfen och x- xeln, räknd positiv om grfen ligger ovnför x-xeln och negtiv om grfen ligger under x-xeln. Även om vi nu gjort dett troligt, så hr vi inte vist det strängt. För det måste vi nämligen först definier vd vi menr med ren under grfen och sedn dr slutstsen tt resonemnget ovn ger resulttet. Denn diskussion lämns till en diskussion om den s.k. Riemnn-integrlen, vilket är det begrepp som fyller igen hålen i resonemngen ovn. Det vi åstdkommit är tt vi fått en definition v f(x) dx även om vi inte hr en primitiv funktion till f, under förutsättning tt ren under grfen är väldefinierd. Men nu visr det sig tt vi kn nvänd denn definition till tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. För tt gör dett låter vi f vr en kontinuerlig funktion på [, b] och vi definierr S(x) = x f(t) dt, x b. Här beräkns högerledet lltså som ren under grfen till f. Vi sk då vis tt S är en primitiv funktion till f.

7 Integrlklkyl 6 (3) För tt vis tt S är deriverbr i punkten c skriver vi S(x) S(c) = x c f(t) dt = H(x)(x c), där höjden H(x) är npssd så tt rektngeln som hr som bs det intervll som hr ändpunkter c och x och höjd H(x), hr smm re (räknd med tecken) som området (grått i figuren) under grfen över intervllet [c, x]. Men vi ser då tt H är en kontinuerlig funktion i x = c; dess värde i x = c är helt enkelt H(c) = f(c). Dett därför tt min [c,x] f(x) H(x) mx f(x) [c,x] H(x) c x och om f är kontinuerlig i c gäller tt mx [c,x] f(x) min [c,x] f(x) 0 då x c. Men dett visr både tt S är deriverbr och tt S är en primitiv funktion till f. Dett resultt klls Anlysens huvudsts och säger lltså tt vrje kontinuerlig funktion hr en primitiv funktion som definiers v tt vi beräknr ren under dess grf från en strtpunkt. Om vi byter strtpunkt ändrr vi endst ren med en konstnt. Exempel 5 Det går inte tt hitt en primitiv funktion till funktionen f(x) = e x2 som kn uttrycks i de elementär funktionern. Anlysens huvudsts säger emellertid tt det finns en primitiv funktion; en sådn kn definiers genom S(x) = x 0 e t2 dt och beräkns lltså genom tt vi beräknr ren melln grfen y = e x2 över intervllet [0, x]. och x-xeln Ett sätt tt definier den nturlig logritmen Det som krkteriserr den nturlig logritmen ln x är tt den är noll då x = och tt dess derivt är /x. Men det betyder tt vi hr tt ln x = x Vi kn fktiskt nvänd dett till tt definier den nturlig logritmen. Vi hr ju ovn sett tt högerledet definierr en deriverbr funktion vrs derivt är /x och funktionen är 0 då x = eftersom vi då integrerr endst över en punkt. Vi sk nu se vilk egenskper den funktion får som vi definierr på dett sätt (mer precist sk vi se tt vi ur denn definition kn härled logritmens ll egenskper). dt t.

8 Integrlklkyl 7 (3) Det först vi ser är tt ln x är positiv då x > och negtiv då x < och noll då x =. Vidre gäller tt xy dt x t = du u = ln x y vilket mn ser genom tt gör vribelbytet t = yu. Men då ser vi tt xy dt t = y dt t + xy y dt t = y dt t + Dett är inget nnt än den grundläggnde logritmlgen Vi kn vis den ndr logritmlgen på ett motsvrnde sätt: x y ln(xy) = ln x + ln y. ln x y = y ln x dt x t = yu y du x ydu = u y u där vi gjorde vribelbytet t = u y i integrlen. x = y ln x, Vi hr därmed härlett logritmens viktigste egenskper, de som gör den så nvändbr. När vi hr den nturlig inversen kn vi nturligtvis konstruer dess invers. Den så uppkomn funktionen blir exponentilfunktionen exp(x). Som invers till logritmen ser vi tt den får egenskpen tt exp = exp och tt exp(0) =. Vidre följer direkt ur logritmlgrn tt exp(x + y) = exp(x) exp(y) och (exp(x)) y = exp(yx). Ur dess ser vi sedn tt exp(x) = e x där e = exp(). Därmed hr vi fyllt igen ett hål i kpitlet Om exponentilfunktioner och logritmer, genom tt vi hr vist tt det verkligen finns en funktion som löser problemet y (x) = y(x), y(0) =. dt t. Anmärkning Det kn vr intressnt tt noter tt x t α dt = xα α = eα ln x α ln x då α 0. Om numerisk beräkning v integrler Om vi inte kn beräkn en integrl f(x) dx

9 Integrlklkyl 8 (3) genom tt finn en primitiv funktion, hur gör mn då för tt beräkn den? Det finns ett flertl numerisk metoder för dett ändmål. En enkel sådn klls trpetsmetoden och tillgår på följnde sätt. Först delr vi in intervllet i n delr: = x 0 < x <... x n = b och inför beteckningen y k = f(x k ) för funktionsvärdet i indelningspunktern. Oft väljer mn indelningspunktern så tt vrje delintervll [x k, x k ] hr smm längd, men det är inte nödvändigt och iblnd inte ens önskvärt. Trpetsmetoden innebär nu tt mn i intervllet [x k, x k ] ersätter funktionskurvn med den rät linje som förbinder ändpunktern (x k, y k ) och (x k, y k ) (se figuren nedn). Aren v det så uppkomn prllelltrpetset är då y k + y k (x k x k ). 2 y x x 2 x 3 x 4 b x Summerr vi ll dess trpetsreor får vi tt ren under polygonkurvn blir n y k + y k (x k x k ). 2 k= Dett ger en pproximtion v integrlen, dvs n y k + y k f(x)dx (x k x k ). 2 k= Hur br denn pproximtion är, är en nnn fråg som vi inte bryr oss om här. Om delintervllen [x k, x k ] ll är lik, med intervllängd x = x k x k, blir denn formel gnsk enkel. Utom i ändpunktern förekommer y k två gånger i summn, vilket betyder tt det då gäller tt f(x)dx ( y 0 + y n 2 n + y k ) x. k=

10 Integrlklkyl 9 (3) Exempel 6 Låt oss pproximtivt beräkn d (lltså ln 2) genom tt del in intervllet [, 2] i 5 lik stor delintervll och nvänd trpetsformeln på dett. Vi får då följnde värdetbell Trpetsformeln blir i dett fll dx x x k : y k : ( ) = vilket därför blir ett närmevärde på integrlen. Det exkt värdet, till tre decimler, är Integrlen är en oändlig summ Vi hr sett tt integrlen f(x)dx nturligt tolks som en re. Det är emellertid för mång tillämpningr inte det sätt mn sk tolk integrlen på. I vår diskussion såg vi tt vi också hde tt n f(x)dx = f(ξ i ) i x, i x = x i x i i= för någr tl ξ i [x i, x i ]. Vi kn därför tolk integrltecknet som en uppmning tt summer uttryck på formen f(x)dx; fktum är tt integrltecknet är just ett svängt S för summ. För tt gör dett lite mer konkret sk vi försök tolk uttrycket f(x)dx. Vi vet tt tngenten till grfen y = f(x) i punkten x = ges v ekvtionen y f() = f ()(x ). Skriv dy = y f() och dx = x, så tt dett blir dy = f ()dx. Det innebär tt om vi går dx steg från i x-led och följer tngenten, så kommer vi tt förflytts dy steg i höjdled. Vi inför därför begreppet differentil, definierd v df() = f ()dx. (, f()) f() Tolkningen v differentilen är tt df() tlr om hur mycket vi ändrr y-värdet längs tngenten när vi går från till + dx i x-led. Vi ser tt dett utgör en pproximtion v hur mycket vi ändrr f då vi ändrr x med storleken dx, förutstt tt dx är liten, lltså v f() = f( + dx) f(). dx df()

11 Integrlklkyl 0 (3) Exempel 7 Vi hr tt cos (x) = sin x, vilket betyder tt d(cos x) = sin x dx. Låt nu F vr en primitiv funktion till f, så tt df (x) = f(x)dx, Vi kn då skriv f(x)dx = df (x) = F (b) F (). Dett är behändigt tt nvänd t.ex. när mn prtilintegrerr. Vi hr tidigre skrivit formeln för prtilintegrtion som f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx, men med hjälp v differentilen kn vi skriv den som g(x)df(x) = f(x)g(x) f(x)dg(x). Exempel 8 Vi hr tt x 2 sin x dx = x 2 d( cos x) = x 2 ( cos x) ( cos x)d(x 2 ) = 2 x cos x dx x 2 cos x = 2 x d(sin x) x 2 cos x = 2(x sin x sin x dx) x 2 cos x = cos x + 2x sin x x 2 cos x + C. Men den stor poängen med denn diskussion är tt den hjälper oss tt se när och hur integrler dyker upp i tillämpningr. Det hndlr då om tt bygg storheter genom tt lägg ihop delr som vi kn beräkn. Ett enkelt exempel är volymen v rottionskroppr. Exempel 9 Om vi roterr grfen y = f(x), x b runt x-xeln uppstår en kropp. Dess volym kn beräkns med hjälp v en integrl på följnde sätt. Argumentet beskrivs i text nedn, och finns grfiskt illustrert i en figur efter texten. Vi tänker oss tt vi snittr kroppen med pln som går vinkelrät mot rottionsxeln (lltså x-xeln). Snittet som ligger på vståndet x från origo består v en cirkeskiv med rdien f(x) och centrum på rottionsxeln, så dess re är därför lik med A(x) = πf(x) 2. Vrje snitt tänker vi oss hr en tjocklek dx, vilken vi tr som väldigt

12 Integrlklkyl (3) liten. Då får snittet en volym, som beräkns genom dv (x) = A(x)dx = πf(x) 2 dx. Den totl volymen v kroppen får vi genom tt summer dess skivor, vilket enligt resonemnget ovn innebär tt vi sk beräkn integrlen V = dv (x) = πf(x) 2 dx. Anmärkning Resonemnget är lite suspekt, eftersom vi i prktiken låter tjockleken vr noll. Men om vi tänker på det som tt vi hr tunn skivor vrs volym vi pproximerr med A(x)dx, så får vi en pproximtion v integrlen i form v en Riemnnsumm. En pproximtion som br bli bättre om vi gör ännu tunnre skivor. Dett resonemng görs solitt i kpitlet om Riemnnintegrlen. y dx y = f(x) f(x) x x Snittets dimensioner: Are: πr 2 = π[f(x)] 2 Tjocklek: dx Volym: dv = Are tjocklek = π[f(x)] 2 dx Integrtion längs en kurv För tt vidre illustrer integrlen som en summ sk vi utvidg den till tt definier och beräkn integrtion längs en kurv i plnet. Dett kommer tt vr en generlisering

13 Integrlklkyl 2 (3) v integrlen f(x) dx, men när mn de fcto sk beräkn en sådn integrl återförs problemet på tt bestämm en sådn integrl. Vi sk börj med tt definier båglängden v ett kurvstycke γ = {c(t) = (x(t), y(t)), t [, b]}. Dett är en funktion s(x, y) som mäter hur långt det är längs kurvn från en ändpunkten, säg c(), till punkten (x, y) på kurvn. Om vi tolkr t som en tid, så ges frten vid tiden t v uttrycket c (t). Frten gånger tiden är sträckn, så i ett litet tidsintervll [t, t + dt] bör vi hinn sträckn ds = c (t) dt. Summerr vi ll sådn små delsträckor får vi den totl båglängden som L = c (t) dt. Anmärkning Det finns ett ekvivlent sätt tt definier båglängden som är intressnt i sig själv. Vi börjr då med tt definier ett polygon som en kurv som består v rät delstycken. Längden v en sådn beräkns enkelt: om hörnpunktern är (x i, y i ) så ges vståndet melln (x i, y i ) och (x i, y i ) enligt Pytgors sts v L i = (x i x i ) 2 + (y i y i ) 2 och den totl längden v polygonet blir då L P = n i= L i. Om vi nu väljer dess punkter på vårt kurvstycke så tt (x i, y i ) = c(t i ), så kn vi skriv dett som L P = n (x(ti ) x(t i )) 2 + (y(t i ) y(t i )) 2. i= Men nu ger medelvärdesstsen tt x(t i ) x(t i ) = x (ξ i )(t i t i ) med t i ξ i t i, och likdnt för y. Vi ser därför tt om vi gör indelningen finre och finre så får vi tt L P x (t) 2 + y (t) 2 dt = L. Vi ser tt vi får smm integrl tt beräkn med denn härledning. Exempel 0 Vi sk räkn ut längden v kurvn γ = {(3t 2, 3t t 3 ); t 2}. Deriverr vi prmetriseringen får vi tt c (t) = (6t) 2 + (3 3t 2 ) 2 = 3 + 3t 2, så längden ges v c (t) dt = 2 γ (3 + 3t 2 )dt = 0.

14 Integrlklkyl 3 (3) Följnde exempel visr nu vrför det kn finns nledning tt integrer en funktion m..p. båglängden. Exempel Vi tänker oss tt kurvstycket γ i en krt beskriver en väg i ett bergigt lndskp. Om vi vill kör en bil längs den vägen så tt vi håller frten konstnt hel tiden, kommer bensinförbrukningen (L/mil) tt vrier i olik punkter på γ: i uppförsbckr går det åt mer bensin än i nedförsbckr, och hur mycket beror v hur brnt bcken är. Om vi fixerr vilken hstighet vi sk åk med, kn vi tänk oss tt det finns en funktion, definierd på vägen men ingen nnnstns, sådn tt f(x, y) ger bensinförbrukningen i punkten (x, y) på γ. Vi vill nu beräkn den totl bensinförbrukningen längs hel vägen. Om vi kör en miniml sträck ds från punkten (x, y), så kommer bensinförbrukningen på den lill delsträckn tt vr f(x, y)ds. Om vi summerr ll sådn bidrg får vi den totl bensinförbrukningen längs vägen. Genom tt generliser diskussionen i exemplet leds vi till tt för funktioner f som är kontinuerlig på ett kurvstycke γ definier en integrl, som vi betecknr f(x, y)ds. Om γ = {c(t), t b} kn vi beräkn denn integrl med hjälp v formeln Dett därför tt ds = c (t) dt. γ γ f(x, y)ds = f(c(t)) c (t) dt. Exempel 2 Låt oss integrer funktionen f(x, y) = x + y längs kurvstycket i föregående exempel. Då gäller tt f(c(t)) = 3t 2 +3t t 3 och eftersom c (t) = 3+3t 2 får vi tt 2 f(x, y)ds = (3t + 3t 2 t 3 )(3 + 3t 2 )dt = 8.3. γ Noteringr. Se kpitlet Anlys v polynomfunktioner. 2. Vilket de också är, eftersom i vrje rektngel gäller tt den vit ren under kurvn är precis lik stor som den grå ren ovnför kurvn. Dett p.g.. vårt speciell vl v ξ k i intervllet [x k, x k+ ].

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

Föreläsning 8: Extrempunkter

Föreläsning 8: Extrempunkter Krlstds universitet Mtemtik Nicls Bernhoff Repetition: Bestämd integrl: Räkneregler: Föreläsning 8: Extrempunkter f(x)dx = [F(x)] b =F(b) F(), där F (x) = f(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. f(x)dx=0 f(x)dx= kf(x)dx=k

Läs mer

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

Laboration i matematik Envariabelanalys 2

Laboration i matematik Envariabelanalys 2 Lbortion i mtemtik Envribelnlys Per-Anders Boo Institutionen för mtemtik och mtemtisk sttistik Umeå universitet Jnuri Regler och llmän informtion om lbortionen I denn lbortion finns uppgifter som skll

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING. Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler TATA4: Föreläsning Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 7 mrs 16 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer, men

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim.

RIEMANNSUMMOR. Den bestämda integralen definieras med hjälp av Riemannsummor. Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. lim. RIEMANNSUMMOR Låt vara en begränsad funktion,, reella tal och. Den bestämda integralen definieras med hjälp av ä ä, ; lim. Om funktionen har en elementär primitivfunktion då är insättningsformeln (Newton-

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer