Föreläsning 8: Extrempunkter

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Föreläsning 8: Extrempunkter"

Lars Dahlberg
för 7 år sedan
Visningar:

1 Krlstds universitet Mtemtik Nicls Bernhoff Repetition: Bestämd integrl: Räkneregler: Föreläsning 8: Extrempunkter f(x)dx = [F(x)] b =F(b) F(), där F (x) = f(x) f(x)dx=0 f(x)dx= kf(x)dx=k f(x)+g(x)dx= f(x)dx c f(x)dx+ b b f(x)dx f(x)dxomkkonstnt f(x)dx+ f(x)dx= c g(x) dx f(x)dx g(x)dxomf(x) g(x)förll x b 1

2 Noter också tt: kdx=k(b )omkkonstnt Vribelsubstitution: f(g(x)) g (x)dx = = t=g(x) dt dx =g (x) dt=g (x)dx x= t=g() x=b t=g(b) g(b) g() = f(t)dt=[f(t)] g(b) g() =F(g(b)) F(g()) Prtiell integrtion: b fgdx=[fg] b Fg dx 2

3 Högre ordningens derivtor: Om förstderivtn y =f (x) ( = df ) dx =Df är en deriverbr funktion, så kn vi bestämm ndrderivtn Exmple 1 y =f (x)= d2 f dx 2 =D2 f. y = sinx y = cosx y = sinx På smm sätt kn vi få tredje-, fjärdederivtn etc. Exmple 2 Fysikliskt: y (n) =f (n) (x)= dn f dx n =Dn f y = cosx y (4) = sinxetc. t-tiden s(t)-lägetvidtident v(t) = s (t)-hstighetenvidtident (t) = s (t)-ccelertionenvidtident 3

4 Differentilklkylens medelvärdessts: Om f = f(x) är kontinuerlig i det slutn intervllet x b, så finns (minst)enpunktcidetöppnintervllet<x<b,sådntt f(b) f()=f (c)(b ) eller ekvivlent Geometriskt: f (c)= f(b) f() b Detfinns(minst)enpunktcidetöppnintervllet<x<b,därtngenten till kurvn är prllell med den rät linjen melln punktern(, f()) och (b,f(b)). Jämför med Integrlklkylens medelvärdessts: Om funktionen f =f(x) är kontinuerlig på det slutn intervllet [,b], så finnsdetenpunktc,somliggermellnochb,sådntt eller Fysikliskt: Medelhstigheten: f(x)dx=f(c)(b ) s(b) s() b =v(c) v(t) dt =v(c) b Tolkning: Vidnågontidpunktt=cmelln strttiden t=ochsluttiden t = b, måste mn h hållt medelhstigheten. 4

5 Definition 3 f(x) sägs vr strängt växnde på intervllet I om x 1 >x 0 f(x 1 )>f(x 0 )förllx 0,x 1 ii f(x)sägsvrsträngtvtgndepåintervlleti om x 1 >x 0 f(x 1 )<f(x 0 )förllx 0,x 1 ii Det gäller tt: f (x)>0påettintervlli f(x)strängtväxndepåi f (x)<0påettintervlli f(x)strängtvtgndepåi f (x)=0påettintervlli f(x)konstntpåi Lokl extrempunkter: Definition4 Enpunktx=x 0 ärenloklmximipunktom förllxienomgivningvx 0 f(x 0 ) f(x) Definition5 Enpunktx=x 0 ärenloklminimipunktom förllxienomgivningvx 0 f(x 0 ) f(x) Definition6 En punkt x = x 0 är en lokl extrempunkt om den är en lokl mximi- eller minimipunkt. Omeninrepunkt(inteenrndpunkt/ändpunkt)x=x 0 ärenloklextrempunkt, så gäller ett v följnde två lterntiv: 1. x=x 0 ärensingulärpunkt,vilketbetyderttf (x 0 )inteexisterr 2. x=x 0 ärensttionärpunkt,vilketbetydertt f (x 0 )=0 5

6 Förstderivttestet: Teckenstudie: x x 0 x 1 x 2 f (x) f(x) ց lok. min. ր tersspunkt ր lok. mx. ց Andrderivttestet: OBS!: Om f (x 0 ) = 0ochf (x 0 )>0 x=x 0 ärenloklminimipunkt f (x 0 ) = 0ochf (x 0 )<0 x=x 0 ärenloklmximipunkt f (x 0 )=f (x 0 )=0 kn vi inte dr någon slutsts lls. Då kn x = x 0 vr ntingen en lokl minimipunkt, en lokl mximipunkt eller en tersspunkt. Konvex/konkv: f (x) 0iettintervllI f =f(x)ärkonvexpåi f (x) 0iettintervllI f =f(x)ärkonkvpåi Infektionspunkter: Enfunktionf=f(x)hreninflektionspunktienpunktx=x 0 om: (i)kurvny=f(x)hrentngentlinjedåx=x 0 (ii)kurvny=f(x)ärkonkvpåensidnomx=x 0 ochkonvexpåden ndr 6

7 Globl extrempunkter: Definition7 Enpunktx=x 0 ären(globl)mximipunktom förllxid f f(x 0 ) f(x) Definition8 Enpunktx=x 0 ären(globl)minimipunktom förllxid f f(x 0 ) f(x) Definition9 En punkt x = x 0 är en (globl) extrempunkt om den är en mximi- eller minimipunkt. Omx=x 0 ären(globl)extrempunkt,sågällerettvföljndetrelterntiv: 1. x=x 0 ärensingulärpunkt,vilketbetyderttf (x 0 )inteexisterr 2. x=x 0 ärensttionärpunkt,vilketbetydertt 3. x=x 0 ärenändpunkt f (x 0 )=0 7

8 Störst och minst värde: Ettstörstvärdeförenfunktioniettintervllärettvärdesomfunktionen ntr för någon punkt i intervllet och som är större än ll ndr funktionsvärden som funktionen ntr i intervllet. Ettminstvärdeförenfunktioniettintervllärettvärdesomfunktionen ntr för någon punkt i intervllet och som är mindre än ll ndr funktionsvärden som funktionen ntr i intervllet. Detärintesäkertttenfunktionhrettstörstellerettminstvärdeiett intervll. Dock gäller följnde Stsen om störst och minst värde: Om f(x) är kontinuerlig i det slutn intervllet[, b](obs! Slutet intervll), såntrf(x)ettstörstochettminstvärdei[,b] Störst och minst värden nts(om de finns) i någon v följnde punkter: 1. singulärpunkter,dvspunkterdärf (x 0 )inteexisterr 2. sttionär punkter, dvs punkter där 3. ändpunkter f (x 0 )=0 8

Relevanta dokument

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs