Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Volym och dubbelintegraler över en rektangel"

Transkript

1 Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] = {(x, y : x b, y d} oh låt f (x, y i. Nu vill vi bestämm volymen v den tredimensionell mängden Ω = {(x, y, z : z f (x, y, (x, y }.

2 Fixerr vi ett x, så hr mängden {(y, z : z f (x, y, y d} en re som är beroende v vlet v x oh som vi beteknr med A(x. På bilden ovn är A(x ren v den (strekde vertikl ytn som ligger längst bort från oss.

3 Om x är litet, så är volymen v den del v kroppen som ligger melln x oh x + x ungefär lik med A(xx. Dett leder till volymformeln V = Men A(x = d f (x, y dy, så V = b b A(x dx. ( d f (x, y dy dx. Eftersom det går tt kst om rollern melln x oh y, får vi slutligen b ( d d ( b V = f (x, y dy dx = f (x, y dx dy Uttryken ovn klls för itererde enkelintegrler.

4 I envribelfllet, om mn inte ntr tt f, så får mn re med teken : mn får ren med plusteken v den delen där f > oh ren med minusteken v den delen där f <, dvs. v den delen som ligger under x-xeln. Motsvrnde gäller i tvåvribelfllet: mn får minus volymen v den delen där f <, dvs. v den delen som ligger under xy-plnet. Om mn inte vill gör en koppling till volymen, så definerr mn dubbelintegrlen v f över rektngeln som ettder v de itererde enkelintegrlern b ( d f (x, y dy dx oh d ( b Dubbelintegrlen betekns med symbolen f (x, y dx dy. f (x, y dxdy.

5 Vnligtvis definierr mn dubbelintegrlen på ett nnt sätt oh sedn visr mn tt om f är kontinuerlig, så är b ( d f (x, y dxdy = f (x, y dy dx d ( b = f (x, y dx dy. Exempel. Beräkn x 2 y dxdy, där = [, 1] [, 2]. 1 Vi integrerr m..p. x först. x 2 y dx = [ x 3 y/3 ] x=1 = y/3. x= 2 Så x 2 y dxdy = y/3 dy = [y 2 /6] 2 = 2/3.

6 Integrerr vi m..p. y först, får vi 1 ( 2 x 2 y dxdy = x 2 y dy dx = 1 [ x 2 y 2 /2 ] 1 y=2 dx = 2x 2 dx = [2x 3 /3] 1 y= = 2/3. Här spelr det ingen roll om mn integrerr m..p. x eller y först men iblnd kn det gör det. Exempel. Beräkn xe xy dxdy, där = [, 1] [, 2]. 2 Så xe xy dy = [xy = t, x dy = dt] = xe xy dxdy = 1 (e 2x 1 dx = 2x e t dt = e 2x 1. [ ] e2x x = e Att integrer m..p. x först är svårre eftersom det kräver en prtilintegrtion (oh även y-integrlen blir sedn svårre tt beräkn.

7 Om f (x, y = g(xh(y oh = [, b] [, d], så är f (x, y dxdy = g(xh(y dxdy = d ( b g(xh(y dx dy = [bryt ut h(y] = d ( b b d h(y g(x dx dy = g(x dx h(y dy. Alltså får vi g(xh(y dxdy = Exempel. Beräkn [,1] [2,4] b Eftersom xe x+y = xe x e y, får vi 1 xe x+y dxdy = xe x dx [,1] [2,4] g(x dx xe x+y dxdy. 4 2 d e y dy. h(y dy

8 Dubbelintegrler över mer generell områden Låt D vr en kompkt mängd oh låt f vr definierd oh kontinuerlig på D. Mn kn då välj = [, b] [, d] så tt D. Definier nu f D (x, y = f (x, y för ll (x, y D oh f (x, y = för övrig (x, y. Definier sedn f (x, y dxdy = f D (x, y dxdy D förutstt tt uttryket i högerledet är meningsfullt (f klls då integrerbr över D. Observer tt f D oftst är diskontinuerlig på rnden till D - den är fktiskt kontinuerlig enbrt i de rndpunkter där f =. Det visr sig dok tt för en stor klss v områden D är f integrerbr om den är kontinuerlig i D oh dubbelintegrlen kn beräkns genom itererd integrtion.

9 Sts. Låt f vr kontinuerlig i D. (i Om D = {(x, y : α(x y β(x, x b}, där α, β är kontinuerlig funktioner, så är f integrerbr över D oh ( b β(x f (x, y dxdy = f (x, y dy dx. D α(x (ii Om D = {(x, y : φ(y x ψ(y, y d}, där φ, ψ är kontinuerlig funktioner, så är f integrerbr över D oh ( d ψ(y f (x, y dxdy = f (x, y dx dy. D φ(y Mängden D i (i klls för ett område v intervlltyp i y-led oh i (ii ett område v intervlltyp i x-led.

10 Här är ett exempel på område v intervlltyp i y-led: När mn integrerr m..p. y, så är x fixert. Mn går in i området vid den nederst röd pilen oh går ur området vid den överst, dvs. mn integrerr över linjestyket α(x y β(x. Därför blir den inre integrlen lik med β(x α(x f (x, y dy. Sedn får mn t ll linjestyken för ll olik x [, b].

11 ( b β(x Dett ger f (x, y dxdy = f (x, y dy dx. D α(x Ett exempel på område v intervlltyp i x-led: Vid integrtion m..p. x går mn in i området då x = φ(y oh går ur då x = ψ(y. Därför blir den inre integrlen lik med ψ(y φ(y f (x, y dx den här gången.

12 Exempel. Beräkn dubbelintegrlen I = är tringeln med hörn i (,, (2, oh (, 2. Det underlättr om mn ritr en figur: D e x+y dxdy, där D Vi integrerr m..p. y först. I = 2 [e x e y ] y=2 x y= dx = 2 2 ( 2 x (e x e 2 x e x dx = e x e y dy 2 dx = (e 2 e x dx

13 = [e 2 x e x ] 2 = e Vi kunde lik gärn h integrert m..p. x först. OBS! Ett vnligt förekommnde llvrligt fel är tt mn skriver 2 ( 2 om integrlen som e x+y dxdy = e x e y dy dx. D Då hr mn inte integrert över området D utn över det större området som är kvdrten [, 2] [, 2]. Ett nnt vnligt förekommnde fel: 2 2 x e x+y dxdy = e x dx e y dy = (e 2 1(e 2 x 1. D Då hr mn inte fått integrlens värde utn en funktion v x (integrlens värde skll ju vr ett tl.

14 sin y Exempel. Beräkn dubbelintegrlen I = dxdy, där D y D är tringeln med hörn i (,, (, 2π oh (π, 2π. π ( 2π dy dx. sin y Integrerr vi m..p. y först, får vi I = 2x y Men (sin y/y hr ingen primitiv funktion som kn uttryks i (ändligt mång elementär funktioner. Så vi fstnr.

15 Integrerr vi m..p. x först, får vi ( 2π y/2 sin y I = dx dy = y 1 2 2π sin y dy =. 2π [ x sin y ] x=y/2 dy = y x=

16 De områden D som i prktiken förekommer är oftst ntingen v intervlltyp eller kn dels in i sådn områden. Nedn följer ett exempel: Områden D 1 -D 4 är v intervlltyp i y-led oh integrlen över D (det blå området blir lik med summn v integrlern över D 1 -D 4.

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3 Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING. Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3 Föreläsning 7b 3329 Längdskln är L = 2 3 eller 2 : 3 som det oft skrivs i smbnd med krtor. Från teorin får vi tt A, reskln är längdskln i kvdrt det vill säg A = L 2. I denn uppgift ger det A = ( ) 2 2

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga

16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde

Läs mer

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*) Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler

Läs mer

Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik Tentmen i Meni I del Stti och prtieldynmi TMME7 03-08-7, l 4.00-9.00 Tentmensod: TEN Tentsl: TERE, TER Exmintor: Peter Schmidt Tentjour: Peter Schmidt, Tel. 8 7 43, (Besöer slrn c 5.00 och 7.30) Kursdministrtör:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Till dagarna och finns ett appendix som innehåller ytterligare förklaringar, kommentarer och ett antal lösta exempel

Till dagarna och finns ett appendix som innehåller ytterligare förklaringar, kommentarer och ett antal lösta exempel Till dagarna 8-2 och 23-25 finns ett appendix som innehåller ytterligare förklaringar, kommentarer och ett antal lösta exempel Dag 5 Nu tillämpas satserna om sambandet mellan derivatan och funktionens

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

ÖPPNA OCH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Några viktiga andragradskurvor: Cirkel, ellips, hyperbel och parabel. ÖPPNA OH SLUTNA MÄNGDER. KOMPAKTA MÄNGDER. DEFINITIONSMÄNGD. INLEDNING. Någr viktig drgrdskurvor: irkel ellips hyperbel och prbel.. irkels ekvtio irkel med cetrum i och rdie hr ekvtioe pq O Amärkig. Edst

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

GENETIK. en introduktion av Ingela Carlén 1988 och 1999

GENETIK. en introduktion av Ingela Carlén 1988 och 1999 GENETIK en introduktion v Ingel Crlén 1988 och 1999 Innehållsförteckning Innehåll Sidn Förord 3 Kromosomer 4 DN 4 Muttioner 5 Gregor Mendel 5 Mendels metod 6 Mendelklyvning (monohybrid) 6 Dihybrid klyvning

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

f(x 1, x 2 ) = ( b 1 e x1+t1x2) 2

f(x 1, x 2 ) = ( b 1 e x1+t1x2) 2 9 Numerisk optimering Först lite terminologi: Optimering hndlr om tt hitt minst (eller störst värde v en funktion v en eller fler vribler. e rutiner som finns minimerr normlt en funktion, f(. Vill mn hitt

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

IEA 1. En tvåpol sett utifrån från lasten - karakteriseras av tomgångsspänning E t., inre impedans Z i

IEA 1. En tvåpol sett utifrån från lasten - karakteriseras av tomgångsspänning E t., inre impedans Z i IEA 1 Lösning EoE 00 05 31 tl 1 En tvåpol sett utifrån från lsten krkterisers v tomgångsspänning E t, inre impedns Z i och kortslutningsström I k Med utgångspunkt från dess prmetrr kn vi bygg ekvivlenter

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

N atom m tot. r = Z m atom

N atom m tot. r = Z m atom Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v

Läs mer

Föreläsning 8: Extrempunkter

Föreläsning 8: Extrempunkter Krlstds universitet Mtemtik Nicls Bernhoff Repetition: Bestämd integrl: Räkneregler: Föreläsning 8: Extrempunkter f(x)dx = [F(x)] b =F(b) F(), där F (x) = f(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. f(x)dx=0 f(x)dx= kf(x)dx=k

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING Se till tt lmellgrdinen fästes i ett tillräckligt säkert underlg. Ev motor och styrutrustning skll instllers v behörig elektriker. 1 Montering Luxor monters med de

Läs mer

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer