Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 21, 27/1 2010:
|
|
- Helen Lindgren
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f (x), ( ) är definierd (med värdet I F(b) F(), där F(x) är en godtycklig ntiderivt till f (x)) om < < b < och f (x) är definierd och kontinuerlig för ll x b. Om någon v dess förutsättningr inte är uppfylld sägs ( ) vr en generliserd integrl. Innn mn kn börj beräkn sådn integrler måste mn förstås först definier dem. Vi tittr på någr fll: Om < < och f (x) är kontinuerlig för x < så definierr vi I R f (x) lim f (x), R förutstt tt gränsvärdet existerr (ändligt), i vilket fll integrlen sägs vr konvergent med värdet I. Om gränsvärdet inte existerr sägs integrlen vr divergent, i vilket fll den sknr värde. Om < < b < och f (x) är kontinuerlig för < x b, men odefinierd eller diskontinuerlig för x, så definierr vi I b b f (x) lim f (x), ε 0 + +ε förutstt tt gränsvärdet existerr (ändligt), i vilket fll integrlen sägs vr konvergent med värdet I. Om gränsvärdet inte existerr sägs integrlen vr divergent, i vilket fll den sknr värde. Om < < och f (x) är kontinuerlig för < x <, men odefinierd eller diskontinuerlig för x, så definierr vi I f (x) R lim f (x), ε 0 +,R +ε förutstt tt gränsvärdet existerr (ändligt), i vilket fll integrlen sägs vr konvergent med värdet I. Om gränsvärdet inte existerr sägs integrlen vr divergent, i vilket fll den sknr värde.
2 Exempel. Antg tt < p < (p är en konstnt). Vi hr då { R [ ] x I x p lim x p p xr }, R p R p p p. Integrlen är lltså konvergent med värdet. Antr vi i stället tt 0 < p < så blir p integrlen divergent (ty R p då R ). Exempel. Antg tt 0 < p < (p är en konstnt). Vi hr då { [ ] x I x p lim x p p x, } ε p ε 0 + p p p. 0 ε Integrlen är lltså konvergent med värdet. Antr vi i stället tt < p < så blir p integrlen divergent (ty ε p då ε 0 + ). Exempel. Beräkn, om den är konvergent, integrlen I Lösning. Enligt ovnstående definition hr vi { R I lim ε 0 +,R ε x( + x) R ε 0 x( + x) x xε (u x, x u, u du) R u du ε u( + u ) R du ε + u [ rctn u] rctn R rctn } ε 0. Integrlen är lltså konvergent med värdet I. Sts. Antg tt 0 f (x) g(x) för < x < b (där eller b är fullt cceptbelt). Då gäller följnde: Om Om b b g(x) konvergerr så konvergerr f (x) divergerr så divergerr b b g(x) Exempel. Beräkn, om den är konvergent, integrlen Lösning. För x gäller I 0 x( + x) x( + x) f (x). x( x + x) x
3 Eftersom x divergerr följer, v ovnstående sts, tt I är divergent. Exempel. Beräkn, om den är konvergent, integrlen Lösning. För 0 < x gäller I 0 x( + x) x( + x) x( + ) x Eftersom 0 x divergerr följer, v ovnstående sts, tt I är divergent. Volymsberäkning med skivmetoden. Skivmetoden innebär tt mn plcerr kroppen, som skll volymsberäkns, lämpligt i förhållnde till x-xeln och, för vrje x, bestämmer ren A(x) v skärningen melln kroppen och ett pln som går vinkelrätt mot x-xeln, genom punkten x (se sid. 9-9). Volymen ges då v V b A(x), där < b väljs så tt A(x) 0 för x < och b < x. A(x) x x + b Som exempel beräknde vi volymen v en llmän kon, se sid Rottionsvolymer.
4 x x + b Området x b, f (x) y g(x) Då det i ovnstående figur ngivn området ( x b, f (x) y g(x)) roters kring x-xeln bilds en kropp med volymen V x b (g(x) f (x) ). ( ) Dett följer direkt med skivmetoden. Roters smm område kring y-xeln kommer den röd strimln tt bild ett rör med volymen dv x(g(x) f (x)). Kroppen som generers v rottionen kommer därför tt h volymen V y b x(g(x) f (x)). Denn formel brukr klls för rörformeln. För tt formeln skll funger måste 0 b (eller b 0). Exempel. Beräkn volymen v den kropp som bilds när området 0 y x, x <, roters kring x-xeln. Lösning. Volymsformeln ( ) ger V x x [ x ] x 0 +. x x Exempel. Beräkn volymen v den kropp som bilds när området / x 5/, y sin x roters kring () x-xeln, (b) y-xeln. 4
5 Lösning. En figur kn vr till hjälp: 5 Området x 5, y sin x () Formeln för rottion kring x-xeln ger V x (b) Rörformeln ger 5 (4 sin x ) (trig. formel) 5 ( cos x) [(x sin x)] x 5 x ( + sin ) ( 5 ( + sin 5 + sin ). ) Vi hr och V y 5 x( sin x ) I I. 5 I [ (x ) ] x 5 x 5 4x sin x x I 5 4x sin x (prtiell integrtion) [ 4x cos x] x 5 x cos x + [ 4 sin x] x 5 x + 0. Alltså gäller V y ( ). 5
6 Föreläsning, 8/ 0: Båglängd. Vi härledde formeln s xb x ds xb x för längden v en kurvbåge y f (x), x b. + ( f (x)). Exempel. Beräkn längden L v kurvbågen y cosh x, 0 x b. b Lösning. Vi påminner om tt cosh x ex + e x, sinh x ex e x, D cosh x sinh x, D sinh x cosh x och cosh x sinh x (hyperbolisk ettn). Båglängdsformeln ger L xb x0 xb x0 sinh b. xb + sinh x cosh x x0 cosh x [sinh x] xb x0 Exempel. Bestäm längden s v kurvbågen y ln(cos x), 0 x. Lösning. Låt f (x) ln(cos x), 0 x :
7 Vi hr Båglängdsformeln ger s x x0 x x0 x + f (x) sin x ( sin x) cos x cos x ( ) sin x cos x + sin x x cos x x0 cos x tn x. x x0 cos x cos x x0 cos x x cos x x0 sin (u sin x, du cos x ) x u du u ( u0 u u0 + u + ) du u [ ( [ln( + u) ln( u)]u u0 ) ( )] ln + ln ( ln + ) ln( + ). Föreläsning, / 0: Avslutningen v föregående föreläsning, hel denn föreläsning och även börjn v näst föreläsning ägndes åt beräknndet v ett ntl integrler. Närmre bestämt gällde det de jämnt numrerde problemen på sidorn i läroboken. 7
8 Föreläsning 4, / 0: Ordinär differentilekvtioner. Vi sk lär oss lös tre typer v ordinär differentilekvtioner: Seprbl differentilekvtioner. En sådn kn skrivs y h(x) g(y) (S) där h(x), g(y) är kontinuerlig funktioner v x respektive y. Linjär differentilekvtioner v först ordningen är sådn som kn skrivs som y + g(x)y h(x) (L) där g(x), h(x), är kontinuerlig funktioner v x. Linjär differentilekvtioner v ndr ordningen med konstnt koefficienter. Dess är v typen y + y + by h(x) (IH) där och b är reell konstnter och h(x) är en kontinuerlig funktion (över något delintervll v reell xeln). För tt lös dess ekvtioner måste vi på något sätt (omskrivningr, substitutioner o.s.v) återför ekvtionen till en ekvtion v enklste typ, lltså z k(x), eftersom det är den end typ v ekvtioner vi från strt kn lös (lösningrn ges v z k(x) ). Att lös seprbl differentilekvtioner. Låt G(y) och H(x) vr ntiderivtor till g(y) respektive h(x), d.v.s d dy G(y) g(y) och d H(x) h(x) Ekvtionen (S) kn omskrivs som g(y) y h(x). Om vi sätter z G(y) så gäller, enligt kedjeregeln dz dz dy dy g(y) y h(x) lltså z h(x), med lösningrn z h(x) H(x) + C, där C är en (i princip) godtycklig reell konstnt. Lösningrn y y(x) ges lltså implicit v ekvtionen G(y) H(x) + C. ( ) Iblnd går det i ( ) tt lös ut y som en funktion v x. I övrig fll får mn nöj sig med tt ge ( ) som svr. I prktiken brukr mn jobb enligt följnde mll: y h(x) g(y), dy h(x) g(y), g(y) dy h(x), G(y) H(x) + C. 8
9 Exempel. Lös differentilekvtionen y för vilken y(0). x( y) + x, x R. Bestäm särskilt lösningen Lösning. Enligt mllen får vi dy x( y) + x, dy y x + x, ln y A ln( + x ) ln B + x där A ln B och B 0 hr smm tecken som y. Av dett får vi y B + x, y + B + x, där B är en godtycklig nollskild konstnt. Fktum är tt även B 0 är tillåtet och ger lösningen y. Den särskild lösningen ges v y(0) + B B B, y + x. Svr. Ekvtionen hr den llmänn lösningen y + B, där B är en godtycklig reell + x konstnt. Lösningen för vilken y(0) är y + x. Exempel. Lös differentilekvtionen y e y x y, y(0). Lösning. Vi får, med prtiell integrtion y x dy y e, ex + C Begynnelsevillkoret y(0) ger sedn e x y e y dy y e y e y dy (y )e y. + C e 0 + C ( )e 0 C. Svr. Lösningen y y(x) ges implicit v (y )e y e x. 9
10 Föreläsning 5, 7/ 0: Att lös linjär differentilekvtioner v först ordningen. Enligt ovn kn dess ekvtioner skrivs y + g(x)y h(x) (L) där g(x), h(x), är kontinuerlig funktioner v x. För tt lös (L) bestämmer vi en ntiderivt G(x) till g(x) och multiplicerr ekvtionen med den positiv funktionen e G(x), vilken klls för den integrernde fktorn: e G(x) y + e G(x) g(x)y e G(x) h(x) ( ) Differentilekvtionen ( ) hr smm lösningr som (L) och kn enkelt (men knske inte lätt!) löss genom sätt z(x) e G(x) y(x), ty för funktionen z z(x) gäller (enligt produktregeln) z dz eg(x) y (x) + e G(x) G (x)y(x) e G(x) y + e G(x) g(x)y. ( ) kn lltså skrivs som z e G(x) h(x), med lösningen e G(x) y(x) z(x) e G(x) h(x). Den llmänn lösningen till (L) ges lltså v y y(x) e G(x) e G(x) h(x). I prktiken brukr mn jobb enligt följnde mll: y d ( ) + g(x)y h(x), e G(x) y e G(x) h(x), e G(x) y e G(x) h(x), y e G(x) e G(x) h(x). Det knske kn vr frestnde tt gå direkt på den sist formeln, men erfrenheten visr tt det är bättre tt gör en steg-för-steg-lösning enligt mllen. Exempel. Lös differentilekvtionen xy y x 4, x > 0. Bestäm särkilt lösningen för vilken y(). Lösning. På stndrdform blir ekvtionen y x y x, vilken erhålls genom tt multiplicer den ursprunglig ekvtionen med x. Vi hr lltså (observer minustecknet) g(x) x x G(x) ln x ln(x ), e G(x) e ln(x ) x. Efter tt h multiplicert ekvtionen med den integrernde fktorn x får vi d ( x y ) x x, x y x + C, y x (x + C) x 4 + Cx. Den särskild lösningen ges v y() + C C. Alltså y x 4 x. Svr. Den llmänn lösningen är y x 4 + Cx. Den särskild lösningen är y x 4 x. 0
11 Exempel. Lös differentilekvtionen ( + x )y x( + x + y), y(0). Lösning. Ekvtionen kn omskrivs som ( + x )y xy x( + x ), vrefter vi känner igen den som en linjär differentilekvtion v först ordningen. På stndrdform blir ekvtionen y x( + x ) y x, vilken erhålls genom tt multiplicer den föregående ekvtionen med ( + x ). Vi hr lltså (observer återigen minustecknet) g(x) x( + x ) x + x G(x) ln( + x ) ln( + x ), e G(x) e ln(+x ) ( + x ). Efter tt h multiplicert ekvtionen med den integrernde fktorn ( + x ) får vi d ( ) ( + x ) y x( + x ) x + x, ( + x ) y x + x C + ln( + x ), y ( + x )(C + ln( + x )), y(0) C, y ( + x )( + ln( + x )). Svr. Lösningen är y ( + x )( + ln( + x )). Att lös linjär differentilekvtioner v ndr ordningen med konstnt koefficienter. Dess ekvtioner är v typen y + y + by h(x) (IH) där, b är reell konstnter och h(x) är en kontinuerlig funktion (över något delintervll v reell xeln). I specilfllet då h(x) 0 sägs ekvtionen vr homogen. Till ekvtionen (IH) hör den homogen ekvtionen y + y + by 0 (H) Vid lösndet v (IH) börjr mn lltid med tt lös (H), se vsnitt.7 i läroboken. Dett görs genom tt mn löser ndrgrdsekvtionen r + r + b 0, som klls för den krkteristisk ekvtionen och vi betecknr (KE). Tre principiellt olik fll inträffr då: Om 4b 0 hr (KE) den reell dubbelroten (H) hr i dett fll lösningen där A, B är godtycklig reell konstnter. r r. y (Ax + B)e r x, Om 4b > 0 hr (KE) två distinkt reell rötter r + 4b (H) hr i dett fll lösningen och r 4b. y C e r x + C e r x, där C, C är godtycklig reell konstnter.
12 Om 4b < 0 hr (KE) två icke-reell, komplext konjugerde rötter r + i 4b (H) hr i dett fll lösningen k + iω och r i 4b k iω. y e k x (A cos ωx + B sin ωx) A ib e (k+iω)x + A + ib e (k iω)x, där A, B är godtycklig reell konstnter. Till höger är lösningen uttryckt med hälp v de komplex exponentilfunktionern Exempel. Lös differentilekvtionern () 4y + 4y + y 0, (b) y + y y 0, (c) 4y + 4y + 5y 0. e (k±iω)x e k x (cos ωx ± i sin ωx). Lösning. Enligt ovnstående lösningsrecept får vi: () Den krkteristik ekvtionen 4r + 4r + 0 som kn skrivs (r + ) 0 hr röttern r r /. Ekvtionen hr därför den llmänn lösningen där A, B är godtycklig reell konstnter. y (Ax + B)e x, (b) Den krkteristik ekvtionen r + r 0 som kn skrivs (r )(r + ) 0 hr röttern r, r. Ekvtionen hr därför den llmänn lösningen y C e x + C e x, där C, C är godtycklig reell konstnter. (c) Den krkteristik ekvtionen 4r + 4r som kn skrivs (r + ) 4 hr röttern r + i, r + i. Ekvtionen hr därför den llmänn lösningen där A, B är godtycklig reell konstnter. y e x (A cos x + B sin x),
TATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merTILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.
Läs merFöreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3
Föreläsning 7b 3329 Längdskln är L = 2 3 eller 2 : 3 som det oft skrivs i smbnd med krtor. Från teorin får vi tt A, reskln är längdskln i kvdrt det vill säg A = L 2. I denn uppgift ger det A = ( ) 2 2
Läs merAddition och subtraktion
Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik
Läs merKapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1
Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merModul 6: Integraler och tillämpningar
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merMöbiustransformationer.
224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver
Läs merInstitutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)
Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs mer23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.
HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl.9.-3. Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll
Läs merStokes sats och Integralberäkning Mats Persson
Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till
Läs merFÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merÖvningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri
Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merVi skall skriva uppsats
Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som
Läs merTATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merEkvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden
Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merTräning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs merFacit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan.
Detta häfte innehåller uppgifter från fyra olika områden inom matematiken. Meningen är att de ska tjäna som en självtest inför gymnasiet. Klarar du dessa uppgifter så är du väl förberedd inför gymnasiestudier
Läs merFlervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08
Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5
Läs mer3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.
Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 212-1-9 kl 8-13 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är
Läs merLathund, procent med bråk, åk 8
Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs mer4-6 Trianglar Namn:..
4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?
Läs merOM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är
OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.1 0.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merDavid Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.
Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Jämviktsvillkor Om vi har ett stort system som består av ett litet system i kontakt med en värmereservoar. Storheter för det lilla systemet
Läs merObservera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.
1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs merFöreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik
Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:
Läs merLaborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28
Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier
Läs mera n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen
Läs merÖvningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05
Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merSammanfattning på lättläst svenska
Sammanfattning på lättläst svenska Utredningen skulle utreda och lämna förslag i vissa frågor som handlar om svenskt medborgarskap. Svenskt medborgarskap i dag Vissa personer blir svenska medborgare när
Läs merLösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y
Läs merUtveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan
DEL 1: Utveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan Modulen inleds med det övergripande målet för modul 6 och en innehållsförteckning över utbildningens olika delar. Börja med att sätta ramarna
Läs mer5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem. Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor
5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem Föreläsning 3 Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 3 5B1816 2005/2006 Optimalitetsvillkor för ickelinjära
Läs merm 1 + m 2 v 2 m 1 m 2 v 1 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen 2013 08 20, kl 14-18 KTH Mekanik 2013 08 20
KTH Mekanik 2013 08 20 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen 2013 08 20, kl 14-18 Uppgift 1: En bil börjar accelerera med ẍ(0) = a 0 från stillastående. Accelerationen avtar exponentiellt och ges av ẍ(t)
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs mer7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5
7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5 7.2. Elevhäfte 2 7.2.1. Livsfrågor Eva och Micke går båda i 5:an. De träffas ofta efter skolan och lyssnar på musik eller gör hemläxan tillsammans. Ibland funderar de på frågor
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 26, 2015 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merDoktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010
Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 20 januari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 1 / 22 Upplägg Sju föreläsningar, en
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Så har vi då nått fram till sista avsnittet före tentamen. Uppgifterna i detta avsnitt är ganska trevliga, därför att de ofta har en, åtminstone påhittad,
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merVolymer av n dimensionella klot
252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)
Läs merIdag. Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra?
Idag Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra? Vad är ett beroende? Vad gör man om det blivit fel? Vad är en normalform? Hur når man de olika normalformerna? DD1370 (Föreläsning 6) Databasteknik
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Population Punktskattning och kondensintervall Vi har en population vars någon mätbar egenskap X vi är intresserade
Läs merSIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH
SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs mer9 Dubbelintegralens definition
Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)
Läs merSnabbslumpade uppgifter från flera moment.
Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merTeorifrå gor kåp. 5.2 9.3
Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså
Läs merWebb-bidrag. Sök bidrag på webben www.solvesborg.se. Gäller från 2015-01-01
Sök bidrag på webben www.solvesborg.se Gäller från 2015-01-01 Innehåll Kontaktperson Fritids- och turismkontoret Sölvesborg kommun Inledning Följande bidrag går att söka på webben Logga in Dokumenthantering
Läs merKTH, Matematiska institutionen, TK B 1106, Diff- och int I, Envariabel, för F1.
KTH, Mtemtisk institutionen, TK 061201 5B 1106, Diff- och int I, Envribel, för F1. Kursens mål för godkänt: Studenten förvänts/skll efter genomgången godkänd kurs: H inhämtt funktionsbegreppet, inklusive
Läs merTopologi och konvergens
Topologi och konvergens för viss kurser vid Uppsl universitet Smmnställt v Anders Vretbld 997 års upplg, översedd 28 Innehåll Topologisk grundbegrepp. Öppn och slutn mängder 3.2 Gränsvärde och kontinuitet
Läs merL(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1
L(9/G)MA10 Kombinatorik och geometri Gruppövning 1 Lisa och Pelle leker med svarta och vita byggklossar. Deras pedagogiska föräldrar vill att de lär sig matematik samtidigt som de håller på och leker.
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 28 mj 209 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merNågot om permutationer
105 Något om permutationer Lars Holst KTH, Stockholm 1. Inledning. I många matematiska resonemang måste man räkna antalet fall av olika slag. Den del av matematiken som systematiskt studerar dylikt brukar
Läs merx 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2
Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (
Läs mer1 Navier-Stokes ekvationer
Föreläsning 5. 1 Navier-Stokes ekvationer I förra föreläsningen härledde vi rörelsemängdsekvationen Du j Dt = 1 τ ij + g j. (1) ρ x i Vi konstaterade också att spänningstensorn för en inviskös fluid kan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merFinns det någon som kan förklara varför man inte kan använda formeln P=U I rotenur3 cosfi på en pump som sitter i en borrad brunn?
Räkna ut strömmen på en pump i en borra Postad av Tommy - 15 apr 2015 20:48 Finns det någon som kan förklara varför man inte kan använda formeln P=U I rotenur3 cosfi på en pump som sitter i en borrad brunn?
Läs mer= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t.
Löningförlg till tentmenkrivning i SF16 Differentilekvtioner I Tidgen den 8 jnuri 1, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mthemtic Hndbook Redovi löningrn på ett ådnt ätt tt beräkningr och reonemng är lätt tt följ
Läs mer