Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 21, 27/1 2010:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:"

Transkript

1 Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f (x), ( ) är definierd (med värdet I F(b) F(), där F(x) är en godtycklig ntiderivt till f (x)) om < < b < och f (x) är definierd och kontinuerlig för ll x b. Om någon v dess förutsättningr inte är uppfylld sägs ( ) vr en generliserd integrl. Innn mn kn börj beräkn sådn integrler måste mn förstås först definier dem. Vi tittr på någr fll: Om < < och f (x) är kontinuerlig för x < så definierr vi I R f (x) lim f (x), R förutstt tt gränsvärdet existerr (ändligt), i vilket fll integrlen sägs vr konvergent med värdet I. Om gränsvärdet inte existerr sägs integrlen vr divergent, i vilket fll den sknr värde. Om < < b < och f (x) är kontinuerlig för < x b, men odefinierd eller diskontinuerlig för x, så definierr vi I b b f (x) lim f (x), ε 0 + +ε förutstt tt gränsvärdet existerr (ändligt), i vilket fll integrlen sägs vr konvergent med värdet I. Om gränsvärdet inte existerr sägs integrlen vr divergent, i vilket fll den sknr värde. Om < < och f (x) är kontinuerlig för < x <, men odefinierd eller diskontinuerlig för x, så definierr vi I f (x) R lim f (x), ε 0 +,R +ε förutstt tt gränsvärdet existerr (ändligt), i vilket fll integrlen sägs vr konvergent med värdet I. Om gränsvärdet inte existerr sägs integrlen vr divergent, i vilket fll den sknr värde.

2 Exempel. Antg tt < p < (p är en konstnt). Vi hr då { R [ ] x I x p lim x p p xr }, R p R p p p. Integrlen är lltså konvergent med värdet. Antr vi i stället tt 0 < p < så blir p integrlen divergent (ty R p då R ). Exempel. Antg tt 0 < p < (p är en konstnt). Vi hr då { [ ] x I x p lim x p p x, } ε p ε 0 + p p p. 0 ε Integrlen är lltså konvergent med värdet. Antr vi i stället tt < p < så blir p integrlen divergent (ty ε p då ε 0 + ). Exempel. Beräkn, om den är konvergent, integrlen I Lösning. Enligt ovnstående definition hr vi { R I lim ε 0 +,R ε x( + x) R ε 0 x( + x) x xε (u x, x u, u du) R u du ε u( + u ) R du ε + u [ rctn u] rctn R rctn } ε 0. Integrlen är lltså konvergent med värdet I. Sts. Antg tt 0 f (x) g(x) för < x < b (där eller b är fullt cceptbelt). Då gäller följnde: Om Om b b g(x) konvergerr så konvergerr f (x) divergerr så divergerr b b g(x) Exempel. Beräkn, om den är konvergent, integrlen Lösning. För x gäller I 0 x( + x) x( + x) f (x). x( x + x) x

3 Eftersom x divergerr följer, v ovnstående sts, tt I är divergent. Exempel. Beräkn, om den är konvergent, integrlen Lösning. För 0 < x gäller I 0 x( + x) x( + x) x( + ) x Eftersom 0 x divergerr följer, v ovnstående sts, tt I är divergent. Volymsberäkning med skivmetoden. Skivmetoden innebär tt mn plcerr kroppen, som skll volymsberäkns, lämpligt i förhållnde till x-xeln och, för vrje x, bestämmer ren A(x) v skärningen melln kroppen och ett pln som går vinkelrätt mot x-xeln, genom punkten x (se sid. 9-9). Volymen ges då v V b A(x), där < b väljs så tt A(x) 0 för x < och b < x. A(x) x x + b Som exempel beräknde vi volymen v en llmän kon, se sid Rottionsvolymer.

4 x x + b Området x b, f (x) y g(x) Då det i ovnstående figur ngivn området ( x b, f (x) y g(x)) roters kring x-xeln bilds en kropp med volymen V x b (g(x) f (x) ). ( ) Dett följer direkt med skivmetoden. Roters smm område kring y-xeln kommer den röd strimln tt bild ett rör med volymen dv x(g(x) f (x)). Kroppen som generers v rottionen kommer därför tt h volymen V y b x(g(x) f (x)). Denn formel brukr klls för rörformeln. För tt formeln skll funger måste 0 b (eller b 0). Exempel. Beräkn volymen v den kropp som bilds när området 0 y x, x <, roters kring x-xeln. Lösning. Volymsformeln ( ) ger V x x [ x ] x 0 +. x x Exempel. Beräkn volymen v den kropp som bilds när området / x 5/, y sin x roters kring () x-xeln, (b) y-xeln. 4

5 Lösning. En figur kn vr till hjälp: 5 Området x 5, y sin x () Formeln för rottion kring x-xeln ger V x (b) Rörformeln ger 5 (4 sin x ) (trig. formel) 5 ( cos x) [(x sin x)] x 5 x ( + sin ) ( 5 ( + sin 5 + sin ). ) Vi hr och V y 5 x( sin x ) I I. 5 I [ (x ) ] x 5 x 5 4x sin x x I 5 4x sin x (prtiell integrtion) [ 4x cos x] x 5 x cos x + [ 4 sin x] x 5 x + 0. Alltså gäller V y ( ). 5

6 Föreläsning, 8/ 0: Båglängd. Vi härledde formeln s xb x ds xb x för längden v en kurvbåge y f (x), x b. + ( f (x)). Exempel. Beräkn längden L v kurvbågen y cosh x, 0 x b. b Lösning. Vi påminner om tt cosh x ex + e x, sinh x ex e x, D cosh x sinh x, D sinh x cosh x och cosh x sinh x (hyperbolisk ettn). Båglängdsformeln ger L xb x0 xb x0 sinh b. xb + sinh x cosh x x0 cosh x [sinh x] xb x0 Exempel. Bestäm längden s v kurvbågen y ln(cos x), 0 x. Lösning. Låt f (x) ln(cos x), 0 x :

7 Vi hr Båglängdsformeln ger s x x0 x x0 x + f (x) sin x ( sin x) cos x cos x ( ) sin x cos x + sin x x cos x x0 cos x tn x. x x0 cos x cos x x0 cos x x cos x x0 sin (u sin x, du cos x ) x u du u ( u0 u u0 + u + ) du u [ ( [ln( + u) ln( u)]u u0 ) ( )] ln + ln ( ln + ) ln( + ). Föreläsning, / 0: Avslutningen v föregående föreläsning, hel denn föreläsning och även börjn v näst föreläsning ägndes åt beräknndet v ett ntl integrler. Närmre bestämt gällde det de jämnt numrerde problemen på sidorn i läroboken. 7

8 Föreläsning 4, / 0: Ordinär differentilekvtioner. Vi sk lär oss lös tre typer v ordinär differentilekvtioner: Seprbl differentilekvtioner. En sådn kn skrivs y h(x) g(y) (S) där h(x), g(y) är kontinuerlig funktioner v x respektive y. Linjär differentilekvtioner v först ordningen är sådn som kn skrivs som y + g(x)y h(x) (L) där g(x), h(x), är kontinuerlig funktioner v x. Linjär differentilekvtioner v ndr ordningen med konstnt koefficienter. Dess är v typen y + y + by h(x) (IH) där och b är reell konstnter och h(x) är en kontinuerlig funktion (över något delintervll v reell xeln). För tt lös dess ekvtioner måste vi på något sätt (omskrivningr, substitutioner o.s.v) återför ekvtionen till en ekvtion v enklste typ, lltså z k(x), eftersom det är den end typ v ekvtioner vi från strt kn lös (lösningrn ges v z k(x) ). Att lös seprbl differentilekvtioner. Låt G(y) och H(x) vr ntiderivtor till g(y) respektive h(x), d.v.s d dy G(y) g(y) och d H(x) h(x) Ekvtionen (S) kn omskrivs som g(y) y h(x). Om vi sätter z G(y) så gäller, enligt kedjeregeln dz dz dy dy g(y) y h(x) lltså z h(x), med lösningrn z h(x) H(x) + C, där C är en (i princip) godtycklig reell konstnt. Lösningrn y y(x) ges lltså implicit v ekvtionen G(y) H(x) + C. ( ) Iblnd går det i ( ) tt lös ut y som en funktion v x. I övrig fll får mn nöj sig med tt ge ( ) som svr. I prktiken brukr mn jobb enligt följnde mll: y h(x) g(y), dy h(x) g(y), g(y) dy h(x), G(y) H(x) + C. 8

9 Exempel. Lös differentilekvtionen y för vilken y(0). x( y) + x, x R. Bestäm särskilt lösningen Lösning. Enligt mllen får vi dy x( y) + x, dy y x + x, ln y A ln( + x ) ln B + x där A ln B och B 0 hr smm tecken som y. Av dett får vi y B + x, y + B + x, där B är en godtycklig nollskild konstnt. Fktum är tt även B 0 är tillåtet och ger lösningen y. Den särskild lösningen ges v y(0) + B B B, y + x. Svr. Ekvtionen hr den llmänn lösningen y + B, där B är en godtycklig reell + x konstnt. Lösningen för vilken y(0) är y + x. Exempel. Lös differentilekvtionen y e y x y, y(0). Lösning. Vi får, med prtiell integrtion y x dy y e, ex + C Begynnelsevillkoret y(0) ger sedn e x y e y dy y e y e y dy (y )e y. + C e 0 + C ( )e 0 C. Svr. Lösningen y y(x) ges implicit v (y )e y e x. 9

10 Föreläsning 5, 7/ 0: Att lös linjär differentilekvtioner v först ordningen. Enligt ovn kn dess ekvtioner skrivs y + g(x)y h(x) (L) där g(x), h(x), är kontinuerlig funktioner v x. För tt lös (L) bestämmer vi en ntiderivt G(x) till g(x) och multiplicerr ekvtionen med den positiv funktionen e G(x), vilken klls för den integrernde fktorn: e G(x) y + e G(x) g(x)y e G(x) h(x) ( ) Differentilekvtionen ( ) hr smm lösningr som (L) och kn enkelt (men knske inte lätt!) löss genom sätt z(x) e G(x) y(x), ty för funktionen z z(x) gäller (enligt produktregeln) z dz eg(x) y (x) + e G(x) G (x)y(x) e G(x) y + e G(x) g(x)y. ( ) kn lltså skrivs som z e G(x) h(x), med lösningen e G(x) y(x) z(x) e G(x) h(x). Den llmänn lösningen till (L) ges lltså v y y(x) e G(x) e G(x) h(x). I prktiken brukr mn jobb enligt följnde mll: y d ( ) + g(x)y h(x), e G(x) y e G(x) h(x), e G(x) y e G(x) h(x), y e G(x) e G(x) h(x). Det knske kn vr frestnde tt gå direkt på den sist formeln, men erfrenheten visr tt det är bättre tt gör en steg-för-steg-lösning enligt mllen. Exempel. Lös differentilekvtionen xy y x 4, x > 0. Bestäm särkilt lösningen för vilken y(). Lösning. På stndrdform blir ekvtionen y x y x, vilken erhålls genom tt multiplicer den ursprunglig ekvtionen med x. Vi hr lltså (observer minustecknet) g(x) x x G(x) ln x ln(x ), e G(x) e ln(x ) x. Efter tt h multiplicert ekvtionen med den integrernde fktorn x får vi d ( x y ) x x, x y x + C, y x (x + C) x 4 + Cx. Den särskild lösningen ges v y() + C C. Alltså y x 4 x. Svr. Den llmänn lösningen är y x 4 + Cx. Den särskild lösningen är y x 4 x. 0

11 Exempel. Lös differentilekvtionen ( + x )y x( + x + y), y(0). Lösning. Ekvtionen kn omskrivs som ( + x )y xy x( + x ), vrefter vi känner igen den som en linjär differentilekvtion v först ordningen. På stndrdform blir ekvtionen y x( + x ) y x, vilken erhålls genom tt multiplicer den föregående ekvtionen med ( + x ). Vi hr lltså (observer återigen minustecknet) g(x) x( + x ) x + x G(x) ln( + x ) ln( + x ), e G(x) e ln(+x ) ( + x ). Efter tt h multiplicert ekvtionen med den integrernde fktorn ( + x ) får vi d ( ) ( + x ) y x( + x ) x + x, ( + x ) y x + x C + ln( + x ), y ( + x )(C + ln( + x )), y(0) C, y ( + x )( + ln( + x )). Svr. Lösningen är y ( + x )( + ln( + x )). Att lös linjär differentilekvtioner v ndr ordningen med konstnt koefficienter. Dess ekvtioner är v typen y + y + by h(x) (IH) där, b är reell konstnter och h(x) är en kontinuerlig funktion (över något delintervll v reell xeln). I specilfllet då h(x) 0 sägs ekvtionen vr homogen. Till ekvtionen (IH) hör den homogen ekvtionen y + y + by 0 (H) Vid lösndet v (IH) börjr mn lltid med tt lös (H), se vsnitt.7 i läroboken. Dett görs genom tt mn löser ndrgrdsekvtionen r + r + b 0, som klls för den krkteristisk ekvtionen och vi betecknr (KE). Tre principiellt olik fll inträffr då: Om 4b 0 hr (KE) den reell dubbelroten (H) hr i dett fll lösningen där A, B är godtycklig reell konstnter. r r. y (Ax + B)e r x, Om 4b > 0 hr (KE) två distinkt reell rötter r + 4b (H) hr i dett fll lösningen och r 4b. y C e r x + C e r x, där C, C är godtycklig reell konstnter.

12 Om 4b < 0 hr (KE) två icke-reell, komplext konjugerde rötter r + i 4b (H) hr i dett fll lösningen k + iω och r i 4b k iω. y e k x (A cos ωx + B sin ωx) A ib e (k+iω)x + A + ib e (k iω)x, där A, B är godtycklig reell konstnter. Till höger är lösningen uttryckt med hälp v de komplex exponentilfunktionern Exempel. Lös differentilekvtionern () 4y + 4y + y 0, (b) y + y y 0, (c) 4y + 4y + 5y 0. e (k±iω)x e k x (cos ωx ± i sin ωx). Lösning. Enligt ovnstående lösningsrecept får vi: () Den krkteristik ekvtionen 4r + 4r + 0 som kn skrivs (r + ) 0 hr röttern r r /. Ekvtionen hr därför den llmänn lösningen där A, B är godtycklig reell konstnter. y (Ax + B)e x, (b) Den krkteristik ekvtionen r + r 0 som kn skrivs (r )(r + ) 0 hr röttern r, r. Ekvtionen hr därför den llmänn lösningen y C e x + C e x, där C, C är godtycklig reell konstnter. (c) Den krkteristik ekvtionen 4r + 4r som kn skrivs (r + ) 4 hr röttern r + i, r + i. Ekvtionen hr därför den llmänn lösningen där A, B är godtycklig reell konstnter. y e x (A cos x + B sin x),

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.

TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING. Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3

Föreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3 Föreläsning 7b 3329 Längdskln är L = 2 3 eller 2 : 3 som det oft skrivs i smbnd med krtor. Från teorin får vi tt A, reskln är längdskln i kvdrt det vill säg A = L 2. I denn uppgift ger det A = ( ) 2 2

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1

Kapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1 Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Modul 6: Integraler och tillämpningar

Modul 6: Integraler och tillämpningar Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas

Läs mer

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Möbiustransformationer.

Möbiustransformationer. 224 Om Möbiustransformationer Torbjörn Kolsrud KTH En Möbiustransformation är en komplexvärd funktion f av en komplex variabel z på formen f(z) = az + b cz + d. Här är a b c och d komplexa tal. Ofta skriver

Läs mer

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare)

Institutionen för matematik Envariabelanalys 1. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej miniräknare) Umeå universitet Dugga i matematik Institutionen för matematik Envariabelanalys 1 och matematisk statistik IE, ÖI, Stat. och Frist. Jan Gelfgren Datum: Fredag 9/12, 2011 Tid: 9-15 Hjälpmedel: Inga (ej

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Flervariabelanalys, 5 hp STS, X 2010-03-19 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de åtta lektionerna hör ett par problem, som kallas

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER

SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p.

23 mars 2006, kl.9.00-13.00 Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 22p. för Väl Godkänd av max. 35p. HH / Georgi Tchilikov GEOMETRI och LINJÄR ALGEBRA, 5p. 3 mrs 6, kl.9.-3. Ing hjälpmedel, förutom skrivmteriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, p. för Väl Godkänd v mx. 35p. Om ej nnt säges, gäller tt ll

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson

Stokes sats och Integralberäkning Mats Persson Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri

Övningshäfte Algebra, ekvationssystem och geometri Stockholms Tekniska Gmnasium --9 Övningshäfte Algebra, ekvationssstem och geometri Nivå: rätt svårt Fråga : f är ett polnom. Beräkna värdet av f, f och fπ Fråga : Ingångslönen på företaget Börjes Gurkinläggning

Läs mer

Vi skall skriva uppsats

Vi skall skriva uppsats Vi skall skriva uppsats E n vacker dag får du höra att du skall skriva uppsats. I den här texten får du veta vad en uppsats är, vad den skall innehålla och hur den bör se ut. En uppsats är en text som

Läs mer

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.1 0.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte

Läs mer

Facit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan.

Facit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan. Detta häfte innehåller uppgifter från fyra olika områden inom matematiken. Meningen är att de ska tjäna som en självtest inför gymnasiet. Klarar du dessa uppgifter så är du väl förberedd inför gymnasiestudier

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12

Läs mer

Träning i bevisföring

Träning i bevisföring KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08 12.2 Gränsvärden och kontinuitet. 12.3 Partiella derivator, tangentplan och normaler till funktionsytor. 12.4 Högre ordningens derivator. 12.5

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.

3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l. Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1

Läs mer

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 2012-01-09 kl 08-13 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341/LIMAB6, STN2) 212-1-9 kl 8-13 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är

Läs mer

Lathund, procent med bråk, åk 8

Lathund, procent med bråk, åk 8 Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

4-6 Trianglar Namn:..

4-6 Trianglar Namn:.. 4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik Summaregeln Om och B är disjunkta mängder så B = + B, ty innehåller inga upprepningar Produktregeln Om och B är disjunkta mängder så är B = B Exempel:

Läs mer

David Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik.

David Wessman, Lund, 30 oktober 2014 Statistisk Termodynamik - Kapitel 5. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. Sammanfattning av Gunnar Ohléns bok Statistisk Termodynamik. 1 Jämviktsvillkor Om vi har ett stort system som består av ett litet system i kontakt med en värmereservoar. Storheter för det lilla systemet

Läs mer

Observera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer.

Observera att alla funktioner kan ritas, men endast linjära funktioner blir räta linjer. 1 Matematik som verktyg Antag att vi har en funktion som är en rät linje, y = 1 3x. Eftersom relationen mellan x och y är linjär räcker det med att vi hittar två punkter (två talpar) på linjen för att

Läs mer

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen

Läs mer

Övningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05

Övningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05 Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,

Läs mer

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är

OM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,

Läs mer

m 1 + m 2 v 2 m 1 m 2 v 1 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen 2013 08 20, kl 14-18 KTH Mekanik 2013 08 20

m 1 + m 2 v 2 m 1 m 2 v 1 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen 2013 08 20, kl 14-18 KTH Mekanik 2013 08 20 KTH Mekanik 2013 08 20 Mekanik mk, SG1102, Problemtentamen 2013 08 20, kl 14-18 Uppgift 1: En bil börjar accelerera med ẍ(0) = a 0 från stillastående. Accelerationen avtar exponentiellt och ges av ẍ(t)

Läs mer

Utveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan

Utveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan DEL 1: Utveckla arbetsmiljö och verksamhet genom samverkan Modulen inleds med det övergripande målet för modul 6 och en innehållsförteckning över utbildningens olika delar. Börja med att sätta ramarna

Läs mer

Laborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28

Laborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2016-01-28 Kul matematik utan lärobok Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika strategier

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010

Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 Frank Wikström 20 januari 2010 Frank Wikström () Doktorandkurs i flera komplexa variabler, vt 2010 20 januari 2010 1 / 22 Upplägg Sju föreläsningar, en

Läs mer

5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem. Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor

5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem. Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor 5B1816 Tillämpad mat. prog. ickelinjära problem Föreläsning 3 Optimalitetsvillkor för problem med ickelinjära bivillkor A. Forsgren, KTH 1 Föreläsning 3 5B1816 2005/2006 Optimalitetsvillkor för ickelinjära

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 26, 2015 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y

Läs mer

Sammanfattning på lättläst svenska

Sammanfattning på lättläst svenska Sammanfattning på lättläst svenska Utredningen skulle utreda och lämna förslag i vissa frågor som handlar om svenskt medborgarskap. Svenskt medborgarskap i dag Vissa personer blir svenska medborgare när

Läs mer

7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5

7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5 7. SAMHÄLLSORIENTERING ÅK 5 7.2. Elevhäfte 2 7.2.1. Livsfrågor Eva och Micke går båda i 5:an. De träffas ofta efter skolan och lyssnar på musik eller gör hemläxan tillsammans. Ibland funderar de på frågor

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

Snabbslumpade uppgifter från flera moment.

Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Innehåll 1 Punktskattning och kondensintervall Population Punktskattning och kondensintervall Vi har en population vars någon mätbar egenskap X vi är intresserade

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips TNA004 Anlys II för ED, KTS, MT Lektionsuppgifter med kommentrer/lösningstips VT 06 TNA004, Anlys II - Lektion Denn lektion hndlr om beräkning v reor och kurvlängd.. Areberäkning Aren melln två funktionskurvor,

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.2 Så har vi då nått fram till sista avsnittet före tentamen. Uppgifterna i detta avsnitt är ganska trevliga, därför att de ofta har en, åtminstone påhittad,

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Webb-bidrag. Sök bidrag på webben www.solvesborg.se. Gäller från 2015-01-01

Webb-bidrag. Sök bidrag på webben www.solvesborg.se. Gäller från 2015-01-01 Sök bidrag på webben www.solvesborg.se Gäller från 2015-01-01 Innehåll Kontaktperson Fritids- och turismkontoret Sölvesborg kommun Inledning Följande bidrag går att söka på webben Logga in Dokumenthantering

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Idag. Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra?

Idag. Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra? Idag Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra? Vad är ett beroende? Vad gör man om det blivit fel? Vad är en normalform? Hur når man de olika normalformerna? DD1370 (Föreläsning 6) Databasteknik

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

1 Navier-Stokes ekvationer

1 Navier-Stokes ekvationer Föreläsning 5. 1 Navier-Stokes ekvationer I förra föreläsningen härledde vi rörelsemängdsekvationen Du j Dt = 1 τ ij + g j. (1) ρ x i Vi konstaterade också att spänningstensorn för en inviskös fluid kan

Läs mer

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler

Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Volymer av n dimensionella klot

Volymer av n dimensionella klot 252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Boll-lek om normer. Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö. Innehåll

Boll-lek om normer. Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö. Innehåll 1 Boll-lek om normer Nyckelord: likabehandling, hbt, normer/stereotyper, skolmiljö Innehåll Materialet bygger på en övning där eleverna, genom en lek med bollar, får utmana sin förmåga att kommunicera

Läs mer

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har

Läs mer

ANTECKNINGAR FRÅN KURSEN ODE

ANTECKNINGAR FRÅN KURSEN ODE ANTECKNINGAR FRÅN KURSEN ODE LEO LARSSON Innehåll 1. Introduktion 1 2. Första ordningens ekvationer 2 2.1. Separabla ekvationer 2 2.2. Homogena ekvationer 4 2.3. Ortogonala kurvfamiljer 5 2.4. Exakta ekvationer

Läs mer

Analys -Volym. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Volym - 1

Analys -Volym. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Volym - 1 Anlys -Volym Teori Så beräkns volymen v en rottionskropp med snittren A(). Teori Sklmetoden för volymberäkningr.. Modell Sklmetoden för volymberäkningr... Modell Beräkning v volym om inte A() är cirkulär.

Läs mer

x 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2

x 2 + px = ( x + p 2 x 2 2x = ( x + 2 Inledande kurs i matematik, avsnitt P.3 P.3. Bestäm en ekvation för cirkeln med mittpunkt i (0, 0) och radie 4. Med hjälp av kvadratkompletteringsformeln + p = ( + p ) ( p ) En cirkel med mittpunkt i (

Läs mer

Något om permutationer

Något om permutationer 105 Något om permutationer Lars Holst KTH, Stockholm 1. Inledning. I många matematiska resonemang måste man räkna antalet fall av olika slag. Den del av matematiken som systematiskt studerar dylikt brukar

Läs mer

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler

TATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler TATA4: Föreläsning Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 7 mrs 16 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer, men

Läs mer

), 0 < x < π. 1 (2k 1) 2. f(θ) 2 dθ, (Bessel s olikhet I).

), 0 < x < π. 1 (2k 1) 2. f(θ) 2 dθ, (Bessel s olikhet I). Mtemtik Chlmer Tentmen i TMA68 Tillämpd mtemtik K/Bt, ; KL 8:3-:3 Telefon: Okr Hmlet: 73-8834. Hjälpmedel: Endt utdeld vänd textlppen) tbell för Lplcetrnformer. Klkyltor ej tillåten. Uppgiftern -4 ger

Läs mer

Två konstiga klockor

Två konstiga klockor strävorna C Två konstiga klockor resonemang geometri Avsikt och matematikinnehåll Det som kan göra det svårt för barn att avläsa en analog klocka är att förstå att den består av två skalor som är beroende

Läs mer

Har du förstått? I De här talen är primtal a) 29,49 och 61 b) 97, 83 och 89 c) 0, 2 och 3.

Har du förstått? I De här talen är primtal a) 29,49 och 61 b) 97, 83 och 89 c) 0, 2 och 3. PASS 5. FAKTORISERING AV POLYNOM 5. Nyttan av faktorisering och faktorisering av heltal Har vi nytta av att kunna faktorisera polynom? Ja det har vi. Bra kunskaper i faktorisering av polynom möjliggör

Läs mer

Finns det någon som kan förklara varför man inte kan använda formeln P=U I rotenur3 cosfi på en pump som sitter i en borrad brunn?

Finns det någon som kan förklara varför man inte kan använda formeln P=U I rotenur3 cosfi på en pump som sitter i en borrad brunn? Räkna ut strömmen på en pump i en borra Postad av Tommy - 15 apr 2015 20:48 Finns det någon som kan förklara varför man inte kan använda formeln P=U I rotenur3 cosfi på en pump som sitter i en borrad brunn?

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer