Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Mat Grundkurs i matematik 1, del II"

Transkript

1 Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet i A (på motsvrnde sätt är min A det minst elementet) men problemet är tt det inte lltid finns ett störst (eller minst) element, som tex. i mängden { x R : 0 < x < 1 } och då kn mn inte tl om mx A (eller min A). Supremum och infimum är generliseringr v mximum och minimum så tt dett problem inte uppstår. Supremum och infimum Ifll A R så är sup(a) = R {± } ifll Om x A så gäller x ; Om α < så finns ett tl x A så tt x > α. Således är sup(a) minst möjlig övre gräns för elementen i A. Ifll A R så är inf(a) = b R {± } ifll Om x A så gäller x b; Om β > b så finns ett tl x A så tt x < β. Således är inf(a) störst möjlig nedre gräns för elementen i A. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

2 Supremum och infimum v den tomm mängden Obs! sup( ) = och inf( ) = +. Det är en egenskp hos de reell tlen tt sup(a) och inf(a) esisterr för vrje mängd A R. Motsvrnde gäller tex. inte om mn byter ut de reell tlen mot de rtionell och då också kräver tt sup(a) och inf(a) skll vr rtionell tl. Obs! sup f (x) def def = sup({ f (x) : x A }) och inf f (x) = inf({ f (x) : x A }). x A x A G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Gränsvärde, informell definition x x0 f (x) = L ifll det är snt tt f (x) L är litet när x x 0 är tillräckligt litet och x x 0. Gränsvärde, formell definition x x 0 f (x) = L ifll det för vrje ɛ > 0 finns ett tl δ > 0 så tt om 0 < x x 0 < δ och x Ω så gäller f (x) L < ɛ. Kommentr I Observer tt gränsvärdets vr eller icke vr och eventuell värde inte är beroende v om f (x 0 ) är definierd och i så fll vd värdet är! Om Ω = R eller det nnrs är klrt vd Ω är skriver mn x x0 f (x). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

3 Kommentr II Vnligtvis ntr mn tt f (x) är definierd för ll x Ω men om dett inte är snt så kn mn lltid tolk påståendet f (x) L < ɛ som flskt om f (x) inte är definierd. Kommentr III Definitionen med ɛ on δ är komplicerd och visr sitt värde i jämförelse med mer flummig vrinter egentligen br i de verkligt knepig fllen. I de enklre fllen är det ntingen självklrt vd gränsvärdet är, eller så kn mn med frmgång nvänd räkneregler för gränsvärden. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Ifll Räkneregler för gränsvärden x x0 x x 0 x x 0 x x 0 f (x) = F och x x0 g(x) = G så gäller ( αf (x) + βg(x) ) = αf + βg, f (x)g(x) = FG, f (x) g(x) = F G om G 0 och G, F G om f (x) g(x) då 0 < x x 0 < c där c > 0. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

4 Instängningsprincipen Ifll x x0 g(x) = 0 och f (x) g(x) då 0 < x x 0 c där c > 0 så gäller f (x) = 0. x x 0 Aningen mer llmänt: Ifll x x0 g(x) = x x0 h(x) = L och g(x) f (x) h(x) då 0 < x x 0 c där c > 0 så gäller Vribelbyte f (x) = L. x x 0 Om x x0 f (x) = F, y F g(y) = G och g(f ) = G eller f (x) F då x x 0, så gäller g ( f (x) ) = g(y). x x 0 y F G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Gränsvärdet v en tlföljd n n = L: För ll ɛ > 0 finns ett tl N 0 N så tt om n > N 0 så gäller n L < ɛ. Tlföljder som hr ett gränsvärde Om ( n ) n=n 0 är en sådn tlföljd tt n+1 n får ll n n 0 så hr tlföljden gränsvärdet n n = sup n n0 n. Om istället n+1 n för ll n n 0 så gäller n n = inf n n0 n Inget gränsvärde Gränsvärdet x x0 f (x) finns inte ifll det finns två tlföljder ( n ) j (b n ) så tt n x 0 och b n x 0 för ll n, n n = n b n = x 0, n f ( n ) = A och n f (b n ) = B där A B. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

5 Ensidig gränsvärden f (x) = f (x) x x 0 + x x 0 x (x 0, ) f (x) = L x x 0 Vrinter v gränsvärden x x 0 f (x) = x x 0 + f (x) = f (x). x x 0 x x 0 x (,x 0 ) f (x) = L. x x 0 f (x) = ifll för vrje M finns ett tl δ > 0 så tt om 0 < x x 0 < δ och x Ω så gäller f (x) > M. x f (x) = L ifll för vrje ɛ > 0 finns ett tl N så tt om x > N och x Ω så gäller f (x) L < ɛ. x f (x) = ifll för vrje M finns ett tl N så tt om x < N och x Ω så gäller f (x) < M. Andr vrinter definiers på smm sätt. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Räkneregler med Om > 0 så gäller = och ( ) = + = och = = = 0 0 =?, =?, 0 0 =?, =? och 0 =? (± ) Räkneregler, forts. f (x) = L f x x 0+ f (x) = L x x x 0 x 0+ f f (x) = x x0 ( ) 1 = L x ( 1 ) = L x 1 f (x) = 0 ifll f (x) > 0 då x Ω G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

6 Kontinuerlig funktioner Funktionen f : Ω R är kontinuerlig i punkten x 0 ifll x 0 Ω och x x f (x) = f (x 0 0). Funktionen f : Ω R är kontinuerlig (i Ω) om den är kontinuerlig i vrje punkt i Ω dvs. ifll x x f (x) = f (x 0 0) för vrje x 0 Ω. Egenskper hos kontinuerlig funktioner Om f : Ω R och g : Ω R är kontinuerlig så är också funktionern αf (x) + βg(x) och f (x)g(x) kontinuerlig i Ω och f (x) g(x) är kontinuerlig i mängden { x Ω : g(x) 0 }. Om f : D f R och g : D g R är kontinuerlig och g(x) D f för ll x D g så är den smmnstt funktionen (f g)(x) = f (g(x)) kontinuerlig: D g R. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Bolznos teckenbytessts Om f : [, b] R är kontinuerlig och f ()f (b) < 0 (dvs. f hr olik tecken i intervllets ändpunkter) så finns det en punkt x 0 (, b) så tt f (x 0 ) = 0. Mx och min uppnås på ett slutet intervll Om f : [, b] R är kontinuerlig så finns det punkter x 1 och x 2 [, b] så tt f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), x [, b] dvs. f (x 1 ) = inf x [,b] f (x) = min x [,b] f (x) och f (x 2 ) = sup x [,b] f (x) = mx x [,b] f (x). n+1 = f ( n ): Ifll tlföljden ( n ) n=1 definiers med ekvtionen n+1 = f ( n ) och ifll gränsvärdet = n n existerr och är ändligt och f är kontinuerlig så är en lösning till ekvtionen x = f (x). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

7 Serier eller oändlig summor Serien n=n 0 n konvergerr ifll tlföljden (s k ) k=n 0 där s k = k n=n 0 n hr ett ändligt gränsvärde k s k och då skrivs gränsvärdet, dvs. summn, som n=n 0 n Geometrisk serie Serien n=0 qn konvergerr om och endst om q < 1 (eller = 0) och då är q n = n=0 1 q = Först termen 1 Kvoten v två på vrndr följnde termer Absolut konvergens, Om serien n=n 0 n konvergerr (dvs. serien P n=n0 n konvergerr bsolut) så konvergerr också serien n=n 0 n. Om det finns ett tl C < så tt k n=n 0 n C för ll k n 0 så konvergerr serien n=n 0 n. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Kvottestet Serien n=n 0 n konvergerr bsolut ifll n+1 n n = q < 1 och konvergerr inte (dvs. divergerr) om q > 1. Serien Exponentfunktionen exp(x) = konvergerr för ll x R (eller C) och och därför skriver mn oft n=0 x n n! exp(x + y) = exp(x)exp(y) exp(x) = e x. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

8 Derivt f (x) = h 0 f (x + h) f (x) h Om gränsvärdet existerr och är ändligt (lltså inte eller ) så säger mn tt f är deriverbr i punkten x och derivtn är f (x). Dett förutsätter tt f är definierd åtminstone i intervllet (x δ, x + δ) för något tl δ > 0. Andr beteckningr för derivtn är f (x) = d dx f (x) = Df (x) = D xf (x). Räkneregler för derivtn (αf + βg) (x) = αf (x) + βg (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) ( ) f (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) g (g(x)) 2 h(x) = f (g(x)) h (x) = f (g(x))g (x) G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Obs! Om f är deriverbr i punkten x så är f kontinuerlig i x. Derivtn är tngentens vinkelkoefficient. Derivtn är förändringshstighet, tex. om en kropp befinner sig i punkten f (t) vid tidpunkten t så är f (t) hstigheten med vilken den rör sig. d dx f (x) = f d (x), dx f (x) = f (x) = f (3) d (x), dx f (k) (x) = f (k+1) (x). Ensidig derivtor f +(x) f (x + h) f (x) = h 0+ h f (x) = h 0 f (x + h) f (x) h f är deriverbr i punkten x f +(x) och f (x) existerr och f +(x) = f (x). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

9 Prtiell derivtor f (x + h, y) f (x, y) f x (x, y) = h 0 h f (x, y + k) f (x, y) f y (x, y) = k 0 k Andr beteckningr: f x = f x = D xf = f 1 = D 1 f..., f xy = (f x ) y = f y x = 2 f y x Implicit derivering Ifll F (x 0, y 0 ) = 0, F y (x 0, y 0 ) 0 och F och F y är kontinuerlig så finns det en deriverbr funktion y(x) så tt F (x, y(x)) = 0 y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = F x(x 0, y 0 ) F y (x 0, y 0 ) (då x x 0 är tillräckligt litet), G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Optimeringens huvudsts Ifll f är deriverbr i punkten x 0 och f (x) f (x 0 ) då x x 0 < δ där δ > 0 så gäller f (x 0 ) = 0 dvs. i en lokl mximipunkt (eller minimipunkt) är derivtn 0. Rolles sts Ifll f : [, b] R är kontinuerlig, f är deriverbr i intervllet (, b) och f () = f (b) så finns det en punkt c (, b) så tt f (c) = 0. Medelvärdesstsen Ifll f : [, b] R är kontinuerlig och f är deriverbr i intervllet (, b) så finns det en punkt c (, b) så tt Linjär pproximtion f (b) f () = f (c)(b ). f (x + h) f (x) + f (x)h G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

10 Monoton funktioner Antg tt I är ett intervll, f : I R och x 1, x 2 I. f är icke-vtgnde om f (x 1 ) f (x 2 ) då x 1 > x 2. f är strängt växnde om f (x 1 ) > f (x 2 ) då x 1 > x 2. f är icke-växnde om f (x 1 ) f (x 2 ) då x 1 > x 2. f strängt vtgnde om f (x 1 ) < f (x 2 ) då x 1 > x 2. Om f dessutom är deriverbr i I så gäller f (x) 0 f är icke-vtgnde. f (x) 0 f är icke-växnde. f (x) 0 och inte identiskt 0 på något öppet delintervll f är strängt växnde. f (x) 0 och inte identiskt 0 på något öppet delintervll f är strängt vtgnde. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Konvex funktioner Ifll f : (, b) R är två gånger deriverbr så är f konvex ifll något,och därmed också ll, v följnde villkor gäller: f ((1 t)x 0 + tx 1 ) (1 t)f (x 0 ) + tf (x 1 ) t [0, 1] x 0, x 1 (, b), dvs funktionens värde i en medelvärdespunkt är mindre än medelvärdet v funktions värden. f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), dx, x 0 (, b), dvs. funktionens grf ligger ovnför tngenten. f (x) är en icke-vtgnde funktion i intervllet (, b). f (x) 0, x (, b). Funktionen f är konkv om f är konvex. Konvex mängder En delmängd Ω v ett vektorrum är konvex ifll (1 t)x 1 + tx 2 Ω när x 1 och x 2 Ω och t [0, 1]. De konvex delmängdern v R är intervll och en funktion f : I R är konvex om och endst om mängden { (x, y) : x I, y f (x) } R 2 är konvex. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

11 Invers funktioner Ifll f : I R, där I R är ett intervll, är strängt växnde (vtgnde) och kontinuerlig så finns det en strängt växnde (vtgnde) och kontinuerlig funktion g så tt g(f (x)) = x, x I, f (g(y)) = y, y J, där J = { y R : y = f (x) för något x I } också är ett intervll. Om f är kontinuerligt deriverbr och f (x) 0 så är också g deriverbr i punkten f (x): g(f (x)) = x g (f (x))f (x) = 1 f (g(y)) = y f (g(y))g (y) = 1 G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Exponentfunktionen e x = Sinus och cosinus n=0 x n n! e x+y = e x e y, e 0 = 1, e x 0 d dx ex = e x x e x x m =, x m e x = 0 x sin(x) = 1 ( e ix e ix) 2i cos(x) = 1 ( e ix + e ix) 2 d d sin(x) = cos(x), cos(x) = sin(x) dx dx G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

12 Logritmfunktionen ln(e x ) = x, x R e ln(x) = x, x > 0 d dx ln(x) = 1 x x Allmänn exponenter Av dett följer tt d dx x = d ln(x) x α = x 0+ x α ln(x) = 0, α > 0 b = e b ln(), > 0 dx ex ln() = e x ln() ln() = x ln() då > 0 d dx x = d dx e ln(x) = e ln(x) d dx ln(x) = x 1 x = x 1 då x > 0 Om b > 0 är 0 b = 0 och om b = m n där n är udd kn mn definier b = (sign() 1 n ) m då 0 där sign () = +1 då > 0 och 1 då < 0. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Arcusfunktioner rcsin(sin(x)) = x, x [ π 2, π 2 ] sin(rcsin(x)) = x, x [ 1, 1] d dx rcsin(x) = 1, x ( 1, 1) 1 x 2 rctn(tn(x)) = x, x ( π 2, π 2 ) tn(rctn(x)) = x, x R d dx rctn(x) = x 2 rccos(cos(x)) = x, x [0, π] cos(rccos(x)) = x, x [ 1, 1] d dx rccos(x) = 1, x ( 1, 1) 1 x 2 G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

13 Differentilekvtion v först ordningen Om mn skll lös differentilekvtionen y (t) = y(t) kn mn gör ett försök med funktionen y(t) = e rt c och genom tt sätt in dett uttryck får mn re rt c = e rt c. Eftersom e rt 0 och mn kn nt tt c 0 får mn r = och mn kn vis tt vrje lösning kn skrivs i formen y(t) = e t c. Om y(0) är given kn mn skriv lösningen i formen y(t) = e t y(0). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Differentilekvtion v ndr ordningen Om mn skll lös differentilekvtionen y (t) + y (t) + by(t) = 0 kn mn gör ett försök med funktionen y(t) = e rt och genom tt sätt in dett uttryck får mn r 2 e rt + re rt + be rt = 0. Eftersom e rt 0 och får mn den krkteristisk ekvtionen r 2 + r + b = 0. Antg tt lösningrn är r 1 och r 2. Eftersom ekvtionen är linjär (så tt summn v två lösningr också är en lösning) så är den llmänn lösningen y(t) = c 1 e r 1t + c 2 e r 2t y(t) = c 1 e r 1t + c 2 te r 1t om r 1, r 2 Rr 1 r 2, om r 1 = r 2 R, y(t) = c 1 e αt cos(βt) + c 2 e αt sin(βt) om r 1, r 2 = α ± iβ. Om tex. y(0) och y (0) är givn kn mn bestämm c 1 och c 2. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

14 Linjär differentilekvtionssystem Om mn skll lös differentilekvtionssystemet, där A är en m m mtris, Y (t) = AY (t) kn mn gör ett försök med funktionen Y (t) = e rt X och genom tt sätt in dett uttryck får mn re rt X = e rt AX och eftersom e rt 0 måste r och X uppfyll ekvtionen rx = AX. Om X 0 så är r ett egenvärde för A och X en egenvektor. Eftersom ekvtionen är linjär är också m Y (t) = c j e λ j t X j, j=1 en lösning där λ j är A:s egenvärden och X j motsvrnde egenvektor. Om egenvektorern X 1,..., X m är linjärt oberoende kn vrje lösning skrivs i denhär formen. Lösningen kn också skrivs i formen Y (t) = e At Y (0) där e At = n j=0 1 n! (At)n. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Extremvärden Ifll f : [, b] R är kontinuerlig så finns det tl x 1 och x 2 [, b] så tt f (x 1 ) f (x) f (x 2 ), x [, b], x 1, x 2 {} {b} { x (, b) : f är inte deriverbr i punkten x } Lokl extremvärden { x (, b) : f (x) = 0 } Ifll f : (, b) R är deriverbr, x 0 (, b), f (x 0 ) = 0 och f (x 0 ) > 0 så finns det ett tl δ > 0 så tt f (x) f (x 0 ) då x x 0 < δ och x (, b). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

15 Extremvärden i öppn intervll Ifll f : (, b) R är kontinuerlig och det finns ett tl x 0 (, b) så tt f (x 0 ) x + f (x) och f (x 0 ) x b f (x) så finns det ett tl x 1 (, b) så tt f (x 1 ) f (x), x (, b), x 1 { x (, b) : f är inte deriverbr i punkten x } { x (, b) : f (x) = 0 } G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Newton-Rphsons metod Om mn vill lös ekvtionen f (x) = 0 och hr en pproximtion till lösningen kn mn välj x n+1 = x n + h så tt och då får mn f (x n+1 ) = f (x n + h) f (x n ) + f (x n )h = 0 x n+1 = x n f (x n) f (x n ). Ifll f (x) C och f (x) c > 0 så konvergerr metoden snbbt vilket den gör om f är två gånger kontinuerligt deriverbr, lösningen x är sådn tt f (x ) 0 och x 0 x är tillräckligt litet. Men i llmänhet finns det ing grntier för tt metoden skll konverger. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

16 Fixpunktsitertion För tt lös ekvtionen x = g(x) kn mn välj x 0 och räkn x n+1 = g(x n ), n 1. Tlföljden (x n ) konvergerr åtminstone om g (t) K < 1. Feluppskttning Om mn för tt lös ekvtionen f (x) = 0 på något sätt beräknt pproximtionern x 0, x 1, x 2,... och vill bestämm lösningen med noggrnnheten δ så kn mn slut då f (x n δ)f (x n + δ) < 0 eller då ntingen f (x n δ)f (x n ) < 0 eller f (x n )f (x n + δ) < 0. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 f (x) = O(g(x) Uttrycket f (x) = O(g(x)) betyder tt det finns en konstnt C så tt f (x) C g(x) (då x (, b), eller x x 0 är tillräckligt litet, x är tillräckligt stort eller något motsvrnde beroende på smmnhnget). f (x) = O(f (x)) f (x)o(g(x)) = O(f (x)g(x)) ( ) O(g(x)) g(x) = O f (x) f (x) f (x) = O(g(x)) O(f (x)) + O(g(x)) = O(g(x)) f (x) = O(g(x)) O(f (x) + g(x)) = O(g(x)) G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

17 Tylorutveckling Om f är k + 1 gånger deriverbr så är f (x) = f () + f ()(x ) + f () 2 (x )2 + f () (x ) 3 + 3!... + f (k) () (x ) k + f (k+1) (t) k! (k + 1)! (x )k+1, där (t )(x t) > 0 dvs. t ligger melln och x och uttrycket f () + f ()(x ) f (k) () k! (x ) k är funktionens f Tylorpolynom med grdtlet k i punkten. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Någr Tylorutvecklingr e x = 1 + x + x x 3 sin(x) = x x x k k! + O(x k+1 ) ( 1)n x 2n+1 (2n + 1)! + O(x 2n+3 ) cos(x) = 1 x 2 x 2n ( 1)n 2 (2n)! + O(x 2n+2 ) ln(1 + x) = x x x x k ( 1)k+1 k + O(x k+1 ) Tylorutvecklingen är entydig Om f är k gånger kontinuerligt deriverbr och f (x) = c 0 + c 1 (x ) + c 2 (x ) c k (x ) k + O ((x ) k+1) så är c 0 = f (), c 1 = f (), c 2 = f () 2!,..., c k = f (k) (). k! G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

18 l Hopitls regel I Om f och g är deriverbr, f () = g() = 0, g (x) 0 då x så gäller f (x) x g (x) = L f (x) x g(x) = L. Här är L [, ] och på kn ersätts med +,, eller +. l Hopitls regel II Om f och g är deriverbr, x g(x) =, g (x) 0 då x så gäller f (x) x g (x) = L f (x) x g(x) = L. Här är L [, ] och på kn ersätts med +,, eller +. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Antiderivt eller integrlfunktion f (x) dx = F (x) + C F (x) = f (x) och mn säger då tt F är funktionens f ntiderivt eller integrlfunktion. Observer tt mn lltid kn dder en konstnt till ntiderivtn. Någr exempel e x dx = e x + C x dx = x +1 + C, 1, dx = ln( x ) + C x sin(x) dx = cos(x) + C, cos(x) dx = sin(x) + C f (x) dx = F (x) + C f (x + b) dx = 1 F (x + b) + C G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

19 f (x) dx, informell definition Om f (x) 0 då x [, b] så är f (x) dx ren v området under f (x) melln och b. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Trppfunktioner En funktion f : R R är en trppfunktion om den kn skrivs i formen m f (x) = c j 1 [j 1, j )(x), j=1 där < 0 < 1... < j 1 < j <... m <, c 1 0, c m 0, c j c j+1 då j = 1, 2..., m 1 och { 1, x Ω, 1 Ω (x) = 0, x / Ω. Observer tt en trppfunktion br kn skrivs på ett sätt i formen m j=1 c j1 [j 1, j ) så tt villkoren ovn är uppfylld. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

20 f (x) då f är en trppfunktion Om f = m j=1 c j1 [j 1, j ) är en trppfunktion så är f (x) dx = m c j m([ j 1, j ) (, b)) j=1 där m(i) är längden v intervllet I dvs. ren under f beräkns som en summ v ren v rektnglr (med minustecken om de ligger under x-xeln). Nästn överllt Ett påstående sägs gäll nästn överllt om det gäller för ll punkter utom de x som hör till en mängd A vrs mått är 0, dvs. är sådn tt det för vrje tl ɛ > 0 finns intervll I j så tt A j=1 I j och j=1 m(i j) < ɛ (där m(i) är längden v intervllet I). G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 f (x) dx Om f : (, b) R ( < b ) är sådn tt det finns en följd (g n ) n=1 trppfunktioner så tt n g n (x) = f (x) nästn överllt i (, b), n=1 g n(x) g n+1 (x) dx <, så är f integrerbr och f (x) dx = n g n(x) dx. Kommentr I För tt denn definiton skll vr förnuftig bör mn vis tt om f (x) = 0 nästn överllt så är n g n(x) dx = 0. Kommentr II Med definitionen ovn är en funktion f integrerbr om och endst om funktionern f + = mx{0, f } och f = mx{0, f } är integrerbr. Dett är inte fllet med diverse ndr definitioner för integrler v obegränsde funktioner eller integrler över oändligt lång intervll. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

21 Kommentr III Vrje lite också förnuftig funktion är sådn tt den är gränsvärdet nästn överllt v en följd trppfunktioner (och då säger mn tt funktionen är mätbr) och mn kn vis tt frågn om funktionen är integrerbr då br gäller huruvid f (x) dx får ett ändligt värde, vilket är det smm som tt min{n, f (x) }1 [ n,n](x) dx C för ll n där C är en konstnt som inte beror på n. För tt vis dett kn mn oft nvänd den sk. mjorntprincipen. Om f är mätbr, f (x) 0 men inte integrerbr kn mn skriv f (x) dx = +. Mjorntprincipen Funktionen f : (, b) R är integrerbr ifll n g n(x) = f (x) nästn överllt i (, b) där funktionern g n är trppfunktioner och det finns en funktion h som är integrerbr i (, b) så tt f (x) h(x) nästn överllt. När mn nvänder mjorntprincipen är det oft viktigt tt vet tt dx < α < 1 och x α 1 1 dx < α > 1. x α G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Två specilfll f (x) dx = 0 och f (x) dx = b f (x) dx Egenskper hos integrler c f (x) dx + b ( αf (x) + βg(x) Om < b gäller dessutom f (x) dx = ) dx = α f (x) g(x), x (, b) f (x) dx f (x) dx c f (x) dx f (x) dx + β g(x) dx f (x) dx g(x) dx G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

22 Ifll Monoton konvergens funktionern f n, n = 1, 2,... är integrerbr i (, b), f 1 (x) f x (x)... nästn överllt i (, b), n f n (x) = f (x) nästn överllt i (, b) sup n 1 f n(x) dx <, så är f integrerbr i (, b) och f (x) dx = n f n(x) dx. Ifll Begränsd konvergens funktionern f n, n = 1, 2,... är integrerbr i (, b), n f n (x) = f (x) nästn överllt i (, b) det finns en funktion g som är integrerbr i (, b) så tt f n (x) g(x) nästn överllt i (, b) för ll n 1, så är f integrerbr i (, b) och f (x) dx = n f n(x) dx. G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44 Anlysens huvudsts Ifll f är kontinuerlig i intervllet [, b] (och < < b < ) så är d dx x f (t) dt = f (x), x (, b) Om F är kontinuerligt deriverbr i ett intervll som innehåller (, b) och < < b < så är F (x) dx = / b F (x) = F (b) F (). Anlysens huvudsts, version II Om f är integrerbr i (, b), x c f (t) dt = F (x) för ll x (, b) där c (, b) så är f (t) dt = / b F (x) def = F (x) F (x). x b x + G. Gripenberg (TKK) Mt Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november / 44

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Föreläsning 8: Extrempunkter

Föreläsning 8: Extrempunkter Krlstds universitet Mtemtik Nicls Bernhoff Repetition: Bestämd integrl: Räkneregler: Föreläsning 8: Extrempunkter f(x)dx = [F(x)] b =F(b) F(), där F (x) = f(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. f(x)dx=0 f(x)dx= kf(x)dx=k

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik

Läs mer

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014 LMA222a Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 17 februari 2014 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematisk analys 17 februari 2014 1 / 68 Outline 1 Lite

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

Reliability analysis in engineering applications

Reliability analysis in engineering applications Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion.

avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Ordlista 1 1 Analysens grunder avbildning En avbildning är i matematiskt språk i regel detsamma som en funktion. Bolzano-Weierstrassegenskapen En delmängd M i ett metriskt rum har Bolzano- Weierstrass-egenskapen

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Modul 1 Mål och Sammanfattning Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016-2017 Lars Filipsson Modul 1 Mål och Sammanfattning 1. Reella tal. 1. MÅL FÖR MODUL 1 Känna till talsystememet och kunna använda notation

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet Kapitel 2 Lipschitz-kontinuitet Vi börjar med att presentera den formella definitionen av gränsvärde och kontinuitet. Vi presenterar sedan en variant av kontinuitet som är lättare att använda och som ger

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009

Sommarmatte. Matematiska Vetenskaper. 8 april 2009 Innehåll Sommrmtte del Mtemtisk Vetenskper 8 pril 009 5 Ekvtioner och olikheter 5. Komple tl............ 5.. Algebrisk definition, imginär rötter....... 5.. Geometrisk representtion, polär koordinter...

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips

TNA004 Analys II. för ED, KTS, MT. Lektionsuppgifter med kommentarer/lösningstips TNA004 Anlys II för ED, KTS, MT Lektionsuppgifter med kommentrer/lösningstips VT 06 TNA004, Anlys II - Lektion Denn lektion hndlr om beräkning v reor och kurvlängd.. Areberäkning Aren melln två funktionskurvor,

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer