Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Transkript

1 Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 2 John Lindström 3 ugusti 217 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 1/22 Grundläggnde begrepp Stokstisk vribel Snnolikhetsfunktion Norml Grfisk presenttion Normlfördelningsplot John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 2/22 Grundläggnde begrepp Stokstisk vribel Snnolikhetsfunktion Norml Grfisk presenttion Normlfördelningsplot John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 3/22

2 Numerisk beskrivning v dt Medelvärde (Kp. 2.2) x = 1 n (x 1 + x x n ) Medelvärdet nger tyngdpunkten för observtionern. Vrins (Kp. 2.2) s 2 = 1 ((x 1 x) 2 + (x 2 x) 2 ) (x n x) 2) n 1 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 4/22 Grundläggnde begrepp (Kp. 3.1) Utfll resulttet v ett slumpmässigt försök. Bet. ω 1, ω 2,... Händelse en smling v ett eller fler utfll. Bet. A, B,... Utfllsrum mängden v möjlig utfll. Bet Ω Kolmogorovs xiomsystem (Kp. 3.2) P(A) 1 En snnolikhet är ett tl melln och 1 P(Ω) = 1 Snnolikheten tt något skll händ är 1 P(A B) = P(A) + P(B) Om och endst om A och B är oförenlig John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 5/22 (Kp ) Händelsern A och B är oberoende v vrndr P(A B) = P(A)P(B) Obs. Skilj melln oberoende och oförenlig. Kn två oberoende händelser vr oförenlig? Läs själv Byes Sts. John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 6/22

3 Exempel II Kst 3 tärningr vd är snnolikheten tt få: 1. All (3 stycken) 3:or? 2. Ing 5:or? 3. Minst ett udd (1:, 3:, 5:) nummer? John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 7/22 Grundläggnde begrepp Stokstisk vribel Snnolikhetsfunktion Norml Grfisk presenttion Normlfördelningsplot John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 8/22 Stokstisk vribel (Kp ) En stokstisk vribel eller slumpvribel är ett tl vrs värde styrs v slumpen. Bet. X, Y,.... John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 9/22

4 Snnolikhetsfunktion (Kp ) För en diskret s.v. X definiers snnolikhetsfunktionen som p X (k) = P(X = k) Någr egenskper: p X (k) 1, eftersom det är snnolikheter b P( X b) = p X (k) ll k k= p X (k) = 1. Slh tt X skll nt något värde är 1. John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 1/22 (Kp ) En kontinuerlig s.v X hr i stället en täthetsfunktion f X. P(X A) = f X dx A Någr egenskper: f X P( X b) = b f X dx f X dx = 1. Slh tt X skll nt något värde är 1. John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 11/22 (Kp. 3.4) För tt räkn ut snnolikheter behöver mn summer p X (k) eller integrer f X. Det kn därför vr nvändbrt tt h en fördelningsfunktion (borde het kumultiv förd.funk.) F X = P(X x) Någr egenskper: F X 1, eftersom det är en snnolikhet F X är växnde. Diskret Kontinuerlig F X = k x p X (k) F X = x p X (k) = F X (k) F X (k 1) f X = d dx F X f X (t) dt John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 12/22

5 Diskret b P( < X b) = p X(k) P( < X b) = F X(b) F X() k=+1 p X (k) F X P( < X b) = b b k k b f X dx Kontinuerligt P( < X b) = F X(b) F X() f X F X b x b x John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 13/22 Väntevärde, E(X), μ, μ X, m,... (Kp. 3.5) Väntevärdet nger tyngdpunkten för fördelningen och kn tolks som det värde mn får i medeltl i lång loppet. { E(X) = xf X dx Kont. k kp X(k) Diskr. Vrins, V(X), σ 2, σ 2 X (Kp. 3.5) Vrinsen nger hur utspridd X är kring sitt väntevärde. [ ] } 2 V(X) = E{ X E(X) = E(X 2 ) E(X) 2 Stndrdvvikelse:, D(X), σ, σ X D(X) = V(X) John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 14/22 Exempel Antg tt X hr täthetsfunktionen f X = 1 2 e x/2, x. Bestäm: 1. en F X. 2. Snnolikheten P(2 X 4). 3. Väntevärdet E(X). 4. Medinen x.5. John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 15/22

6 Grundläggnde begrepp Stokstisk vribel Snnolikhetsfunktion Norml Grfisk presenttion Normlfördelningsplot John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 16/22 Normlfördelning (Kp. 3.6) Beteckning: X N(μ, σ 2 ) : f X = 1 (x μ) e 2σ 2, 2 < x < 2πσ 2.5 µ = 4.15 σ = 2 σ = 1 f X f X µ = µ = 1 σ = x x John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 17/22 fördelning (Kp ) Beteckning: X log N(μ, σ 2 ) ln(x) N(μ, σ 2 ) : f X = 1 x (ln μ) 2πσ 2 e 2σ 2, 2 < x < µ = σ = σ =.2 µ = 1 1 σ = µ = John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 18/22

7 Normplot Grundläggnde begrepp Stokstisk vribel Snnolikhetsfunktion Norml Grfisk presenttion Normlfördelningsplot John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 19/22 Normplot En empirisk fördelningsfunktion konstruers genom tt sorter de n mätvärden och plott mätvärde i mot i/n. Vid ett givet x-värde kn mn då vläs ndelen mätvärden som är mindre än dett x. Denn kn jämförs med en fördelningsfunktion. snnolikhet / reltiv frekvens för mjölkpketen, Normlfördelning Volym [l] Mtlb: stirs(sort, (1:length)/length) John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 2/22 Normplot Vnligt är tt mn sklr om xlrn i den empirisk fördelningsfunktionen så tt en given fördelnings fördelningsfunktion blir en rät linje. T.ex en normlfördelningsplot. Denn är nvändbr för tt se om dtmterilet pssr den givn fördelningen. snnolikhet / reltiv frekvens Mjölkpketen i en ett normlfördelningsdigrm Volym [l] Mtlb: normplot qqplot(exprnd(1,1,1), expinv((1:1e3)/1e3)) John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 21/22

8 Normplot Exempel normplot (Kp ) Probbility Norml Probbility Plot 2 2 Dt Probbility Norml Probbility Plot Dt Probbility Norml Probbility Plot Dt John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 22/22