MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
|
|
- Anton Svensson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik 2 Slumpvriler Väntevärde Vrins Kvntiler Viktig diskret fördelningr Viktig kontinuerlig fördelningr Centrl gränsvärdesstsen 3 Tvådimensionell slumpvriler och fördelningr Kovrins och korreltion Normlfördelning G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 1 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 2 / 34 Vd är snnolikhet? Reltiv frekvens vid upprepningr: Om en frik tillverkt exemplr v en produkt v vilk 5015 hr något fel så är snnolikheten för en felktighet Andelen fll då ett något förekommer: Om i en urn finns 6 svrt och 4 vit kulor och mn slumpmässigt väljer en kul så är snnolikheten tt den är svrt = 0.6. Ett mått på hur troligt mn nser något vr: Snnolikheten för hård vind imorgon är 70%. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 3 / 34 Snnolikhet, händelser, utfllsrum Mängden v ll tänkr resultt v ett experiment eller ett slumpmässigt försök är utfllsrummet, oft etecknt med Ω. Elementen i utfllsrummet, dvs. enskild resultt v experimentet är elementrhändelser. Händelser är delmängder v utfllsrummet och när mn säger tt händelsen A inträffr, menr mn lltid tt någon elementrhändelse som hör till A inträffr. För vrje händelse A Ω finns det en snnolikhet Pr(A. Snnolikhetsfunktionen skll uppfyll följnde villkor: 0 Pr(A 1 för vrje händelse A. Pr(Ω = 1. Pr( i=1 A i = i=1 Pr(A i om A j A k = då j k. Då gäller också följnde: Pr( = 0. Pr(A B = Pr(A + Pr(B Pr(A B. Pr(Ω \ A = 1 Pr(A. A B Pr(A Pr(B. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 4 / 34
2 Oeroende Händelsern A och B är oeroende ifll Pr(A B = Pr(A Pr(B, och händelsern A j, j J är oeroende om Pr(A j1 A j2... A jm = Pr(A j1 Pr(A j2... Pr(A jm lltid då j k J, k = 1,..., m, j p j q då p q. Os! Om händelsern A j, j J är oeroende så är A jp och A jq oeroende då j p j k men om A jp och A jq är oeroende för ll j p j k så ehöver inte händelsern A j, j J vr oeroende. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 5 / 34 Betingd snnolikhet Den etingde snnolikheten för händelsen A givet händelsen B är Pr(A B = Pr(A B, Pr(B då mn ntr tt Pr(B > 0. Då händelsen B är given kn mn egräns utfllsrummet från Ω till B och räkn om snnolikhetern för händelsern A B som är delmängder v det ny utfllsrummet. Produktregeln för etingd snnolikhet Av definitionen för etingd snnolikhet följer den sk. produktregeln och mer llmänt Pr(A B = Pr(A Pr(B A, Pr(A 1... A k = Pr(A 1 Pr(A 2 A 1 Pr(A 3 A 1 A 2... Pr(A k A 1... A k 1. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 6 / 34 Totl snnolikhet Om n j=1 A j = Ω, A j A k = då j k och Pr(A j > 0 då j = 1,..., n så gäller n Pr(B = Pr(A j Pr(B A j. j=1 Vrför? Eftersom B = B Ω = n j=1 B A j och (B A j (B A k = då j k så är Pr(B = n j=1 Pr(B A j och enligt definitionen är Pr(A j Pr(B A j = Pr(B A j. Byes formel Om n j=1 A j = Ω, A j A k = då j k, Pr(B > 0 och P(A j > 0, j = 1,..., n så gäller Vrför? Pr(A k B = Pr(A k Pr(B A k n j=1 Pr(A j Pr(B A j. Pr(A k B = Pr(A k B, Pr(B Pr(A k Pr(B A k = Pr(A k B och n Pr(A j Pr(B A j = Pr(B. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 7 / 34 j=1 Klssisk snnolikhet och komintorik Pr(A = Antl fll då A inträffr Totl ntlet möjlig fll Mn ntr lltså tt vrje elementrhändelse är lik snnolik och prolemet lir tt estämm hur mång element det det finns i utfllsrummet Ω och hur mång v dess hör som till mängden A. Produktprincipen Om i en urvlsprocess finns k steg och i steg j finns n j lterntiv, oeroende v vilk vl som gjorts i tidigre steg (men vilk lterntiven är kn ero på vlen så är det totl ntlet lterntiv n 1 n 2... n k. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 8 / 34
3 Permuttioner, inomilkoefficienter etc. Om det i en mängd finns n element kn dess ordns på olik sätt. (Kom ihåg: 0! = 1 n! = (n 1 n, Om mn ur en mängd med n element väljer k element och ektr i vilken ordning elementen väljs, kn dett görs på n! n (n 1... (n k + 1 = (n k! olik sätt. Om mn ur en en mängd med n element väljer en delmängd med k element, dvs. inte ektr i vilken ordning elementen väljs, kn dett görs på ( n = k n! k!(n k!, olik sätt. Av dethär följer tt om ett experiment uppreps n gånger så tt händelser vid olik gånger är oeroende så är snnolikheten för tt händelsen A inträffr exkt k gånger ( n k Pr(A k ( 1 Pr(A n k. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 9 / 34 Plock kulor med eller utn återläggning Antg tt i en urn finns s svrt och v vit kulor och tt vi plockr n kulor ur urnn. ( Om vi för vrje kul noterr vilken färg den hr och sedn lägger den tillk i urnn så nvänder vi återläggning. Snnolikheten tt vi s plockr en svrt kul är s+v och för en vit är den v s+v så tt snnolikheten tt vi plockr k svrt och n k vit i en viss given ( k ( n k ordning är s v s+v s+v och då är snnolikheten tt vi plockr k svrt och n k vit i vilken ordning som helst ( ( n s k ( v n k. k s + v s + v ( Om vi däremot inte nvänder återläggning så kommer snnolikheten tt vi plockr en svrt kul tt ero på vilk kulor vi redn plockt och ( snnolikheten tt vi plockr k svrt och n k vit är s ( k v n k eftersom vi kn plock k svrt lnd s svrt på ( s ( s+v n olik sätt och n k vit lnd v vit på ( v n k olik sätt. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 10 / 34 k Slumpvriler och fördelningsfunktioner En (reell slumpvriel (eller stokstisk vriel är en funktion X : Ω R (lltså inte egentligen en vriel där Ω är ett utfllsrum för ett experiment i vilken en snnolikhet är definierd och { ω Ω : X (ω t } är en händelse för ll t R. Om X är en (reell slumpvriel så är dess (kumultiv fördelningsfunktion funktionen F X (t = Pr(X t = Pr ( { ω Ω : X (ω t }. En funktion F : R [0, 1] är en fördelningsfunktion om och endst om 0 F (s F (t 1 då s < t, lim t F (t = 0 och lim t F (t = 1, lim s t+ F (s = F (t då t R. När F är en fördelningsfunktion för X så gäller dessutom tt F (t F (s = Pr(s < X t då s < t, lim s t F (s = Pr(X < t, lim s t+ F (s lim s t F (s = F (t lim s t F (s = Pr(X = t. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 11 / 34 Os! Uttryck som X t och X < t är formellt sett inte händelser (dvs. delmängder i Ω men mn skriver oftst Pr(X t istället för det längre uttrycket Pr ( { ω Ω : X (ω t }. Oeroende slumpvriler De (reell slumpvrilern X j, j J definierde i smm utfllsrum är oeroende om händelsern { X j j }, j J är oeroende för ll j R, j J och då är också händelsern { X j A j }, j J oeroende för ll Borel mängder A j. En slumpvriels snnolikhetsfördelning Slumpvrielns X : Ω R snnolikhetsfördelning (eller r fördelning är snnolikhetsfunktionen Pr X (A = Pr(X A där A R är sådn tt { ω Ω : X (ω A } är en händelse dvs. mängden reell tl är utfllsrummet och snnolikhetern för dess händelser definiers med funktionen Pr X. Om slumpvrielns X fördelning är tex. den sk. normlfördelningen med prmetern µ och σ 2 så skriver mn dess fördelningsfunktion som F N(µ,σ 2 istället för F X. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 12 / 34
4 Diskret slumpvriler En (reell slumpvriel X är diskret om det finns en mängd A R och positiv tl f X (, A så tt Kontinuerlig slumpvriler En slumpvriel X är kontinuerlig om fördelningsfunktionen är kontinuerlig, dvs. om Pr(X = = 0 för ll R. Oftst ntr mn ändå tt slumpvrieln X hr en täthetsfunktion f X så tt F X (t = f X (. t A Dett inneär tt Pr(X = = f X ( då A och A f X ( = 1 så tt Pr(X / A = 0 och mängden A innehåller högst numrerrt mång element och vi kn nt tt f X (t = 0 då t / A. Funktionen f X är frekvensfunktionen eller snnolikhetsfunktionen för X. F X f X F X (t = t f X (s ds. Dett inneär tt f X (s 0 och f X (s ds = 1. F X F X ( F X ( f X Pr( X = Pr( < X < = F X ( F X ( = f X (s ds. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 13 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 14 / 34 Väntevärde Om X är en diskret slumpvriel med frekvensfunktion f X så är dess väntevärde E(X = Pr(X = = f X (, och om X är en kontinuerlig slumvriel med täthetsfunktion f X så är dess väntevärde E(X = sf X (s ds, i åd fllen förutstt tt summn eller integrlen existerr (dvs. >0 f X ( < eller <0 f X ( < och 0 tf X (t dt < eller 0 t f (t dt <, i nnt fll skriver mn E(X = NN och säger tt slumpvrieln inte hr något väntevärde. Väntevärdet v en funktion v en slumpvriel Om X är en diskret slumpvriel och g är en mätr funktion så är E(g(X = g( Pr(X = = g(f X ( och om X är en kontinuerlig slumpvriel med täthetsfunktion f X så är E(g(X = g(sf X (s ds. Om g(t = 1 då t A och g(t = 0 nnrs (och då skriver mn oft g = 1 A så är E(g(X = Pr(X A, dvs. också snnolikheter kn skrivs som väntevärden. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 15 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 16 / 34
5 Vrins och stndrdvvikelse Om slumpvrieln X hr ett väntevärde så är dess vrins och dess stndrdvvikelse är on Vr(X = σ 2 X = E ( (X E(X 2, D(X = σ X = Vr(X. (Oserver tt vrinsen ldrig är negtiv! Fördelen med stndrdvvikelsen är tt den hr smm enhet som X och tt D(αX = α D(X då α är något reellt tl medn Vr(αX = α 2 Vr(X och Vr(X hr enheten m 2 om X tex. hr enheten m (men vrinsen hr ndr stor fördelr. Väntevärdet är linjärt och monotont Ifll X 1 och X 2 är två slumpvriler (definierde i smm utfllsrum, som hr ändlig väntevärden och c 1 och c 2 är reell tl så är E(c 1 X 1 + c 2 X 2 = c 1 E(X 1 + c 2 E(X 2, och om dessutom Pr(X 1 X 2 = 1 så är E(X 1 E(X 2. En följd v dethär är tt (där 1 är en slumpvriel som får värdet 1 med snnolikheten 1 Vr(X = E ( (X E(X 2 = E ( X 2 2X E(X + E(X 2 = E(X 2 2E(X E(X + E(X 2 E(1 = E(X 2 E(X 2. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 17 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 18 / 34 Vrinsen v summn v två slumpvriler Ifll X 1 och X 2 är oeroende slumpvriler (definierde i smm utfllsrum så är Vr(c 1 X 1 + c 2 X 2 = c 2 1 Vr(X 1 + c 2 2 Vr(X 2, om c 1 och c 2 är reell tl och i llmänhet (förutstt tt vrinsern är ändlig gäller Vr(c 1 X 1 + c 2 X 2 = c 2 1 Vr(X 1 + 2c 1 c 2 E ( (X 1 E(X 1 (X 2 E(X 2 + c 2 2 Vr(X 2. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 19 / 34 Kvntiler Antg tt X är en slumpvriel med fördelningsfunktion F X och 0 < p < 1. Om F X hr en invers funktion så är x p = F 1 X (p slumpvrielns X och dess fördelnings p-kvntil. I llmänhet är x p en p-kvntil ifll Medinen är en 0.5-kvntil. Pr(X < x p p Pr(X x p, Pr(X > x p 1 p Pr(X x p. Kvntilern är inte nödvändigtvis entydig men de existerr lltid. Oft väljer mn som p-kvntil mittpunkten på intervllet med ll p-kvntiler x 0.4 [ 1, 1] x q = 2, q [0.5, 0.9] G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 20 / 34
6 Kvntiler, forts. I mång eräkningr i sttistik ildr vi först en testvriel U, vrs fördelningsfunktion F U och täthetsfunktion f U vi känner till (åtminstone pproximtivt. Sedn estämmer vi tl och så tt Pr(U < = p och Pr(U > = p där vnligtvis p = p men ilnd är det en tlet 0. Om fördelningsfunktionen F U hr en invers funktion så får vi = F 1 U (p och = F 1 U (1 p 1 p f U F U p p p Med hjälp v dess tl och och definitionen v testvrieln kn vi sedn räkn ut det vi verkligen är intresserde v. Ifll U som här är kontinuerlig så är Pr(U < = Pr(U och Pr( U = Pr( < U < = 1 p p. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 21 / 34 Någr viktig diskret slumpvriler och ders fördelningr Jämn diskret fördelning: Pr(X = x i = 1 n, i = 1, 2,..., n och mn ntr tt x i x j då i j. Bernoullifördelning X Bernoulli(p, 0 p 1: Pr(X = 1 = p, Pr(X = 0 = (1 p dvs. X (ω = 1 då ω A Ω och X (ω = 0 då ω Ω \ A där Pr(A = p. E(X = p och Vr(X = p(1 p. Binomilfördelning X Bin(n, p, n 0, 0 p 1: ( n Pr(X = k = p k (1 p n k, k = 0, 1,..., n. k X är summn v n oeroende Bernoulli(p-fördelde slumvriler, dvs. experimentet uppreps n gånger med oeroende resultt och händelsen A, med snnolikheten p inträffr X gånger. E(X = np och Vr(X = np(1 p. Poisson-fördelning X Poisson(λ, λ 0: λ λk Pr(X = k = e, k = 0, 1, 2,.... k! Fås som gränsvärde v inomilfördelningen då n och np λ. E(X = Vr(X = λ. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 22 / 34 Någr viktig diskret slumpvriler och ders fördelningr, forts. Hypergeometrisk fördelning X HyperGeom(N, r, n 0 n, r N: ( r N r k( Pr(X = k = n k ( N n. Om mn plockr n kulor ur en urn som innehåller r vit och N r svrt kulor så är X ntlet vit kulor mn plockt. E(X = nr N, Vr(X = nr N N r N N n. N 1 Geometrisk fördelning X Geom(p: Pr(X = k = (1 p k 1 p, k 1. Ett experiment uppreps tills händelsen A med snnolikheten p hr inträfft och X är ntlet upprepningr. E(X = 1 1 p och Vr(X = p. p 2 Negtiv inomilfördelning X NegBin(p, r, 0 < p 1, r 1: Ett experiment uppreps tills händelsen A med snnolikheten p hr inträfft r gånger och X är ntlet upprepningr, dvs. X är summn v r oeroende Geom(p-fördelde ( slumpvriler. n 1 Pr(X = n = p r (1 p n r. r 1 E(X = r r(1 p p, och Vr(X =. p 2 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 23 / 34 Någr viktig kontinuerlig slumpvriler och ders fördelningr Likformig kontinuerlig fördelning (där < < < : { 1 f X (t =, t, 0, t < eller t >. E(X = ( + och Vr(X = 12 ( 2. Normlfördelning X N(µ, σ 2 : f x (t = 1 σ (t µ 2 2π e 2σ 2. E(X = µ, Vr(X = σ 2 (, och F N(µ,σ 2 (t = F t µ N(0,1 σ Exponentilfördelning X Exp(λ, λ > 0: { λe λt, t 0, f X (t = F X (t = 1 e λt, t 0. 0, t < 0, E(X = 1 λ och Vr(X = 1 λ 2. Oserver tt som prmeter oft nvänds väntevärdet µ = 1 λ. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 24 / 34.
7 Smndet melln Poisson- och exponentilfördelningen Kunder nländer till en servicepunkt med oeroende och Exp(λ-fördelde intervll om och endst om ntlet kunder som kommer inom ett intervll med längden T är en slumpvriel som hr en Poisson(λT -fördelning och ntlet kunder som nländer inom disjunkt tidsintervll är oeroende. I dett fll är väntevärdet längden v tidsintervllet melln två nkomsttider 1 och väntevärdet v ntlet kunder som nländer λ inom ett tidsintervll med längden T är λt. Om... < T 1 < T 0 < T 1 < T 2 <... så gäller U (,] = { j : T j (, ] } är Poisson(λ( -fördeld då < och U (1, 1] och U (2, 2] är oeroende om ( 1, 1 ] ( 2, 2 ] = om och endst om T j+1 T j oeroende och Exp(λ-fördelde för ll j. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 25 / 34 Summn v två oeroende slumpvriler mm. Antg tt X och Y är två oeroende slumpvriler så tt X hr täthetsfunktionen f X och Y hr fördelningsfunktionen F Y. (Motsvrnde resultt gäller också då X är diskret. Om och A(s B(s för ll s R så är Pr(X (, ], Y (A(X, B(X ]= = Slumpvrielns X + Y fördelningsfunktion är f X (s Pr(Y (A(s, B(s] ds f X (s ( F Y (B(s F Y (A(s ds. F X +Y (t = Pr(X + Y t = Pr(X (,, Y t X = f X (s Pr(Y t s ds = f X (sf Y (t s ds. Om Y hr täthetsfunktionen f Y så hr X + Y täthetsfunktionen f X +Y (t = f X (sf Y (t s du. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 26 / 34 Centrl gränsvärdesstsen Ifll slumpvrilern X 1, X 2,... är oeroende och hr smm fördelning så tt E(X j = µ och Vr(X j = σ 2, j = 1, 2,..., så gäller dvs. 1 n n j=1 X j µ n j=1 = j nµ σ 2 nσ 2 N(0, 1 då n, n ( n lim Pr j=1 X j nµ n nσ 2 Normlpproximtion t t = F N(0,1 (t def 1 = e 1 2 s2 ds. 2π Om X är summn v tillräckligt mång oeroende slumpvriler med ändlig vrins så är X E(X ungefär N(0, 1-fördeld. Vr(X Tvådimensionell slumpvriler och fördelningr Ifll Ω är ett utfllsrum på vilket en snnolikhetsfunktion är definierd så är (X, Y : Ω R 2 en tvådimensionell slumpvriel med fördelningsfunktion F XY (s, t = Pr(X s, Y t förutstt tt { ω Ω : X (ω s, Y (ω t } är en mängd för vilken snnolikheten är definierd. En tvådimensionell slumpvriel (X, Y är diskret och den hr frekvensfunktionen f XY (, ifll f XY (, 0 för ll och, f XY (, = 1 och Pr(X =, Y = = f XY (, för ll och. En tvådimensionell slumpvriel (X, Y är kontinuerlig och hr täthetsfunktion f XY (s, t ifll f XY (s, t 0 för ll s och t, f XY (s, t ds dt = 1 och F XY (s, t = s t f XY (u, v du dv för ll s och t. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 27 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 28 / 34
8 Mrginlfördelningr Ifll f XY (, är frekvensfunktionen för den diskret tvådimensionell slumpvrieln (X, Y så är mrginlfrekvensfunktionern för slumpvrilern X och Y f X ( = Pr(X = = f XY (, och f Y ( = Pr(Y = = Ifll f XY (s, t är täthetsfunktionen för den kontinuerlig tvådimensionell slumpvrieln (X, Y så är mrginltäthetsfunktionern för slumpvrilern X och Y f X (s = f XY (s, t dt och f Y (t = f XY (,. f XY (s, t ds. Väntevärden Om (X, Y är en tvådimensionell slumpvriel och h(x, y är en mätr funktion så är E ( h(x, Y = h(, f XY (,, då (X, Y är en diskret slumpvriel och summn existerr och E ( h(x, Y = h(s, tf XY (s, t ds dt, då (X, Y är en kontinuerlig slumpvriel med tähetsfunktion och integrl existerr. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 29 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 30 / 34 Oeroende slumpvriler Om (X, Y är en tvådimensionell slumpvriel (diskret eller kontinuerlig med täthetsfunktion så gäller X och Y är oeroende f XY (x, y = f X (xf Y (y. Om X och Y är oeroende och f och g är mätr funktioner så gäller E(f (X g(y = E(f (X E(g(Y. Kovrins och korreltion Kovrins då Vr(X < och Vr(Y < : Cov(X, Y = E ( (X E(X (Y E(Y = E(XY E(X E(Y. Korreltion eller korreltionskoefficient: Cov(X, Y Cor(X, Y =, 1 Cor(X, Y 1 Vr(X Vr(Y då 0 < Vr(X < och 0 < Vr(Y <. Om X och Y är oeroende är Cor(X, Y = 0 men om korreltionen är 0 så är X och Y inte nödvändigtvis oeroende, om inte (X, Y är normlfördeld. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 31 / 34 Betingde fördelningr Ifll (X, Y är en diskret tvådimensionell slumpvriel med frekvensfunktion f XY (, eller en kontinuerlig tvådimensionell slumpvriel med täthetsfunktion f XY (s, t så är f Y X ( = f XY (,, då f X ( > 0, f X ( den etingde frekvensfunktionen respektive täthetsfunktionen för Y givet X =. { E(Y X = = f Y X ( eller tf Y X (t dt E(Y X är en slumpvriel så tt E(Y X (ω = E(Y X = X (ω då ω Ω. E(E(Y X = E(Y. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 32 / 34
9 Den tvådimensionell normlfördelningen Slumpvrieln (X, Y är normlfördeld om vrje linjärkomintion αx + βy är normlfördeld. Om (X, Y är normlfördeld så är också X och Y normlfördelde, dvs. X N(µ X, σ 2 X och Y N(µ Y, σ 2 Y. Om (X, Y är normlfördeld och Cov(X, Y = 0 (så tt också ρ XY = Cor(X, Y = 0 så är X och Y oeroende. Om (X, Y är normlfördeld, σ 2 X > 0, σ2 Y > 0 och ρ XY ±1 så är f Y X (t s = e 2πσY 1 ρ 2 XY ( σ t µ Y ρ Y 2 XY σx (s µ X σ Y 1 ρ 2 XY dvs. ( σ (Y X = s N µ Y + ρ Y XY σ X (s µ X, (1 ρ 2 XY σ2 Y, och motsvrnde resultt gäller för (X Y = t. Ifll (X, Y är normlfördeld, σx 2 > 0, σ2 Y > 0 och ρ XY ±1 så hr (X, Y täthetsfunktionen ( 1 (t µ X 2 f XY (t, u = 1 2(1 ρ 2πσ X σ Y 1 ρ 2 e 2 XY σ X 2 + (u µ Y 2 σ Y 2 2ρ XY (t µ X (u µ Y σ X σ Y XY Os! Om (X, Y är en slumpvriel så tt X är normlfördeld och Y är normlfördeld så är inte slumpvrieln (X, Y nödvändigtvis normlfördeld. Om X och Y är oeroende normlfördelde slumpvriler så är (X, Y normlfördeld. Om X j N(µ j, σj 2, j = 1,..., n är oeroende så är ( j=1 c n jx j N j=1 c jµ j, n j=1 c2 j σ2 j. Tillk till väntevärdet Om (X, Y är normlfördeld så tt X och Y hr smm fördelning N(µ, σ 2 och korreltionskoefficienten ρ XY = Cor(X, Y ±1 så gäller E(Y X = s µ = ρxy s µ < s µ. G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 33 / 34 G. Gripenerg (Alto-universitetet MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, 6 feruri 2015 del I 34 / 34
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 2 John Lindström 3 ugusti 217 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMSF7/MASB2 F1 1/22 Grundläggnde begrepp Stokstisk vribel Snnolikhetsfunktion
Läs merStokastiska variabler
Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I
MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G Gripenberg Aalto-universitetet januari G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 26 januari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 3 och 4 HT07
Föreläsningsmnus i mtemtisk sttistik för lntmätre, veck 3 och 4 HT07 Bengt Ringnér September 5, 2007 Inledning Dett är preliminärt undervisningsmteril. Synpunkter är välkomn. 2 Stokstisk vribler En stokstisk
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.
Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merReliability analysis in engineering applications
Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q
Läs merTentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic
Tentmen TEN, HF, mj 8 Mtemtis sttisti Kursod HF Srivtid: 4:-8: Lärre och emintor : Armin Hlilovic Hjälmedel: Bifogt formelhäfte ("Formler och teller i sttisti " och miniränre v vilen ty som helst Förjudn
Läs merRepetition. Repetition. Repetition. X: slumpvariabel (s.v.) betraktas innan ett försök är genomfört. x: observerat värde efter försöket är genomfört.
X: slumpvrel (s.v.) etrkts nnn ett försök är genomfört. : oservert värde efter försöket är genomfört. En s.v. är kontnuerlg om den kn nt ll tänkr värden ett ntervll. Fördelnngsfunkton (cdf): F () = P(X
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merFöresläsningsanteckningar Sanno II
STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson Föresläsningsnteckningr Snno II 1 Gmmfunktionen I fler v vår vnlig snnolikhetsfördelningr
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merMATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS. Tentamen måndagen den 17 oktober 2016 kl 8 12
Kurskod: TAMS65 Provkod: TEN MATEMATISK STATISTIK I FORTSÄTTNINGSKURS Tentmen måndgen den 7 oktober 206 kl 8 2 Hjälpmedel: Formelsmling i mtemtisk sttistik utgiven v mtemtisk institutionen och/eller formelsmling
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merExempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler
Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat
Läs merVåra vanligaste fördelningar
Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merTentamen Programmeringsteknik II Skrivtid: Skriv läsligt! Använd inte rödpenna! Skriv bara på framsidan av varje papper.
Tentmen Progrmmeringsteknik II 014-10-4 Skrivtid: 1400 1900 Tänk på följnde Skriv läsligt! Använd inte rödpenn! Skriv r på frmsidn v vrje ppper. Börj lltid ny uppgift på nytt ppper. Lägg uppgiftern i ordning.
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merSIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH
SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merÏ x: 0 Æ 1 Ì [ ] y > 0, 0 < y <1 y växande, 0 < y < 1
Tentmensskrivning i Mtemtik IV, 5B2 Fredgen den 2 ugusti 24, kl 4-9 Hjälmedel: BETA, Mthemtics Hndook Redovis lösningrn å ett sådnt sätt tt eräkningr och resonemng är lätt tt följ Svren skll ges å reell
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merLöpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab
Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015
Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 6 13 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Mer om väntevärden och varianser (Kap. 5.2 5.3) Beroendemått (Kap. 5.4) Summor, linjärkombinationer
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 6 Johan Lindström oktober 8 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB F6 /9 Summa
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merStokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen
Stokastiska Processer F2 Föreläsning 1: Repetition från grundkursen Denna föreläsning kommer mest att vara en repetition av stoff från grundkursen. Längden på detta dokument kan tyckas vara oproportionerligt
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning Anna Lindgren 29+3 september 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F7: normalfördelning 1/18 Kovarians, C(X, Y) Repetition Normalfördelning
Läs merFöreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel
Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 3 Johan Lindström 4 september 7 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB F3 /3 fördelningsplot log- Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 31.01.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 31.01.2012 1 / 30 Flerdimensionella
Läs mer