Föresläsningsanteckningar Sanno II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Föresläsningsanteckningar Sanno II"

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson Föresläsningsnteckningr Snno II 1 Gmmfunktionen I fler v vår vnlig snnolikhetsfördelningr ingår den sk gmm-funktionen Γ(p) x p 1 e x dx vilken är definierd för ll reell p> Vi sk här smmnftt funktionens viktigste egenskper () Γ(p) (p 1)Γ(p 1) (b) Γ(1) 1 (c) För positiv heltl n gäller tt Γ(n) (n 1)! (d) Γ( 1 2 ) π För bevis se Ross sid 231 smt Theoreticl Exercise 2 på sid 241 i smm bok Iblnd kn mn h nytt v följnde pproximtion för stor p, den så kllde Stirlings formel: Γ(p + 1) 2πe p p p+ 1 2 när p vilken sk tolks så tt vänsterledet delt med högerledet går mot 1 då p Beviset överhopps

2 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson 2 Lgen om Totl Snnolikhet Låt Y 1 om A inträffr och nnrs Noter tt E(Y )P (A)Genom tt tillämp Theorem 21 i kpitel II på Y får vi följnde resultt Sts 21 () Lgen om totl snnolikhet för diskret sv X P (A) P (A X x k )p X (x k ) k1 (b) Lgen om totl snnolikhet för kontinuerlig sv X P (A) + P (A X x)f X (x)dx Den diskret delen v stsen är den vnlig lgen om totl snnolikhet (Guts formel (33) på sid 6) med H k {X x k } och n Vi hr lltså fått en kontinuerlig motsvrighet till dett resultt från grundkursen Den finns inte explicit i Gut, men ntyds i Remrk 21, sid 36, och nvänds i exempel 31, sid 41 3 Byes Sts Betrkt en tvådimensionell diskret sv (X, Y ) Om vi får vet tt X j, sk vi nturligtvis nvänd p Y Xj (k) som snnolikhetsfördelning för Y Om vi känner X s fördelning och den betingde fördelningen för X givet Y så kn revideringen från p Y (k) till p Y Xj (k) görs med Byes sts, se formel (34) i Gut Om vi där sätter in A {X j} och H k {Y k} får vi p Y Xj (k) p X Y k(j)p Y (k) i p X Y i(j)p Y (i) (1) Anm: Det är lätt tt se tt grundkursens bevis v (34) håller även då n Det är den vrinten v (34) vi nvänt ovn 2

3 Grundkursens version v Byes sts nger hur snnolikheter för disjunkt händelser sk reviders när vi får vet tt A hr inträfft (1) nger hur snnolikhetsfunktionen för Y sk reviders när vi får vet tt X j hr inträfft Hur gör vi om X och Y är kontinuerlig? Genom nvändning v definitionen v betingd täthetsfunktion får vi f Y Xx (y) f X,Y (x, y) f X (x) f X Y y(x)f Y (y) fx,y (x, t)dt f X Y y(x)f Y (y) fx Y t (x)f Y (t)dt Noter tt dett är en direkt kontinuerlig nlog till (1) och således kn betrkts som en kontinuerlig version v Byes sts Vd gör vi om X är diskret men Y är kontinuerlig? Den betingde fördelningsfunktionen blir F Y Xk (y) P (Y y, X k) P (X k) Använd nu LTS, dvs Sts 21 (b), på täljren så blir den + P (Y y, X k Y t)f Y (t)dt Derivering m p y v (3) ger nu y f Y Xk (y) P (X k Y y)f Y (y) P (X k) P (X k Y t)f Y (t)dt En ny tillämpning v LTS på nämnren ger nu resulttet i (c)-delen v följnde sts, i viken vi smmnfttr de olik vrintern v Byes sts Sts 31 Byes sts för stokstisk vribler X och Y () Om X och Y båd är diskret: p Y Xj (k) (b) Om X och Y båd är kontnuerlig: f Y Xx (y) (c) Om X är diskret och Y kontinuerlig: f Y Xk (y) p X Y k(j)p Y (k) i p X Y i(j)p Y (i) f X Y y (x)f Y (y) + f X Y t(x)f Y (t)dt P (X k Y y)f Y (y) + P (X k Y t)f Y (t)dt Ovnstående resultt tillämps fr inom Byesinsk inferens Som läsren säkert redn notert hr vi utelämnt fllet X kontinuerlig och Y diskret Det är inte svårt tt giss hur stsen sk se ut i dett fll Huvudnledningen till tt vi utelämnr det är tt det är mindre vnligt vid de nämnd tillämpningrn Resulttet i (c) kn nvänds för tt förkort klkylern i Guts två exempel på sid Verifier gärn dett själv! (2) (3) (4) 3

4 STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson 4 Flerdimensionell Normlfördelning - den klssisk definitionen I kpitel V ger Gut inte mindre än tre olik definitioner v den flerdimensionell (multivrit) normlfördelningen Trots dett skns en v de vnligste definitionern, vilken jg väljer tt kll den klssisk definitionen Låt oss först noter tt om Z är en vektor med oberoende N(, 1)- fördelde komponenter så är den simultn fördelningen för Z väldefinierd (och väkänd) Definition 41 (Den klssisk definitionen) En n-dimensionell stokstisk vektor X är (n-dimensionellt) normlfördeld, om X AZ + b där Z är en vektor med oberoende N(, 1)-fördelde komponenter, A är en n n-mtris och b är en n-vektor Antg nu tt vi vill skff oss en n-dimensionell normlfördelning med en viss, given väntevärdesvektor µ och given kovrinsmtris Λ För tt Λ verkligen sk kunn funger som kovrinsmtris krävs tt den är en symmetrisk, icke-negtivt definit (positivt semi-definit) n n-mtris Från den linjär lgebrn (kpitel V1) vet vi då tt det finns en n n-mtris Λ 1/2 sådn tt Λ 1/2 Λ 1/2 Λ Mtrisen Λ 1/2 är även den symmetrisk och icke-negtivt definit Vi får nu den önskde normlfördelningen genom tt sätt X Λ 1/2 Z + µ Från Theorem 22 följer tt E(X) µ och V r(x) Λ som önskt Vi skriver X N(µ, Λ) Noter dock tt vi egentligen inte vet ännu tt µ och Λ entydigt bestämmer den flerdimensionell normlfördelningen Det finns nämligen fler A-mtriser som ger smm kovrinsmtris AA I princip skulle mn kunn tänk sig tt dess gv olik snnolikhetsfördelningr Att så inte är fllet frmgår dock v tt den momentgenerernde funktonen endst beror v µ och Λ, i kombintion med entydighetsstsen för momentgenerernde funktioner 4

5 Resultten i Theorem 31, Remrk 41 smt Theorem 51 beviss utgående från den klssisk definitionen på ungefär smm sätt som de beviss v Gut utifrån hns definition 1 Guts definition 1 blir en sts, som brukr klls Crmér-Wolds device Stsen beviss med hjälp v den momentgenerernde funktionen Övning Vis tt nednstående båd A-mtriser ger smm kovrinsmtris AA (5) (6) 5

6 STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson 5 Konvergens i fördelning vi f(x) och p(k) d Konvergens i fördelning X n X definiers som tt FXn (x) F X (x) då n för ll x där F X är kontinuerlig, se Gut Definition 14 i kpitel VI Vi sk här presenter en sts om hur konvergens i fördelning kn viss med hjälp v snnolikhetsfunktioner resp täthetsfunktioner I stsen eftersträvr vi enkl villkor och hr därför inte gjort den så generell som möjligt Sts 51 () Om såväl X som X 1,X 2, är diskret och endst ntr ickenegtiv heltlsvärden gäller: p Xn (k) p X (k) för k 1, 2, X n d X (b) Om såväl X som X 1,X 2, är kontinuerlig och hr täthetsfunktioner gäller: f Xn (x) f X (x) x X n d X Bevis () Fördelningsfunktionen F (x) för en sv på de icke-negtiv heltlen kn skrivs som en ändlig summ v p X (k) Dett ger direkt Impliktionen åt ndr hållet följer v tt vi kn skriv p X (k) F (k+ 1 2 ) F (k 1 2 ) och k och k 1 2 är kontinuitetspunkter till F X(x) (b) Om vi ntr tt vi får kst om integrtion och lim så gäller F Xn (x) x f Xn (x)dx x f X (x)dx F X (x) Vi vstår från tt försök bevis tt den nämnd omkstningen är tillåten (men det är den) 6

7 STOCKHOLMS UNIVERSITET UPPGIFTER MATEMATISK STATISTIK 27 ugusti 23 Esbjörn Ohlsson Sk I: Övningsuppgifter till Kpitel 1 1 ) Bestäm den kumulntgenerernde funktionen för Poissonfördelningen b) Härled smtlig kumulnter för Poissonfördelningen Använd dett till tt bestämm fördelningens väntevärde och vrins 2 ) Bestäm fördelningsfunktionen F Y (x) för Y i Exempel 13 om X Exp(λ) (Exponentilfördelning med väntevärde 1/λ) Ange explicit den kontinuerlig delen F 1 (x) och den diskret delen F 2 (x) b) Bestäm exponentilfördelningens väntevärdesfunktion L() Använd den till tt bestämm E(Y )L(b) L() Du får ej nvänd resulttet i c nedn! c) Antg tt X är bsolutkontinuerlig och X > (men inte nödvändigtvis Exponentilfördeld) Vis tt L() (1 F (x))dx Kontroller tt dett uttryck stämmer genom tt än en gång bestämm L() för Exp(λ) Ledning: Prtilintegrer uttrycket ovn! Mn kn vis tt ovnstående formel gäller llmänt för positiv stokstisk vribler (även diskret) OBS! Exponentilfördelningen är sälln eller ldrig lämplig för tt modeller skdebelopp! Den nvänds här endst för tt ge enkl räkningr 3 Låt X vr en stokstisk vribel vrs kumulntgenerernde funktion existerr Bevis tt ) den först kumulnten är lik med väntevärdet µ E[X]; b) den ndr kumulnten κ 2 V r(x); c) den tredje kumulnten κ 3 E[(X µ) 3 ]

8 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATLAB MATEMATISK STATISTIK 2 september 23 Esbjörn Ohlsson 1 Sk I: Extr övningsuppgifter 11 Övning 2x ) Generer 1 Gmm-slumptl med MtLb-funktionen rndom( Gmm,1,2,1,1) b) Skp en m-fil med en funktion för gmm-fördelningens ML-ekvtion som funktion v α, se Exempel 23 smt den utdelde lösningen på Övning 45 (Denn funktion klls Score-funktionen ) c) Plott ML-ekvtionen för olik α för tt se vr nollstället ungefär befinner sig d) Hitt den numerisk lösningen till ML-ekvtionen med fzero e) Kör ditt progrm någr gånger och se efter hur långt du kommer från det snn värdet 1 på α (Du kn även test tt t ett större n än 1 om du vill) Redovis med er två m-filer och ett exempel på plot v scorefunktionen smt 5 olik värden på α från e-uppgiften Not: Om du skulle vilj koll β-värdet är det br tt vet tt MtLb hr en definition v Gmmfördelningen där 1/β hr erstt vårt β, så egentligen simulerr vi från Gmm(1,5) inte Gmm(1,2) 12 Övning 4x Härled de tre först centrlmomenten i den negtiv binomilfördelningen (Svret finns i kompendiets kpitel 4)

9 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS216 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Torsdg 4 ugusti 25 Avd Mtemtisk sttistik, ANL Extr lösningr Övningr till kpitel 1 1 ) Poissonfördelningen med prmeter λ hr momentgenerernde funktion M(t) exp(λ(e t 1)), och därmed kumulntgenerernde funktion Ψ(t) log M(t) λ(e t 1) b) Den j:te kumulnten κ j ges v κ j lim Ψ(t) λ lim dtj t et λ, för j 1, 2, t d j 2 ) Vi hr G(x) 1 e λx med beteckning som i exempel 13, s 3 4, och får därmed om x< F Y (x) 1 e λ(+x) om x<b 1 om x b om x< F 1 (x) (e λ e λ(+x) )/(e λ e λb ) om x<b 1 om x b om x< F 2 (x) (1 e λ )/(1 e λ + e λb ) om x<b 1 om x b

10 Extr lösningr, Torsdg 4 ugusti 25 2 b) c) L() E[min(X, )] xf X (x)dx + [xf X (x)] F X (x)dx + [F X (x)] (1 e λ ) x + e λx + e λ λ 1 e λ λ f X (x)dx (1 F (x))dx [x(1 F (x))] x( f(x))dx (1 F ()) + P (X >)+ L() xf(x)dx xf(x)dx Då F (x) 1 e λx får mn L() e λx dx [e λx /λ] (1 e λ )/λ 3 Låt Ψ(t) vr kumulntgenerernde funktion för X ) Ψ (t) d dt log M(t) M (t) M(t) κ 1 lim t M (t) M(t) µ 1 µ, Ψ (t) d M (t) dt M(t) M (t)m(t) M (t) 2 M(t) 2 κ 2 α 2 1 µ α 2 µ 2 Vr(X), Ψ (t) d M (t)m(t) M (t) 2 dt M(t) 2 M (t)m(t) M (t)m (t) M(t) 2 M (t) 2 M(t) d M (t) dt M(t) d dt 2 M (t) M (t)m(t) M (t) 2 M(t) M(t) 2 κ 3 α 3 α 2 µ 2µ(α 2 µ 2 )α 3 3α 2 µ +2µ 3 µ 3 (E[(X µ) 3 ]E[X 3 ] 3E[X 2 ]µ +3E[X]µ 2 µ 3 α 3 3α 2 µ +2µ 3 )

11 Extr lösningr, Torsdg 4 ugusti 25 3 Extr övningsuppgifter 4x) Den kumulntgenerernde funktionen för den negtiv binomilfördelningen ges v: Ψ(t) log M(t) log P (e t ) α log(1 + (1 e t )/β) De tre först centrlmomenten är lik med de tre först kumulntern Alltså får mn: Ψ (t) α 1 + (1 e t )/β et β αe t 1+β e t, µ 1 Ψ () α 1 + (1 e )/β e β α β, Ψ (t) αet (1 + β e t ) αe t ( e t ) (1 + β e t ) 2 µ 2 Ψ () α(1 + β) β 2, α(β + 1)et (1 + β e t ) 2, Ψ (t) α(1 + β)et (1 + β e t ) 2 α(1 + β)e t 2(1 + β e t ) ( e t ) (1 + β e t ) 4, µ 3 Ψ () α(1 + β)β2 +2α(1 + β)β β 4 α(2 + 3β + β2 ) β 3

12 1 Lemm 62 i Dhl (23) sid 5 Låt (X 1,,X i,,x n ) vr en serie okorrelerde stokstisk vribler, dvs Cov(X i,x j )om i j Antg vidre tt ll X i hr gemensmt väntevärde, säg E(X i )µ och sätt σi 2 Vr(X i ) Då får mn den bäst linjär väntevärdesriktig estimtorn (BLUE) v µ på formen i w ix i om mn låter viktern w i vr proportionell mot 1/σ 2 i, dvs där bäst betyder tt h(x 1,,X n ) i X i/σ 2 i i 1/σ2 i Vr[h(X 1,,X n )] Vr[g(X 1,,X n )] för vrje nnn linjär väntevärdesriktig estimtor g Bevis Låt g vr en nnn linjär estimtor, g i w ix i Krvet på väntevärdesriktighet gör tt i w i 1 Vi hr Vr(g) Vr(g h + h) Vr(g h)+vr(h)+ 2Cov(g h, h) Om Cov(g h, h) så är sken klr eftersom högerledet då är Vr(h) med likhet omm g h Sätt nu c 1/ i (1/σ2 i ) Då är Cov(g h, h) Cov i w i c σi 2 X i, j c σj 2 X j och eftersom X i är okorrelerde blir dett lik med w i c c σ 2 i i σi 2 Vr(X i )c w i c i i 1 σ 2 i och därmed är beviset klrt

13 Extr övning 112 För seprtionsmetoden: Vis tt summn v den npssde tringeln v skttde väntevärden i den historisk tringeln är lik med summn v den observerde tringelns B-värden (Frmtidstringeln F är således inte lls inblndd i denn uppgift)

14 Lösningr till någr uppgifter i Ptrik Dhl: Introduction to Reserving, smt till Exercise 11 i Reinsurnce (tillägg till Johnsson) Uppgift 61 Det generliserde villkoret (CL3) lyder eller Vr(C ij+1 C i 1,,C ij )C c ijσ 2 j, Vr(C ij+1 /C ij C i 1,,C ij )C c 2 ij σ 2 j Omskrivningen görs för tt få stokstisk vribler med smm väntevärde (nämligen f j ; utvecklingsåret j är ju fixt), så tt mn kn tillämp Lemm 62, som ger viktern w i σj 2 Cij 2 c k1 σ 2 j Ckj 2 c Cij 2 c k1 C2 c kj Alltså får vi ˆf j i1 w i ˆfij i1 C 2 c ij k1 C2 c kj Cij+1 C ij i1 Cij 1 c C ij+1 k1 C2 c kj i1 Cij 1 c C ij+1 i1 Cij 2 c För c fårvi ˆf j i1 C ij C ij+1 i1 Cij 2 För c 1 får vi det fll som behndls i texten: ˆf j i1 C ij+1 i1 C ij För c 2 är termern i nämnren smtlig 1, och vi får ˆf j 1 C ij+1 1 i1 C ij i1 ˆf ij (I själv verket hr ju de C ij+1 /C ij som vägs ihop i det här fllet smm vrins, så uppgiften går ut på tt sktt ett gemensmt väntevärde med hjälp v en uppsättning v i i d-vribler vilket nturligtvis görs med hjälp v det vnlig ovägd medelvärdet)

15 Uppgift 62 Frågn är något oklrt formulerd: det frmgår inte om den gäller vrinsen betingd v historiken A k, eller den obetingde vrinsen Inte heller frmgår det om det som vses ä r V r ( ˆf k A k ) (lterntivt Vr( ˆf k )), eller om det är Vr(Ĉim A k ) (lterntivt Vr(Ĉim)) Med det vnlig villkoret (CL3) hr vi ˆf k m k i1 C ik+1 m k i1 C ik Om vi betingr med A k {C ij j k} så är nämnren en konstnt, och vi får Vr( ˆf k A k ) Vr m k i1 C ik+1 A k m k 2 i1 C ik m k i1 Vr(C ik+1 A k ) m k 2, i1 C ik där den ndr likheten följer v tt skdeåren enligt (CL2) är oberoende (CL3) tt Vr(C ik+1 A k )C ik σk, 2 så vi får Vidre ger Vr( ˆf k A k ) m k i1 C ik σk 2 m k 2 i1 C ik σ 2 k m k i1 C ik Enligt (CL1 ) på sid 5 i Dhl är de enskild kvotern C ik+1 /C ik väntevärdesriktig skttningr v konstnten f k, givet A k, och därför gäller det smm för det vägd medelvärdet ˆf k Så Vr(E[ ˆf k A k ]) Vr(f k ) Den obetingde vrinsen blir därför Vr( ˆf k )E[Vr( ˆf k A k )] + Vr(E[ ˆf σ 2 k k A k ]) E m k +σ 2 1 k E i1 C m k ik i1 C ik Uppgift 81 Vi hr Cov(X, Y X) Cov(X, Y ) Cov(X, X) Cov(X, Y ) Vr(X), så tt Cov(X, Y ) Vr(X) Uppgift 82 Om mn tolkr (BF2) Un-emerged clims re independent of emerged clims som tt D ij C ij C ij 1 är oberoende v C ij 1 för j 2, 3,m, så hr vi Vr(C ij )Vr(D ij +C ij 1 )Vr(D ij )+Vr(C ij 1 )

16 Enligt (BF4) gäller för ll k m tt Vr(F ik C ik )F ik Vr(C im ), där F ik E[C im ]/E[C ik ] Eftersom F ik är konstnter kn (BF4) formulers som så tt Vr(C ik ) Vr(C im) F ik, Vr(D ij )Vr(C ij ) Vr(C ij 1 )Vr(C im ) 1 1 F ij F ij 1 Å ndr sidn är E[D ij ]E[C ij C ij 1 ]E[C ij ] E[C ij 1 ] E[C im] E[C im] 1 E[C im ] 1 F ij F ij 1 F ij F ij 1 enligt definitionen v F ij och F ij 1 Dett visr tt Vr(D ij )oche[d ij ] är proportionell, med en proportionlitetskonstnt Vr(C im )/E[C im ] som inte beror på utvecklingsåret j För tt summn i uppgiftens ndr del sk vr väldefinierd, måste vi definier D ij ä v e n för j 1, vilket vi gör genom tt sätt C i (vilket är nturligt: hr ingen tid förflutit, så hr ing skdor kommit in) och därmed D i 1 C i 1 Då får vi m m Vr(D ij ) Vr(D i 1 )+ Vr(D ij )Vr(C im ) 1 m j1 j2 F i 1 j2 F ij F ij 1 1 Vr(C im ) Vr(C im ) E[C im] F im E[C im ] Vr(C im) Uppgift 83 Eftersom F ij E[C im ]/E[C ij ] är känt ger skttningen Ĉim även skttningr och därmed skttningr Ĉ ij Ĉim F ij, ˆD ij Ĉim Ĉim 1 F ij F Ĉim 1 ij 1 F ij F ij 1 Extruppgift 112 Låt D ij vr inkrementen som i Dhl kpitel 11, med väntevärden givn v modellen E[D ij ]cn i r j λ i+j Vi låter i, 1,m 1ochj 1, 2,m, och definierr, för k 1, 2,,m, väntevärdesdigonlsummorn d k i+jk E[D ij ] n i k r j cλ i+j cλ k r j i+jk j1

17 På motsvrnde vis bildr vi de observerde digonlsummorn d obs k i+jk D ij n i i+jk B ij Som i Dhl kpitel 11 kn d obs k nvänds för tt rekursivt ge skttningr cˆλ k och ˆr k v cλ k och r k, i ordningsföljden cˆλ m,ˆr m, cˆλ m 1,ˆr m 1, Vi hr cˆλ j d obs j 1 k1 ˆr k, ˆr j i B ij i cˆλ m i Sätter vi in dess prmeterskttningr i formeln för d k så får vi de skttde digonlsummorn k ˆd k cˆλ k ˆr j Summn v den npssde tringeln v skttde väntevärden ges v m k1 ˆdk och summn v den observerde tringelns B-värden ges v m k1 d obs k, så uppgiften går ut på tt vis tt m m ˆd k d obs k Vi hr Å ndr sidn är m k1 d obs k k1 m k1 i+jk j1 k1 B ij m j1 i B ij m k1 Vilket skulle beviss m k m m m ˆd m k cˆλ kˆr j cˆλ kˆr j ˆr j cˆλ k k1 j1 j1 kj j1 kj m j1 i B ij i cˆλ m i m m cˆλ k B ij kj j1 i Exercise 11 i Reinsurnce Eftersom Stop Loss inte hr något självbehåll lls på den individuell nivån, så måste vi h r Det ggregerde självbehållet är A, smm som tröskelvärdet A i Stop Lossåterförsäkringen Eftersom det inte finns någon övre gräns för hur mycket återförsäkringsbolget betlr ut, så måste vi h (K +1) Ett nturligt vl för tt uppnå dett är K och Enligt Reinsurnce, formel (14) på sid 3 blir riskpremien i det här fllet där S är hel skdebeloppet L S ( ) L S (A) E[S] L S (A),

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Reliability analysis in engineering applications

Reliability analysis in engineering applications Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1911: Statistik för bioteknik SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion

Läs mer

Stokastiska vektorer

Stokastiska vektorer TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

Väntevärde och varians

Väntevärde och varians TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl

Läs mer

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Repetition Kovarians Stora talens lag Gauss Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 2 december 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F6 1/20 Repetition Kovarians Stora

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt Vektorddition u v u + v u + v = + = u 2 v 2 u 2 + v 2 u v u + v u + v = u 2 + v 2 = u 2 + v 2 u 3 v 3 u 3 + v 3 Multipliktion med sklär u α u α u = α = u 2 α u 2 u α u α u = α u 2 = α u 2 u 3 α u 3 Längden

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018 TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt: Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Funktioner av s.v:er, Flera stokastiska variabler. Marginell sannolikhetsfunktion och -täthetsfunktion. Oberoende sv:er, Maximum och minimum av oberoende

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: Sannolikhetslära och statistik SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

9. Konfidensintervall vid normalfördelning

9. Konfidensintervall vid normalfördelning TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag

Läs mer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

6. Flerdimensionella stokastiska variabler

6. Flerdimensionella stokastiska variabler 6 Flerdimensionella stokastiska variabler 61 Simultana fördelningar Den simultana fördelningsfunktionen av X och Y, vilka som helst två stokastiska variabler, definieras F(a,b) = F X,Y (a,b) = P(X a,y

Läs mer

Numerisk Integration En inledning för Z1

Numerisk Integration En inledning för Z1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M

Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

N atom m tot. r = Z m atom

N atom m tot. r = Z m atom Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v

Läs mer

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet

Läs mer

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer