Föresläsningsanteckningar Sanno II

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson Föresläsningsnteckningr Snno II 1 Gmmfunktionen I fler v vår vnlig snnolikhetsfördelningr ingår den sk gmm-funktionen Γ(p) x p 1 e x dx vilken är definierd för ll reell p> Vi sk här smmnftt funktionens viktigste egenskper () Γ(p) (p 1)Γ(p 1) (b) Γ(1) 1 (c) För positiv heltl n gäller tt Γ(n) (n 1)! (d) Γ( 1 2 ) π För bevis se Ross sid 231 smt Theoreticl Exercise 2 på sid 241 i smm bok Iblnd kn mn h nytt v följnde pproximtion för stor p, den så kllde Stirlings formel: Γ(p + 1) 2πe p p p+ 1 2 när p vilken sk tolks så tt vänsterledet delt med högerledet går mot 1 då p Beviset överhopps

2 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson 2 Lgen om Totl Snnolikhet Låt Y 1 om A inträffr och nnrs Noter tt E(Y )P (A)Genom tt tillämp Theorem 21 i kpitel II på Y får vi följnde resultt Sts 21 () Lgen om totl snnolikhet för diskret sv X P (A) P (A X x k )p X (x k ) k1 (b) Lgen om totl snnolikhet för kontinuerlig sv X P (A) + P (A X x)f X (x)dx Den diskret delen v stsen är den vnlig lgen om totl snnolikhet (Guts formel (33) på sid 6) med H k {X x k } och n Vi hr lltså fått en kontinuerlig motsvrighet till dett resultt från grundkursen Den finns inte explicit i Gut, men ntyds i Remrk 21, sid 36, och nvänds i exempel 31, sid 41 3 Byes Sts Betrkt en tvådimensionell diskret sv (X, Y ) Om vi får vet tt X j, sk vi nturligtvis nvänd p Y Xj (k) som snnolikhetsfördelning för Y Om vi känner X s fördelning och den betingde fördelningen för X givet Y så kn revideringen från p Y (k) till p Y Xj (k) görs med Byes sts, se formel (34) i Gut Om vi där sätter in A {X j} och H k {Y k} får vi p Y Xj (k) p X Y k(j)p Y (k) i p X Y i(j)p Y (i) (1) Anm: Det är lätt tt se tt grundkursens bevis v (34) håller även då n Det är den vrinten v (34) vi nvänt ovn 2

3 Grundkursens version v Byes sts nger hur snnolikheter för disjunkt händelser sk reviders när vi får vet tt A hr inträfft (1) nger hur snnolikhetsfunktionen för Y sk reviders när vi får vet tt X j hr inträfft Hur gör vi om X och Y är kontinuerlig? Genom nvändning v definitionen v betingd täthetsfunktion får vi f Y Xx (y) f X,Y (x, y) f X (x) f X Y y(x)f Y (y) fx,y (x, t)dt f X Y y(x)f Y (y) fx Y t (x)f Y (t)dt Noter tt dett är en direkt kontinuerlig nlog till (1) och således kn betrkts som en kontinuerlig version v Byes sts Vd gör vi om X är diskret men Y är kontinuerlig? Den betingde fördelningsfunktionen blir F Y Xk (y) P (Y y, X k) P (X k) Använd nu LTS, dvs Sts 21 (b), på täljren så blir den + P (Y y, X k Y t)f Y (t)dt Derivering m p y v (3) ger nu y f Y Xk (y) P (X k Y y)f Y (y) P (X k) P (X k Y t)f Y (t)dt En ny tillämpning v LTS på nämnren ger nu resulttet i (c)-delen v följnde sts, i viken vi smmnfttr de olik vrintern v Byes sts Sts 31 Byes sts för stokstisk vribler X och Y () Om X och Y båd är diskret: p Y Xj (k) (b) Om X och Y båd är kontnuerlig: f Y Xx (y) (c) Om X är diskret och Y kontinuerlig: f Y Xk (y) p X Y k(j)p Y (k) i p X Y i(j)p Y (i) f X Y y (x)f Y (y) + f X Y t(x)f Y (t)dt P (X k Y y)f Y (y) + P (X k Y t)f Y (t)dt Ovnstående resultt tillämps fr inom Byesinsk inferens Som läsren säkert redn notert hr vi utelämnt fllet X kontinuerlig och Y diskret Det är inte svårt tt giss hur stsen sk se ut i dett fll Huvudnledningen till tt vi utelämnr det är tt det är mindre vnligt vid de nämnd tillämpningrn Resulttet i (c) kn nvänds för tt förkort klkylern i Guts två exempel på sid Verifier gärn dett själv! (2) (3) (4) 3

4 STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson 4 Flerdimensionell Normlfördelning - den klssisk definitionen I kpitel V ger Gut inte mindre än tre olik definitioner v den flerdimensionell (multivrit) normlfördelningen Trots dett skns en v de vnligste definitionern, vilken jg väljer tt kll den klssisk definitionen Låt oss först noter tt om Z är en vektor med oberoende N(, 1)- fördelde komponenter så är den simultn fördelningen för Z väldefinierd (och väkänd) Definition 41 (Den klssisk definitionen) En n-dimensionell stokstisk vektor X är (n-dimensionellt) normlfördeld, om X AZ + b där Z är en vektor med oberoende N(, 1)-fördelde komponenter, A är en n n-mtris och b är en n-vektor Antg nu tt vi vill skff oss en n-dimensionell normlfördelning med en viss, given väntevärdesvektor µ och given kovrinsmtris Λ För tt Λ verkligen sk kunn funger som kovrinsmtris krävs tt den är en symmetrisk, icke-negtivt definit (positivt semi-definit) n n-mtris Från den linjär lgebrn (kpitel V1) vet vi då tt det finns en n n-mtris Λ 1/2 sådn tt Λ 1/2 Λ 1/2 Λ Mtrisen Λ 1/2 är även den symmetrisk och icke-negtivt definit Vi får nu den önskde normlfördelningen genom tt sätt X Λ 1/2 Z + µ Från Theorem 22 följer tt E(X) µ och V r(x) Λ som önskt Vi skriver X N(µ, Λ) Noter dock tt vi egentligen inte vet ännu tt µ och Λ entydigt bestämmer den flerdimensionell normlfördelningen Det finns nämligen fler A-mtriser som ger smm kovrinsmtris AA I princip skulle mn kunn tänk sig tt dess gv olik snnolikhetsfördelningr Att så inte är fllet frmgår dock v tt den momentgenerernde funktonen endst beror v µ och Λ, i kombintion med entydighetsstsen för momentgenerernde funktioner 4

5 Resultten i Theorem 31, Remrk 41 smt Theorem 51 beviss utgående från den klssisk definitionen på ungefär smm sätt som de beviss v Gut utifrån hns definition 1 Guts definition 1 blir en sts, som brukr klls Crmér-Wolds device Stsen beviss med hjälp v den momentgenerernde funktionen Övning Vis tt nednstående båd A-mtriser ger smm kovrinsmtris AA (5) (6) 5

6 STOCKHOLMS UNIVERSITET FANT MATEMATISKA INSTITUTIONEN Snno II Mtemtisk sttistik 13 oktober 1997 Esbjörn Ohlsson 5 Konvergens i fördelning vi f(x) och p(k) d Konvergens i fördelning X n X definiers som tt FXn (x) F X (x) då n för ll x där F X är kontinuerlig, se Gut Definition 14 i kpitel VI Vi sk här presenter en sts om hur konvergens i fördelning kn viss med hjälp v snnolikhetsfunktioner resp täthetsfunktioner I stsen eftersträvr vi enkl villkor och hr därför inte gjort den så generell som möjligt Sts 51 () Om såväl X som X 1,X 2, är diskret och endst ntr ickenegtiv heltlsvärden gäller: p Xn (k) p X (k) för k 1, 2, X n d X (b) Om såväl X som X 1,X 2, är kontinuerlig och hr täthetsfunktioner gäller: f Xn (x) f X (x) x X n d X Bevis () Fördelningsfunktionen F (x) för en sv på de icke-negtiv heltlen kn skrivs som en ändlig summ v p X (k) Dett ger direkt Impliktionen åt ndr hållet följer v tt vi kn skriv p X (k) F (k+ 1 2 ) F (k 1 2 ) och k och k 1 2 är kontinuitetspunkter till F X(x) (b) Om vi ntr tt vi får kst om integrtion och lim så gäller F Xn (x) x f Xn (x)dx x f X (x)dx F X (x) Vi vstår från tt försök bevis tt den nämnd omkstningen är tillåten (men det är den) 6

7 STOCKHOLMS UNIVERSITET UPPGIFTER MATEMATISK STATISTIK 27 ugusti 23 Esbjörn Ohlsson Sk I: Övningsuppgifter till Kpitel 1 1 ) Bestäm den kumulntgenerernde funktionen för Poissonfördelningen b) Härled smtlig kumulnter för Poissonfördelningen Använd dett till tt bestämm fördelningens väntevärde och vrins 2 ) Bestäm fördelningsfunktionen F Y (x) för Y i Exempel 13 om X Exp(λ) (Exponentilfördelning med väntevärde 1/λ) Ange explicit den kontinuerlig delen F 1 (x) och den diskret delen F 2 (x) b) Bestäm exponentilfördelningens väntevärdesfunktion L() Använd den till tt bestämm E(Y )L(b) L() Du får ej nvänd resulttet i c nedn! c) Antg tt X är bsolutkontinuerlig och X > (men inte nödvändigtvis Exponentilfördeld) Vis tt L() (1 F (x))dx Kontroller tt dett uttryck stämmer genom tt än en gång bestämm L() för Exp(λ) Ledning: Prtilintegrer uttrycket ovn! Mn kn vis tt ovnstående formel gäller llmänt för positiv stokstisk vribler (även diskret) OBS! Exponentilfördelningen är sälln eller ldrig lämplig för tt modeller skdebelopp! Den nvänds här endst för tt ge enkl räkningr 3 Låt X vr en stokstisk vribel vrs kumulntgenerernde funktion existerr Bevis tt ) den först kumulnten är lik med väntevärdet µ E[X]; b) den ndr kumulnten κ 2 V r(x); c) den tredje kumulnten κ 3 E[(X µ) 3 ]

8 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATLAB MATEMATISK STATISTIK 2 september 23 Esbjörn Ohlsson 1 Sk I: Extr övningsuppgifter 11 Övning 2x ) Generer 1 Gmm-slumptl med MtLb-funktionen rndom( Gmm,1,2,1,1) b) Skp en m-fil med en funktion för gmm-fördelningens ML-ekvtion som funktion v α, se Exempel 23 smt den utdelde lösningen på Övning 45 (Denn funktion klls Score-funktionen ) c) Plott ML-ekvtionen för olik α för tt se vr nollstället ungefär befinner sig d) Hitt den numerisk lösningen till ML-ekvtionen med fzero e) Kör ditt progrm någr gånger och se efter hur långt du kommer från det snn värdet 1 på α (Du kn även test tt t ett större n än 1 om du vill) Redovis med er två m-filer och ett exempel på plot v scorefunktionen smt 5 olik värden på α från e-uppgiften Not: Om du skulle vilj koll β-värdet är det br tt vet tt MtLb hr en definition v Gmmfördelningen där 1/β hr erstt vårt β, så egentligen simulerr vi från Gmm(1,5) inte Gmm(1,2) 12 Övning 4x Härled de tre först centrlmomenten i den negtiv binomilfördelningen (Svret finns i kompendiets kpitel 4)

9 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS216 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Torsdg 4 ugusti 25 Avd Mtemtisk sttistik, ANL Extr lösningr Övningr till kpitel 1 1 ) Poissonfördelningen med prmeter λ hr momentgenerernde funktion M(t) exp(λ(e t 1)), och därmed kumulntgenerernde funktion Ψ(t) log M(t) λ(e t 1) b) Den j:te kumulnten κ j ges v κ j lim Ψ(t) λ lim dtj t et λ, för j 1, 2, t d j 2 ) Vi hr G(x) 1 e λx med beteckning som i exempel 13, s 3 4, och får därmed om x< F Y (x) 1 e λ(+x) om x<b 1 om x b om x< F 1 (x) (e λ e λ(+x) )/(e λ e λb ) om x<b 1 om x b om x< F 2 (x) (1 e λ )/(1 e λ + e λb ) om x<b 1 om x b

10 Extr lösningr, Torsdg 4 ugusti 25 2 b) c) L() E[min(X, )] xf X (x)dx + [xf X (x)] F X (x)dx + [F X (x)] (1 e λ ) x + e λx + e λ λ 1 e λ λ f X (x)dx (1 F (x))dx [x(1 F (x))] x( f(x))dx (1 F ()) + P (X >)+ L() xf(x)dx xf(x)dx Då F (x) 1 e λx får mn L() e λx dx [e λx /λ] (1 e λ )/λ 3 Låt Ψ(t) vr kumulntgenerernde funktion för X ) Ψ (t) d dt log M(t) M (t) M(t) κ 1 lim t M (t) M(t) µ 1 µ, Ψ (t) d M (t) dt M(t) M (t)m(t) M (t) 2 M(t) 2 κ 2 α 2 1 µ α 2 µ 2 Vr(X), Ψ (t) d M (t)m(t) M (t) 2 dt M(t) 2 M (t)m(t) M (t)m (t) M(t) 2 M (t) 2 M(t) d M (t) dt M(t) d dt 2 M (t) M (t)m(t) M (t) 2 M(t) M(t) 2 κ 3 α 3 α 2 µ 2µ(α 2 µ 2 )α 3 3α 2 µ +2µ 3 µ 3 (E[(X µ) 3 ]E[X 3 ] 3E[X 2 ]µ +3E[X]µ 2 µ 3 α 3 3α 2 µ +2µ 3 )

11 Extr lösningr, Torsdg 4 ugusti 25 3 Extr övningsuppgifter 4x) Den kumulntgenerernde funktionen för den negtiv binomilfördelningen ges v: Ψ(t) log M(t) log P (e t ) α log(1 + (1 e t )/β) De tre först centrlmomenten är lik med de tre först kumulntern Alltså får mn: Ψ (t) α 1 + (1 e t )/β et β αe t 1+β e t, µ 1 Ψ () α 1 + (1 e )/β e β α β, Ψ (t) αet (1 + β e t ) αe t ( e t ) (1 + β e t ) 2 µ 2 Ψ () α(1 + β) β 2, α(β + 1)et (1 + β e t ) 2, Ψ (t) α(1 + β)et (1 + β e t ) 2 α(1 + β)e t 2(1 + β e t ) ( e t ) (1 + β e t ) 4, µ 3 Ψ () α(1 + β)β2 +2α(1 + β)β β 4 α(2 + 3β + β2 ) β 3

12 1 Lemm 62 i Dhl (23) sid 5 Låt (X 1,,X i,,x n ) vr en serie okorrelerde stokstisk vribler, dvs Cov(X i,x j )om i j Antg vidre tt ll X i hr gemensmt väntevärde, säg E(X i )µ och sätt σi 2 Vr(X i ) Då får mn den bäst linjär väntevärdesriktig estimtorn (BLUE) v µ på formen i w ix i om mn låter viktern w i vr proportionell mot 1/σ 2 i, dvs där bäst betyder tt h(x 1,,X n ) i X i/σ 2 i i 1/σ2 i Vr[h(X 1,,X n )] Vr[g(X 1,,X n )] för vrje nnn linjär väntevärdesriktig estimtor g Bevis Låt g vr en nnn linjär estimtor, g i w ix i Krvet på väntevärdesriktighet gör tt i w i 1 Vi hr Vr(g) Vr(g h + h) Vr(g h)+vr(h)+ 2Cov(g h, h) Om Cov(g h, h) så är sken klr eftersom högerledet då är Vr(h) med likhet omm g h Sätt nu c 1/ i (1/σ2 i ) Då är Cov(g h, h) Cov i w i c σi 2 X i, j c σj 2 X j och eftersom X i är okorrelerde blir dett lik med w i c c σ 2 i i σi 2 Vr(X i )c w i c i i 1 σ 2 i och därmed är beviset klrt

13 Extr övning 112 För seprtionsmetoden: Vis tt summn v den npssde tringeln v skttde väntevärden i den historisk tringeln är lik med summn v den observerde tringelns B-värden (Frmtidstringeln F är således inte lls inblndd i denn uppgift)

14 Lösningr till någr uppgifter i Ptrik Dhl: Introduction to Reserving, smt till Exercise 11 i Reinsurnce (tillägg till Johnsson) Uppgift 61 Det generliserde villkoret (CL3) lyder eller Vr(C ij+1 C i 1,,C ij )C c ijσ 2 j, Vr(C ij+1 /C ij C i 1,,C ij )C c 2 ij σ 2 j Omskrivningen görs för tt få stokstisk vribler med smm väntevärde (nämligen f j ; utvecklingsåret j är ju fixt), så tt mn kn tillämp Lemm 62, som ger viktern w i σj 2 Cij 2 c k1 σ 2 j Ckj 2 c Cij 2 c k1 C2 c kj Alltså får vi ˆf j i1 w i ˆfij i1 C 2 c ij k1 C2 c kj Cij+1 C ij i1 Cij 1 c C ij+1 k1 C2 c kj i1 Cij 1 c C ij+1 i1 Cij 2 c För c fårvi ˆf j i1 C ij C ij+1 i1 Cij 2 För c 1 får vi det fll som behndls i texten: ˆf j i1 C ij+1 i1 C ij För c 2 är termern i nämnren smtlig 1, och vi får ˆf j 1 C ij+1 1 i1 C ij i1 ˆf ij (I själv verket hr ju de C ij+1 /C ij som vägs ihop i det här fllet smm vrins, så uppgiften går ut på tt sktt ett gemensmt väntevärde med hjälp v en uppsättning v i i d-vribler vilket nturligtvis görs med hjälp v det vnlig ovägd medelvärdet)

15 Uppgift 62 Frågn är något oklrt formulerd: det frmgår inte om den gäller vrinsen betingd v historiken A k, eller den obetingde vrinsen Inte heller frmgår det om det som vses ä r V r ( ˆf k A k ) (lterntivt Vr( ˆf k )), eller om det är Vr(Ĉim A k ) (lterntivt Vr(Ĉim)) Med det vnlig villkoret (CL3) hr vi ˆf k m k i1 C ik+1 m k i1 C ik Om vi betingr med A k {C ij j k} så är nämnren en konstnt, och vi får Vr( ˆf k A k ) Vr m k i1 C ik+1 A k m k 2 i1 C ik m k i1 Vr(C ik+1 A k ) m k 2, i1 C ik där den ndr likheten följer v tt skdeåren enligt (CL2) är oberoende (CL3) tt Vr(C ik+1 A k )C ik σk, 2 så vi får Vidre ger Vr( ˆf k A k ) m k i1 C ik σk 2 m k 2 i1 C ik σ 2 k m k i1 C ik Enligt (CL1 ) på sid 5 i Dhl är de enskild kvotern C ik+1 /C ik väntevärdesriktig skttningr v konstnten f k, givet A k, och därför gäller det smm för det vägd medelvärdet ˆf k Så Vr(E[ ˆf k A k ]) Vr(f k ) Den obetingde vrinsen blir därför Vr( ˆf k )E[Vr( ˆf k A k )] + Vr(E[ ˆf σ 2 k k A k ]) E m k +σ 2 1 k E i1 C m k ik i1 C ik Uppgift 81 Vi hr Cov(X, Y X) Cov(X, Y ) Cov(X, X) Cov(X, Y ) Vr(X), så tt Cov(X, Y ) Vr(X) Uppgift 82 Om mn tolkr (BF2) Un-emerged clims re independent of emerged clims som tt D ij C ij C ij 1 är oberoende v C ij 1 för j 2, 3,m, så hr vi Vr(C ij )Vr(D ij +C ij 1 )Vr(D ij )+Vr(C ij 1 )

16 Enligt (BF4) gäller för ll k m tt Vr(F ik C ik )F ik Vr(C im ), där F ik E[C im ]/E[C ik ] Eftersom F ik är konstnter kn (BF4) formulers som så tt Vr(C ik ) Vr(C im) F ik, Vr(D ij )Vr(C ij ) Vr(C ij 1 )Vr(C im ) 1 1 F ij F ij 1 Å ndr sidn är E[D ij ]E[C ij C ij 1 ]E[C ij ] E[C ij 1 ] E[C im] E[C im] 1 E[C im ] 1 F ij F ij 1 F ij F ij 1 enligt definitionen v F ij och F ij 1 Dett visr tt Vr(D ij )oche[d ij ] är proportionell, med en proportionlitetskonstnt Vr(C im )/E[C im ] som inte beror på utvecklingsåret j För tt summn i uppgiftens ndr del sk vr väldefinierd, måste vi definier D ij ä v e n för j 1, vilket vi gör genom tt sätt C i (vilket är nturligt: hr ingen tid förflutit, så hr ing skdor kommit in) och därmed D i 1 C i 1 Då får vi m m Vr(D ij ) Vr(D i 1 )+ Vr(D ij )Vr(C im ) 1 m j1 j2 F i 1 j2 F ij F ij 1 1 Vr(C im ) Vr(C im ) E[C im] F im E[C im ] Vr(C im) Uppgift 83 Eftersom F ij E[C im ]/E[C ij ] är känt ger skttningen Ĉim även skttningr och därmed skttningr Ĉ ij Ĉim F ij, ˆD ij Ĉim Ĉim 1 F ij F Ĉim 1 ij 1 F ij F ij 1 Extruppgift 112 Låt D ij vr inkrementen som i Dhl kpitel 11, med väntevärden givn v modellen E[D ij ]cn i r j λ i+j Vi låter i, 1,m 1ochj 1, 2,m, och definierr, för k 1, 2,,m, väntevärdesdigonlsummorn d k i+jk E[D ij ] n i k r j cλ i+j cλ k r j i+jk j1

17 På motsvrnde vis bildr vi de observerde digonlsummorn d obs k i+jk D ij n i i+jk B ij Som i Dhl kpitel 11 kn d obs k nvänds för tt rekursivt ge skttningr cˆλ k och ˆr k v cλ k och r k, i ordningsföljden cˆλ m,ˆr m, cˆλ m 1,ˆr m 1, Vi hr cˆλ j d obs j 1 k1 ˆr k, ˆr j i B ij i cˆλ m i Sätter vi in dess prmeterskttningr i formeln för d k så får vi de skttde digonlsummorn k ˆd k cˆλ k ˆr j Summn v den npssde tringeln v skttde väntevärden ges v m k1 ˆdk och summn v den observerde tringelns B-värden ges v m k1 d obs k, så uppgiften går ut på tt vis tt m m ˆd k d obs k Vi hr Å ndr sidn är m k1 d obs k k1 m k1 i+jk j1 k1 B ij m j1 i B ij m k1 Vilket skulle beviss m k m m m ˆd m k cˆλ kˆr j cˆλ kˆr j ˆr j cˆλ k k1 j1 j1 kj j1 kj m j1 i B ij i cˆλ m i m m cˆλ k B ij kj j1 i Exercise 11 i Reinsurnce Eftersom Stop Loss inte hr något självbehåll lls på den individuell nivån, så måste vi h r Det ggregerde självbehållet är A, smm som tröskelvärdet A i Stop Lossåterförsäkringen Eftersom det inte finns någon övre gräns för hur mycket återförsäkringsbolget betlr ut, så måste vi h (K +1) Ett nturligt vl för tt uppnå dett är K och Enligt Reinsurnce, formel (14) på sid 3 blir riskpremien i det här fllet där S är hel skdebeloppet L S ( ) L S (A) E[S] L S (A),