MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I
|
|
- Julia Jakobsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G Gripenberg Aalto-universitetet januari G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del januari I /
2 Dragning med och utan återläggning Antag att i en urna finns k kulor av vilka v vita och resten s = k v är svarta Om man (slumpmässigt) nu plockar m kulor ur urnan och låter X vara antalet vita kulor så blir sannolikhetsfördelningen av X (och resonemanget som leder till svaret) beroende på om på om (Å) varje kula läggs tillbaka i urnan efter att färgen noterats och före följande plockas, eller (!Å) ingen kula läggs tillbaka i urnan I fallat (Å) med återläggning är sannolikheten att man plockar en vit kula varje gång p = v k så vi kan behandla dethär fallet som en upprepning m gånger av ett experiment Eftersom det är förnuftigt att anta att händelserna i de olika omgångarna är oberoende blir sannolikheten att vi n gånger plockar en vit kula ( ) m (v ) n ( Pr(X = n) = v ) m n n k k Slumpvariablen X är alltså binomial-fördelad med parametrarna m och v k G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del januari I /
3 Dragning med och utan återläggning, forts I fallet (!Å) utan återläggning kan vi plocka m kulor ur en urna med k kulor på ( k m) olika sätt (då vi antar att kulorna är olika men det inte spelar någon roll i vilken ordning vi plockat dem) På samma sätt kan vi plocka n vita kulor bland alla v vita på ( v n) olika sätt och m n svarta bland alla s = k v svarta på ( k v m n) olika sätt Enligt produktprincipen kan vi plocka n vita och m n svarta bland alla v vita och k s svarta på ( ) ( v n k v m n) olika sätt och sannolikheten blir (enligt den klassiska definitionen) ( v ( Pr(X = n) = n) k v ) m n ( k m) Detta är den sk hypergeometriska fördelningen G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del januari I /
4 Sannolikhet räknad med hjälp av ett trädnätverk I en urna finns vita och svarta kulor Vi plockar slumpmässigt en kula och om den är vit lägger vi en svart kula i urnan och om den är svart lägger vi inte någon kula i urnan Vi gör detta sammanlagt tre gånger Om vi nu vill bestämma sannolikheten för den sista kulan vi plockar är svart så kan vi beskriva proceduren med följande trädnätverk: Sannolikheten för att den sista kulan är svar blir därför = 8 G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del januari I /
5 Bayes formel I ett kommunikationsssytem (med röksignaler?) används binära tal, dvs nollor och ettor så att % av de binära tal som skickas är och 7% är I systemet förekommer störningar så att en del av talen kommer fram som och endel av talen kommer fram som En nolla kommer korrekt fram med sannolikheten 8 och en etta med sannolikheten Om vi nu vill räkna ut sannolikheten för att har skickats då har mottagits och har skickats då har mottagits så kan vi använda Bayes formel och först definiera S = { har skickats } Pr(S) = S = { har skickats } Pr(S) = 7 M = { har mottagits } Pr(M S) = 8 M = { har mottagits } Pr(M S) = Då får vi Pr(M S) Pr(S) Pr(S M) = Pr(M S) Pr(S) + Pr(M S) Pr(S) 7 = 7 + = 6 6, G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del januari I /
6 Bayes formel, forts och Pr(M S) Pr(S) Pr(S M) = Pr(M S) Pr(S) + Pr(M S) Pr(S) 8 = = 77 Ett annat sätt att resoner är att tecken skickats, nollor och 7 ettor av de nollorna kommer fram som och 6 som och av de 7 ettorn kommer 6 fram som och 7 som Sammanlagt kommer det alltså nollor och 6 ettor av vilka respektive 6 är korrekta Då blir Pr(S M) = 6 6, och Pr(S M) = 77 G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del januari I 6 /
7 Ett samband mellan exponential- och Poissonfördelningen Antag att X, X, är oberoende Exp(λ) fördelade slumpvariabler och att T > Låt nu Y = max{ k : X + X + X k T } Vi skall visa att Y Poisson(λT ) Här kan vi använda det resultat som säger att om U ja V är oberoende slumpvariabler med täthetsfunktioner f och g så har slumpvariabeln U + V täthetsfunktionen f (x t)g(t) dt Nu gör vi induktionsantagandet att slumpvariabeln X + X + X n har täthetsfunktionen λn e λx x n (n )! då x och då x < Detta är fallet åtminstone då n = Då kommer slumpvariabeln X + X + X n+ att ha täthetsfunktionen x λe λ(x t) λn e λt t n (n )! så induktionssteget fungerar x = λ n+ e λx (n )! tn dt / x = λ n+ e λx n! tn = λn+ e λx x n, n! G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del januari I 7 /
8 Ett samband mellan exponential- och Poissonfördelningen, forts Antag nu att k Om A = { X + + X k T }, B = { X + + X k + X k+ > T }, så skall vi räkna ut Pr(A B) Efrtersom X k+ så är B c A och A = (A B) (A B c ) = (A B) B c av vilket följer att Pr(A) = Pr(A B) + Pr(B c ) så att Pr(A B) = Pr(A) Pr(B c ) = Pr(B) Pr(A c ) = T + λ k+ e λx x k dx k! T λ k e λx x k (k )! T dx λ k e λx x k dx = (k )! T λ k e λx x k (k )! / T λ k e λx x k k! dx = e λt (λt ) k k! Då k = så följer påståendet av att Pr(X > T ) = e λt = e λt (λt )! G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del januari I 8 /
9 Normalapproximering Antag att slumpvariabeln X har fördelningen Bin(, ) Nu är Pr(X ) = ( ) j= j j j = F Bin(,) () vilket man lätt kan räkna ut med en dator med lämplig programvara Men i annat fall kan man utnyttja det faktum att en binomial-fördelad slumbvariabel är summan av oberoende Bernoulli-fördelade slumpvariabler så att vi kan tillämpa centrala gränsvärdessatsen och får, eftersom X har väntevärdet = och variansen 7 = 87 Detta betyder att (då Z N(, )) ( X Pr(X ) = Pr(X ) = Pr 87 ( ) X = Pr ) 87 Pr(Z 78) 7 Om man räknar med binomialfördelningens fördelningsfunktion blir svaret ungefär G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del januari I /
10 Marginal- och betingadefördelningar Antag att den tvådimensionella slumpvariabeln (X, Y ) har en diskret fördelning enligt följande tabell där marginalfördelningarna också är uträknade: f XY (x, z) Y 7 f X (x) X 6 f Y (y) 6 8 Den betingade fördelningen av X givet Y = är G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, januari del I /
11 Marginal- och betingadefördelningar, forts X 6 f X Y (x ) Av detta ser vi att E(X Y = ) = + 6 = och på motsvarande sätt kan vi räkna ut fördelningen för E(X Y ) som blir y 7 E(X Y = y) E(X Y ) är alltså en slumpvariabel med en frekvansfunktion f så att f ( ) = 6, f ( ) = 6 och f () = Av detta ser vi tex att E(E(X Y )) = = vilket är detsamma som E(X ) = = 6 = G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, januari del I /
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 26 januari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merExempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler
Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Flerdimensionella Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Flerdimensionella Ett slumpförsök kan ge upphov till flera (s.v.): kast med
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merFöreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden
Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)
Läs merVåra vanligaste fördelningar
Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver
Läs merKapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi
Läs merFÖRELÄSNING 4:
FÖRELÄSNING 4: 26-4-9 LÄRANDEMÅL Poissonfördelning Kontinuerliga slumpvariabler Kontinuerlig uniform fördelning Exponentialfördelning Samla in data Sammanställ data Gissa modell för datan Testa modellen
Läs merFöreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler
Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler Marina Axelson-Fisk 20 april, 2016 Idag: Diskreta stokastiska (random) variabler Frekvensfunktion och fördelningsfunktion Väntevärde Varians Några
Läs merJörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 8 Binomial-, hypergeometrisk- och Poissonfördelning Exakta egenskaper Approximativa egenskaper Jörgen Säve-Söderbergh Binomialfördelningen
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden Anna Lindgren 20+21 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådim. stokastisk
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merKapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merStatistik 1 för biologer, logopeder och psykologer
Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs mer1.5 Vad är sannolikheten för att ett slumpvis draget spelkort ska vara femma eller lägre eller knekt, dam, kung eller äss?
1 ÖVNINGAR I INDUKTIV LOGIK 1.1 En tärning kastas. Ange sannolikheten för att antalet ögon är a) 3 b) inte 3 c) 3 eller 5 d) jämnt e) mindre än 4 f) jämnt och mindre än 4 g) jämnt eller mindre än 4 h)
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs mer4.1 Grundläggande sannolikhetslära
4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik Π + E
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min
Läs merFöreläsning G70 Statistik A
Föreläsning 2 732G70 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde (mellan
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merRepetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)
Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Formellsamling och teori Nästa varje ekva.on som vi använder under kursen finns I samlingen. Tricket i examen är hica räc metod/fördelning.ll
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merSOS HT Slumpvariabler Diskreta slumpvariabler Binomialfördelning. Sannolikhetsfunktion. Slumpförsök.
Probability 21-9-24 SOS HT1 Slumpvariabler Slumpvariabler Ett slumpmässigt försök ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöket. Talet är alltså inte känt före försöket; det bestäms
Läs merFöreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel
Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning och exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Diskreta fördelningar Uwe Menzel, 2018 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs mermodell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet
Läs merMer om slumpvariabler
1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merFöreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.
Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merFördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret
Läs merProblemdel 1: Uppgift 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MT 00 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, CH 8 februari 0 LÖSNINGAR 8 februari 0 Problemdel : Uppgift Rätt svar är: a) X och X är oberoende och Y och Y
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs mer6. Flerdimensionella stokastiska variabler
6 Flerdimensionella stokastiska variabler 61 Simultana fördelningar Den simultana fördelningsfunktionen av X och Y, vilka som helst två stokastiska variabler, definieras F(a,b) = F X,Y (a,b) = P(X a,y
Läs merKapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin
Kapitel 4 Sannolikhetsfördelningar Sid 79-14 Föreläsningsunderlagen är baserade på underlag skrivna av Karl Wahlin Slumpvariabel En variabel för vilken slumpen bestämmer utfallet. Slantsingling, tärningskast,
Läs merKap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen
Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande
Läs merFöreläsning G70, 732G01 Statistik A
Föreläsning 3 732G70, 732G01 Statistik A Introduktion till sannolikhetslära Sannolikhetslära: område inom statistiken där vi studerar experiment vars utfall beror av slumpen Sannolikhet: numeriskt värde
Läs merFöreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar
Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Slumpvariabel? Resultatet av ett slumpmässigt försök utgörs
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merFöreläsning G60 Statistiska metoder
Föreläsning 4 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Sannolikhet Vad är sannolikhet? o Slumpvariabel o Sannolikhetsfördelningar Binomialfördelning Normalfördelning o Stickprov och population o Centrala
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk
Läs merF2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion
Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs mer(a) på hur många sätt kan man permutera ordet OSANNOLIK? (b) hur många unika 3-bokstavskombinationer kan man bilda av OSANNO-
Tentamenskrivning för TMS6, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 1 maj, 217. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 1-7724996 Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte (bifogas).
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merSannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Mer om Approximationer
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 7.A Mer om Approximationer Jan Grandell & Timo Koski 10.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 10.02.2012 1 / 21 Repetition CGS Ofta
Läs merÖvning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merProblemsamling i Sannolikhetsteori
Problemsamling i Sannolikhetsteori till An Intermediate Course in Probability av Allan Gut Sammanställd av Harald Lang 22/5-05 Kapitel 0 (Introduction) Man har ett seriesystem med två enheter som går sönder
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Slumpvariabler, stokastiska variabler. Stokastiska variabler. F4 Diskreta variabler
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F4 Diskreta variabler Slumpvariabler, stokastiska variabler Stokastiska variabler diskreta variabler kontinuerliga
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 8. Approximationer av sannolikhetsfördelningar Jan Grandell & Timo Koski 11.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 11.02.2016 1 / 40 Centrala
Läs merFöreläsning 2. Kapitel 3, sid Sannolikhetsteori
Föreläsning 2 Kapitel 3, sid 47-78 Sannolikhetsteori 2 Agenda Mängdlära Kombinatorik Sannolikhetslära 3 Mängdlära Används för att hantera sannolikheter Viktig byggsten inom matematik och logik Utfallsrummet,
Läs merF7 forts. Kap 6. Statistikens grunder, 15p dagtid. Stokastiska variabler. Stokastiska variabler. Lite repetition + lite utveckling av HT 2012.
F7 forts. Kap 6 Statistikens grunder, 15p dagtid HT 01 Lite repetition + lite utveckling av Stokastisk variabel Diskreta och kontinuerliga sv Frekvensfunktion (diskr.), Täthetsfunktion (kont.) Fördelningsfunktion
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja
Läs merVälkommen till Matematik 3 för lärare!
Välkommen till Matematik 3 för lärare! Nu: Statistik för lärare + Linjär algebra + datorlabbar Antagen? Registrerad? För er som läser första ämnet nu (MAxx eller FYMA): Hållbar Utveckling med Människan
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna
Läs mer4.2.1 Binomialfördelning
Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merSTA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017 Räknestuga 2 Förberedelser: Lyssna på föreläsningarna F4, F5 och
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merTvå parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merStokastiska signaler. Mediesignaler
Stokastiska signaler Mediesignaler Stokastiska variabler En slumpvariabel är en funktion eller en regel som tilldelar ett nummer till varje resultatet av ett experiment Symbol som representerar resultatet
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merLektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen
Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable
Läs merSTA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik STA101, Statistik och kvantitativa undersökningar, A 15 p Vårterminen 2017 Räknestuga 2 Förberedelser: Lyssna på föreläsningarna F4, F5 och
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,
STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson, 5--9 Lösningförslag skriftlig hemtentamen i Fortsättningskurs i statistik, moment, Statistisk Teori, poäng. Deltentamen : Sannolikhetsteori
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merOberoende stokastiska variabler
Kapitel 6 Oberoende stokastiska variabler Betrakta ett försök med ett ändligt (eller högst numrerbart) utfallsrum Ω samt två stokastiska variabler ξ och η med värdemängderna Ω ξ och Ω η. Vi bildar funktionen
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merDetta formelblad får användas under både KS2T och KS2D, samt ordinarie tentamen. x = 1 n. x i. with(stats): describe[mean]([3,5]); 4.
Formelblad Detta formelblad får användas under både KST och KSD, samt ordinarie tentamen. Medelvärde x = 1 n x i with(stats): describe[mean]([3,5]); 4 Varians s = 1 (x i x) n 1 ( s = 1 x i n 1 1 n ) x
Läs merFöreläsning 3. Kapitel 4, sid Sannolikhetsfördelningar
Föreläsning 3 Kapitel 4, sid 79-124 Sannolikhetsfördelningar 2 Agenda Slumpvariabel Sannolikhetsfördelning 3 Slumpvariabel (Stokastisk variabel) En variabel som beror av slumpen Ex: Tärningskast, längden
Läs mer4. Stokastiska variabler
4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i snnolikhetsklkyl och sttistik Smmnfttning, del I G. Gripenerg Alto-universitetet 6 feruri 2015 1 Snnolikheter Oeroende Betingd snnolikhet Byes formel Klssisk snnolikhet och komintorik
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs mer1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 29 7 kl 8 3 Matematikcentrum FMSF45 Matematisk statistik AK för D,I,Pi,F, 9 h Lunds universitet MASB3 Matematisk statistik AK för fysiker, 9 h. För tiden mellan
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merLMA521: Statistisk kvalitetsstyrning
Föreläsning 1 Dagens innehåll 1 Kvalitet 2 Acceptanskontroll enligt attributmetoden 3 Enkel provtagningsplan 4 Design av enkel provtagningsplan med binomialnomogram 5 Genomgång av problem 1.5 från boken.
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merMat Grundkurs i matematik 3-II
Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II G Gripenberg Aalto-universitetet 2 december 21 G Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-11532 Grundkurs i matematik 3-II 2 december 21 1 / 39 1 Ekvationssytem och matrisräkning
Läs mer