Serier och potensserier

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Serier och potensserier"

Transkript

1 Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd nses unn uppstå srivs vänstr ledet ovn oft, så tt mn själv får begrip med vilet värde på mn börjr oc tt fortsätter mot. En serie är lltså ett försö tt summer oändligt mång termer (i en bestämd ordning). Det är vitigt tt förstå tt oändligt mång tl inte lltid n summers. Serien som förstås inte n summers till något vettigt. Inte eller / + /2 + + / + n summers, men det är en ning svårre tt förstå. Däremot n serien mn får v tlföljden / 2 beräns. Ett berömt resultt är nämligen + /2 2 + / / 2 + = π 2 /6. Men, vd s egentligen lieten i dett betyd? Vd betyder det tt summer oändligt mång termer? Till serien n mn bild dess följd v prtilsummor (eller delsummor): S 0 = 0 S = 0 +. S n = n = n Den femte prtilsummn till /2 är t.ex. + /4 + /9 + /6 + /25 = 5269/3600. Det är nturligt tt definier seriens summ som gränsvärdet v prtilsummorn: Definition. En serie är onvergent med summn (eller värdet) = lim S om dess följd v prtilsummor S 0, S, S 2,, S,... är onvergent. Annrs är den divergent. Den geometris serien r = + r + r r +, som är mycet vitig, r då prtilsummn S = + r + r r. Mn ser genom multiplition tt ( r)s = r +, så S = ( r + )/( r). När r = är S = +. Av dett ser vi tt S r ett gränsvärde (/( r)) br när r <. Den geometris serien r är onvergent med summn när r < oc divergent nnrs. r = r

2 Exempel. Serien /2 är onvergent Dess prtilsummor S bildr en växnde följd v tl som är uppåt begränsd oc därmed onvergent. Vi r nämligen (se figuren) S = + / / 2 + [ /x 2 dx = + ] = 2 x < 2. Vi r därmed sett tt seriens summ r mening, men inte lycts berän den. Att summn blir π 2 /6 är väsentligt svårre tt vis. Sts. Om serien är onvergent, så gäller tt 0, när. Bevis. Vi vet tt följden S v prtilsummor r ett gränsvärde S, när. Följden S r förstås smm gränsvärde S. Vi r = S S S S = 0, när. Det är vitigt tt förstå tt omvändningen till stsen inte gäller (i llmänet). Exempel.2 Serien e/ är divergent, eftersom e /n r gränsvärdet när n. Exempel.3 Serien / är divergent trots tt / 0, när. Seriens prtilsummor bildr nämligen en växnde följd som inte är uppåt begränsd: S = / + /2 + + / Eftersom ln( + ) gör även S det, när. + /x dx = ln( + ) En serie, där ll termer är > 0 (eller 0) lls för en positiv serie. En serie där termern turs om tt vr > 0 oc < 0 lls en lternernde serie. En sådn n srivs ± ( ), där ll är > 0. För lternernde serier gäller Sts.2 Om ( ) är en lternernde serie där > 0 är en följd som vtr mot 0, så är serien onvergent. Bevis. Enligt förutsättningen gäller 0 < +, för ll. Vi r S 2+ = ( 0 ) + + ( 2 2+ ) = S 2 + ( 2 2+ ) S 2, så de udd prtilsummorn bildr en växnde följd. Den är uppåt begränsd eftersom S 2+ = 0 ( 2 ) ( 2 2 ) 2+ 0 Låt S vr gränsvärdet v dess udd prtilsummor när. Vi r S 2 = S Eftersom 0 ser vi nu tt även de jämn prtilsummorn r gränsvärdet S, när. Därmed är serien onvergent. Exempel.4 Serien ( ) / är onvergent eftersom den är lternernde oc följden / vtr mot 0..2 Positiv serier Det är tillräcligt intressnt tt unn vgör om en serie onvergerr eller ej, för tt det s vr mödn värt tt systemtiser frågn, även om vi inte lycs berän summn (ext) vid onvergens. Om en serie onvergerr n vi rän ut ett närmevärde för dess summ genom tt berän en prtilsumm med (tillräcligt) mång termer. Om en serie divergerr är det förstås meningslöst tt försö pproximer dess summ (som inte finns). För en positiv serie är följden v prtilsummor S växnde oc är därför onvergent precis när den är uppåt begränsd. Frågn om onvergens för positiv serier är därför särsilt enel tt besvr; det räcer tt vgör om dess följd v prtilsummor är uppåt begränsd eller ej. 2

3 .2. Jämförelseriterier Sts.3 (Integrlriteriet) Antg tt f(x) 0 är en ontinuerlig vtgnde funtion definierd då x 0. Sätt f() =. Då är f(x) dx oc 0 ntingen båd onvergent eller båd divergent. Här är vlet v den nedre gränsen till 0 oväsentligt; det fungerr li br med vilet (el)tl som elst f Fig 4. S 5 0 är en undersumm till 5 f(x) dx f Fig 5. S 5 är en översumm till 6 f(x) dx Bevis. Antg först tt integrlen onvergerr. Om vi delr in intervllet [0, ] i li stor delr så är S 0, där S är :te prtilsummn till serien, smtidigt en undersumm till f(x) på [0, ], så S 0 0 f(x) dx. Dett ger S 0 + f(x) dx, så den växnde följden S 0 är uppåt begränsd oc därför onvergent. Antg sedn tt serien onvergerr. Del in [0, +] i + li stor delr. Då är seriens :te prtilsumm S en översumm till f(x) på [0, + ]. Eftersom S är uppåt begränsd (v gränsvärdet S), är även b 0 f(x)dx (som växer med b) uppåt begränsd. Alltså r b f(x)dx ett gränsvärde när b, oc 0 f(x)dx är onvergent. 0 En vitig slutsts är Serien är divergent när p oc onvergent när p > Mn jämför serien med (/xp ) dx. Sts.4 (Jämförelseriteriet) Antg tt oc b är positiv serier med b, för ll. Om är divergent så är b divergent. Om b är onvergent så är onvergent. p Bevis. Låt S oc T betecn prtilsummorn till respetive b. Båd dess följder är växnde oc förutsättningrn ger S T för ll. Om först serien är divergent är S inte uppåt begränsd oc då n eller inte T vr det. Alltså är även ndr serien divergent. Om ndr serien är onvergent är följden T uppåt begränsd oc därmed är även S. Dett ger tt först serien är onvergent. Exempel.5 Serien cos2 ()/ 2 är onvergent. Vi jämför med /2 som vi vet är onvergent oc utnyttjr tt cos 2 ()/ 2 / 2. 3

4 Sts.5 (Kvotriteriet) Låt vr en positiv serie, sådn tt + / r ett gränsvärde L, när. Om L < är serien onvergent. Om L > är den divergent. Ingen slutsts n drs om L =. Bevis. Vi s jämför serien med en geometris serie. Antg först tt + / L <. Välj ett tl r melln L oc så tt L < r <. För stor värden på, låt oss säg n 0, ommer då + / tt vr < r. Dett ger tt + < r, när n 0. Vi får n0 + < n0 r n0 +2 < n0 +r < n0 r 2. n0 + < < n0 r Eftersom r < är den geometris serien n0 r onvergent. Enligt jämförelseriteriet är därför ocså =n 0 onvergent. (Därmed är ocså onvergent.) När + / L > gäller tt + >, när är stort. Alltså n inte gå mot 0, när, så serien är divergent. Exempel.6 Avgör för vil b > 0, som b / är onvergent. Med = b / r vi + / = b/(+) som r gränsvärdet b, när. Serien är lltså onvergent när b < oc divergent när b >. När b = är serien ocså divergent. Exempel.7 Serien 2 är onvergent oc + / = (/( + )) 2, när. De två senste exemplen illustrerr tt ingen slutsts n drs när L =..3 Allmänn serier En serie, där inget särsilt nts om tecnet på, är bsolutonvergent om (den positiv) serien är onvergent. T.ex. är cos()/2 bsolutonvergent. Vi r nämligen tt cos()/2 är onvergent om vi jämför med den större onvergent serien /2. Sts.6 Om är bsolutonvergent, så är den ocså onvergent. Att vr bsolutonvergent är lltså finre än tt vr onvergent. Bevis. Tricet är tt sriv serien som en sillnd v två onvergent positiv serier. Vi r = ( ), så = ( ). Båd seriern i ögr ledet är positiv oc den först är onvergent enligt ntgndet. För den ndr r vi 2, så jämförelseriteriet ger tt även denn är onvergent. Exempel.8 Serien cos()/2, som vren är lternernde eller positiv, är onvergent eftersom den är bsolutonvergent. En serie som är onvergent utn tt vr bsolutonvergent sägs vr betingt onvergent. Ett exempel på en sådn är den lternernde serien ( ) /. Vi n nu gör följnde utöning v votriteriet: Sts.7 (Kvotriteriet) Låt vr en serie, sådn tt + / r ett gränsvärde L, när. Om L < är serien onvergent. Om L > är den divergent. Ingen slutsts n drs om L =. Bevis. Om L < är onvergent enligt det tidigre votriteriet. Därmed är ocså onvergent. Om L > gäller tt + / >, dvs + >, när är stort. Därför n termern inte gå mot 0 när 0 oc serien divergerr. 4

5 2 Potensserier 2. Allmänt om potensserier En serie v formen (x ), där x är en vribel oc ett tl, lls en potensserie (ring ). Tlen (som nts änd) lls seriens oefficienter. I potensserier är det vitigt tt mn strtr indiceringen så tt ing negtiv potenser v x föreommer. Det först problemet som dyer upp är tt försö bestämm för vil x som serien n summers till ett tl: för vil värden på x onvergerr serien? Mn n tän på potensserier som en generlisering v polynom. Seriens prtilsummor är polynom med vribeln x. Generliseringen består nturligtvis i tt vi nu tillåter oss tt t med oändligt mång termer. Ncdelen blir då förstås tt vi inte n vr sär på tt serien summerr till ett tl för givet x. Vi r fler gånger under ursen råt ut för tt de elementär funtionern inte räcer till för tt genomför lyler. Ur denn synvinel n vi tcsmt t emot potensserier som ett nytt (oc stort) tillsott v funtioner med definitionsmängd de x för vil de onvergerr. Sts 2. Antg tt x onvergerr för x = x 0. Då är serien ocså (bsolut)onvergent för ll x sådn tt x < x 0. Om vi ersätter x med x i serien ser vi tt om (x ) onvergerr för x = x 0, onvergerr den (bsolut) när x < x 0. Bevis. Idén är tt jämför x med en geometris serie. Från förutsättningen får vi tt lim x 0 = 0. Det betyder tt tlföljden x 0 är begränsd. Låt oss säg tt x 0 < M, för ll. Antg tt x < x 0 oc sätt r = x / x 0 <. Vi r då tt x = x 0 r < Mr. Eftersom r < onvergerr den geometris serien M r oc därmed även den mindre (positiv) serien x. Av stsen följer det tt ett v följnde ömsesidigt uteslutnde fll n inträff för en potensserie (x ) :. Serien är bsolutonvergent för ll x, 2. det finns ett tl R > 0, så tt serien är bsolutonvergent för ll x sådn tt x < R oc divergent för ll x med x > R 3. serien onvergerr br när x =. Tlet R lls seriens onvergensrdie oc det är bruligt tt sätt R = i fll ) oc R = 0 i fll 2). Om vi täner på en potensserie (x ) som en funtion, är den lltså definierd för ll x sådn tt x < R, där R är seriens onvergensrdie. Den är definitivt inte definierd när x > R. Mängden (som bestäms v) x < R är ett symmetrist intervll runt där ändpuntern ± R inte ingår. Beträffnde ändpuntern så n ingen v dem, en men inte den ndr eller båd ingå i potensseriens definitionsmängd. De x för vil serien onvergerr lls seriens onvergensintervll. För bestämm en series onvergensrdie n mn oft nvänd votriteriet för positiv serier. Beviset för följnde sts utnyttjr det. Denn sts är v teoretist intresse oc s inte nvänds prtist; se det efterföljnde exemplet! Sts 2.2 Om n+ / n L, när n, så r potensserien (x ) onvergensrdien R = /L. Här s /L tols som R = när L = 0 oc som R = 0, när L =. OBS! Det är i prtien mycet bättre tt nvänd votriteriet i stället för sts 2.2, som i beviset nedn. Bevis. Vi r, enligt förutsättningen, tt n+ (x ) n+ /( n (x ) n ) = n+ / n x r gränsvärdet L x. Enligt votriteriet r mn bsolutonvergens när L x <, men inte när L x >. Dett ger tt onvergensrdien är R = /L. 5

6 Exempel 2. För vil x onvergerr potensserien =2 2 (x 2)? Absolutbeloppet v voten v två på vrndr följnde termer är är ( + )(x 2)+ ( + ) = (x 2) 2 2 x 2 x 2, 2 när. Kvotriteriet ger (bsolut)onvergens när x 2 < oc divergens när x 2 >, så onvergensrdien är. När x = får vi den lternernde serien =2 ( ) /( 2 ) med termer som vtr mot 0 oc därför är onvergent. När x = 3 får vi =2 /(2 ). Eftersom /( 2 ) > / 2 = / oc den positiv serien =2 / är divergent är potensserien divergent när x = 3 (enligt jämförelseriteriet). Potensserien onvergerr lltså när x ligger i intervllet [, 3[ (som är seriens onvergensintervll (oc definitionsmängd)). Exempel 2.2 Bestäm onvergensrdien till P (x) = 4 (x ) 3. Observer tt i dett exempel är br vr tredje oefficient 0, så voten v oefficienter + / snr gränsvärde (är inte ens lltid definierd). Alltså är sts 2.2 inte nvändbr. Vi nvänder (som vnligt) votriteriet oc får tt bsolutbeloppet v voten v två på vrndr följnde termer är 4 + (x ) 3(+) 4 (x ) 3, som r gränsvärdet 4 (x ) 3 när. Enligt votriteriet r vi onvergens när 4 (x ) 3 <, dvs när (x ) < 4 /3 oc divergens när 4 (x ) 3 >. Potensseriens onvergensrdie är lltså R = 4 /3. Exempel 2.3 Bestäm onvergensrdien till P (x) = x, där { 4 när är jämnt = 4 när är udd Även är snr + / (som är ömsom /6 ömsom 6) gränsvärde. Vi löser problemet genom tt sriv P (x) som en summ v två potensserier. P (x) = 4 2 x x 2+ Här r p (x) = 42 x 2 onvergensrdien /4, medn p 2 (x) = 4 2 x 2+ r onvergensrdien 4. Det betyder tt P (x) onvergerr när x < /4. När 4 > x > /4 divergerr p (x), medn p 2 (x) onvergerr. Alltså n inte P (x) onverger (för då de p (x) = P (x) p 2 (x) onvergert) när 4 > x > /4. Potensserien P (x) r lltså onvergensrdien / Derivering v potensserier Som tidigre nämnts n vi tän på potensserier som ett tillsott till vårt förråd v funtioner. Det blir därför nturligt tt fråg om dess funtioner är deriverbr oc om vi n bestämm primitiv funtioner till dem. Det visr sig tt potensserier går utmärt tt deriver (inuti sin onvergensintervll). I själv veret går de tt deriver ur mång gånger som elst! För tt förstå dett n mn nvänd följnde sts upprepde gånger. 6

7 Sts 2.3 (Termvis derivering) Antg tt P (x) = x r onvergensrdie R > 0. Då är P (x) deriverbr när x < R oc P (x) = x. Stsen inneåller (blnd nnt) påstendet tt ögr ledet i lieten ovn onvergerr när x < R. Den termvis derivtn r lltså en onvergensrdie som är minst li stor som den ursprunglig potensserien. Om vi ombinrr sts 2.3 med sts 2.4 som vi s vis senre ser vi tt P (x) oc P (x) i själv veret r smm onvergensrdie. I ändpuntern till onvergensintervllet n det däremot gå lite ur som elst. Det n ftist till oc med inträff tt potensserien P (x) är onvergent i en ändpunt trots tt potensserien P (x) inte är det. Genom tt ersätt x med x ser vi tt vi ocså n deriver P (x ) = (x ) termvis. Derivtn blir (x ). För tt vis stsen s vi berän gränsvärdet v differensvoten P (x + ) P (x) = (x + ) x när 0. Här stöter vi på ptrull! Summn är definierd som ett gränsvärde, så vi r två oli gränsvärden stplde på vrndr. När mn r den situtionen n mn inte utn vidre st om ordningen i vilen mn tr gränsvärden som följnde exempel visr. Exempel 2.4 Vi r men ( y ) lim lim = lim 0 = 0, x 0 y 0 x + y x 0 ( y ) lim lim = lim =. y 0 x 0 x + y y 0 Vi delr upp beviset i tre steg. Lemm 2. (Steg ) Om x r onvergensrdien R > 0, så är x, (bsolut)onvergent när x < R. Genom upprepd nvändning ser vi tt även =2 ( ) x 2 är onvergent när x < R. Bevis. Välj ett r så tt x < r < R. Eftersom x /r < r vi tt ( x /r) är en exponentiellt vtgnde funtion v. Dett ger tt ( x /r) 0, när ; en exponentilfuntion dominerr ju över ett polynom. Följden ( x /r) är lltså begränsd. Låt oss säg tt ( x /r) < M, för ll. Vi får nu x = r ( x ) < M r r Eftersom 0 < r < R är r = (/r) r onvergent. Jämförelseriteriet ger nu tt x, är (bsolut)onvergent när x < R. Vi s vis tt stsen genom tt vis tt ( (x + ) (P (x + ) P (x))/ x x = =2 x ) r gränsvärdet 0, när 0. Tricet är tt försö få ut ett utnför serien så tt serien som blir vr är oberoende v oc onvergerr. Det väsentlig steget är Lemm 2.2 (Steg 2) När 2, finns det ett tl b melln x oc x +, så tt (x + ) x x < ( ) b 2. 7

8 Bevis. Medelvärdesstsen ger ett melln x oc x +, så tt (x + ) x = Smm sts ger ett b melln x oc (oc lltså melln x oc x + ), så tt (x + ) x x = x = ( )( x)b 2. Eftersom ligger melln x oc x + r vi x <, oc påståendet följer. Bevis v sts 2.3 Antg tt x < R oc välj ett r så tt x < r < R. Vi n förutsätt tt är så litet tt x + < r. Av dett följer tt ll tl melln x oc x + r bsolutbelopp < r. Vi oc från steg 2 r vi nu tt Tillsmmns ger dett ( (x + ) Q = (P (x + ) P (x))/ x x = Q =2 (x + ) x x < ( )r 2. x ). ( (x + ) x x ) < ( )r 2 =2 Den sist serien är onvergent (oc oberoende v ) enligt steg. Vi ser tillsist tt Q 0, när 0. =2 2.3 Potensserieutvecling v funtioner Om mn lycs sriv en funtion f(x) som en potensserie i en omgivning till ( = öppet symmetrist intervll ring) x = 0, f(x) = x, lls potensserien för f:s Mclurinserie. Om mn på mosvrnde sätt lycs få f(x) = (x ) i en omgivning runt lls serien för f:s Tylorserie ring x =. En Mclurinserie är lltså en Tylorserie ring x = 0. I dett äfte llr vi f(x) = (x ) en potensserieutvecling v f(x). I dett vsnitt s vi se tt vår vnlig elementär funtioner oft n srivs som potensserier. Vi ommer fler gånger tt nvänd symbolen n!, (där n är ett nturligt tl,) som betyder produten v ll eltl, 2,... n, dvs n! = 2... n. Mn brur ocså sätt 0! = v prtis säl. Vi pssr på tt noter tt om f(x) = (x ) måste f(x) derivtor v vrje ordning i (en omgivning till) x = eftersom dett gäller för potensserien. Derivering v f(x) = (x ) ger ocså f () () =!, så tt serien är elt bestämd v f(x): = f () ()/!. Vi r uppenbrligen f() = ( ) (f () ()/!)( ) = (f (0) ()/0!)( ) 0 =. Det finns emellertid på förnd ingen grnti för tt f(x) = (f () ()/!)(x ) i en omgivning till x =. Två ser är problemtis: dels n det inträff tt potensserien r onvergensrdie 0, dels n f(x) oc potensserien oli värden utom för x = (även om den r positiv onvergensrdie). Vi s nvänd följnde teni för tt försö uttryc en given potensserie P (x) med jälp v elementär funtioner:. Vis tt P (x) löser en viss differentilevtion med begynnelsevärden, 2. lös differentilevtionen (med jälp v elementär funtioner), 3. resulttet blir en identifiering v P (x) med värdet v en elementär funtion när x ligger i det inre v P :s onvergensintervll Vnlig utveclingr ring x = 0 Vi börjr med potensserien P (x) = x /!. Kvotriteriet ger onvergensrdien R =. Potensserien är lltså (bsolut)onvergent för ll x. 8

9 Termvis derivering ger P (x) = x /( )! (giltigt för ll x). Vi ser tt P (x) ftist är P (x), med nnn indicering. Vi r lltså P (x) = P (x), så P (x) = Ce x, för någon onstnt C (P (x) löser ju differentilevtionen y y = 0). Men P (0) =, så P (x) = e x (för ll värden på x). I ett slg r vi beränt oändligt mång (en för vrje reellt tl x) oändlig summor! På öpet fic vi exponentilfuntionens Mclurinserie. e x = x! = + x! + x2 2! + + x + för ll x! Vi n lltså ocså se resulttet som tt vi gjort en omsrivning v exponentilfuntionen som en potensserie, vilet n vr nvändbrt i mång smmnng. Vi n t.ex. berän ett närmevärde till e = e genom tt summer (t.ex.) de tio först termern i serien efter vi stt x =. Vi låter nu P (x) = ( ) x 2 /(2)! oc ser tt P (x) = ( ) x 2 /(2 )! oc P (x) = ( ) x 2( ) /(2( ))! som är P (x), med nnn indicering. Dett ger P (x) = P (x) oc sedn P (x) = A cos x + B sin x. Men P (0) = oc P (0) = 0, så A = oc B = 0, så P (x) = cos x. Dett är giltigt när x r x < R, där R är onvergensrdien för P (x). Kvoten v bsolutbeloppet v två på vrndr följnde termer i P (x) är x 2 (2 + 2) (2 + ) som r gränsvärdet 0, när. Dett ger tt P (x) r oändlig onvergensrdie. Vi får lltså ( ) x 2 cos x = 2! = x2 2! + x4 x2 + + ( ) 4! (2)! + för ll x Derivering v dett ger ( ) x 2 /(2 )! = sin x, för ll x. Ny indicering ger sedn sin x = ( ) x 2+ (2 + )! = x! x3 3! + + x 2+ ( ) + för ll x (2 + )! Innn vi går in på potensserieutvecling v potensfuntioner inför vi för ett reellt tl α oc ett eltl 0 betecningen ( ) ( ) α α(α )... (α + ) α =, =! 0 som generliserr binomiloefficienten ( n ). En uträning visr tt ( ) ( ) ( ) α α α + ( ) = α oc tt dett leder till tt P (x) = ( ) α x, lisom ( + x) α, löser differentilevtionen ( + x)y = αy, y(0) = 0. Ytterligre en beräning visr tt P (x) r onvergensrdien så tt ( + x) α = ( ) α x = + αx + ( ) α x Dett generliserr binomilstsen till ndr potenser än positiv eltl. ( ) α x + när x <. För tt omm vidre beöver vi en onsevens v stsen om termvisderivering (oc jämförelseriteriet) v generell rtär. Sts 2.4 (Termvis integrtion) Om P (x) = (x ) r onvergensrdie R, så är (x ) + P (x) dx = + C + när x < R. 9

10 Bevis. Enligt sts en om termvis derivering är derivtn v ögr ledet P (x). För tt få påståendet om giltigeten tt stämm måste vi vis tt potensserien i ögr ledet, ll den tillfälligtvis Q(x), är (bsolut)onvergent när x < R, dvs tt onvergensrdien inte minsr vid termvis integrtion. Vi vet tt P (x) är bsolutonvergent när x < R. Eftersom nu Q(x) = (x ) + /( + ) = (x ) (x ) /( + ). oc x x + ger jämförelseriteriet tt även Q(x) bsolutonvergent när x < R. För den geometris summn r vi tt x = x = + x + x x + när x <. Ersätter vi x med x respetive x 2 r vi ocså respetive + x = ( ) x = x + x ( ) x + när x <, + x 2 = ( ) x 2 = x 2 + x ( ) x 2 + när x <, Termvis integrtion ger nu oc ln( + x) = rctn x = ( ) x+ ( ) x2+ + = x x2 2 + x ( ) x + när x < 2 + = x x3 3 + x ( ) x2 + + när x <, 2 + eftersom lietern stämmer när x = Utvecling ring ndr punter än 0 Vi visr ur utveclingr ring x = 0 n nvänds för tt bestämm potensserieutveclingr ring ndr punter. Exempel 2.5 Bestäm potensserieutveclingen v e x ring x =. Vi r från e t = + t/ + t 2 /2! + + t /! + med t = x tt e x = e e x = e + e (x )/ + +e (x ) 2 /2! + + e (x ) /! + Exempel 2.6 Bestäm potensserieutveclingen v cos x ring x =. Vi r från cos t = t 2 /2! + t 4 /4! + + ( ) t 2 /(2)! + oc sin t = t/! t 3 /3! + t 5 /5! + + ( ) t 2+ /(2 + )! + tt sin x = sin( + (x )) = cos() sin(x ) + sin() cos(x ) = = sin() + cos()(x )/ sin()(x ) 2 /2! cos()(x ) 3 /3! + + sin()(x ) 4 /4! + cos()(x ) 5 /5! 0

11 Exempel 2.7 Bestäm potensserieutveclingen v /( x) ring x =. Vi r den geometris serien /( t) = + t + t t +, när t <. Dett oc omsrivningr ger x = (x ) = ((x )/( )) = = + x (x )2 (x ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) + +, Exempel 2.8 Bestäm potensserieutveclingen v ln x ring x = > 0. Vi r ln( + t) = t t 2 /2 + + ( ) t / +, när t <, så ln x = ln( + (x )) = ln + ln( + (x )/) = = ln + x när (x )/ <, dvs när x <. (x )2 2 2 (x ) + + ( ) +, 2.4 Exempel på nvändning v potensserier Vi s ge fyr oli exempel på ur potensserier n nvänds. Vi s. berän en series summ genom tt änn igen den som värde v en potensserie, 2. berän gränsvärden på ett vetenspligt vis, dvs metodist, 3. vi s vgör om en funtion r ett lolt mximum eller minimum eller ingetder i en given punt oc slutligen 4. lös en differentilevtion genom tt nsätt en potensserie som lösning En series summ Idén är är tt mn s änn igen en serie som ett värde v en potensserie som mn sedn uttrycer med jälp v elementär funtioner. Det sist steget n fullbords som i vsnitt 2.3, men det gäller tt välj sin potensserie med omsorg för tt lr det. Exempel 2.9 Avgör om serien (4 + ) 2 onvergerr eller divergerr. Berän dess summ. Mn ser lätt med jämförelseriteriet oc den geometris summn (/2) tt serien onvergerr. Vi söer summn. Om vi sätter P (x) = (4 + ) x, så är den tuell serien P (/2), men vi får problem tt änn igen P (x); den vren deriverr eller integrerr till något bent. Vi sätter därför istället P (x) = (4+) x 4+, men nu är den tuell serien i stället 2 /4 P (2 /4 ). Vi försöer bestämm P (x) med elementär funtioner oc ser tt P (0) = 0 oc tt P (x) = x4 = /( x 4 ), när x <. Integrtion ger därför P (x) = x 4 dx = ( ln = 4 ( + x x ( x)( + x)( + x 2 ) dx = 4 ) + C ) + 2 rctn x ( + x + x x 2 ) dx = Från P (0) = 0 ser vi tt C = 0, så (4 + )2 = 2 /4 P (2 /4 ) = ( ( + 2 /4 ) ln + 2 rctn 2 /4) 4 2 /4

12 2.4.2 Gränsvärdesberäningr Idén är är tt sriv om uttryc som ger obestämd uttryc när x som (vot v) potensserier ring x =. Här gäller det tt änn till potensserieutveclingr v de vnlig elementär funtionern. Exempel 2.0 Berän gränsvärdet v när x 0. rctn(x 2 ) x 2 cos(x 3, ) Vi ser tt gränsvärdet är v typen 0/0. Vi r de änd utveclingrn rctn t = t t 3 /3 + t 5 /5 +, oc cos t = t 2 /2! + t 4 /4!+ som ger oss rctn(x 2 ) x 2 cos(x 3 ) = (x2 x 6 /3 + x 0 /5 + ) x 2 ( x 6 /2! + x 2 /4! + ) = x6 /3 + x 0 /5 + x 6 /2! + x 2 /4! + = = /3 + x4 /5 + /2 + x 6 /4! + /3 /2 = 2 3 när x 0. (Vid den näst sist lieten förortde vi med x 6.) Lolt mximum, minimum eller ingetder? Antg tt vi, för en given funtion f(x), lyct bestämm ett positivt eltl n så tt (f(x) f())/(x ) n r ett gränsvärde A 0, när x n. Då ommer f(x) f() tt smm som eller motstt tecenväxling med (x ) n i, beroende på om A är positivt eller negtivt. Om n är jämnt r i så fll f(x) f() ingen tecenväxling i, eftersom (x ) n inte r det. Dett ger tt f(x) r ett lolt mximum (om A < 0) eller ett lolt minimum (om A > 0) i x =. Om n är udd r under förutsättningrn ovn f(x) f() en tecenväxling i eftersom (x ) n r det. Det betyder tt f(x) vren r lolt mximum eller minimum i x =. För tt undersö om f(x) r ett lolt mximum, minimum eller ingetder i x = n mn lltså. (med potensserieutvecling) bestämm ett positivt eltl n så tt (f(x) f())/(x ) n r ett gränsvärde A 0 när x, 2. v tecnet på A oc priteten på n vgör vd som gäller. Exempel 2. Avgör om f(x) = e x4 x 2 sin x 2 r ett lolt mximum, minimum eller ingetder när x = 0. Vi r med änd potensserieutveclingr f(x) f(0) x n = ( + x4 + x 8 /2! + ) x 2 (x 2 x 6 /3! + ) x n = (/2! + /3!)x8 /3! + x n 5 2 när x 0 oc n = 8. Det betyder tt f(x) f(0) r smm tecenväxling som x 8 i 0, dvs ingen. Alltså r f(x) ett lolt minimum i x = Potensserier oc differentilevtioner Idén är tt givet en differentilevtion (med begynnelsevärden) sö en lösning v formen y = x genom insättning i differentilevtionen. Dett ger sedn villor på ur oefficientern s se ut. Efter en utredning om dett återstår det tt finn onvergensrdien för potensserien för tt vet för vil x den är definierd. Exempel 2.2 Lös differentilevtionen xy + 2y xy =, y(0) =. 2

13 Evtionen är v ndr ordningen men r inte onstnt oefficienter. Vi observerr tt evtionen ger y (0) = /2. Ansätter lösningen y = x, s vi därför r 0 = (från y(0) = ) oc = /2 (från y (0) = /2). Om vi sätter in potensserien i differentilevtionen får vi som oefficient frmför x, när > 0, i vänstr ledet ( + ) + + 2( + ) +. Enligt ögr ledet s dett vr 0, så vi får reursionsformlen + = = ( + )( + 2) som tillsmmns med 0 = oc = /2 leder till formeln = /( + )!. Det betyder tt vår lösning är som r onvergensrdie. x y(x) =! + x 2! + ( + )! + = ex, x 3 Tylorpolynom oc pproximtion Idén är tt försö pproximer en funtion f(x) med ett polynom p n (x) i näreten v en punt x =. Vi s försö gör dett genom tt låt p n (x) smm derivtor upp till ordning n som f(x) i x =. Dett polynom lls Tylorpolynomet v grd n till f(x) i punten. Smtidigt s vi försö åll red på vilet fel som uppstår när f(x) ersätts med p n (x). Eftersom derivtorn s stämm upp till ordning n ser vi genst tt p n (x) = f() + f () (x ) + f () 2 (x ) 2 + f (3) () 3! (x ) f (n) () (x ) n. n! Problemet som vrstår är tt förstå sillnden melln f(x) oc p n (x); ur väl pproximerr polynomet funtionen? Sts 3. Antg tt f(x) r ontinuerlig derivt v ordning n + i en omgivning till. När x ligger i denn omgivning gäller då tt för något tl θ melln x oc. f(x) = p n (x) + f (n+) (θ) (n + )! (x )n+, Bevis. För tt slipp en oväsentlig men omplicernde detlj i beviset s vi br genomför det underförutsättning tt x >. Beviset bygger på upprepd prtiell integrtion. Låt x vr fixt. f(x) f() = x f (t) dt = = [ (x t)f (t)] x + x (x t)f (t) dt = = (x )f () + [( (x t) 2 /2)f (t)] x + x ((x t) 2 /2)f (3) (t) dt = = (x )f () + ((x ) 2 /2)f () + [( (x t) 3 /3!)f (3) (t)] x + x ((x t) 3 /3!)f (4) (t) dt Upprepning ger nu x f(x) = p n (x) + (x t) n f (n+) (t) dt. n! Enligt förutsättningen är f (n+) ontinuerlig melln oc x oc ntr därför ett störst värde M oc ett minst värde m i intervllet melln oc x, så tt m f (n+) (t) M. 3

14 Om vi multiplicerr med (x t) n /n!, som är 0 när t ligger melln oc x, får vi tt (x t)n m n! (x t)n f (n+) (t) M n! Integrtion från till x ger nu (x x )n+ (x t) n m f (n+) (t) dt M (n + )! n! Division med I = (x ) n+ /(n + )!, som är positivt, ger nu m I x (x t)n. n! (x t) n f (n+) (t) dt M. n! (x )n+. (n + )! Enligt stsen om mellnliggnde värden finns nu ett θ melln oc x, så tt mellnledet är f (n+) (θ) oc vi får x (x t) n f (n+) (t) dt = If (n+) (θ) = f (n+) (θ) n! (n + )! (x )n+. 3. Uppgifter. Berän summn v serien Vis tt 3. Vis tt är onvergent när p >, men divergent när 0 < p. (ln ) p =2 2, där är en onstnt > 0, är onvergent Vil v följnde serier är onvergent? () (b) + sin 3 (c) (d) 0!. 5. Vil v följnde serier är onvergent? () e (b) ln (c) ln (d) (2)! (3)!. 6. Vil v följnde serier är onvergent? () =2 ( ) ln (b) ( ) + 2 (c) ( ) ( + ). 7. Vil v följnde serier onvergerr? Vil är bsolutonvergent? () ln (b) ( ) ln (c) e 2 (d) ( ) e Bestäm onvergensrdien till () x 3 2 (b) 5 ( ) x (c) (!) 3 (3)! x (d) x 2! (e) (!) 2 (2)! x. 4

15 9. För vil värden på x onvergerr potensserien () 3 x 2 (b) (d) x (e) ( ) 2 ( 2 + ) x (c) x 2 (f)!x ( ) x2 5? 0. Utvecl följnde funtioner som potensserie ring x = 0 oc nge för vil x som utveclingrn gäller. () ex + e x 2. Berän summn v serien (b) ex e x 2 (e) ln + x 2 För vil x onvergerr serien? 2. Bestäm onvergensrdien för serien (c) xe x (d) f(x) = ex x (f) ( x 2 ) ln ( x ) + x + x3 3 + x6 6 + x x3 3! + x6 6! + x9 9! + x2 2! + när x 0 oc f(0) = (g) sin 2 x. oc vis tt den löser differentilevtionen y + y + y = e x. Berän seriens summ (med jälp v elementär funtioner). 3. Vis tt serien y = + t4 4! + t8 8! + löser differentilevtionen y y = cos t, y(0) =, y (0) = 0. Bestäm seriens summ. För vil t är den onvergent? 4. Berän 5. Låt =2 P (x) = 2 ( ). i=0 cos(iπ/3) x i. i! Bestäm onvergensrdien för P (x) oc vis tt P (x) löser differentilevtionen y y + y = 0. Uttryc P (x) med jälp v elementär funtioner (för x i onvergensintervllet). 6. Avgör om serien onvergerr. Bestäm i så fll dess summ. 7. Avgör om serien onvergerr. Bestäm i så fll dess summ. 8. Vis tt p(x) = ( ) (2 + )3 ( ) 2(2 )9 (2 + ( ) + )x 2 (2)! löser differentilevtionen y y = 2 cos(x), y(0) =, y (0) = 0 oc berän serien 2 + ( ) +. (2)! 5

16 9. Låt p(x) = n=2 ( 2) n + n x2n. För vil värden på x är p(x) onvergent. Uttryc p(x) med jälp v elementär funtioner i det inre v onvergensintervllet. 20. Avgör om f(x) = + rctn(x2 ) e x2 r ett lolt extremvärde eller ej i x = Bestäm onstnten så tt gränsvärdet existerr. Bestäm sedn gränsvärdet. 22. Bestäm onstnten så tt gränsvärdet existerr. Bestäm sedn gränsvärdet. 23. Lös differentilevtionen Uttryc lösningen med elementär funtioner. 24. Lös differentilevtionen Uttryc lösningen med elementär funtioner. 25. Avgör om r ett lolt mximum eller minimum i x = Avgör om r ett lolt mximum eller minimum i x = Bestäm Tylorpolynomet v ordning xe x2 + tn x lim x 0 x 2 ln( + x) 24 cos(x 2 )e x3 + x 3 24 lim x 0 x 3 ln( + x) xy + 2y xy =, y(0) =. 4xy + 2y + y = 0, y(0) =. x 3 sin(x 3 ) + x cos x e x2 cos( 2x) + sin(3x) () tre till f(x) = ( + 2x) ring punten x = 0, (b) nio ring x = 0 till funtionen f(x) = ( x 3 ), (c) fyr till cos(2x) ring x = 0, (d) fem till f(x) = x cos(x) ring punten x = 0, (e) fyr till f(x) = e x /x ring punten x = (f) tre till f(x) = ln(x) cos(x) ring punten x = 2. 6

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex

MATEMATIK. av Rolf Pettersson. Grafisk Formgivning: Lennart Jörelid. Utgiven i juni 1999 Upplaga 10.000 ex MATMATIK Kort förberedande urs för blivande tenologer av Rolf Pettersson Grafis Formgivning: Lennart Jörelid Utgiven i juni 1999 Upplaga 10000 ex entrala Studievägledningen halmers Tenisa Högsola 12 96

Läs mer

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

DIAGONALISERING AV EN MATRIS Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Talmönster och algebra. TA

Talmönster och algebra. TA Talmönster och algebra. TA Diagnoserna i området avser att kartlägga om eleverna kan upptäcka talmönster samt på olika sätt bearbeta algebraiska uttryck och ekvationer. Förståelse av koordinatsystem och

Läs mer

Eulers polyederformel och de platonska kropparna

Eulers polyederformel och de platonska kropparna Eulers polyederformel och de platonska kropparna En polyeder är en kropp i rummet som begränsas av sidoytor som alla är polygoner. Exempel är tetraedern och kuben, men klotet och konen är inte polyedrar.

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

C Höstterminen 2009. Matematik. Elevhäfte KURSPROV. Elevens namn

C Höstterminen 2009. Matematik. Elevhäfte KURSPROV. Elevens namn KURSPROV Matematik C Höstterminen 2009 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen. Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t o m 2015-12-31.

Läs mer

Texas Instruments Sverige 1997 Printed in Sweden by Gumm essons Tryckerier AB

Texas Instruments Sverige 1997 Printed in Sweden by Gumm essons Tryckerier AB Förord Detta häfte innehåller ett a ntal mat ematikp roblem inom olika områden av den mat ematik som behandlas inom de olika ku rsern a på g ymnasieskolan. Vi har, i de flesta fall, inte delat upp i nnehållet

Läs mer

Detta är ett PM som Anders Engquist ibland ger deltagarna i utbildningar eller föreläsningar som hjälp att komma ihåg några väsentliga kunskaper

Detta är ett PM som Anders Engquist ibland ger deltagarna i utbildningar eller föreläsningar som hjälp att komma ihåg några väsentliga kunskaper Detta är ett PM som Anders Engquist ibland ger deltagarna i utbildningar eller föreläsningar som hjälp att komma ihåg några väsentliga kunskaper NÅGRA PRINCIPER SOM KAN BIDRA TILL UTVECKLANDE KOMMUNIKATION

Läs mer

ALGEBRA. J. Brzezinski

ALGEBRA. J. Brzezinski LINJÄR OCH MULTILINJÄR ALGEBRA J. Brzezinski MATEMATISKA VETENSKAPER CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2004 FÖRORD Linjär algebra, vars huvuduppgift är att studera linjära rum

Läs mer

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en Föreläsning 10 Multiplikationsprincipen Additionsprincipen Permutationer Kombinationer Generaliserade permutationer och kombinationer. Binomialsatsen Multinomialsatsen Lådprincipen (Duvslagsprincipen)

Läs mer

Träningsprogram för att bli av med tvångssyndrom

Träningsprogram för att bli av med tvångssyndrom Träningsprogram för att bli av med tvångssyndrom Programmet bygger på Kognitiv biobeteendeterapeutisk självhjälpsmanual för tvångssyndrom av Jeffrey Schwartz. Texten har översatts av Susanne Bejerot. Texten

Läs mer

5 hemligheter om chefen och att få honom att göra som du vill.

5 hemligheter om chefen och att få honom att göra som du vill. e-bok från Henrik Persson 5 hemligheter om chefen och att få honom att göra som du vill. web: henrikpersson.nu email: henrikpersson@mac.com msn: hen-per@hotmail.com tel: 0739 32 30 49 Är det här verkligen

Läs mer

Vad händer efter klick? Av Eva Bertilsson och Emelie Johnson Vegh, publicerad i Canis 2004

Vad händer efter klick? Av Eva Bertilsson och Emelie Johnson Vegh, publicerad i Canis 2004 Vad händer efter klick? Av Eva Bertilsson och Emelie Johnson Vegh, publicerad i Canis 2004 För den klickerkloka hunden betyder klick som bekant två saker. För det första talar klicket om att belöning är

Läs mer

Älska Gud, men hur? Lukas 10:25-42 - Predikan Söderhöjdskyrkan 20.07.08

Älska Gud, men hur? Lukas 10:25-42 - Predikan Söderhöjdskyrkan 20.07.08 Älska Gud, men hur? Lukas 10:25-42 - Predikan Söderhöjdskyrkan 20.07.08 Inledning Nåd, nåd, nåd, det är bara nåd. Det är vad vi i dagens frikyrkliga förkunnelse kan få höra att Luthers budskap är om man

Läs mer

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell

KRAFTER. Peter Gustavsson Per-Erik Austrell KRATER Peter Gustavsson Per-Erik Austrell örord Denna skrift har tagits fram för att utgöra kurslitteratur i kursen Mekanik för Industri Design vid Lunds Tekniska Högskola. Skriften börjar med en introduktion

Läs mer

Attityder och bemötande mot funktionshindrade.

Attityder och bemötande mot funktionshindrade. Beteckning: Institutionen för vårdvetenskap och sociologi. Attityder och bemötande mot funktionshindrade. Tanja Sjöstrand Juni 2008 Examensarbete 10 p Social omsorg HK 97 Anders Hydén Sammanfattning Studien

Läs mer

7 GRUNDERNA I PROGRAMMERING

7 GRUNDERNA I PROGRAMMERING Grunderna i programmering 7 GRUNDERNA I PROGRAMMERING Detta kapitel är bokens största kapitel och kanske det viktigaste. Vi kommer här att gå igenom grunderna för sekventiell programmering. Det vi går

Läs mer

Kommunal en lärande organisation? Nya perspektiv på kommunikation och förändring

Kommunal en lärande organisation? Nya perspektiv på kommunikation och förändring Kommunal en lärande organisation? Nya perspektiv på kommunikation och förändring För att en process ska hållas vid liv, måste den ständigt fyllas med ny energi och få andrum för att ladda energi. Processen

Läs mer

Att ta fram en tidsplan

Att ta fram en tidsplan Att ta fram en tidsplan KAMP Företagsutveckling Tidplaner GANTT-schema När det gäller att ta fram tidsplaner för ett projekt är en av de vanligaste och också mest användbara metoderna det så kallade GANTT-schemat.

Läs mer

1. En scout söker sin tro och respekterar andras

1. En scout söker sin tro och respekterar andras 1. En scout söker sin tro och respekterar andras Ett frågetecken - Vad är skillnaden på att tro och att veta? Ta en sekund till att fundera på skillnaden mellan tro och vetande. Rita upp en linje på marken.

Läs mer

Ansvar för sin hälsa? Problem och möjligheter med att tillämpa en ansvarsprincip inom hälso- och sjukvården Elisabeth Furberg

Ansvar för sin hälsa? Problem och möjligheter med att tillämpa en ansvarsprincip inom hälso- och sjukvården Elisabeth Furberg Ansvar för sin hälsa? Problem och möjligheter med att tillämpa en ansvarsprincip inom hälso- och sjukvården Elisabeth Furberg ISSN 1650-8475 FÖRORD Denna rapport är resultatet av en teoretisk genomgång

Läs mer

Vi erövr ar verkligheten bit för bit genom att vi får ett språk för våra erfarenheter. Ett barns språkutveckling är ett fascinerande skådespel, en

Vi erövr ar verkligheten bit för bit genom att vi får ett språk för våra erfarenheter. Ett barns språkutveckling är ett fascinerande skådespel, en o m e r f a r e n h e t o c h s p r å k Vi erövr ar verkligheten bit för bit genom att vi får ett språk för våra erfarenheter. Ett barns språkutveckling är ett fascinerande skådespel, en skapelseakt där

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Introduktion till MATLAB

Introduktion till MATLAB c 2004 Liber AB, Lennart Harnefors, Johnny Holmberg, Joop Lundqvist Signaler och system med tillämpningar Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB (för Matrix laboratory) är ett interaktivt programpaket

Läs mer

Välj välfärden vi har råd!

Välj välfärden vi har råd! Välj välfärden vi har råd! Välj välfärden - vi har råd! Rapport av Torbjörn Dalin och Thomas Berglund Kommunal 2014 Innehållsförteckning Inledning... 4 Den framtida befolkningsutvecklingen... 6 Tidigare

Läs mer

Proseminarium 8.10.96 för Nikolai Enckell Camilla Kronqvist, 22149. Begreppet person. Camilla Kronqvist Citera inte utan tillstånd, tack!

Proseminarium 8.10.96 för Nikolai Enckell Camilla Kronqvist, 22149. Begreppet person. Camilla Kronqvist Citera inte utan tillstånd, tack! Proseminarium 8.10.96 för Nikolai Enckell Camilla Kronqvist, 22149 Begreppet person Camilla Kronqvist Citera inte utan tillstånd, tack! Inledning Innan jag närmare börjar diskutera begreppet person vill

Läs mer