Numerisk Integration En inledning för Z1

Transkript

1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och trunkeringsfel. Trunkeringsfel (efter engelsk truncte = vbryt) är fel som uppstår därför tt en gränsprocess vbryts. En oändlig serie, exempelvis, kn inte beräkns exkt, utn summtionen vbryts efter ett visst ntl termer. Ett nnt exempel är trpetsformeln vid numerisk integrtion. Den exkt integrlen ersätts med en enklre formel som br innehåller ett ändligt ntl funktionsvärden. Avrundningsfel uppstår när tl vrunds till ett visst ntl decimler. Vid dtorberäkningr förekommer vrundningsfel vid vrje enskild klkyl. Effekten v sådn vrundningr kn bli mycket stor vid omfttnde klkyler. Det är därför viktigt tt välj numerisk metoder som håller nere beräkningsmängden och konvergerr snbbt. 1. Absolut och reltiv fel Låt x vr ett närmevärde till x. Vi skriver då x x. Det bsolut felet i x är x x. Tlet ɛ > klls en felgräns för det bsolut felet om x x ɛ. Mn skriver då oft x = x ± ɛ. Det reltiv felet i x är ( x x)/x, om x. Tlet ρ klls en felgräns för det reltiv felet om x x ρ x (d.v.s. ( x x)/x ρ). 1

2 Interpoltion.1 Interpoltion Antg tt funktionen f är känd i viss punkter x, x 1,, x n. Vi vill nu beräkn funktionen i en punkt x som inte är någon v de uppräknde. Om vi inte hr en formel för funktionen f är det nturligtvis inte möjligt tt beräkn f( x) exkt. Mn får nöj sig med ett närmevärde. Bildndet v ett sådnt närmevärde klls för interpoltion om x ligger melln två v de givn punktern, t.ex. melln x och x n. Vi skll här inte fördjup oss i de olik metoder som finns för interpoltion utn ger br två specilfll.. Linjär interpoltion Antg tt vi känner värden y och y 1 v en funktion f(x) i två olik punkter x och x 1. Vi vet lltså tt y = f(x ) och tt y 1 = f(x 1 ). Vi vill nu finn ett närmevärde till f( x) där x är en punkt melln x och x 1. Eftersom vi br känner f(x) i två punkter finns det inte mycket nnt tt gör än tt pproximer funktionskurvn för f med ett linjestycke melln punktern (x, y ) och (x 1, y 1 ). Dett linjestycke hr ekvtionen y = p 1 (x), där p 1 (x) = y + y 1 y x 1 x (x x ) (1) (x ~,f(x ~ ) ) (x 1, y 1 ) (x ~, y ~ ) (x, y ) ~ x x x 1 Figur 1: Linjär interpoltion. Som närmevärde till y = f( x) väljer vi lltså ỹ = p 1 ( x) = y + y 1 y x 1 x ( x x ) Dett klls linjär interpoltion. Med hjälp v medelvärdesstsen kn vi ocks nlyser det trunkeringsfel som vår interpoltion orskr.

3 Sts.1 Om f(x) är en funktion som är två gånger kontinuerligt deriverbr på intervllet [x, x 1 ] och p 1 (x) ges v (1) så gäller tt för något ξ melln x och x 1. f(x) p 1 (x) = f (ξ) (x x )(x x 1 ) () Bevis: Låt x vr en godtycklig fix punkt i det öppn intervllet ]x, x 1 [, och sätt Vi bildr hjälpfunktionen R = f( x) p 1( x) ( x x )( x x 1 ). (3) G(x) = f(x) p 1 (x) R (x x )(x x 1 ). (4) Vi noterr tt vlet v konstnten R ger tt G( x) =. Dessutom, eftersom f(x ) = p 1 (x ) och f(x 1 ) = p 1 (x 1 ), följer tt G(x ) = G(x 1 ) =. Enligt medelvärdesstsen (Rolles sts) finns det en punkt η 1 melln x och x och en punkt η melln x och x 1 sådn tt = G( x) G(x ) = G (η 1 )( x x ) = G(x 1 ) G( x) = G (η )(x 1 x) Men både x x och x 1 x och lltså måste G (η 1 ) = G (η ) =. Genom tt tillämp Rolles sts igen, denn gång på G (x), erhåller vi nu tt det finns en punkt ξ melln η och η 1 sådn tt Men då η η 1 är = G (η 1 ) G (η ) = G (ξ)(η 1 η ). G (ξ) =. Derivering v G(x) i (4) ger, eftersom p 1(x) =, G (ξ) = f (ξ) R. Alltså är vilket tillsmmns med (3) ger R = f (ξ), f( x) p 1 ( x) = f (ξ) Då x är godtyckligt vld, följer stsen. ( x x )( x x 1 ). 3

4 Kommentr.1 Eftersom (x x )(x x 1 ) = (x x )(x 1 x) = (x x + x 1 ) + ( x x 1 ) ntr (x x )(x x 1 ) sitt störst värde då x = x +x 1. Alltså ges en felgräns för trunkeringsfelet ovn v f(x) p 1 (x) = f (ξ) (x x )(x x 1 ) M (x x 1 ) = M 8 (x 1 x ). (5) Här är M en övre begränsning för f (x), (dvs f (x) M x och x 1 ). för ll x melln.3 Kvdrtisk interpoltion Vid kvdrtisk interpoltion pproximerr mn f(x) med ett ndrgrdspolynom (i stället för ett förstgrdspolynom som vid linjär interpoltion). Mn ntr då tt x, x 1, x är tre givn olik punkter och tt y = f(x ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ) är motsvrnde funktionsvärden. Vi vill då välj ett ndrgrdspolynom p (x) så tt y = p (x ), y 1 = p (x 1 ), y = p (x ) (6) Dess villkor bestämmer p (x) entydigt! (Se (1) nedn). Som närmevärde till f( x) nvänder vi då ỹ = p ( x). Figuren nedn illustrerr situtionen. (x,y ) (x, y ) (x ~,f(x ~ )) (x 1,y 1 ) (x ~,y ~ ) x x 1 x ~ x Figur : Kvdrtisk interpoltion. Eftersom mn i dett fll känner funktionen i tre punkter i stället för br två som vid linjär interpoltion, så kommer trunkeringsfelet i regel tt bli mindre 4

5 vid kvdrtisk interpoltion än vid linjär. En nlys motsvrnde den vi gjort för linjär interpoltion ger följnde sts Sts. Om f(x) är en funktion som är tre gånger kontinuerligt deriverbr på intervllet [x, x ] och p (x) ges v (6) så gäller tt för något ξ melln x och x. f(x) p (x) = f (ξ) (x x )(x x 1 )(x x ) (7) 6.4 Interpoltion med MATLAB Givet två uppsättningr x, x 1,, x n och y, y 1,, y n v n + 1 punkter så kn mn med hjälp v MATLAB-kommndon polyf it och polyvl skff sig ett polynom p n (x) = n x n + n 1 x n x + (8) v grden n som ntr värden y j i punktern x j, j =, 1,, n. Dett polynom klls interpoltionspolynomet v grden n. Således ger kommndorden xj = [x, x1,..., xn]; yj = [y, y1,..., yn]; A = polyfit(xj, yj, n) koefficientern, dvs A = [ n n ] (i fllnde ordning), i interpoltionspolynomet p(x). Kommndot px = polyvl(a, x) ger sedn interpoltionspolynomets värde i punkten x. Som exempel betrktr vi funktionen f(x) = sin (x) + cos (x + 1) på intervllet [, 3] dels med linjär interpoltion med punktern x =, x 1 = 3, dels med kvdrtisk interpoltion och indelningspunktern x =, x 1 = 1.5, x = 3 och dels med interpoltion med ett fjärdegrdspolynom och indelningspunktern x =, x 1 =.75, x = 1.5, x 3 =.5, x 4 = 3. Exkt funktionsvärde för x = är För x = gerlinjär interpoltion det bsolut felet Kvdrtisk interpoltion ger det bsolut felet.897 Interpoltion med ett fjärdegrdspolynom det bsolut felet

6 1.5 Heldrgen kurv: Prickd: Prick streckd: Streckd: y = f(x) Linjär interpoltion Kvdrtisk interpoltion Interpoltion v ordning fyr Figur 3: Interpoltion v olik ordning. Den MATLAB-kod som genererr figuren ovn ser ut så här: x = :.1 : 3; y = fevl(@fun, x); plot(x, y) xis([, 3,, ]); hold on xl = [ 3]; yl = fevl(@fun, xl); Al = polyfit(xl, yl, 1); pxl = polyvl(al, x); plot(x, pxl, : ) xk = [ 1.5 3]; yk = fevl(@fun, xk); Ak = polyfit(xk, yk, ); pxk = polyvl(ak, x); plot(x, pxk,. ) xj = [ ]; yj = fevl(@fun, xj); A = polyfit(xj, yj, 4); px = polyvl(a, x); plot(x, px, ) hold off; Funktionsfilen fun.m : function z=fun(x) z=sin(*x)+cos(x+1); Stsern (.1) och (.) beskriver trunkeringsfelet vid pproximtion v en funktion f(x) med interpoltionspolynom v ordning ett respektive två. Generellt gäller följnde sts Sts.3 Om f(x) är en funktion som är n + 1 gånger kontinuerligt deriverbr på intervllet [x, x n ] och p n (x) är interpoltionspolynomet v ordning n, se (8), så gäller tt f(x) p n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x )(x x 1 )(x x ) (x x n ) (9) för något ξ melln x och x n. 6

7 .5 Runges fenomen Mn kn lätt få intrycket tt trunkerinsfelet lltid minskr med öknde grd på interpoltionspolynomet, (speciellt med tnke på tt p n (x) = f(x) i n + 1 stycken interpoltionspunkter), men så är inte lltid fllet. Om vi sätter f(x) = x och beräknr p n (x) för n = 4, 7, 1 på intervllet [ 1, 1] med likformigt fördelde interpoltionspunkter, så får vi följnde figur Heldrgen kurv: y = f(x) Prickd: Prick streckd: Streckd: Interpoltion v ordning fyr Interpoltion v ordning sju Interpoltion v ordning tio Figur 4: Runges fenomen. Trots tt p 1 (x) överensstämmer med f(x) i elv interpoltionspunkter så är felet mycket stort melln punktern, och det blir endst värre om vi försöker med interpoltionspolynom v ännu högre ordning. Orsken till det här får vi sök i tt trunkeringsfelet inte br beror v intervllets längd och ntlet interpoltionspunkter utn också på derivtorn v f(x). 7

8 3 Numerisk integrtion 3.1 Trpetsformeln och Simpsons formel v ordningen 1 Antg tt vi vill beräkn integrlen v en given funktion f(x) över ett kort intervll [, + h]. Om vi inte känner en primitiv funktion till f(x) är vi hänvisde till tt gör en numerisk pproximtion. En enkel metod är då tt pproximer funktionen med det linjär interpoltionspoynomet p 1 (x) bsert på punktern och + h, dvs p 1 () = f() och p 1 ( + h) = f( + h). Det innebär tt mn pproximerr ren under funktionskurvn med ren v prlelltrpetsen i figuren. f(+h) f() +h Figur 5: Approximtion med prllelltrpets. Aren v prllelltrpetsen är +h Vi hr lltså pproximtionen +h Dett är den så kllde trpetsformeln. p 1 (x)dx = h (f() + f( + h)). f(x)dx h (f() + f( + h)) Om vi istället pproximerr funktionen f(x) över intervllet [, +h] med det kvdrtisk interpoltionspolynomet p (x) med interpoltionspunktern, + h och + h så erhåller vi Simpsons formel v ordning ett. Vi får närmevärdet S 1 = +h p (x)dx för integrlen +h f(x)dx. Vi kn skriv polynomet p (x) på formen p (x) = (x h) + 1 (x h) + 8

9 där koefficientern, 1, ges v ekvtionern, y = p () = h 1 h + y 1 = p ( + h) = y = p ( + h) = h + 1 h + (1) där y = f(), y 1 = f(+h) och y = f(+h). Vi kn nu bestämm ett uttryck för S 1, [ ] +h t = x h x = + h t = h S 1 = p (x)dx = = dt = dx x = t = h h ( ) ( h ( ) = t + 1 t + dt = t h 3 ) + dt = + h = h 3 = h ( ) h Observer tt om vi dderr ekvtion ett och tre till vrndr i (1) så får vi y + y = h + y 1 = Alltså är S 1 = h 3 (y + 4y 1 + y ). Vi får lltså följnde närmevärde +h f(x)dx h [f() + 4f( + h) + f( + h)]. 3 Dett är Simpsons formel v ordning ett. Att nvänd Simpsons formel innebär lltså tt vi pproximerr integrnden med hjälp v kvdrtisk interpoltion och sedn ersätter integrlen med interpoltionspolynomets integrl. På smm sätt gv linjär interpoltion upphov till trpetsformeln. Exempel 3.1 Låt oss beräkn.1 e x dx dels med trpetsformeln, dels med Simpsons formel. Vi tr lltså f(x) = e x och =. Trpetsformeln med h =.1 ger.1 Simpsonsformel, nu med h =.5, ger.1 e x dx.1 (e + e.1 ) e x dx.5 3 (e + 4e.5 + e.1 )

10 Direkträkning ger tt.1 e x dx = e e Det reltiv felet i trpetsformeln ä medn det reltiv felet i Simpsons formel är Fög översknde ger Simpson formel ett bättre värde än trpetsformeln. Låt oss studer felet i Simpsons formel för någr enkl polynom. Exempel 3. Vi tr = och h = 1/ i Simpsons formel tillämpd på funktionern 1, x, x, x 3, x 4, x 5. Om f(x) = x m så är I = x m dx = 1 m + 1. Vi ser tt f() = 1 om m = och tt f() = om m. Dessutom är f( 1 ) = 1 och f(1) = 1. m Med S 1 = 1[f() + 6 4f(1 ) + f(1)] får vi följnde tbell m I S 1 differens / 1/ 1/3 1/3 3 1/4 1/4 4 1/5 5/4 1/1 5 1/6 3/16 1/48 Som mn ser ger Simpson formel exkt resultt för polynomen 1, x, x, x 3. Mn kn vis tt Simpsons formel i själv verket ger exkt resultt för ll tredjegrdspolynom. 3. Trpetsformeln och Simpsons formel v ordningen n Simpson formel v ordningen n får mn genom tt först del upp det givn intervllet [, b] i n lik delintervll och sedn tillämp Simpsons formel (v ordningen 1) på vrt och ett v dem. Som pproximtion v integrlen b f(x)dx nvänder vi summn v v pproximtionern på vrt och ett v de n delintervllen. Dett ger pproximtionn S n v ordningen n.eftersom vr och ett v de n delintervllen kommer tt h längden (b )/n kommer mn lltså tt nvänd steglängden h = (b )/n. För bekvämlighets skull inför vi nu beteckningrn y k = f( + kh). Vi får då tt S n = h 3 [(y + 4y 1 + y ) + (y + 4y 3 + y 4 ) + + (y n + 4y n 1 + y n )] 1

11 +h +h +3h..... b=+nh vilket efter förenkling ger b f(x)ds S n = h 3 [y + 4y 1 + y + 4y 3 + y y n 3 + y n + 4y n 1 + y n ] Dett är lltså Simpsons formel v ordningen n. Den bserr sig således på en uppdelning v intervllet [ b] i n lik delintervll som vrt och ett hlverts. I formeln ovn hr vi lltså h = b och y k = f( + k h). n På ett nlogt sätt får vi också trpetsformeln v ordning n : b f(x)ds T n = h [(y + y 1 ) + (y 1 + y ) (y n 1 + y n )] vilket ger b f(x)ds h [y + y 1 + y y n 1 + y n ]. Exempel 3.3 Låt oss nvänd Simpsons formel för tt beräkn ex dx. Vi väljer tt del upp intervllet [, 1] i tio delintervll. Det betyder tt vi nvänder oss v Simpsons formel v ordningen n = 1 med steglängden h = 1/(n) =.5. För tt kunn beräkn S 1 måste vi beräkn exponentilfunktionen i punktern [.,.5,.1,.15,...,.9,.95, 1. ] och multiplicer funktionsvärden i dess punkter med tlen [1, 4,, 4,...,, 4, 1 ] Dess produkter skll sedn summers och summn skll multiplicers med.5/3. Vi får e x dx S 1 = Det exkt värdet är e och det bsolut felet i S 1 är ungefär

12 3.3 Feluppskttningr Sts 3.1 Antg tt ndr-derivtn v f(x) är kontinuerlig på intervllet [, b] och tt f (x) M. Då är b f(x)dx T n M 1 (b ) h, där h = (b )/n. Sts 3. Antg tt fjärde-derivtn v f(x) är kontinuerlig på intervllet [, b] och tt f (4) (x) M. Då är b f(x)dx S n M (b ) h4 18 där h = (b )/n. Bevis: Vi nöjer oss med tt endst bevis sts (3.1). Vi delr upp intervllet [, b] i n lik stor delintervll v längd h = (b )/n, då är och b f(x)dx = T n = +h +h p 11 (x)dx + f(x)dx + +h +h +h +h f(x)dx p 1 (x)dx nh +nh +(n 1)h +(n 1)h f(x)dx p 1n (x)dx, där p 11 (x), p 1 (x),..., p 1n (x) är dom linjär interpoltionspolynomen över respektive delintervll [, + h], [, + h],..., [, + nh]. Med tringelolikheten får vi nu följnde uppskttning b f(x)dx T n n +kh k=1 +(k 1)h f(x) p 1k (x) dx. (11) Vi undersöker först trunkeringsfelet över delintervllet [, + h]. Enligt sts (.1) är f(x) p 11 (x) mindre än M (x )( + h x). Därför är +h +h f(x) p 11 (x) dx M (x )( + h x)dx = [ ] t = (x )/h = = M ht h(t 1)hdt = dx = hdt = M 1 6 h3. 1

13 Denn uppskttning är i själv verket helt oberoende v delintervll, därför följer nu v (11) tt b f(x)dx T n n M 1 h3 = [nh = b ] = M 1 (b )h. Dett visr tt felet är v den storleksordning som beskrivs i stsen. Exempel 3.4 Låt oss beräkn S n, för n = 1,, 4, 8, 16, 3 om f(x) = e x. Det är inte lltför svårt tt vis tt f (4) (x) < 18 om x 1. Därför är ɛ n = ( 1 n )4 en felgräns för det bsolut felet i pproximtionen v I = ex dx n S n ɛ n Ungefärlig feluppskttningr v reltiv felet Om mn vill beräkn det bsolut eller reltiv felet måste mn känn det exkt värdet. Eftersom det exkt värdet är okänt hr mn således ett problem när det gäller tt vgör felets storlek. Stsen ovn kn då vr till stor hjälp, men den förutsätter tt mn hr en uppskttning v ndrderivtn om mn nvänder trpetsformeln och v fjärdederivtn om mn nvänder Simpsons formel. För tt undvik sådn uppskttningr kn mn nvänd en prktisk men (i princip) äventyrlig metod. I stället för tt beräkn ett end närmevärde gör mn fler beräkningr och jämför dess med vrndr. När det gäller tt beräkn en viss integrl kn mn exempelvis gör så här. Mn beräknr S n för fler n-värden, t.ex. för n =, 4, 8, 16,. Som närmevärde på det bsolut felet nvänder mn sedn S n S n och som närmevärde på det reltiv felet (S n S n )/S n. Låt oss illustrer med ett exempel där vi beräknr det reltiv felet på dett sätt och jämför med det exkt reltiv felet. 13

14 Exempel 3.5 Vi vill beräkn integrlen I = 3 1 ex dx med Simpsons formel. Vi uppskttr det reltiv felet ρ n dels med formeln ρ n ρ n = (S n S n )/S n dels med den exkt formeln ρ n = (S n I)/I. Mn får följnde tbell: n S n ρ n ρ n Som synes är det exkt reltiv felet ρ n (längs till höger) mindre än det uppskttde reltiv felet ρ n. Dett gäller dock inte generellt! Den som vill studer hur mn kn nvänd denn typ v pproximtiv beräkning v det reltiv felet kn studer de två MATLAB-filern qud.m och qudstp.m. 3.5 Modifiering v integrnden Om integrnden hr en singulritet bör mn inte nvänd Simpsons formel direkt. I stället bör mn modifier integrnden t.ex. med hjälp v vribelsubstitution. Vi ger ett pr exempel. Exempel 3.6 Vi skll försök beräkn integrlen I = cos(x) x dx. Dett är en generliserd integrl eftersom integrnden är obegränsd då x. Vi gör då först en vribelsubstitution för tt bli v med denn singulritet cos(x) 1 dx = [ x = t, dx = tdt ] = cos(t )dt x Sedn nvänder vi Simpsons formel med n = 4, 8, 16 för tt få pproximtionern S n cos(t )dt. Dett ger följnde siffervärden för den ursprunglig integrlen n S n Det reltiv felet i S n är då (S n I)/I. Eftersom I är okänt ersätter vi här I med S n+1. Det reltiv felet i S 8 blir då ungefär (S 8 S 16 )/S 16 = Eftersom S 16 < kn mn våg dr slutstsen tt 1 8 är en felgräns för det bsolut felet i S 8. 14

15 Exempel 3.7 En nnn metod tt förbättr integrnden så tt mn får mindre fel i Simpsons formel är prtiell integrtion. Som exempel betrktr vi integrlen I = x 7 3 cos(x)dx. Här är integrnden begränsd men fjärdederivtn är obegränsd, (ty 7 < 4) vilket innebär tt felet i Simpsons formel kn vr stort. Två 3 prtilintegrtioner ger emellertid tt x cos(x)dx = 1 cos(1) = 3 1 cos(1) sin(1) 9 13 x 1 3 sin(x)dx = x 13 3 cos(x)dx. I den sist integrlen är fjärdederivtn begränsd, (ty 13 > 4). Därför bör det 3 gå fint tt nvänd Simpsons formel. Med n = 1,, 4, 8, 16 får vi följnde resultt n utn prtiell integrtion med prtiell integrtion Mn ser tt felet utn prtiell integrtion är mycket mindre än mn kunde befr utgående från feluppskttningen i stsen. Mn får tydligen för små n-värden ett mycket bättre närmevärde med prtiell integrtion än utn. 3.6 Uppskttning v restintegrlen Generliserde integrler v typen f(x)dx kn inte beräkns direkt med Simpsons formel efterom integrtionsintervllet är obegränst. Mn kn då gör så tt mn delr upp integrtionsintervllet i en begränsd bit [, R] och en obegränsd [R, ]. Tlet R bör då väljs så tt restintgrlen R f(x)dx blir tillräckligt liten i förhållnde till den eftersträvde noggrnheten. Exempel 3.8 Vi skll beräkn I = e x dx med sex korrekt decimler. Integrlen över intervllet [R, ] kn uppsktts på följnde sätt R e x dx = [ x = t, dx = dt t ] = 1 R 1 e t dt = 1 R R R e R 1 t e t dt 15

16 1 Väljer vi här R = 4 får vi R e R 1 7. Sedn beräknr vi integrlen över intervllet [, 4] med hjälp v Simpsons formel med n = 4, 8, 16. Mn får n S n över intervllet [, 4] Eftersom S 16 S 8 = bör vi h tt 4 e x S 16 med ett bsolut fel som med god mrginl är 1 7. Därför bör felet i pproximtionen e x dx S 16 vr 1 7. Alltså är e x dx = med sex korrekt decimler (d.v.s. med ett fel som är ) 16

17 Övningr. 1. En okänd funktion f(x) hr värden f() = 1 och f(.5) = 3. Använd linjär interpoltion för tt beräkn ett närmevärde till f(.17).. Utgå från likhetern 1.96 = 1.4,.5 = 1.5. Använd linjär interpoltion för tt uppsktt. Hur stort är det bsolut felet? Hur stort är det reltiv felet? 3. En funktion f(x) hr värden f() = 1 och f(.5) = 3. Använd trpetsformeln för tt beräkn ett närmevärde till.5 f(x)dx. 4. En funktion f(x) hr värden f() = 1, f(.5) =.5 och f(.5) = 3. Använd Simpsons formel v ordningen 1 för tt beräkn ett närmevärde till.5 f(x)dx. 5. Använd trpetsformeln v ordning ett för tt beräkn π/4 cos xdx. Hur stor blir de bsolut och reltiv felen? 6. Använd Simpsons formel v ordningen 1 (lltså S 1 ) för tt beräkn π/4 cos xdx. Hur stor blir de bsolut och reltiv felen? 7. Använd Simpsons formel v ordningen (lltså S ) för tt beräkn π/4 cos xdx. Hur stor blir de bsolut och reltiv felen? 8. Mn försöker beräkn π cos xdx med hjälp v S n i Simpsons formel. Använd stsens feluppskttning för tt ge en felgräns för det bsolut felet. Hur stort måste mn välj n för tt felgränsen skll undersitig 1 5? 9. Hur stort skll n väljs i Simpsons formel v ordningen n för tt mn säkert skll h tt I S n < 1 6 om ) I = b) I = 11 1 x 1 dx x 1 dx 1. Ge en felgräns för det bsolut felet i pproximtionen I S 16 om ) I = b) I = 1 sin xdx sin (x )dx 11. Använd en lämplig substitution för tt eliminer singulriteten i integrlen dx x(1 + sin(x)) 17

18 1. Använd en substitution v formen x = t α för tt eliminer singulriteten i integrlen x 3 e x dx 13. Förbered följnde två integrler för nvändning v Simpsons formel genom tt prtilintegrer 1 ) cos(x 11 )dx x b) ln(tn(x))dx 14. Bestäm ett R så tt restintegrlen blir mindre än Integrlen R e x 1 + x 3 dx 1 (1 + x ) 1 3 skll beräkns med en felgräns för det bsolut felet som är mindre än Använd Simpsons formel och uppskttning v restintegrlen. 16. Låt S 1 (m) vr närmevärdet enligt Simpsons formel med n = 1 till xm dx.(jämför exempel (3.)) Vis tt dx lim ( x m dx S 1 (m)) = 1 m Skriv en MATLAB-fil som beräknr S n i Simpsons formel enligt följnde specifiktion : S=simpson(f,,b,n) f=nmnet på den fil där funktionen definiers,b = intervllgränser n=ntlet indelningr i Simpsons formel Använd sedn dett progrm för tt beräkn S 1, S, S 4, S 8 för de båd integrlern ) b) π 1 cos(x)dx cos(x 3 )dx 18

19 Svr. 1. f(.17) med bsolut fel och reltivt fel f(x)dx f(x)dx π/4 cos xdx.674 med bsolut fel och reltivt fel S 1 = med bsolut fel och reltivt fel S = med bsolut fel och reltivt fel π 5 8. En felgräns för det bsolut felet är n 4.1 n 4. Dett fel understiger 1 5 om n 5 9. I ) räcker det tt välj n 37. I b) räcker det med n resp (exempelvis) 11. Substitutionen x = t dt ger integrlen 1 + sin(t ) 1. Substitutionen x = t 3 ger integrlen 3 e t3 dt 13. ) En prtilintegrtion ger integrlen b) En prtilintegrtion ger integrlen 14. R = 8 räcker. 15. R = 5. (Ett närmevärde är.5516) 16. Jämför exempel. 17. Mn får följnde siffervärden : x 1 1 sin(x 11 )dx x sin(x) dx ) n S n b) S n