Numerisk Integration En inledning för Z1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Numerisk Integration En inledning för Z1"

Transkript

1 Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och trunkeringsfel. Trunkeringsfel (efter engelsk truncte = vbryt) är fel som uppstår därför tt en gränsprocess vbryts. En oändlig serie, exempelvis, kn inte beräkns exkt, utn summtionen vbryts efter ett visst ntl termer. Ett nnt exempel är trpetsformeln vid numerisk integrtion. Den exkt integrlen ersätts med en enklre formel som br innehåller ett ändligt ntl funktionsvärden. Avrundningsfel uppstår när tl vrunds till ett visst ntl decimler. Vid dtorberäkningr förekommer vrundningsfel vid vrje enskild klkyl. Effekten v sådn vrundningr kn bli mycket stor vid omfttnde klkyler. Det är därför viktigt tt välj numerisk metoder som håller nere beräkningsmängden och konvergerr snbbt. 1. Absolut och reltiv fel Låt x vr ett närmevärde till x. Vi skriver då x x. Det bsolut felet i x är x x. Tlet ɛ > klls en felgräns för det bsolut felet om x x ɛ. Mn skriver då oft x = x ± ɛ. Det reltiv felet i x är ( x x)/x, om x. Tlet ρ klls en felgräns för det reltiv felet om x x ρ x (d.v.s. ( x x)/x ρ). 1

2 Interpoltion.1 Interpoltion Antg tt funktionen f är känd i viss punkter x, x 1,, x n. Vi vill nu beräkn funktionen i en punkt x som inte är någon v de uppräknde. Om vi inte hr en formel för funktionen f är det nturligtvis inte möjligt tt beräkn f( x) exkt. Mn får nöj sig med ett närmevärde. Bildndet v ett sådnt närmevärde klls för interpoltion om x ligger melln två v de givn punktern, t.ex. melln x och x n. Vi skll här inte fördjup oss i de olik metoder som finns för interpoltion utn ger br två specilfll.. Linjär interpoltion Antg tt vi känner värden y och y 1 v en funktion f(x) i två olik punkter x och x 1. Vi vet lltså tt y = f(x ) och tt y 1 = f(x 1 ). Vi vill nu finn ett närmevärde till f( x) där x är en punkt melln x och x 1. Eftersom vi br känner f(x) i två punkter finns det inte mycket nnt tt gör än tt pproximer funktionskurvn för f med ett linjestycke melln punktern (x, y ) och (x 1, y 1 ). Dett linjestycke hr ekvtionen y = p 1 (x), där p 1 (x) = y + y 1 y x 1 x (x x ) (1) (x ~,f(x ~ ) ) (x 1, y 1 ) (x ~, y ~ ) (x, y ) ~ x x x 1 Figur 1: Linjär interpoltion. Som närmevärde till y = f( x) väljer vi lltså ỹ = p 1 ( x) = y + y 1 y x 1 x ( x x ) Dett klls linjär interpoltion. Med hjälp v medelvärdesstsen kn vi ocks nlyser det trunkeringsfel som vår interpoltion orskr.

3 Sts.1 Om f(x) är en funktion som är två gånger kontinuerligt deriverbr på intervllet [x, x 1 ] och p 1 (x) ges v (1) så gäller tt för något ξ melln x och x 1. f(x) p 1 (x) = f (ξ) (x x )(x x 1 ) () Bevis: Låt x vr en godtycklig fix punkt i det öppn intervllet ]x, x 1 [, och sätt Vi bildr hjälpfunktionen R = f( x) p 1( x) ( x x )( x x 1 ). (3) G(x) = f(x) p 1 (x) R (x x )(x x 1 ). (4) Vi noterr tt vlet v konstnten R ger tt G( x) =. Dessutom, eftersom f(x ) = p 1 (x ) och f(x 1 ) = p 1 (x 1 ), följer tt G(x ) = G(x 1 ) =. Enligt medelvärdesstsen (Rolles sts) finns det en punkt η 1 melln x och x och en punkt η melln x och x 1 sådn tt = G( x) G(x ) = G (η 1 )( x x ) = G(x 1 ) G( x) = G (η )(x 1 x) Men både x x och x 1 x och lltså måste G (η 1 ) = G (η ) =. Genom tt tillämp Rolles sts igen, denn gång på G (x), erhåller vi nu tt det finns en punkt ξ melln η och η 1 sådn tt Men då η η 1 är = G (η 1 ) G (η ) = G (ξ)(η 1 η ). G (ξ) =. Derivering v G(x) i (4) ger, eftersom p 1(x) =, G (ξ) = f (ξ) R. Alltså är vilket tillsmmns med (3) ger R = f (ξ), f( x) p 1 ( x) = f (ξ) Då x är godtyckligt vld, följer stsen. ( x x )( x x 1 ). 3

4 Kommentr.1 Eftersom (x x )(x x 1 ) = (x x )(x 1 x) = (x x + x 1 ) + ( x x 1 ) ntr (x x )(x x 1 ) sitt störst värde då x = x +x 1. Alltså ges en felgräns för trunkeringsfelet ovn v f(x) p 1 (x) = f (ξ) (x x )(x x 1 ) M (x x 1 ) = M 8 (x 1 x ). (5) Här är M en övre begränsning för f (x), (dvs f (x) M x och x 1 ). för ll x melln.3 Kvdrtisk interpoltion Vid kvdrtisk interpoltion pproximerr mn f(x) med ett ndrgrdspolynom (i stället för ett förstgrdspolynom som vid linjär interpoltion). Mn ntr då tt x, x 1, x är tre givn olik punkter och tt y = f(x ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ) är motsvrnde funktionsvärden. Vi vill då välj ett ndrgrdspolynom p (x) så tt y = p (x ), y 1 = p (x 1 ), y = p (x ) (6) Dess villkor bestämmer p (x) entydigt! (Se (1) nedn). Som närmevärde till f( x) nvänder vi då ỹ = p ( x). Figuren nedn illustrerr situtionen. (x,y ) (x, y ) (x ~,f(x ~ )) (x 1,y 1 ) (x ~,y ~ ) x x 1 x ~ x Figur : Kvdrtisk interpoltion. Eftersom mn i dett fll känner funktionen i tre punkter i stället för br två som vid linjär interpoltion, så kommer trunkeringsfelet i regel tt bli mindre 4

5 vid kvdrtisk interpoltion än vid linjär. En nlys motsvrnde den vi gjort för linjär interpoltion ger följnde sts Sts. Om f(x) är en funktion som är tre gånger kontinuerligt deriverbr på intervllet [x, x ] och p (x) ges v (6) så gäller tt för något ξ melln x och x. f(x) p (x) = f (ξ) (x x )(x x 1 )(x x ) (7) 6.4 Interpoltion med MATLAB Givet två uppsättningr x, x 1,, x n och y, y 1,, y n v n + 1 punkter så kn mn med hjälp v MATLAB-kommndon polyf it och polyvl skff sig ett polynom p n (x) = n x n + n 1 x n x + (8) v grden n som ntr värden y j i punktern x j, j =, 1,, n. Dett polynom klls interpoltionspolynomet v grden n. Således ger kommndorden xj = [x, x1,..., xn]; yj = [y, y1,..., yn]; A = polyfit(xj, yj, n) koefficientern, dvs A = [ n n ] (i fllnde ordning), i interpoltionspolynomet p(x). Kommndot px = polyvl(a, x) ger sedn interpoltionspolynomets värde i punkten x. Som exempel betrktr vi funktionen f(x) = sin (x) + cos (x + 1) på intervllet [, 3] dels med linjär interpoltion med punktern x =, x 1 = 3, dels med kvdrtisk interpoltion och indelningspunktern x =, x 1 = 1.5, x = 3 och dels med interpoltion med ett fjärdegrdspolynom och indelningspunktern x =, x 1 =.75, x = 1.5, x 3 =.5, x 4 = 3. Exkt funktionsvärde för x = är För x = gerlinjär interpoltion det bsolut felet Kvdrtisk interpoltion ger det bsolut felet.897 Interpoltion med ett fjärdegrdspolynom det bsolut felet

6 1.5 Heldrgen kurv: Prickd: Prick streckd: Streckd: y = f(x) Linjär interpoltion Kvdrtisk interpoltion Interpoltion v ordning fyr Figur 3: Interpoltion v olik ordning. Den MATLAB-kod som genererr figuren ovn ser ut så här: x = :.1 : 3; y = x); plot(x, y) xis([, 3,, ]); hold on xl = [ 3]; yl = xl); Al = polyfit(xl, yl, 1); pxl = polyvl(al, x); plot(x, pxl, : ) xk = [ 1.5 3]; yk = xk); Ak = polyfit(xk, yk, ); pxk = polyvl(ak, x); plot(x, pxk,. ) xj = [ ]; yj = xj); A = polyfit(xj, yj, 4); px = polyvl(a, x); plot(x, px, ) hold off; Funktionsfilen fun.m : function z=fun(x) z=sin(*x)+cos(x+1); Stsern (.1) och (.) beskriver trunkeringsfelet vid pproximtion v en funktion f(x) med interpoltionspolynom v ordning ett respektive två. Generellt gäller följnde sts Sts.3 Om f(x) är en funktion som är n + 1 gånger kontinuerligt deriverbr på intervllet [x, x n ] och p n (x) är interpoltionspolynomet v ordning n, se (8), så gäller tt f(x) p n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x )(x x 1 )(x x ) (x x n ) (9) för något ξ melln x och x n. 6

7 .5 Runges fenomen Mn kn lätt få intrycket tt trunkerinsfelet lltid minskr med öknde grd på interpoltionspolynomet, (speciellt med tnke på tt p n (x) = f(x) i n + 1 stycken interpoltionspunkter), men så är inte lltid fllet. Om vi sätter f(x) = x och beräknr p n (x) för n = 4, 7, 1 på intervllet [ 1, 1] med likformigt fördelde interpoltionspunkter, så får vi följnde figur Heldrgen kurv: y = f(x) Prickd: Prick streckd: Streckd: Interpoltion v ordning fyr Interpoltion v ordning sju Interpoltion v ordning tio Figur 4: Runges fenomen. Trots tt p 1 (x) överensstämmer med f(x) i elv interpoltionspunkter så är felet mycket stort melln punktern, och det blir endst värre om vi försöker med interpoltionspolynom v ännu högre ordning. Orsken till det här får vi sök i tt trunkeringsfelet inte br beror v intervllets längd och ntlet interpoltionspunkter utn också på derivtorn v f(x). 7

8 3 Numerisk integrtion 3.1 Trpetsformeln och Simpsons formel v ordningen 1 Antg tt vi vill beräkn integrlen v en given funktion f(x) över ett kort intervll [, + h]. Om vi inte känner en primitiv funktion till f(x) är vi hänvisde till tt gör en numerisk pproximtion. En enkel metod är då tt pproximer funktionen med det linjär interpoltionspoynomet p 1 (x) bsert på punktern och + h, dvs p 1 () = f() och p 1 ( + h) = f( + h). Det innebär tt mn pproximerr ren under funktionskurvn med ren v prlelltrpetsen i figuren. f(+h) f() +h Figur 5: Approximtion med prllelltrpets. Aren v prllelltrpetsen är +h Vi hr lltså pproximtionen +h Dett är den så kllde trpetsformeln. p 1 (x)dx = h (f() + f( + h)). f(x)dx h (f() + f( + h)) Om vi istället pproximerr funktionen f(x) över intervllet [, +h] med det kvdrtisk interpoltionspolynomet p (x) med interpoltionspunktern, + h och + h så erhåller vi Simpsons formel v ordning ett. Vi får närmevärdet S 1 = +h p (x)dx för integrlen +h f(x)dx. Vi kn skriv polynomet p (x) på formen p (x) = (x h) + 1 (x h) + 8

9 där koefficientern, 1, ges v ekvtionern, y = p () = h 1 h + y 1 = p ( + h) = y = p ( + h) = h + 1 h + (1) där y = f(), y 1 = f(+h) och y = f(+h). Vi kn nu bestämm ett uttryck för S 1, [ ] +h t = x h x = + h t = h S 1 = p (x)dx = = dt = dx x = t = h h ( ) ( h ( ) = t + 1 t + dt = t h 3 ) + dt = + h = h 3 = h ( ) h Observer tt om vi dderr ekvtion ett och tre till vrndr i (1) så får vi y + y = h + y 1 = Alltså är S 1 = h 3 (y + 4y 1 + y ). Vi får lltså följnde närmevärde +h f(x)dx h [f() + 4f( + h) + f( + h)]. 3 Dett är Simpsons formel v ordning ett. Att nvänd Simpsons formel innebär lltså tt vi pproximerr integrnden med hjälp v kvdrtisk interpoltion och sedn ersätter integrlen med interpoltionspolynomets integrl. På smm sätt gv linjär interpoltion upphov till trpetsformeln. Exempel 3.1 Låt oss beräkn.1 e x dx dels med trpetsformeln, dels med Simpsons formel. Vi tr lltså f(x) = e x och =. Trpetsformeln med h =.1 ger.1 Simpsonsformel, nu med h =.5, ger.1 e x dx.1 (e + e.1 ) e x dx.5 3 (e + 4e.5 + e.1 )

10 Direkträkning ger tt.1 e x dx = e e Det reltiv felet i trpetsformeln ä medn det reltiv felet i Simpsons formel är Fög översknde ger Simpson formel ett bättre värde än trpetsformeln. Låt oss studer felet i Simpsons formel för någr enkl polynom. Exempel 3. Vi tr = och h = 1/ i Simpsons formel tillämpd på funktionern 1, x, x, x 3, x 4, x 5. Om f(x) = x m så är I = x m dx = 1 m + 1. Vi ser tt f() = 1 om m = och tt f() = om m. Dessutom är f( 1 ) = 1 och f(1) = 1. m Med S 1 = 1[f() + 6 4f(1 ) + f(1)] får vi följnde tbell m I S 1 differens / 1/ 1/3 1/3 3 1/4 1/4 4 1/5 5/4 1/1 5 1/6 3/16 1/48 Som mn ser ger Simpson formel exkt resultt för polynomen 1, x, x, x 3. Mn kn vis tt Simpsons formel i själv verket ger exkt resultt för ll tredjegrdspolynom. 3. Trpetsformeln och Simpsons formel v ordningen n Simpson formel v ordningen n får mn genom tt först del upp det givn intervllet [, b] i n lik delintervll och sedn tillämp Simpsons formel (v ordningen 1) på vrt och ett v dem. Som pproximtion v integrlen b f(x)dx nvänder vi summn v v pproximtionern på vrt och ett v de n delintervllen. Dett ger pproximtionn S n v ordningen n.eftersom vr och ett v de n delintervllen kommer tt h längden (b )/n kommer mn lltså tt nvänd steglängden h = (b )/n. För bekvämlighets skull inför vi nu beteckningrn y k = f( + kh). Vi får då tt S n = h 3 [(y + 4y 1 + y ) + (y + 4y 3 + y 4 ) + + (y n + 4y n 1 + y n )] 1

11 +h +h +3h..... b=+nh vilket efter förenkling ger b f(x)ds S n = h 3 [y + 4y 1 + y + 4y 3 + y y n 3 + y n + 4y n 1 + y n ] Dett är lltså Simpsons formel v ordningen n. Den bserr sig således på en uppdelning v intervllet [ b] i n lik delintervll som vrt och ett hlverts. I formeln ovn hr vi lltså h = b och y k = f( + k h). n På ett nlogt sätt får vi också trpetsformeln v ordning n : b f(x)ds T n = h [(y + y 1 ) + (y 1 + y ) (y n 1 + y n )] vilket ger b f(x)ds h [y + y 1 + y y n 1 + y n ]. Exempel 3.3 Låt oss nvänd Simpsons formel för tt beräkn ex dx. Vi väljer tt del upp intervllet [, 1] i tio delintervll. Det betyder tt vi nvänder oss v Simpsons formel v ordningen n = 1 med steglängden h = 1/(n) =.5. För tt kunn beräkn S 1 måste vi beräkn exponentilfunktionen i punktern [.,.5,.1,.15,...,.9,.95, 1. ] och multiplicer funktionsvärden i dess punkter med tlen [1, 4,, 4,...,, 4, 1 ] Dess produkter skll sedn summers och summn skll multiplicers med.5/3. Vi får e x dx S 1 = Det exkt värdet är e och det bsolut felet i S 1 är ungefär

12 3.3 Feluppskttningr Sts 3.1 Antg tt ndr-derivtn v f(x) är kontinuerlig på intervllet [, b] och tt f (x) M. Då är b f(x)dx T n M 1 (b ) h, där h = (b )/n. Sts 3. Antg tt fjärde-derivtn v f(x) är kontinuerlig på intervllet [, b] och tt f (4) (x) M. Då är b f(x)dx S n M (b ) h4 18 där h = (b )/n. Bevis: Vi nöjer oss med tt endst bevis sts (3.1). Vi delr upp intervllet [, b] i n lik stor delintervll v längd h = (b )/n, då är och b f(x)dx = T n = +h +h p 11 (x)dx + f(x)dx + +h +h +h +h f(x)dx p 1 (x)dx nh +nh +(n 1)h +(n 1)h f(x)dx p 1n (x)dx, där p 11 (x), p 1 (x),..., p 1n (x) är dom linjär interpoltionspolynomen över respektive delintervll [, + h], [, + h],..., [, + nh]. Med tringelolikheten får vi nu följnde uppskttning b f(x)dx T n n +kh k=1 +(k 1)h f(x) p 1k (x) dx. (11) Vi undersöker först trunkeringsfelet över delintervllet [, + h]. Enligt sts (.1) är f(x) p 11 (x) mindre än M (x )( + h x). Därför är +h +h f(x) p 11 (x) dx M (x )( + h x)dx = [ ] t = (x )/h = = M ht h(t 1)hdt = dx = hdt = M 1 6 h3. 1

13 Denn uppskttning är i själv verket helt oberoende v delintervll, därför följer nu v (11) tt b f(x)dx T n n M 1 h3 = [nh = b ] = M 1 (b )h. Dett visr tt felet är v den storleksordning som beskrivs i stsen. Exempel 3.4 Låt oss beräkn S n, för n = 1,, 4, 8, 16, 3 om f(x) = e x. Det är inte lltför svårt tt vis tt f (4) (x) < 18 om x 1. Därför är ɛ n = ( 1 n )4 en felgräns för det bsolut felet i pproximtionen v I = ex dx n S n ɛ n Ungefärlig feluppskttningr v reltiv felet Om mn vill beräkn det bsolut eller reltiv felet måste mn känn det exkt värdet. Eftersom det exkt värdet är okänt hr mn således ett problem när det gäller tt vgör felets storlek. Stsen ovn kn då vr till stor hjälp, men den förutsätter tt mn hr en uppskttning v ndrderivtn om mn nvänder trpetsformeln och v fjärdederivtn om mn nvänder Simpsons formel. För tt undvik sådn uppskttningr kn mn nvänd en prktisk men (i princip) äventyrlig metod. I stället för tt beräkn ett end närmevärde gör mn fler beräkningr och jämför dess med vrndr. När det gäller tt beräkn en viss integrl kn mn exempelvis gör så här. Mn beräknr S n för fler n-värden, t.ex. för n =, 4, 8, 16,. Som närmevärde på det bsolut felet nvänder mn sedn S n S n och som närmevärde på det reltiv felet (S n S n )/S n. Låt oss illustrer med ett exempel där vi beräknr det reltiv felet på dett sätt och jämför med det exkt reltiv felet. 13

14 Exempel 3.5 Vi vill beräkn integrlen I = 3 1 ex dx med Simpsons formel. Vi uppskttr det reltiv felet ρ n dels med formeln ρ n ρ n = (S n S n )/S n dels med den exkt formeln ρ n = (S n I)/I. Mn får följnde tbell: n S n ρ n ρ n Som synes är det exkt reltiv felet ρ n (längs till höger) mindre än det uppskttde reltiv felet ρ n. Dett gäller dock inte generellt! Den som vill studer hur mn kn nvänd denn typ v pproximtiv beräkning v det reltiv felet kn studer de två MATLAB-filern qud.m och qudstp.m. 3.5 Modifiering v integrnden Om integrnden hr en singulritet bör mn inte nvänd Simpsons formel direkt. I stället bör mn modifier integrnden t.ex. med hjälp v vribelsubstitution. Vi ger ett pr exempel. Exempel 3.6 Vi skll försök beräkn integrlen I = cos(x) x dx. Dett är en generliserd integrl eftersom integrnden är obegränsd då x. Vi gör då först en vribelsubstitution för tt bli v med denn singulritet cos(x) 1 dx = [ x = t, dx = tdt ] = cos(t )dt x Sedn nvänder vi Simpsons formel med n = 4, 8, 16 för tt få pproximtionern S n cos(t )dt. Dett ger följnde siffervärden för den ursprunglig integrlen n S n Det reltiv felet i S n är då (S n I)/I. Eftersom I är okänt ersätter vi här I med S n+1. Det reltiv felet i S 8 blir då ungefär (S 8 S 16 )/S 16 = Eftersom S 16 < kn mn våg dr slutstsen tt 1 8 är en felgräns för det bsolut felet i S 8. 14

15 Exempel 3.7 En nnn metod tt förbättr integrnden så tt mn får mindre fel i Simpsons formel är prtiell integrtion. Som exempel betrktr vi integrlen I = x 7 3 cos(x)dx. Här är integrnden begränsd men fjärdederivtn är obegränsd, (ty 7 < 4) vilket innebär tt felet i Simpsons formel kn vr stort. Två 3 prtilintegrtioner ger emellertid tt x cos(x)dx = 1 cos(1) = 3 1 cos(1) sin(1) 9 13 x 1 3 sin(x)dx = x 13 3 cos(x)dx. I den sist integrlen är fjärdederivtn begränsd, (ty 13 > 4). Därför bör det 3 gå fint tt nvänd Simpsons formel. Med n = 1,, 4, 8, 16 får vi följnde resultt n utn prtiell integrtion med prtiell integrtion Mn ser tt felet utn prtiell integrtion är mycket mindre än mn kunde befr utgående från feluppskttningen i stsen. Mn får tydligen för små n-värden ett mycket bättre närmevärde med prtiell integrtion än utn. 3.6 Uppskttning v restintegrlen Generliserde integrler v typen f(x)dx kn inte beräkns direkt med Simpsons formel efterom integrtionsintervllet är obegränst. Mn kn då gör så tt mn delr upp integrtionsintervllet i en begränsd bit [, R] och en obegränsd [R, ]. Tlet R bör då väljs så tt restintgrlen R f(x)dx blir tillräckligt liten i förhållnde till den eftersträvde noggrnheten. Exempel 3.8 Vi skll beräkn I = e x dx med sex korrekt decimler. Integrlen över intervllet [R, ] kn uppsktts på följnde sätt R e x dx = [ x = t, dx = dt t ] = 1 R 1 e t dt = 1 R R R e R 1 t e t dt 15

16 1 Väljer vi här R = 4 får vi R e R 1 7. Sedn beräknr vi integrlen över intervllet [, 4] med hjälp v Simpsons formel med n = 4, 8, 16. Mn får n S n över intervllet [, 4] Eftersom S 16 S 8 = bör vi h tt 4 e x S 16 med ett bsolut fel som med god mrginl är 1 7. Därför bör felet i pproximtionen e x dx S 16 vr 1 7. Alltså är e x dx = med sex korrekt decimler (d.v.s. med ett fel som är ) 16

17 Övningr. 1. En okänd funktion f(x) hr värden f() = 1 och f(.5) = 3. Använd linjär interpoltion för tt beräkn ett närmevärde till f(.17).. Utgå från likhetern 1.96 = 1.4,.5 = 1.5. Använd linjär interpoltion för tt uppsktt. Hur stort är det bsolut felet? Hur stort är det reltiv felet? 3. En funktion f(x) hr värden f() = 1 och f(.5) = 3. Använd trpetsformeln för tt beräkn ett närmevärde till.5 f(x)dx. 4. En funktion f(x) hr värden f() = 1, f(.5) =.5 och f(.5) = 3. Använd Simpsons formel v ordningen 1 för tt beräkn ett närmevärde till.5 f(x)dx. 5. Använd trpetsformeln v ordning ett för tt beräkn π/4 cos xdx. Hur stor blir de bsolut och reltiv felen? 6. Använd Simpsons formel v ordningen 1 (lltså S 1 ) för tt beräkn π/4 cos xdx. Hur stor blir de bsolut och reltiv felen? 7. Använd Simpsons formel v ordningen (lltså S ) för tt beräkn π/4 cos xdx. Hur stor blir de bsolut och reltiv felen? 8. Mn försöker beräkn π cos xdx med hjälp v S n i Simpsons formel. Använd stsens feluppskttning för tt ge en felgräns för det bsolut felet. Hur stort måste mn välj n för tt felgränsen skll undersitig 1 5? 9. Hur stort skll n väljs i Simpsons formel v ordningen n för tt mn säkert skll h tt I S n < 1 6 om ) I = b) I = 11 1 x 1 dx x 1 dx 1. Ge en felgräns för det bsolut felet i pproximtionen I S 16 om ) I = b) I = 1 sin xdx sin (x )dx 11. Använd en lämplig substitution för tt eliminer singulriteten i integrlen dx x(1 + sin(x)) 17

18 1. Använd en substitution v formen x = t α för tt eliminer singulriteten i integrlen x 3 e x dx 13. Förbered följnde två integrler för nvändning v Simpsons formel genom tt prtilintegrer 1 ) cos(x 11 )dx x b) ln(tn(x))dx 14. Bestäm ett R så tt restintegrlen blir mindre än Integrlen R e x 1 + x 3 dx 1 (1 + x ) 1 3 skll beräkns med en felgräns för det bsolut felet som är mindre än Använd Simpsons formel och uppskttning v restintegrlen. 16. Låt S 1 (m) vr närmevärdet enligt Simpsons formel med n = 1 till xm dx.(jämför exempel (3.)) Vis tt dx lim ( x m dx S 1 (m)) = 1 m Skriv en MATLAB-fil som beräknr S n i Simpsons formel enligt följnde specifiktion : S=simpson(f,,b,n) f=nmnet på den fil där funktionen definiers,b = intervllgränser n=ntlet indelningr i Simpsons formel Använd sedn dett progrm för tt beräkn S 1, S, S 4, S 8 för de båd integrlern ) b) π 1 cos(x)dx cos(x 3 )dx 18

19 Svr. 1. f(.17) med bsolut fel och reltivt fel f(x)dx f(x)dx π/4 cos xdx.674 med bsolut fel och reltivt fel S 1 = med bsolut fel och reltivt fel S = med bsolut fel och reltivt fel π 5 8. En felgräns för det bsolut felet är n 4.1 n 4. Dett fel understiger 1 5 om n 5 9. I ) räcker det tt välj n 37. I b) räcker det med n resp (exempelvis) 11. Substitutionen x = t dt ger integrlen 1 + sin(t ) 1. Substitutionen x = t 3 ger integrlen 3 e t3 dt 13. ) En prtilintegrtion ger integrlen b) En prtilintegrtion ger integrlen 14. R = 8 räcker. 15. R = 5. (Ett närmevärde är.5516) 16. Jämför exempel. 17. Mn får följnde siffervärden : x 1 1 sin(x 11 )dx x sin(x) dx ) n S n b) S n

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Mat Grundkurs i matematik 1, del II Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

Laboration i matematik Envariabelanalys 2

Laboration i matematik Envariabelanalys 2 Lbortion i mtemtik Envribelnlys Per-Anders Boo Institutionen för mtemtik och mtemtisk sttistik Umeå universitet Jnuri Regler och llmän informtion om lbortionen I denn lbortion finns uppgifter som skll

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

9 Dubbelintegralens definition

9 Dubbelintegralens definition Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)

Läs mer

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Projekt Analys 1 VT 2012

Projekt Analys 1 VT 2012 Mtemtikcentrum Mtemtik NF Projekt Anlys 1 VT 2012 Innehåll 1 En differentilekvtion 2 2 Epsilon och delt 4 3 Den logritmisk integrlen och primtl 6 4 Fltning och tt tämj vild funktioner 7 5 Tlet e 9 6 Anlytisk

Läs mer

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06

FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen 2006. 1. Integrler I denn sektion går vi igenom

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3

Teorifrå gor kåp. 5.2 9.3 Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Stokastiska variabler

Stokastiska variabler Kpitel 4 Stokstisk vribler Ett utfll v ett slumpmässigt försök är oft sådnt som inte direkt kn mäts. T.ex. försöket Kst med ett symmetriskt mynt hr utfllsrummet {kron, klve}. För tt kvntittivt nlyser försök

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. Från labben: Informationsteknologi. Beräkningsvetenskap I/KF

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. Från labben: Informationsteknologi. Beräkningsvetenskap I/KF Integrler Från len: Integrler Beräkningsvetenskp I/KF Trpetsformeln oc Simpsons formel Integrler Integrler Från len: Från len: Adptiv metod (dptiv Simpson) Lösning v integrl i Mtl: när integrnden är kontinuerlig

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson

Gauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I

Kompletterande teori för Envariabelanalys del A på I Kompletternde teori för Envrielnlys del A på I J A S, ht-04 1 Gränsvärden 1.1 Definitioner och räkneregler Att f(x) A (går mot A) när x (går mot ) sk etyd tt värden till funktionen f sk ligg när tlet A

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Föreläsning 8: Extrempunkter

Föreläsning 8: Extrempunkter Krlstds universitet Mtemtik Nicls Bernhoff Repetition: Bestämd integrl: Räkneregler: Föreläsning 8: Extrempunkter f(x)dx = [F(x)] b =F(b) F(), där F (x) = f(x) 1. 2. 3. 4. 5. 6. f(x)dx=0 f(x)dx= kf(x)dx=k

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

Appendix. De plana triangelsatserna. D c

Appendix. De plana triangelsatserna. D c ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans

Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Gruppuppgifter 1 MMA132, Numeriska metoder, distans Uppgifter märkta med redovisas 1. Läs om felkalkyl i enkla fall sidan 1.2-1.3. Givet a = 1,23, E a = 0,005 c = 0,00438 ± 0,5 10 5 b = 23,71, E b = 0,003

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009

Föreläsningsanteckningar i analys I januari 2009 Föreläsningsnteckningr i nlys I jnuri 009 Pvo Slminen Görn Högnäs bsert på Protter-Morrey: A First Course in Rel Anlysis Innehåll 1 Introduktion 5 1.1 De reell tlen................................... 5

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

10. Tillämpningar av integraler

10. Tillämpningar av integraler 90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016

TATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016 TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på

Läs mer

Reliability analysis in engineering applications

Reliability analysis in engineering applications Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1 Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q

Läs mer

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER

Läs mer

Om stationära flöden och Gauss sats i planet

Om stationära flöden och Gauss sats i planet Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler

FEM2: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i flera variabler MVE255 Mtemtisk nlys i fler vribler M FEM2: Rndvärdesproblem och finit elementmetoden i fler vribler 1 1.1 Prtiell integrtion Kom ihåg tt finit elementmetoden bygger på den svg formuleringen v rndvärdesproblemet

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Integraler och differentialekvationer

Integraler och differentialekvationer Föreläsningr över Integrler och differentilekvtioner för livnde ingenjörer Mikel P. Sundqvist 5 decemer 26 Innehåll Någr ord till läsren 5 Introduktion till kursen 7 2 Integrlegreppet 9 3 Integrlklkylens

Läs mer

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx)

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

f (a) sin

f (a) sin Hur kan datorn eller räknedosan känna till värdet hos till exempel sin0.23 eller e 2.4? Denna fråga är berättigad samtidigt som ingen tror att apparaterna innehåller en gigantisk tabell. Svaret på frågan

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys Mtemticentrum Mtemti NF ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Mtemtis Anlys en vribel Toms Clesson och Per-Anders Ivert Generliserde integrler och summor. Generliserde integrler över obegränsde intervll

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer