FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06
|
|
- Katarina Olofsson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Dett är föreläsningsnteckningr för distnskursen Mtemtik A - nlysdelen vid Uppsl universitet höstterminen Integrler I denn sektion går vi igenom integrler, den ndr huvuddelen i kursen Denition v integrl. Vår behndling v integrler hr sin grund i två på ytn helt olik problem, nämligen problemet tt hitt en invers opertion till derivering och problemet tt bestämm ren v området under (grfen v) en funktion. Det först problemet är lltså dett: om vi hr en funktion f så kn vi hitt derivtn f v funktionen men ntg tt vi istället vill hitt en funktion F så tt om mn deriverr F så får mn f, det vill säg F (x) = f(x), för ll x. Vi inför ett nmn för en sådn funktion F. Denition 1. Antg tt funktionen f är denierd på intervllet I. En funktion F klls primitiv funktion (eller nti-derivt) till f om F (x) = f(x), för ll x i I. Observer tt den primitiv funktionen, om den nns, inte är unik. Dock, om en funktion f hr två primitiv funktioner F (x) och G(x) så skiljer sig dess åt med en konstnt, det vill säg det nns en konstnt C så tt F (x) = G(x)+C, för ll x i I. För tt se dett kn mn betrkt dierensen (F G)(x) melln de primitiv funktionern. Derivtn v F G är noll på I och lltså är funktionen konstnt. Hur mn kn hitt en primitiv funktion till en given funktion återkommer vi till. Istället sk vi funder på hur mn kn bestämm ren v området melln en funktion och x-xeln (melln två givn x-värden). Den metod vi väljer bygger på tt vi delr in x-xeln i mång små intervll och tt vi på vrje intervll pproximerr ren under kurvn med rektnglr som är ungefär lik stor och vrs re vi lätt kn bestämm. Vi beskriver det hel lite mer formellt: Låt f vr en kontinuerlig funktion på intervllet [, b]. En prtition P v [, b] är en mängd punkter x i så tt P = { = x 1 < x 2 <... < x n = b}. Vi skriver x i = x i+1 x i för bredden på vrje delintervll. 1
2 2 JONAS ELIASSON Eftersom [x i, x i+1 ] är kompkt och f kontinuerlig så ntr funktion sitt störst och minst värde på intervllet, det vill säg det nns punkter l i, u i [x i, x i+1 ] så tt f(l i ) f(x) f(u i ), för ll x i [x i, x i+1 ]. Det betyder tt om vi betecknr ren v området melln kurvn y = f(x) och x-xeln för x melln x i och x i+1 med A i så är f(l i ) x i A i f(u i ) x i. Givet en funktion f och en prtition P denierr vi under Riemnnsummn L(f, P ) = n över Riemnnsummn U(f, P ) = n 1=1 f(l i) x i. 1=1 f(u i) x i. Denition 2. Om det för en funktion f nns exkt ett tl I så tt för vrje prtition P v intervllet [, b] vi hr tt L(f, P ) I U(f, P ), så säger vi tt f är integrerbr på [, b]. I är integrlen v f och beteckns I = 1.2. Grundläggnde stser om integrler. Att det nns väldigt mång integrerbr funktioner säger följnde sts, som vi tyvärr inte bevisr. Sts 1. Om funktionen f är kontinuerlig på intervllet [, b] så är f integrerbr på [, b]. Mn kn till och med utsträck stsen ovn genom tt säg tt styckvis kontinuerlig funktioner är integrerbr. En styckvis kontinuerlig funktion är en funktion som är denierd på er olik delintervll och kontinuerlig på dess men inte nödvändigtvis på hel intervllet. Integrlen räkns ut genom tt räkn ut integrlen på de olik delintervllen. Noter också tt värdet v en integrl inte beror på värdet hos funktionen i en punkt, det vill säg om mn denierr om funktionen så ändrs inte integrlen. Nu följer någr räkneregler för integrler. De est är gnsk självklr om mn tänker på integrlen som ren v en yt. f(x)dx = (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x)dx = 0. b f(x)dx + B g(x)dx.
3 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 3 c c f(x)dx + b f(x)dx = f(x)dx = f(t)dt. Om b och f(x) g(x), för ll x [, b] så f(x)dx g(x)dx. Tringelolikheten för integrler: om b så f(x)dx f(x) dx. Om f är en udd funktion, det vill säg f( x) = f(x), så f(x)dx = 0. Om f är en jämn funktion, det vill säg f( x) = f(x), så f(x)dx = Medelvärdestsen för integrler. Följnde sts är Medelvärdestsen för integrler. Sts 2. Låt f vr en kontinuerlig funktion på intervllet I = [, b]. Då nns c I så tt f(x)dx = (b )f(c). Bevis. Eftersom f är kontinuerlig på det slutn och begränsde intervllet I så ntr f sitt mx och min på I. Säg tt mx = M = f(u) och tt min = m = f(l). Betrkt prtitionen P = { = x 1 < x 2 = b}. Enligt denitionen v integrl så är L(f, P ) f(x)dx U(f, P ). I dett fll är L(f, P ) = f(l)(b ) och U(f, P ) = f(u)(b ). Alltså kn vi skriv om olikhetern ovn som f(l) 1 f(x)dx f(u). b Enligt Stsen om mellnliggnde värde nns ett c I så tt f(c) = 1 b Alltså f(x)dx = (b )f(c).
4 4 JONAS ELIASSON Denition 3. Om f är integrerbr på [, b] så är medelvärdet v f på [, b] f = 1 b 1.4. Anlysens huvudsts. Hittills hr vi inte föreslgit någon metod för tt räkn ut integrlen v en funktion. Men Anlysens huvudsts ger en sådn, och nu kommer också den primitiv funktionen till nvändning. Sts 3. Antg tt funktionen f är kontinuerlig på ett intervll I och tt I. Del 1: Denierd funktionen F på I genom F (x) = x f(t)dt. Då är F deriverbr på I och F (x) = f(x), för ll x I. Med ndr ord d x f(t)dt = f(x). dx Del 2: Låt G(x) vr någon primitiv funktion till f(x) på I (det vill säg G (x) = f(x)). Då är, för vrje b I, Bevis. Del 1: f(x)dx = G(b) G(). F F (x + h) F (x) (x) = lim h 0 h 1 x+h = lim f(t)dt h 0 h 1 = lim h 0 h x+h x f(t)dt x f(t)dt = lim (hf(c)), något c [x, x + h] h = lim f(c), c x när h 0 c x = f(x), f kontinuerlig. h 0 1 Del 2: Om G (x) = f(x) så är F (x) = G(x) + C på I, för någon konstnt C (två primitiv funktioner till smm funktion). Alltså x f(t)dt = F (x) = G(x) + C.
5 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 5 Sätt x =. Då 0 = G() + C, det vill säg C = G(). Sätt x = b och vi får f(t)dt = G(b) + C = G(b) G() Metoder för integrering. Nu hr vi formellt deniert integrlen smt vist smbndet melln integrl och primitiv funktion. Men tyvärr räcker inte det för tt räkn ut integrlen v mång vnlig funktioner. Istället får mn oft nvänd någon sorts knep eller strtegi och nedn följer en uppräkning v sådn. Primitiv funktion Iblnd kn mn nturligtvis nvänd Anlysens huvudsts för tt räkn ut en integrl. Om F är en primitiv funktion till f så hr vi lltså f(x)dx = [ ] b F (x) = F (b) F (). En nvändbr primitiv funktion tt komm ihåg är f (x) dx = ln f(x) + C. f(x) Vriblebyte Klls också substitution. Vribelbyte är en tillämpning v kedjeregeln för derivtor. Antg tt f är kontinuerlig och tt g är deriverbr. Då kn mn räkn ut integrlen f(g(x))g (x)dx med hjälp v vriblebytet u = g(x). Vi kn nu se u som en (implicit) funktion v x. Om vi deriverr båd sidor med vseende på x får vi du dx = g (x) vilket ger du = g (x)dx. Gränsern för den ny integrlen får vi gonom tt stopp in x = och x = b i g(x). Alltså f(g(x))g (x)dx = g(b) g() f(u)du. Bevis. Låt F vr en primitiv funktion till f, F (t) = f(t). enligt kedjeregeln d dx F (g(x)) = F (g(x))g (x) = f(g(x))g (x). Då är
6 6 JONAS ELIASSON Alltså är f(g(x))g (x)dx = = [ ] b F (g(x)) = F (g(b)) F (g()) [ ] g(b) g(b) F (x) = f(u)du. g() g() Prtiell integrtion På engelsk integrtion by prts. Prtiell integrtion kn mn nvänd när mn sk integrer produkten v två funktioner. Mn väljer vilken v funktionern mn sk deriver och vilken mn sk hitt en primitiv funktion till och sedn nvänder mn formeln f(x)g(x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx, där G (x) = g(x). Metoden är nvändbr till exempel om en v funktionern är ett polynom (som försvinner när den deriverts någr gånger) och den ndr funktionen är en trigonometrisk funktion eller exponentil funktion (som inte ändrs så mycket om mn tr en primitiv istället). Metoden bygger på räkneregeln för derivtn v en produkt. Bevis. Beräkn derivtn v f(x)g(x): d dx (f(x)g(x)) = f(x)g(x) + f (x)g(x). Integrer båd sidor så får mn: f(x)g(x) = f(x)g(x)dx + f (x)g(x)dx. Bryt ut f(x)g(x)dx och formeln är klr. Invers substitutioner Med invers substitution menr vi en substitution där vi byter ut integrtionsvribeln x mot en funktion v en nnn vribel, g(u). Om x = g(u) så kn vi deriver båd sidor med vseende på u och får dx du = g (u) vilket ger dx = g (u)du. För tt hitt en ny integrtionsgränser istället för x = och x = b får vi hitt u och u b så tt g(u ) = och g(u b ) = b. Alltså får vi följnde omskrivning f(x)dx = ub u f(g(u))g (u)du. I llmänhet ger lltså den invers substitutionen en mer komplicerd integrl än den ursprunglig. Men trots det nns det situtioner när denn typ v vriblebyten är nvändbr i integrtionsräkning.
7 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 7 Nedn följer någr exempel: Integrnden innehåller ett uttryck v formen 2 x 2, för x. Om mn då gör substitutionen x = sin u, för π/2 u π/2, så blir 2 x 2 = cos u, x 2 x 2 = tn u och dx = cos u du. Integrnden innehåller ett uttryck v formen 2 + x 2. Om mn då gör substitutionen x = tn u så blir 2 + x 2 = cos u och dx = cos 2 u du. Prtilbråksuppdelning På engelsk prttil frctions. Prtilbråksuppdelning är en del v ett llmänt schem för tt integrer rtionell funktioner. En rtionell funktion är en funktion som kn skrivs P (x) Q(x), där P (x) och Q(x) är polynom. Kom ihåg tt grdtlet hos ett polynom (grd(p (x))) är den störst exponenten i polynomet. Schem för tt integrer en rtionell funktion P (x)/q(x): Steg 1. Om grd(p (x)) grd(q(x)) gör polynomdivision. Steg 2. Om grd(p (x)) < grd(q(x)) och grd(q(x)) > 2 gör prtilbråksuppdelning. Steg 3. Om grd(p (x)) < grd(q(x)) och grd(q(x)) 2 integrer med hjälp v känd integrl, logritm som primitiv funktion eller vribelbyte. Prtilbråksuppdelning: syftet med prtilbråksuppdelning är tt skriv om en rtionell funktion som en summ v rtionell funktioner med lägre grdtl. För tt illustrer metoden kommer vi tt titt på fllet där Q(x) hr grd två och P (x) grd ett eller noll
8 8 JONAS ELIASSON (konstnt). Börj med tt fktoriser Q(x). Vi får då tre fll: Fll 1. Q(x) = (x 1 )(x 2 ), 1 2. Vi gör nu nsättningen P (x) Q(x) = A 1 x 1 + A 2 x 2. Vi kn nu sätt upp termern på högersidn på gemensmt bråkstreck. P (x) Q(x) = (A 1)(x 2 ) + (A 2 )(x 1 ). (x 1 )(x 2 ) Eftersom nämnren är lik på båd sidor måste täljrn vr lik. Om P (x) = px + q får vi ekvtionssystemet { p = A1 + A 2 q = A 1 2 A 2 1 Eftersom p och q och 1 och 2 är känd så kn vi hitt A 1 och A 2 och därmed skriv den rtionell funktionen P (x)/q(x) som summn v två rtionell funktioner där nämnrn hr grdtl ett. Fll 2. Q(x) = (x ) 2. Om vi skulle gör nsättningen ovn skulle båd termern i högerledet vr smm. Istället gör vi nsättningen P (x) Q(x) = A 1 x + A 2 (x ) 2. Sen fortsätter vi som i fll 1 (sätt upp på gemensmt bråkstreck, lös ekvtionssystem). Fll 3. Q(x) = x 2 + x + b (t.ex. x 2 + 1). Nu gör vi nsättningen P (x) Q(x) = A 1x + B x 2 + x + b. Sen fortsätter vi som i fll 1. För rtionell funktioner där nämnren hr högre grdtl än två är det br tt fktoriser nämnren och sen kombiner fllen ovn Generliserde integrler. All de integrler vi stött på hitills hr vrit v begränsde funktioner på slutn och begränsde intervll. Fktum är tt själv denitionen v integrl som vi sett br fungerr i sådn fll. Men det är lätt tt utök dentionen till så kllde generliserde integrler. Dess nns v två typer: integrlen över ett oändligt intervll eller integrlen v en obegränsd funktion. Denitionern ser ut som följer: f(x)dx = lim R Integrlen nns om gränsvärdet nns. R
9 FÖRELÄSNING 3 ANALYS MN1 DISTANS HT06 9 Antg tt funktionen f(x) är obegränsd eller odenierd i punkten. Då är f(x)dx = lim c c 1.7. Volymen hos en rottionskropp. När vi denierde integrlen så gjorde vi det som ren under en kurv. Det betyder inte tt llt mn räknr ut som integrl är en re. I fysiken nns det nturligtvis mång tillämpningr där resulttet v tt beräkn en integrl inte hr enheten kvdrtmeter. Men även i den ren mtemtiken kn mn räkn ut nnt med integrler: till exempel volymer. För tt beräkn llmän volymer nvänder mn nturligtvis helst så kllde dubbelintegrler (motsvrigheten till integrler för funktioner v två vribler). Dubbelintegrlen hr smm direkt förhållnde till volymen som (enkel-)integrlen hr till ren. Men för speciell typer v kroppr i tre dimensioner kn mn bestämm ders volym med hjälp v enkelintegrlen. Dess kroppr är rottionskropprn. En rottionskropp uppstår när mn tr en kurv i två dimensioner (y = f(x), för x b) och roterr den kring x- eller y-xeln (i princip kn mn roter den kring vilken linje som helst men vi håller oss till det enklste fllet). Vi kommer nu tt presenter två formler för tt beräkn volymen v en rottionskropp (beroende på om kurvn roterts kring x- eller y-xeln) som båd bygger på smm princip: vi kn bestämm voymen genom tt skiv upp kroppen i oändligt tunn skivor, bestämm ren v vrje skiv, och sedn integrer över dess reor. Mn kn se dett som en generlisering v enkelintegrlen: vi delr upp ren under lurvn i oändligt sml streck, bestämmer höjden v strecket (som är f(x)), och integrerr över höjdern för tt få ren. De två formlern heter skivformeln och sklformeln. Skivformeln: ntg tt en kropp K i tre dimensioner uppstått genom tt kurvn y = f(x), för x b, roterts kring x-xeln. Då ges volymen V v K v V = π (f(x)) 2 dx. Motivtion för formeln: för vrje c melln och b vill vi bestämm ren v den oändligt tunn skivn vid c. Eftersom kroppen uppstått genom tt y = f(x) roterts kring x-xeln så är skivn en disk. Disken hr rdie f(c) eftersom det är vståndet från x-xeln till kurvn vid c. Alltså hr disken re π(f(x)) 2. Nu integrerr vi ren för ll punkter melln och b och får formeln ovn.
10 10 JONAS ELIASSON Sklformeln: ntg tt en kropp K i tre dimensioner uppstått genom tt kurvn y = f(x), för x b, roterts kring y-xeln. Då ges volymen V v K v V = 2π x Motivtion för formeln: vi tänker på K som en lök och sklr v den skl efter skl. Vrje tunn skiv är nu istället en ihålig cylinder. För vrje c melln och b uppstår, när vi roterr kurvn kring y-xeln, ett ihåligt cylinderskl. Dess cylinderskl bildr tillsmmns hel K. För vrje c hr cylindersklet höjden f(c) och omkretsen är smm som för en cirkel med rdie c, lltså 2πc. Aren blir då 2πcf(c) och vi får formeln ovn.
SF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merSvar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.
Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merTILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna 21-25. Föreläsning 21, 27/1 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning, 7/ 00: Genomgånget på föreläsningrn - 5. Generliserde integrler. Vi hr vist tt den bestämd integrlen I b f
Läs merf(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.
Föreläsning. Integrl En förenkl efinition Antg tt f(x) å x b och tt f(x) är kontinuerlig är. Den bestäm integrlen b f(x)x efiniers som ren v ytn som begränss v y = f(t), y =, t = och t = b, se figur. Insättningsformeln
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merKapitel 6. f(x) = sin x. Figur 6.1: Funktionen sin x. 1 Oinas-Kukkonen m.fl. Kurs 6 kapitel 1
Kapitel 6 Gränsvärde 6. Definition av gränsvärde När vi undersöker gränsvärdet av en funktion undersöker vi vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, x, går mot ett visst värde. Frågeställningen
Läs merTATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merFöreläsning 7b. 3329 Längdskalan är L = 2 3
Föreläsning 7b 3329 Längdskln är L = 2 3 eller 2 : 3 som det oft skrivs i smbnd med krtor. Från teorin får vi tt A, reskln är längdskln i kvdrt det vill säg A = L 2. I denn uppgift ger det A = ( ) 2 2
Läs mer9 Dubbelintegralens definition
Nr 9, 5 pril -5, Ameli 9 ubbelintegrlens definition 9. Enkelintegrlen En ursprunglig tolkning v en enkelintegrl är ren under dess grf dvs ren melln funktionsgrfen oh x-xeln. å räkns reor under (söder om)
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merModul 6: Integraler och tillämpningar
Institutionen för Matematik SF65 Envariabelanalys Läsåret 5/6 Modul 6: Integraler och tillämpningar Denna modul omfattar kapitel 6. och 6.5 samt kapitel 7 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merVolymer av n dimensionella klot
252 Volymer av n dimensionella klot Mikael Passare Stockholms universitet Ett klot med radien r är mängden av punkter vars avstånd till en given punkt (medelpunkten) är högst r. Låt oss skriva B 3 (r)
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merTeorifrå gor kåp. 5.2 9.3
Teorifrå gor kåp. 5. 9.3 Repetition ) Härled formeln för prtiell integrtion ur nednstående smbnd: d F(x)g(x) = f(x)g(x) F(x)g (x) dx ) Vilken typ v elementär funktion brukr mn oftst välj tt deriver lltså
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 2: Derivata Institutionen för matematik KTH 8 september 2015 Derivata Innehåll om derivata (bokens kapitel 2). Definition vad begreppet derivata betyder Tolkning hur man kan tolka derivata Deriveringsregler
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III G. Gripenberg TKK 2 december 2010 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del III 2 december 2010 1 / 59 Vribelbyte b F (g(x))g (x) dx = b d F (g(x))
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs mer1 Föreläsning IX, tillämpning av integral
Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merAddition och subtraktion
Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik
Läs merLathund, procent med bråk, åk 8
Lathund, procent med bråk, åk 8 Procent betyder hundradel, men man kan också säga en av hundra. Ni ska kunna omvandla mellan bråkform, decimalform och procentform. Nedan kan ni se några omvandlingar. Bråkform
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merAlgebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument
Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merkonstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b 2 a b
Tentamen i Inledande matematik för V och AT, (TMV25), 20-0-26. Till denna uppgift skulle endast lämnas svar, men här ges kortfattade lösningar. a) Bestäm { konstanterna a och b så att ekvationssystemet
Läs merDerivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola
Derivt oc integrl tolkning v definitionern med jälp v Mxim Per Jönsson, Mlmö ögskol 1 Derivtns definition Betrkt en funktion f(x). Differenskvoten f(x + ) f(x) kn geometriskt tolks som riktningskoefficienten
Läs merSF1620 Matematik och modeller
KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF160 Matematik och modeller 007-09-10 Andra veckan Trigonometri De trigonometriska funktionerna och enhetscirkeln Redan vid förra veckans avsnitt var
Läs merMat Grundkurs i matematik 1, del II
Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II G. Gripenberg TKK 12 november 2009 G. Gripenberg (TKK) Mt-1.1510 Grundkurs i mtemtik 1, del II 12 november 2009 1 / 44 Mx och min Om A R så är mx A det störst elementet
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merTräning i bevisföring
KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Bråktal -3-2 -1 0 1 2 3. Läs av vilka tal på tallinjen, som pilarna pekar på. Uppgift nr 10 -3-2 -1 0 1 2 3
Bråktal Uppgift nr En limpa delas i 4 lika stora delar. Hur stor del av limpan blir varje del? Uppgift nr 2 Hur många tiondelar behövs för att det skall räcka till en hel? Uppgift nr Hur läser man ut bråket
Läs merStokes sats och Integralberäkning Mats Persson
Föreläsning 5/9 tokes sts och Integrlberäkning Mts Persson 1 tokes sts Först given på skrivningen för mith sk priset i februri 185 i mbridge. Bäst student J.. Mxwell). ts: Den slutn kurvn är rnden till
Läs merFacit med lösningsförslag kommer att anslås på vår hemsida www.ebersteinska.norrkoping.se. Du kan dessutom få dem via e-post, se nedan.
Detta häfte innehåller uppgifter från fyra olika områden inom matematiken. Meningen är att de ska tjäna som en självtest inför gymnasiet. Klarar du dessa uppgifter så är du väl förberedd inför gymnasiestudier
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merSERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER
SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 36 En webbserd nlyskurs Grundbok X. Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com X. Integrlklkyl (8) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 7 mrs 16 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer, men
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.1 0.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merSnabbslumpade uppgifter från flera moment.
Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merOM KOMPLEXA TAL. 1 Om a är ett positivt reellt tal så betecknar a det positiva reella tal vars kvadrat är a men det är
OM KOMPLEXA TAL Inledning. Vilka olika talområden finns det? Jag gör en snabb genomgång av vad ni tidigare stött på, bl.a. för att repetera standardbeteckningarna för de olika talmängderna. Positiva heltal,
Läs mer4-6 Trianglar Namn:..
4-6 Trianglar Namn:.. Inledning Hittills har du arbetat med parallellogrammer. En sådan har fyra hörn och motstående sidor är parallella. Vad händer om vi har en geometrisk figur som bara har tre hörn?
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs merNumerisk Integration En inledning för Z1
Numerisk Integrtion En inledning för Z1 Jörgen Löfström Reviderd v TG 1 Olik typer v fel 1.1 Avrundningsfel och trunkeringsfel Vid ll numerisk beräkning förekommer två huvudtyper v fel, vrundningsfel och
Läs merPolynominterpolation av kontinuerliga
Polynominterpoltion v kontinuerlig funktioner Smmnfttning Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com I det här dokumentet diskuterr vi lite kring hur mn kn pproximer kontinuerlig funktioner med
Läs merIdag. Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra?
Idag Hur vet vi att vår databas är tillräckligt bra? Vad är ett beroende? Vad gör man om det blivit fel? Vad är en normalform? Hur når man de olika normalformerna? DD1370 (Föreläsning 6) Databasteknik
Läs merSamling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018
Smling v bevis som krävs på tentn MVE5, 8 Meelväresstsen för integrler. Det är Theorem, på si. i Ams. Lecture, si. -8 Om f är en kontinuerlig funktion på intervllet [; b], så nns et en punkt c [; b] sån
Läs merSEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER
SEPARABLA DIFFERENTIALEKVATIONER En differentialekvation (DE) av första ordningen sägs vara separabel om den kan skrivas på formen P ( y) Q( ) () Den allmänna lösningen till () erhålles genom att integrera
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merOm konvergens av funktionsföljder
Anlys 36 En webbserd nlyskurs Anlysens grunder Om konvergens v funktionsföljder Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.om Om konvergens v funktionsföljder 1 (12) Introduktion I det här kpitlet
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merErfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare
Erfarenheter från ett pilotprojekt med barn i åldrarna 1 5 år och deras lärare I boken får vi följa hur barn tillsammans med sina lärare gör spännande matematikupptäckter - i rutinsituationer - i leken
Läs merAnalys -Volym. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Volym - 1
Anlys -Volym Teori Så beräkns volymen v en rottionskropp med snittren A(). Teori Sklmetoden för volymberäkningr.. Modell Sklmetoden för volymberäkningr... Modell Beräkning v volym om inte A() är cirkulär.
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14
Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler
Läs merÖvningshäfte i matematik för. Kemistuderande BL 05
Övningshäfte i matematik för Kemistuderande BL 05 Detta häfte innehåller några grundläggande övningar i de delar av matematiken som man har användning för i de tidiga kemistudierna. Nivån är gymnasiematematik,
Läs merExempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1
Exempel på tentamensuppgifter i LMA100, del 1 Diskret matematik 1. Givet är de 7 bokstäverna i ordet APPARAT. Hur många olika ord (= bokstavspermutationer) kan man bilda av dem med (a) 7 bokstäver (b)
Läs merSKOGLIGA TILLÄMPNINGAR
STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs mer3.1 Linjens ekvation med riktningskoefficient. y = kx + l.
Kapitel Analytisk geometri Målet med detta kapitel är att göra läsaren bekant med ekvationerna för linjen, cirkeln samt ellipsen..1 Linjens ekvation med riktningskoefficient Vi utgår från ekvationen 1
Läs merLaborationstillfälle 3 Numerisk integration
Lbortionstillfälle 3 Numerisk integrtion Målsättning vid lbtillfälle 3: Klr v lbortionsuppgift. Innn dess läser mn hel texten nog. I mån v tid görs övning, men den är gnsk svår. Numerisk integrtion Oft
Läs mer16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga
Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde
Läs mer