NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6"

Transkript

1 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter utn miniräknre 0 Del I # (/0) Deriver Del I # (/0) Loklt mimum Del I # (/0) Miml höjd Del I # 4 (/0) Brt ut och förenkl Del I # 5 (/0) Förenkl Del I # 6 (/0) Konstnt lutning? Del I # 7 (0/) Lös ekvtion Del I # 8 (// ) Är lg 9 <? Del I # 9 (/) Lik lutning hos grfer Del I # 0 (0// ) Ett bevis Förslg på lösningr till uppgifter med miniräknre 0 Del II # (/0) Geometrisk summ Del II # (/) Beräkn mimum Del II # (/0) Grfritnde miniräknre Del II # 4 (0/) Eponentilfunktionen Del II # 5 (// ) Formler i sjukmp Del II # 6 (// ) Derivering på olik sätt Del II # 7 (0/4/ ) Eponentiell vsvlning Del II # 8 (/4/ ) Volmoptimering v pket c G Robertsson buggr

2 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Förord Uppgifter till kursen Mtemtik C duger utmmärkt för träning till kurser enligt G 0. Denn version v lösningrn refererr till den FORMELSAMLING som hör till kursen Mtemtik. Kom ihåg Mtemtik är tt vr tdlig och logisk Använd tet och inte br formler Rit figur (om det är lämpligt) Förklr införd beteckningr Du sk vis tt du kn Formuler och utvecklr problem, nvänd generell metoder/modeller vid problemlösning. Anlser och tolk resultt, dr slutstser smt bedöm rimlighet. Genomför bevis och nlser mtemtisk resonemng. Värder och jämför metoder/modeller. Redovis välstrukturert med korrekt mtemtiskt språk M M Mb c G Robertsson buggr

3 NpMC vt 005 Version Skolverket hänvisr generellt beträffnde provmteril till bestämmelsen om sekretess i 4 kp. sekretesslgen. För dett mteril gäller sekretessen frm till och med den 0 juni 005. Anvisningr NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Provtid 40 minuter för Del I och Del II tillsmmns. Vi rekommenderr tt du nvänder högst 60 minuter för rbetet med Del I. Hjälpmedel Del I: Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs C, D och E. Observer tt miniräknre ej är tillåten på denn del. Del II: Miniräknre och Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs C, D och E. Provmterilet Provmterilet inlämns tillsmmns med din lösningr. Skriv ditt nmn och komvu/gmnsieprogrm på de ppper du lämnr in. Lösningr till Del I sk lämns in innn du får tillgång till miniräknren. Redovis därför ditt rbete på Del I på seprt ppper. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. Provet Provet består v totlt 8 uppgifter. Del I består v 0 uppgifter och Del II v 8 uppgifter. Till någr uppgifter (där det står Endst svr fordrs) behöver br ett kort svr nges. Till övrig uppgifter räcker det inte med br ett kort svr utn det krävs tt du skriver ned vd du gör, tt du förklrr din tnkegångr, tt du ritr figurer vid behov och tt du vid numerisk/grfisk problemlösning visr hur du nvänder ditt hjälpmedel. Uppgift 8 är en större uppgift, som kn t upp till en timme tt lös fullständigt. Det är viktigt tt du försöker lös denn uppgift. I uppgiften finns en beskrivning v vd lärren sk t hänsn till vid bedömningen v ditt rbete. Försök tt lös ll uppgiftern. Det kn vr reltivt lätt tt även i slutet v provet få någon poäng för en påbörjd lösning eller redovisning. Även en påbörjd icke slutförd redovisning kn ge underlg för positiv bedömning. Poäng och Provet ger mimlt 44 poäng. betgsgränser Efter vrje uppgift nges miml ntlet poäng som du kn få för din lösning. Om en uppgift kn ge g-poäng och vg-poäng skrivs dett (/). Någr uppgifter är mrkerde med, vilket innebär tt de mer än ndr uppgifter erbjuder möjligheter tt vis kunskper som kn koppls till MVG-kriteriern. Undre gräns för provbetget Godkänd: poäng. Väl godkänd: Mcket väl godkänd: 6 poäng vrv minst 6 vg-poäng. Utöver krven för Väl godkänd sk du h vist prov på flertlet v de MVG-kvliteter som de -märkt uppgiftern ger möjlighet tt vis. Du sk dessutom h minst vg-poäng. Nmn: Skol: Komvu/gmnsieprogrm:

4 NpMC vt 005 Version Del I Denn del består v 0 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din lösningr på denn del görs på seprt ppper som sk lämns in innn du får tillgång till din miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre.. Bestäm derivtn till ) f ( ) = 6 Endst svr fordrs (/0) b) f 4 ( ) = 5e Endst svr fordrs (/0). Funktionen = f () hr ett loklt mimum för = 5 Vilket värde hr f (5)? Endst svr fordrs (/0). Kninen Tösen från Dnmrk stte 997 världsrekord i höjdhopp för kniner. Enligt en modell gäller tt Tösens höjd under hoppet ges v h( ) = 4 4 där h är höjden i meter över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet. Beräkn med hjälp v derivt Tösens miml hopphöjd. (/0) 4. Brt ut och förenkl 4 7 (/0) 5. Använd konjugtregeln och förenkl + 9 (/0)

5 NpMC vt 005 Version 6. En kompis till dig funderr på hur kurvn = + ser ut och påstår sedn: Lutningen är lltid lik med 4, överllt på kurvn. Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) 7. Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) 9. Figuren visr grfern till = f () och = g() För vilket eller vilk gäller tt f ( ) = g ( )? Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// )

6 NpMC vt 005 Version Del II Denn del består v 8 uppgifter och är vsedd tt genomförs med miniräknre. Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre.. En viss geometrisk summ kn beräkns med (,0 ),0 ) Skriv ut termern i den geometrisk summ som kn beräkns med uttrcket ovn. (/0) b) Formuler ett problem som hndlr om en verklig sitution. Ditt problem (,0 ) sk kunn löss genom tt beräkn uttrcket,0 (/0). Fältforskningsenheten vid Sveriges Lntbruksuniversitet hr undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkr skördens storlek för olik kornsorter. För kornsorten Bronesse gäller funktionen f ( ) = 0,00 0,8 + 05, där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. Hur mcket kväve sk tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/). Anders hr fått en grfritnde miniräknre. Förklr för Anders hur hn sk gör för tt lös ekvtionen 6 = 9 med sin grfritnde miniräknre. (/0) 4. I börjn v år 000 köpte Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. Beräkn den årlig procentuell värdeminskningen för hennes fondndelr. (0/)

7 5. Crolin Klüft tävlr i sjukmp och är en v Sveriges främst medljkndidter i världsmästerskpen i friidrott 005. I sjukmp tävlr deltgrn i olik grenr. För tt kunn summer resultten från dess grenr räkns resulttet i vrje gren om till poäng. Interntionell friidrottsförbundet (IAAF) hr bestämt de två formler som nvänds för poängberäkning. NpMC vt 005 Version För löpgrenr nvänds: Poäng = ( b M ) c För kst- och hoppgrenr nvänds: Poäng = ( M b) c Förklring: M = Uppmätt resultt (löpning i sekunder, hopp i centimeter, kst i meter), b, c = konstnter, se tbellen nedn (b är det sämst resultt som ger poäng) Konstnter Gren b c 00 m 4, ,5,8 800 m 0,9 54,88 00 m häck 9,076 6,7,85 Höjdhopp,845 75,48 Längdhopp 0, ,4 Kul 56,0,5,05 Spjut 5,980,8 ) Det svensk rekordet i längdhopp för dmer är 699 cm. Hur mång poäng får Crolin om hon hoppr så långt i en sjukmp? (/0) b) Värdet på konstnten c för spjutkstning hr fllit bort i tbellen. Bestäm c om du vet tt ett kst på 48 meter ger 8 poäng. (/0) c) Vid OS i Aten 004 hde Crolin 6047 poäng inför sist grenen som vr 800 m. Vilken tid hde hon behövt spring på för tt slå det då gällnde europrekordet 7009 poäng? (/) d) Vrför nvänds två olik formler? (0// )

8 NpMC vt 005 Version 6. I denn uppgift sk du bestämm derivtns värde till f ( ) = + i den punkt på kurvn där = 4 ) Lös uppgiften med hjälp v deriveringsregler. (/0) b) Lös uppgiften med hjälp v lämplig ändringskvot. (/0) c) Lös uppgiften med hjälp v derivtns definition. (0// ) 7. En termos flls med hett kffe och plcers direkt utomhus där temperturen ligger kring noll grder. Temperturen på kffet vtr eponentiellt med tiden. Efter 4 timmr är temperturen 76 C och vid smm tidpunkt minskr temperturen med hstigheten 4, C per timme. ) Vilken vr temperturen på kffet då det hälldes i termosen? (0// ) b) Kffet nses drickbrt så länge dess tempertur inte understiger 55 C. Hur lång tid efter tt mn hällt kffet i termosen är det fortfrnde drickbrt? (0/)

9 NpMC vt 005 Version Vid bedömning v ditt rbete med denn uppgift kommer lärren tt t etr hänsn till Hur generell din lösning är Hur väl du motiverr din slutstser Hur väl du utför din beräkningr Hur väl du redovisr ditt rbete Hur väl du nvänder det mtemtisk språket 8. Micke och Peter hr strtt ett företg inom Ungt Företgnde (UF). De säljer tröjor med trcket "Mmm... mtemtik" och hr kunder i ll delr v lndet. Därför tänker de skick tröjorn med posten. För tt t red på vd som gäller för tt skick pketen går de in på Postens hemsid. Där hittr de en måttguide som innehåller informtionen nedn: Längd + bredd + bredd + höjd + höjd får vr m 00 cm Längd: Bredd: Höjd: m 50 cm m 70 cm m 5 cm De vill skick tröjorn i pket som hr så stor volm som möjligt, utn tt överskrid Postens mimimått. Micke tror tt ett kubiskt pket ger störst volm. Peter tror tt volmen blir ännu större om pketet inte hr formen v en kub, men bredd och höjd är lik. Vilken v de två tpern v pket ger störst möjlig volm? Är smm tp v pket störst om begränsningen 00 cm ändrs? (/4/ )

10 NpMC vt 005 Version Kurs plnering Del I.se NpMC vt005 0(5) Denn del består v 0 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Din lösningr på denn del görs på seprt ppper som sk lämns in innn du Del får tillgång I # till din (/0) miniräknre. Deriver Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre.. Bestäm derivtn till ) f ( ) = 6 Endst svr fordrs (/0) b) f 4 ( ) = 5e Endst svr fordrs (/0) Använd FORMELSAMLINGEN.. Funktionen = f () hr ett loklt mimum för = 5 f() Vilket = värde hr f (5)? NpMC vt 005 Version 6 Endst svr fordrs (/0) f () = 6 Del I Denn del består v 0 uppgifter och är vsedd tt genomförs utn miniräknre. Svr. Din ) Kninen lösningr f () Tösen = på denn från Dnmrk 6. del görs stte på seprt 997 världsrekord ppper som i höjdhopp sk lämns för kniner. innn du får tillgång Enligt en till modell din miniräknre. gäller tt Tösens höjd under hoppet ges v Observer f() h( ) = tt 4 5 rbetet e 4 4 med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. f () = 5 4 e 4 = 0 e 4. där Bestäm h är derivtn höjden i meter till över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet. Svr b) ) f () f ( ) = 0 e 4 6. Endst svr fordrs (/0) Beräkn med hjälp v derivt Tösens miml hopphöjd. (/0) b) f 4 ( ) = 5e Endst svr fordrs (/0) Del I # (/0) Loklt mimum. Funktionen = f () hr ett loklt mimum för = 5 Vilket värde hr f (5)? Endst svr fordrs (/0) Vid loklt etremvärde (mimum eller minimum) är lltid derivtn 0.. Kninen Tösen från Dnmrk stte 997 världsrekord i höjdhopp för kniner. Enligt en modell gäller tt Tösens höjd under hoppet ges v Svr f (5) = 0. h( ) = 4 4 där h är höjden i meter över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet Brt ut och förenkl (/0) Beräkn med hjälp v derivt 7 Tösens miml hopphöjd. (/0) 5. Använd konjugtregeln och förenkl + 9 c G Robertsson buggr (/0)

11 ) f ( ) = 6 Endst svr fordrs (/0) b) f 4 ( ) = 5e Endst svr fordrs (/0) Kurs plnering.se NpMC vt005 (5). Funktionen = f () hr ett loklt mimum för = 5 f? Endst svr fordrs (/0) Del Vilket I # värde hr (/0) (5) Miml höjd. Kninen Tösen från Dnmrk stte 997 världsrekord i höjdhopp för kniner. Enligt en modell gäller tt Tösens höjd under hoppet ges v h( ) = 4 4 där h är höjden i meter över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet. Beräkn med hjälp v derivt Tösens miml hopphöjd. (/0) Höjden h ges v 4 4. Brt ut och förenkl h() = Deriver. Använd FORMELSAMLINGEN. h () = 4 4 = 4 8 Vid mimum är derivtn Använd 0 = konjugtregeln 4 8 och förenkl 9 Beräkn miml höjd h(0,5) h(0,5) = 4 0,5 4 0,5 = = (/0) (/0) Svr Mimipunktens -koordint är 0,5 och miml höjd är meter. c G Robertsson buggr

12 där h är höjden i meter över golvet och där är vståndet i meter längs golvet från vstmpet. Beräkn med hjälp v derivt Tösens miml hopphöjd. (/0) Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Del I # 4 (/0) Brt ut och förenkl 4. Brt ut och förenkl 4 7 (/0) M M 4 (7 ) = 5. 7Använd konjugtregeln 7 och = förenkl = + 9 (/0) Svr. 4. Brt ut och förenkl 4 7 Del I # 5 (/0) Förenkl 5. Använd konjugtregeln och förenkl Använd FORMELSAMLINGEN Algebr + Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs 9 (/0) (6) (/0) M M Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b ( + b)( b) = b ( b) = b + b b ( + b) = + b + b + b + b = ( + b)( b + b b = ( b)( + b + b ) ) Andrgrdsekvtioner + p + q = = + ( + )( ) = ( ) p = ± p q Aritmetik Svr Prefi T G M k h d c m µ n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Potenser = + = ( ) = = c G Robertsson buggr = n n = b = ( b) b b = Geometrisk summ + k + k k n n ( k ) = k där k

13 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Del I # 6 (/0) Konstnt lutning? NpMC vt 005 Version 6. En kompis till dig funderr på hur kurvn = + ser ut och påstår sedn: Lutningen är lltid lik med 4, överllt på kurvn. Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) Lutning betder derivt. Deriver funktion = 7. Lös ekvtionen +. (8 6) = 0 (0/) Använd FORMELSAMLINGEN. Vi får = = 4 och denn funktion är inte konstnt. 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) Svr Lutningen är inte konstnt. 9. Figuren visr grfern till = f () och = g() För vilket eller vilk gäller tt f ( ) = g ( )? Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) c G Robertsson buggr

14 NpMC vt 005 Version 6. En kompis till dig funderr på hur kurvn = + ser ut och påstår sedn: Kurs plnering Lutningen.se är lltid lik med 4, överllt NpMCpå vt005 kurvn. 4(5) Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) Del I # 7 (0/) Lös ekvtion (6) 7. Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) Formler till ntionellt prov i mtemtik kurs Städ Algebr och brt ut fktorn 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) Regler 0 = ( 8 6 ) } {{ ( + b) } = }{{} + b + b ( b) = b + b b : grdsekv =0 ( b) = b + b ( + b) = + b + b + b Vi hr nu en lösning ( + b)( b) = b = 0. + b = ( + b)( b + b ) Lös 9. :Figuren grdsekvtionen visr grfern medtill pq-formeln = f () och som finns = g( ) i FORMELSAMLINGEN. b = ( b)( + b + b ) Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 p = ± p q :Aritmetik grdsekvtionen är 0 = Prefi }{{} T } {{ } G M k h d c m µ n p pq-formeln ger ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko = = = = = 4 0 = 4. Svr = 0, = 4 och = + 4. Potenser = = ( ) = = Kommentr En tredjegrdsekvtion hr lltid minst en rot och högst tre rötter. På sidn uppgift finns grfer som illustrerr = b = ( b) de olik möjlig fllen. n n b b = 0 = För vilket eller vilk gäller tt f ( ) = g ( )? Kommentr Du får inte svr Motiver ditt svr med tet och/eller = 0 och genom = 4. Du måste h med den tredje roten ntt rit en figur. (/) = Geometrisk 4. n ( k ) + k + k k = där k summ k Logritmer = 0 = lg = e = ln 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg Absolutbelopp p= 8 q=+6 om 0 = om < 0 c G Robertsson buggr

15 Lutningen är lltid lik med 4, överllt på kurvn. Aritmetik Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) Prefi T G M k h d c m µ n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Kurs plnering.se NpMC vt005 5(5) Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) Del I # 8 (// ) Är lg 9 <? Potenser = + = ( ) = = 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) = b = ( b) n n b b = 0 = Använd Geometrisk FORMELSAMLINGEN n ( k ) + k + k k = där k summ 9. Figuren visr grfern till = f () och k = g() n Logritmer = 0 = lg = e = ln lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg Följnde tbell visr Absolutbelopp om 0 tt = lg 9 <. om < 0 = 0 0 nnorlund uttrckt lg = 0 (6) 9 = 0 lg 9 lg 9 < 0 0 = 0 nnorlund uttrckt lg 0 = Differentil- och integrlklkl Enligt uppgiften krävs ett motiv. Finns det någon möjlighet tt lg 9? Är funktionen = 0 Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) strikt vände? Ger ett större f ( ) = limockså ett h större =? lim h 0 Enligt FORMELSAMLINGEN gäller -0- Skolverket För vilket eller vilk gäller tt f ( ) g Derivtor Funktion = ( ) Derivt? Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) n n där n är ett reellt tl n ( > 0) ln 5 0. Vis = tt 0 f ( ln ) 0 0> e för 0. ll om f ( ) = A + e B och A och B är positiv Funktionen konstnter. = 0 är lltså strikt vände för ll. (0// ) k k e k e Svr lg 9 <. Kommentr 6 och 7. Skolverkets f ( ) rättningsnorm + g( ) för denn f ( ) uppgift + g ( ) finns på de följnde sidorn Primitiv Funktion Primitiv funktion c funktioner G Robertsson buggr k k + C n e ( n ) + n + C n + e + C

16 Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng 7. M 0/ Kurs plnering Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng Godtgbr.se nsts, t e fktoriserr NpMC uttrcket vt005 + vg 6(5) 7. M 0/ med korrekt svr ( =, 4 ) + vg 0, = NpMC vt 005 Version Godtgbr nsts, t e fktoriserr uttrcket 8. med korrekt svr ( = 0,, = 4 ) M + // vg Korrekt svr ( lg 9 < ) med försök till motivering, t e genom tt hänvis 8. till tt lg 0 = M // + g Korrekt med godtgbr svr ( lg motivering, 9 < ) med t försök e genom till motivering, tt försök t påvis e genom tt funktionen tt hänvis är vände till tt lg 0 genom = tt nge värden för någr olik logritmer + + vg g med godtgbr motivering, t e genom tt försök påvis tt funktionen är vände genom tt nge värden för någr olik logritmer + vg MVG-kvlitet visr eleven i denn uppgift genom tt: Formulerr och utvecklr problem, nvänd generell metod: Eleven strker tt lg 9 < nvänder generell metoder/modeller med ett generellt resonemng, t e genom tt hävd vid problemlösning MVG-kvlitet tt = visr lg är eleven en vände i denn funktion. uppgift genom tt: Anlserr Formulerr och och tolkr utvecklr resultt, problem, drr nvänd generell metod: Eleven strker tt lg 9 < slutstser nvänder generell smt bedömer metoder/modeller rimlighet med ett generellt resonemng, t e genom tt hävd Genomför vid problemlösning bevis och nlserr genomför tt = lg bevis: är en vände Eleven gör funktion. t e en omskrivning mtemtisk Anlserr och resonemng tolkr resultt, drr med hjälp v definitionen och kn därigenom slutstser smt bedömer rimlighet diskuter värdet v lg 9 på ett obestridligt sätt. Värderr Genomför och bevis jämför och metoder/modeller nlserr genomför bevis: Eleven gör t e en omskrivning mtemtisk resonemng med hjälp v definitionen och kn därigenom Redovisr välstrukturert med korrekt diskuter värdet v lg 9 på ett obestridligt sätt. mtemtiskt Värderr och språk jämför metoder/modeller Redovisr välstrukturert med korrekt mtemtiskt Eempel språk på elevlösningr och hur de poängsätts ges nedn. Andr lösningsförslg sk bedöms på likvärdigt sätt. Eempel på elevlösningr och hur de poängsätts ges nedn. Andr lösningsförslg Elevlösning sk bedöms ( g på och likvärdigt vg) sätt. + vg Elevlösning ( g och vg) Kommentr: Eleven försöker, med någr specilfll, påvis tt funktionen är vände. Elevlösningen är knpphändig, vilket gör tt kvliteten i elevlösningen bedöms vr precis över gränsen för erhållnde v g och vg-poäng. Kommentr: Eleven försöker, med någr specilfll, påvis tt funktionen är vände. Elevlösningen är knpphändig, vilket gör tt kvliteten i elevlösningen bedöms vr precis över gränsen för erhållnde v g och vg-poäng. 8 8 c G Robertsson buggr

17 NpMC vt 005 Version Kurs plnering.se NpMC vt005 7(5) Uppg. Bedömningsnvisningr NpMC vt 005 Version Poäng Elevlösning ( g och vg och en v MVG-kvlitetern) Uppg. Bedömningsnvisningr Poäng Elevlösning ( g och vg och en v MVG-kvlitetern) Kommentr: Eleven hävdr tt = lg är vände i ett intervll och försöker därmed, på ett generellt pln, förklr vrför lg 9 <. Elevlösningen uppvisr MVG-kvlitet. Elevlösning Kommentr: Eleven ( g och hävdr vg tt och två = lgv MVG-kvlitetern) är vände i ett intervll och försöker därmed, på ett generellt pln, förklr vrför lg 9 <. Elevlösningen uppvisr MVG-kvlitet. Elevlösning ( g och vg och två v MVG-kvlitetern) Kommentr: Eleven nvänder definitionen för tt övergå till värden som lätt kn rngordns i storlek. Lösningen är generell och hr krktären v ett bevis. Den uppvisr två MVGkvliteter. Kommentr: Eleven nvänder definitionen för tt övergå till värden som lätt kn rngordns i storlek. Lösningen är generell och hr krktären v ett bevis. Den uppvisr två MVGkvliteter. M 9. / Bedömningsnvisningen nedn visr hur elevens lösning sk poängsätts. 9. M / Lägre Högre Bedömningsnvisningen nedn visr hur elevens lösning sk poängsätts. Eleven ger ett Eleven ger ett godtgbrt svr (, 5 ) och en godtgbrt Lägre svr godtgbr motivering, f () hr smm lutning Högre som (, 5 ) g () Eleven ger ett Eleven ger ett godtgbrt svr (, 5 ) och en eller godtgbrt svr eller godtgbr motivering, f () hr smm lutning som (, 5 ) en godtgbr g () en godtgbr motivering som underförstått innehåller ett motivering, eller t e godtgbrt svr, t e Det för vilket f () hr smm f () hr smm eller lutning som g () lutning en godtgbr som g () en godtgbr motivering som underförstått innehåller ett motivering, t e f () hr g godtgbrt svr, t e Det smm g och för vilket vg f () hr smm lutning som g () lutning som g () g g och vg 9 c G Robertsson buggr

18 7. Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) Kurs plnering.se NpMC vt005 8(5) 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) NpMC vt 005 Version Del I # 9 (/) Lik lutning hos grfer 6. En kompis till dig funderr på hur kurvn = + ser ut och påstår sedn: Lutningen är lltid lik med 4, överllt på kurvn. 9. Figuren visr grfern till = f () och = g() Hr din kompis rätt? Motiver ditt svr. (/0) 7. Lös ekvtionen (8 6) = 0 (0/) 8. Är lg 9 större eller mindre än? Motiver ditt svr. (// ) 9. Figuren visr grfern till = f () och = g() För vilket eller vilk gäller tt f ( ) = g ( )? Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) Vi sk lltså finn det -värde där f() och g() hr smm lutning Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) Det gäller tt g ( ) är positiv och f ( ) negtiv, lltså är g ( ) > f ( ). I punkten = 4 är detför tvärtom, vilket eller g (4) vilk < f (4). gäller Någonstns tt f ( ) = i gintervllet ( )? [, 4] måste derivtorn vr lik. Det Motiver är svårt ditt tt svr vgör med tet ekt och/eller vr. För genom,5 tt rit seren lutningrn figur. ut tt vr lik. (/) Svr För,5 ser det ut som derivtorn är lik Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) c G Robertsson buggr

19 Kurs plnering För vilket.seeller vilk gäller tt NpMC f ( ) = g vt005 ( )? 9(5) Motiver ditt svr med tet och/eller genom tt rit en figur. (/) Del I # 0 (0// ) Ett bevis 5 0. Vis tt f ( ) 0 för ll om f ( ) = A + B och A och B är positiv konstnter. (0// ) Givet f() = A 5 + B då blir f () = A } {{ 5} 4 + B } {{ }. >0 >0 Det gällr tt { = > 0 : 0 = 0 : = 0. Produkten v positiv tl är positiv och summn v positiv tl är positiv. Produkt med fktorn 0 blir 0. För ll gäller då f () = (A 5 + B ) } {{ } }{{} >0 0 vilket skulle viss. 0 c G Robertsson buggr

20 Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b b NpMC vt 005 Version ( b) = b + b ( + b) = + b + b + b ( + b)( b) = b Del II + b = ( + b)( b + b Kurs Denn plnering del består.se v 8 uppgifter och NpMC är vsedd vt005 tt genomförs b = ( b)( med + miniräknre. b + b ) 0(5) Observer tt rbetet med Del II kn påbörjs utn tillgång till miniräknre. ) Del II # (/0) Geometrisk summ p p Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 = ± q Mb. En viss geometrisk summ kn beräkns med Aritmetik (,0 ),0 Prefi ) Skriv ut termern T G i den M geometrisk k summ h d som kn c beräkns m med µ n p uttrcket ovn. (/0) ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko b) Formuler 0ett problem som 6 hndlr 0 om 0 en 0 verklig - 0sitution. - - Ditt 0problem (,0 ) sk kunn löss genom tt beräkn uttrcket (/0) +,0 = = ( ) = = Potenser Använd FORMELSAMLINGEN. = b = ( b) n b b n = 0 =. Fältforskningsenheten vid Sveriges Lntbruksuniversitet hr undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkr skördens storlek för olik kornsorter. n Geometrisk n ( k ) + k + k k = där k summ För kornsorten Bronesse gäller funktionen k f ( ) = 0,00 0,8 + 05, Noter Logritmer hur n och n= 0 förekommer = lg i formeln = för e summ = ln v geometrisk serie. Termern blir där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg 4000 Hur mcket (,0 5 kväve ) sk = tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/) Absolutbelopp , , , ,0 4.,0 om 0 = om < 0 Svr ) Termern är 4000; 4000,0; 4000,0 ; 4000,0 ; 4000,0 4. Svr. b) Anders Hur hr mcket fått en pengr grfritnde blirminiräknre. det om mnförklr sprrför 4 000:-/år Anders hur under hn 5sk år? Räntn är %. gör för tt lös ekvtionen 6 = 9 med sin grfritnde miniräknre. (/0) 4. I börjn v år 000 köpte Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. -0- Skolverket Beräkn den årlig procentuell värdeminskningen för hennes fondndelr. (0/) c G Robertsson buggr

21 ) Skriv ut termern i den geometrisk summ som kn beräkns med uttrcket ovn. (/0) b) Formuler ett problem som hndlr om en verklig sitution. Ditt problem 5 Kurs plnering 4000 (,0 ) sk kunn löss genom tt beräkn uttrcket (/0).se NpMC vt005,0 (5) Del II # (/) Beräkn mimum. Fältforskningsenheten vid Sveriges Lntbruksuniversitet hr undersökt hur mängden kväve i konstgödsel påverkr skördens storlek för olik kornsorter. För kornsorten Bronesse gäller funktionen f ( ) = 0,00 0,8 + 05, där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. Hur mcket kväve sk tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/) För tt finn etremvärden undersöker vi vr f () = 0. Deriver f().. Anders hr fått en grfritnde miniräknre. Förklr för Anders hur hn sk f gör () för = tt 0,00 lös ekvtionen 0, = 05,6 9 med sin grfritnde miniräknre. Lös (/0) 0 = 0,00 0, ,6 } {{ } 0,006 Normliser ekvtion, lltså divider med 0,006. Vi får 4. I börjn 0 = v år köpte Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. Använd pq-formeln (den står i FORMELSAMLINGEN). Beräkn = den 5 årlig + 5 procentuell 7600 värdeminskningen = = för 5 hennes + 5 fondndelr. = 60 (0/) = = 5 65 = 5 5 = 0 Vi konstterr tt både = 60 och = 0 ligger i intervllet 0 < < 80. f () = 0,006 ( 0) ( 60) Gör en teckentbell och studer även gränsern. = 0 0 < < 0 = 0 0 < < 60 = < < 80 = 80 f () f() Svr En tillsts v konstgödsel med 0 kg/hektr ger miml skörd. c G Robertsson buggr

22 För kornsorten Bronesse gäller funktionen f ( ) = 0,00 0,8 + 05, där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Hur mcket kväve sk tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/) Del II # (/0) Grfritnde miniräknre. Anders hr fått en grfritnde miniräknre. Förklr för Anders hur hn sk gör för tt lös ekvtionen 6 = 9 med sin grfritnde miniräknre. (/0) Anders bör nvänd mtemtisk kunskp i kombintion med sin grfritnde miniräknre. En tredjegrdsekvtion hr lltid minst en rot och högst tre rötter. Följnde olik fll finns. 4. I börjn v år 000 köpte Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. Beräkn den årlig procentuell värdeminskningen för hennes fondndelr. (0/) rot dubbelrot+rot rot+rot+rot rot+dubbelrot rot trippelrot Ekvtionen Anders sk lös är 6 = 9. En vrint är tt gör en grov skiss v () = eempelvis i intervllet [ 0, 0] för tt kunn vgör hur mång rötter som finns och vr dess rötter pproimtivt ligger. Röttern ligger där grfen skär -eln. Sedn kn Anders zoom in och plott grfen kring roten (eller röttern). En nnn vrint är tt Anders ritr vänsterledet g() = 6 och högerledet h() = 9 och tittr efter skärningspunkter. Se figuren nedn. c G Robertsson buggr

23 där f () är skördens storlek i kg/hektr och är mängden tillstt kväve i kg/hektr. Hur mcket kväve sk tillsätts för tt skördens storlek sk bli miml? (/) Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Kommentr. Anders hr Noter fått en vd grfritnde frågn miniräknre. gäller, lltså Förklr förklr för för Anders Anders. hur Du hn sk sk lltså inte beräkn gör roten för (det tt lös finns ekvtionen br en rot i dett problem) utn br förklr för Anders. 6 = 9 med sin grfritnde miniräknre. (/0) Del II # 4 (0/) Eponentilfunktionen M 4. (6) I börjn v år 000 köpte Krin ndelr i en IT-fond till ett värde v 000 kr. Fem år senre hde värdet gått ner till 7 kr. Beräkn den årlig procentuell värdeminskningen för hennes fondndelr. (0/) Funktioner Rät linjen Andrgrdsfunktioner Använd = kformelsamlingen. + m k = = + b + c 0 Potensfunktioner = C Eponentilfunktioner = C > 0 och 7 = Sttistik och snnolikhet 7 Stndrdvvikelse = } {{ } 0,5707 Lådgrm = 5 0,5707 = 5 0, = 0,89 ( ) + ( ) ( ) s = n (stickprov) n Delen är 0,89 = 0, vilket ger tt minskningen är % Svr Årlig minskningen är % Normlfördelning c G Robertsson buggr

24 Kurs plnering.se NpMC vt005 4(5) Del II # 5 (// ) NpMC Formler vt 005 Version i sjukmp 5. Crolin Klüft tävlr i sjukmp och är en v Sveriges främst medljkndidter i världsmästerskpen i friidrott 005. I sjukmp tävlr deltgrn i olik grenr. För tt kunn summer resultten från dess grenr räkns resulttet i vrje gren om till poäng. Interntionell friidrottsförbundet (IAAF) hr bestämt de två formler som nvänds för poängberäkning. För löpgrenr nvänds: Poäng = ( b M ) c För kst- och hoppgrenr nvänds: Poäng = ( M b) c Förklring: M = Uppmätt resultt (löpning i sekunder, hopp i centimeter, kst i meter), b, c = konstnter, se tbellen nedn (b är det sämst resultt som ger poäng) Konstnter Gren b c 00 m 4, ,5,8 800 m 0,9 54,88 00 m häck 9,076 6,7,85 Höjdhopp,845 75,48 Längdhopp 0, ,4 Kul 56,0,5,05 Spjut 5,980,8 ) Det svensk rekordet i längdhopp för dmer är 699 cm. Hur mång poäng får Crolin om hon hoppr så långt i en sjukmp? (/0) b) Värdet på konstnten c för spjutkstning hr fllit bort i tbellen. Bestäm c om du vet tt ett kst på 48 meter ger 8 poäng. (/0) c) Vid OS i Aten 004 hde Crolin 6047 poäng inför sist grenen som vr 800 m. Vilken tid hde hon behövt spring på för tt slå det då gällnde europrekordet 7009 poäng? (/) d) Vrför nvänds två olik formler? (0// ) c G Robertsson buggr

25 Kurs plnering.se NpMC vt005 5(5) ) Längdhopp Formeln för kst- och hoppgrenr är Poäng = (M b) c där prmetrrn är = 0,88807, b = 0 och c =,4 och M är hoppets längd i cm. Ett hopp på 699 cm ger Poäng = 0,88807 (699 0),4 = 69 Svr 69 poäng. b) Spjut Formeln för kst- och hoppgrenr är Poäng = (M b) c där prmetrrn är = 5,980, b =,8 och c = sk beräkns. Ett kst M = 48 m ger 8 poäng. 8 = 5,980 (48,8) } {{ } 44, 8 5,980 } {{ } = 44, c 5,48 Logritmer. Räkneregler för logritmer finns i FORMELSAMLINGEN. Det går br både med 0- eller e-logritmer. lg 5,48 } {{ },7 Svr c =,04. = c lg 44, } {{ },6454 c =,04 c) Löpning Formeln för löpgrenr är Poäng = (b M) c där prmetrrn för 800 meter är = 0,9, b = 54 och c =,88. Hon sknr = 96 poäng och behöver tiden M för tt tnger rekordet. 96 = 0, 9 (54 M) } {{ } 96 0, 9 } {{ } 8594,66 =,88 c G Robertsson buggr

26 Kurs plnering.se NpMC vt005 6(5) Logritmer. Räkneregler för logritmer finns i FORMELSAMLINGEN. Det går br både med 0- eller e-logritmer. lg 8594, 66 } {{ } =, 88 lg,94 lg =,94,88 =,097 Svr = 0 lg = 0,097 =,79 M = 54 = 54,79 = 0, Hon hde behövt spring snbbre än 0, sekunder. d) Vrför nvänds två olik formler? I rättningsnormen står det Godtgbr förklring, t e I löpning sk formeln funger så tt den ger fler poäng åt mindre M, i kst mm sk det vr tvärtom. +vg Svret är korrekt men uttrcker inte hel snningen. Svret ger intrcket tt om mn tillämpr formeln för kstgrenr på löpning så skulle konsekvensen bli minsknde poäng. Så är det inte. Låt oss undersök sken. Formeln för kstgrenr är Poäng = (M b) c Använd prmetrr för 800 meter och tiden 0 sekunder och formeln för kstgrenr. Vi får då Poäng = 0, 9 (0 54),88 = 0, 9 ( 4 ),88 } {{ } negtivt Vd mens med ( 4),88? För tt få ett reellt tl (vnligt tl) måste tlet innnför prentesen vr positivt. Med mtemtik bortom gmnsiets kurser kn uttrck v tpen ( 4),88 beräkns men resulttet blir inte meningsfullt i dett smmnhng. c G Robertsson buggr

27 Kurs plnering.se NpMC vt005 7(5) Del II # 6 (// ) Derivering på olik sätt NpMC vt 005 Version 6. I denn uppgift sk du bestämm derivtns värde till f ( ) = + i den punkt på kurvn där = 4 ) Lös uppgiften med hjälp v deriveringsregler. (/0) b) Lös uppgiften med hjälp v lämplig ändringskvot. (/0) (6) c) Lös uppgiften med hjälp v derivtns definition. (0// ) Differentil- och integrlklkl Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) ) Lös uppgiften medfhjälp ( ) = lim v deriveringsregler = lim h 0 7. En termos flls med hett kffe och plcers h direkt utomhus där temperturen Använd ligger FORMELSAMLINGEN. kring noll grder. Temperturen på kffet vtr eponentiellt med tiden. Derivtor Funktion Derivt n där n är ett reellt tl n n f() = + f () = e f (4) = 4 = 8 e ( > 0) ln k Ändringskvoten är Efter 4 timmr är temperturen f ( ) + g( ) 76 C och vid f smm ( ) + gtidpunkt ( ) minskr temperturen med hstigheten 4, C per timme. f f(4 + h) f(4) (4) h välj lämpligt ) Vilken värde vr på temperturen steget h. Med på h kffet = 0,då får det vi hälldes i termosen? (0// ) Primitiv Funktion Primitiv funktion funktioner f f(4 + 0,) f(4) b) (4) Kffet nses drickbrt så = (4, + ) (4 + ) (6,8 + ) (6 + ) länge dess tempertur inte = 0, understiger 55 C. Hur lång tid efter k 0, tt mn hällt kffet i termosen k + C 0, är det } fortfrnde {{ } 0,8 drickbrt? (0/) n n 0, + =8, f (4) 8, ( n ) + C n + e k k e b) Lös uppgiften med hjälp v lämplig ändringskvot e e + C k e e + C k k + C ln c G Robertsson buggr ( > 0, )

28 Kurs plnering.se NpMC vt005 8(5) c) Lös uppgiften med hjälp v derivtns definition Använd Differentil- FORMELSAMLINGEN. och integrlklkl (6) Derivtns definition f ( ) = lim h 0 f ( + h) f ( ) = lim h f ( ) f ( ) Enligt derivtns definition gäller Derivtor Funktion Derivt f f(4 + h) f(4) (4) = lim h 0 n n h där n är ett reellt tl n f [(4 + h) + ] [4 + ] (4) = lim h 0 ( h > 0) ln f [4 + 8 h + h + ] [4 + ] (4) = lim h 0 e h e f 8 h + h (4) = lim k k e = lim[8 + h] = 8 k e h 0 h h 0 f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) Primitiv funktioner Funktion k Primitiv funktion k + C n e ( n ) + n + C n + e + C k e e + C k k ( > 0, ) + C ln c G Robertsson buggr Skolverket

29 på kurvn där = 4 ) Lös uppgiften med hjälp v deriveringsregler. (/0) b) Lös uppgiften med hjälp v lämplig ändringskvot. (/0) Kurs plnering.se NpMC vt005 c) Lös uppgiften med hjälp v derivtns definition. 9(5) (0// ) Del II # 7 (0/4/ ) Eponentiell vsvlning 7. En termos flls med hett kffe och plcers direkt utomhus där temperturen ligger kring noll grder. Temperturen på kffet vtr eponentiellt med tiden. Efter 4 timmr är temperturen 76 C och vid smm tidpunkt minskr temperturen med hstigheten 4, C per timme. ) Vilken vr temperturen på kffet då det hälldes i termosen? (0// ) (6) b) Kffet nses drickbrt så länge dess tempertur inte understiger 55 C. Hur lång tid efter tt mn hällt kffet i termosen är det fortfrnde drickbrt? (0/) Funktioner Rät linjen Andrgrdsfunktioner ) Vilken vr temperturen på kffet då det hälldes i termosen? = k + m k = = + b + Använd FORMELSAMLINGEN. c 0 Potensfunktioner = C Eponentilfunktioner = C > 0 och Vid tidpunkten är temperturen () = C Sttistik och snnolikhet där C och är prmetrr. Bestäm C och. Givet är (4) = 76 Stndrdvvikelse och (4) = 4, ( ) + ( ) ( ) s = n (stickprov) n c GLådgrm Robertsson buggr

30 Algebr Regler ( + b) = + b + b ( b) = b + b Kurs plnering ( + b)( b) = b Differentil-.se och integrlklkl NpMC vt005 + b = ( + b)( b + b ) 0(5) b = ( b)( + b + b ) Derivtns definition f ( + h) f ( ) f ( ) f ( ) där minustecknet i 4, fkommer ( ) = limfrån tt temperturen = lim minskr. Använd h 0 h FORMELSAMLINGEN igen och deriver Andrgrdsekvtioner () = C p p. + p + q = 0 = ± q Derivtor Funktion Derivt Aritmetik n där n är ett reellt tl n n Prefi T G ( 0 M ) k h d c m µ n p ln Vi får () = C ln 0 e e k e k k e = ( ) = = vilket ger två ekvtioner med prmetrr C och som obeknt. 76 = C 4 + Potenser = 4, = C 4 ln Division v ndr ekvtionen med först ekvtionen ger 4, f ( ) + g( ) f ( ) + g ( ) = C = b 4 ln = ( b) n b b n = 0 = = ln. 76 C 4 Räkneregler för logritmer finns i FORMELSAMLINGEN. n Använd miniräknre för tt få Geometrisk n ( k ) numerisk summ värden. + k + k k = där k k Primitiv Funktion Primitiv funktion funktioner k k + C Logritmer = 0 = lg = e = ln ( b) = b + b b ( + b) = + b + b + b ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko (6) n lg + lg ( n= lg ) + n + C lg lg = lg n + lg p = p lg e e + C = e ln Absolutbelopp om 0 = = e 4, om < 0 76 = 0,9475 k k e e + C C = 76 = 94, k 4 Vi hr nu temperturen som funktion v tiden () = 94, 0,9475 (. > 0, ) + C ln Kffet hälldes i termosen då = 0 vilket ger (0) = 94, 0, = 94,. } {{ } -0- Skolverket Svr ) Kffets begnnelsetempertur vr 94 C. c G Robertsson buggr Skolverket

31 Andrgrdsekvtioner + p + q = 0 p = ± p q Aritmetik Kurs plnering Prefi.se T G M NpMC vt005 k h d c m µ n (5) p b) När når kffet 55 C? ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko Lös ekvtionen + 55 = 94, 0,9475 Potenser =. = ( ) = = Dett är en eponentilekvtion då det sökt är eponent till bsen 0,9475. För tt lös eponentilekvtioner logritmerr vi ekvtionen. Städ först, logritmer därefter. = b = ( b) n ( ) b b n = 0 = 55 lg = lg 0, , n Geometrisk n ( k ) Använd summ räknereglern + för k + logritmer k kför tt = fltt från där k eponent k till rden. Logritmer = 0 = lg = e = ln lg + lg = lg lg lg = lg lg p = p lg Absolutbelopp om 0 ( ) = 55 om < 0 lg = lg 0, , } {{ } } {{ } 0,47 0,049 = 0,47 = 9, ,049 Svr b) Efter 0 timmr är temperturen 55 C. -0- Skolverket Kommentr Olik vrinter v denn uppgift förekommer i gmnsiets mtemtikkurser. Därför är dett en viktig uppgift. Från prktisk snpunkt är den här ktuell formuleringen v uppgiften konstig. Det går enkelt tt mät temperturen vid olik tidpunkter men det går inte tt mät vid smm tidpunkt minskr temperturen med hstigheten 4, C per timme. Om mn vill vet derivtn så får mn mät temperturen vid olik tidpunkter och därefter bestämm en modell v tpen = C. Från modellen kn derivtn sedn uppsktts. Att uppsktt derivtn ur mätdt som är behäftde med mätfel är ett svårt problem. c G Robertsson buggr

32 NpMC vt 005 Version Vid bedömning v ditt rbete med denn uppgift kommer lärren tt t etr hänsn till Hur generell din lösning är Kurs plnering Hur väl du motiverr din slutstser.se NpMC vt005 (5) Hur väl du utför din beräkningr Hur väl du redovisr ditt rbete Del II Hur # väl 8 du nvänder (/4/ ) det mtemtisk Volmoptimering språket v pket 8. Micke och Peter hr strtt ett företg inom Ungt Företgnde (UF). De säljer tröjor med trcket "Mmm... mtemtik" och hr kunder i ll delr v lndet. Därför tänker de skick tröjorn med posten. För tt t red på vd som gäller för tt skick pketen går de in på Postens hemsid. Där hittr de en måttguide som innehåller informtionen nedn: Längd + bredd + bredd + höjd + höjd får vr m 00 cm Längd: Bredd: Höjd: m 50 cm m 70 cm m 5 cm De vill skick tröjorn i pket som hr så stor volm som möjligt, utn tt överskrid Postens mimimått. Micke tror tt ett kubiskt pket ger störst volm. Peter tror tt volmen blir ännu större om pketet inte hr formen v en kub, men bredd och höjd är lik. Vilken v de två tpern v pket ger störst möjlig volm? Är smm tp v pket störst om begränsningen 00 cm ändrs? (/4/ ) c G Robertsson buggr

33 Hur väl du redovisr ditt rbete Hur väl du nvänder det mtemtisk språket 8. Micke och Peter hr strtt ett företg inom Ungt Företgnde (UF). De säljer Kurs plnering tröjor med.se trcket "Mmm... mtemtik" NpMCoch vt005 hr kunder i ll delr v lndet. (5) Därför tänker de skick tröjorn med posten. För tt t red på vd som gäller för tt skick pketen går de in på Postens hemsid. Där hittr de en måttguide Vi sk undersök som innehåller två informtionen sorters pket, nedn: en kub och ett rätblock med kvdrtisk bs. Vi hr följnde begränsningr på pketen: Längd + bredd + bredd + höjd + höjd får vr m 00 cm Längd: m 50 cm Bredd: m 70 cm Höjd: m 5 cm Vi hr två De vill frågor skick tröjorn i pket som hr så stor volm som möjligt, utn tt överskrid Postens mimimått. Vilken v de två tpern v pket ger störst möjlig volm? Micke tror tt ett kubiskt pket ger störst volm. Peter tror tt volmen blir ännu Är smm tp v pket störst om begränsningen 00 cm ändrs? större om pketet inte hr formen v en kub, men bredd och höjd är lik. Inför följnde beteckningr L längd B bredd H höjd Det gäller givetvis tt L > 0, B > 0 och H > 0. Kuben I det kubisk fllet gäller tt L = B = H =. De givn begränsningrn är Smmntget betder dett tt Vilken v de två tpern 40 v pket ger störst möjlig volm? Miml volm Vkub m erhålles då = 40 Är smm tp v pket störst om begränsningen 00 cm ändrs? Vkub m = 40 = (/4/ ) c G Robertsson buggr

34 Kurs plnering.se NpMC vt005 4(5) Rätblocket I dett fll gäller tt B = H =. De givn begränsningrn är L L Dett betder tt volmen blir V rätblock = L Undersök funktionen V rätblock (). Det gäller tt L = 00 4 då blir V rätblock () = (00 4 ) = 00 4 Deriver V rätblock() = 00 4 = 400 = (400 ) För tt finn etremvärden löser vi ekvtionen V rätblock() = 0 0 = (400 ) } {{ } }{{} = 00 =0 Roten = 0 ger uppenbrligen miniml volm noll. Den ndr roten ger = 00 L = 00 V ( 00 ( ) 00 ( ) 00 ) = 00 4 = Både = 00 (lltså H och B) smt L = 00 ligger inom de givn begränsningrn. Gör en teckentbell. = 0 0 < < 00 = < < 50 = 50 V rätblock V rätblock = 00 ger miml volm V m rätblock = Noter tt > 50 inte är möjligt då 7 det ger negtivt L och därmed negtiv volm. (Negtiv är inte tillåtn. Med negtiv kn vi få oändlig volm eftersom när så L och V.) Jämförelse Rätblocket ger störst volmen. c G Robertsson buggr

35 Kurs plnering.se NpMC vt005 5(5) Ändrd begränsning Bt gränsen 00 mot Z i resonemnget ovn och studer vd som händer. Vi får då V kub = ( ) Z = Z 5 5 För V rätblock gäller V rätblock () = (Z 4 ) = Z 4 V rätblock() = Z 4 = Z = (Z 6 ) } {{ } = Z 6 Den intressnt roten till V rätblock() = 0 är = Z som ger 6 ( Vrätblock m = Z 4 Z ) ( ) Z = Z Studer de övrig gränsern { Jämförelse V m kub = V m rätblock = Z 5 : < = : 70 Z 08 : < : 70 < = : 50 Rätblocket ger störst volmen oberoende v hur gränsen 00 ändrs. c G Robertsson buggr

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17)

freeleaks Funktioner, inverser och logaritmer 1(17) freeleks Funktioner, inverser och logritmer (7) Innehåll Förord Funktioner och inverser Multipliktion och division........................ Kvdrer och kvdrtrot......................... Eponentilfunktion

Läs mer

TATA42: Tips inför tentan

TATA42: Tips inför tentan TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN NpMaB HT 2006 LÖSNINGAR 3

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN NpMaB HT 2006 LÖSNINGAR 3 freeleks NpMB ht006 1(31) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 006 3 NpMB HT 006 LÖSNINGAR 3 Del I: Digitl verktg är INTE tillåtn 3 Del 1 # 1 (/0) Lös ekvtionen....................

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.

Inledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3. Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 2005. Anvisningar NATIONELLT

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag]

Kylfrysguide [Namn] Elektroskandia Sverige AB [år-månad-dag] Kylfrysguide [Nmn] Elektroskndi Sverige AB [år-månd-dg] Kylfrysguide Vilken kyl-frys sk du välj? Nturligtvis är det utrymmet som är det först tt t hänsyn till. Vnligst instlltionsbredd är 60 cm, men även

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 reeleks NpMD ht006 ör M4 19 Innehåll Föror 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 006 Del I, 9 uppgiter utn miniräknre 3 Del II, 8 uppgiter me miniräknre 6 Föror Kom ihåg Mtemtik är tt vr tylig

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22 Innehåll Inledning...3 Bedömningsanvisningar...3 Allmänna bedömningsanvisningar...3 Bedömningsanvisningar Del I...4 Bedömningsanvisningar Del II...5 Bedömningsanvisningar uppgift 11 (Max 5/6)...12 Kravgränser...21

Läs mer

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor

Matte C. Översikt. Funktioner. Derivatan. Användning av derivatan. Exponentialfunktionen. Logaritmiska funktioner. Geometriska summor Mtte C Översikt Fuktioer Poteslgr Potesuktioer Polomuktioer o Väde/vtgde uktio o M/mi pukter tersspukt o Tget Lösigsmetoder ör : grdre Rtioell uktioer Derivt Deiitio v derivt o Vis ör C Deriverigsregler:

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

Innehåll. Kopieringsunderlag Breddningsdel Formelblad

Innehåll. Kopieringsunderlag Breddningsdel Formelblad Innehåll Information till lärare inför breddningsdelen i det nationella kursprovet i Matematik kurs A våren 1999...1 Inledning...1 Tidsplan våren 1999...1 Nyheter i kursprovet för Matematik kurs A vårterminen

Läs mer

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som

Läs mer

Algebra. Kapitel 5 Algebra

Algebra. Kapitel 5 Algebra Algebr Kpitel Algebr Kpitlet inleds med tt elevern ges möjlighet tt tolk och skriv lgebrisk uttrck. De räknr också ut värdet v olik uttrck. Elevern får sedn rbet med mönster. De ritr mönstren smt beskriver

Läs mer

3BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år

3BInnehåll: Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se. Pluggtips Formelsamlingen.se. Formelsamling Nationella prov från tidigare år Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m tik Länktips: BInnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Ntionell prov från tidigre år Mtteoken.se Pluggkuten.se

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015. FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.

Läs mer

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck > VD r ordet: Frösund stsr på nörigfrågorn > Frösund främjr kvinnors företgnde i Indien > 5 frågor: Sofi Hägg-Jegebäck APRIL 2015 Nyetsbld med ktuell informtion till dig som rbetr i Frösund. VD HAR ORDET

Läs mer

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN uppgifter med miniräknare 3

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN uppgifter med miniräknare 3 freeleaks NpMaD ht000 för Ma (8) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 000 6 uppgifter med miniräknare 3 Förord Kom ihåg Matematik är att vara tdlig och logisk Använd tet och inte

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi

MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi 9) MTLBLbortion Linjär lgebr med geometri Hndledre: Krim Dho 2624 IT Björn ndersson Johnnes Nordkvist Erik Isoniemi MTLB är ett progrm för berbetning v mtemtisk problem. I denn rpport sk vi vis hur nvändndet

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 4a

Facit - Tänk och Räkna 4a Vår tl Fit Tänk oh Räkn 9 9 69 996, 997, 998 998, 999, 000 6 6699, 6700, 670, 670, 670, 670 67 m, 67 m, 67 m 800 m, 900 m, 000 m 900 m, 90 m, 90 m NAF 06 7 9 d 6 8 e 7 76 f 8 8 d 6 e 0 f 8 9 7 8 88 d 80

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Materiens Struktur. Lösningar

Materiens Struktur. Lösningar Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrum.se Formelsmlingen.se Mtteoken.se Pluggkuten.se 4 Innehåll: Pluggtips Formelsmling Ntionell prov från tidigre

Läs mer

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen 2016-05-23 Sid 1/2 Tjänsteskrivelse Dnr: LKS 2016-235 Kommunstyrelseförvltningen Leif Schöndell, 0523-61 31 01 leif.schondell@lysekil.se Pln för lik rättigheter och möjligheter i rbetslivet uppdrg till

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2011

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen (2009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2017-06-30 Vid sekretessbedömning

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN Del I, 10 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 freeleaks NpMaB ht000 () Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 000 Del I, 0 kortsvarsuppgifter med miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare, fullständiga lösningar 7 Del

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00 Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,

Läs mer

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C

FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A, B OCH C ALGEBRA Kdeigsegle ( + ) + + ( ) + Kojugtegel ( + )( ) Adgdsektioe Ektioe + p + q 0 ötte p p p p + q o 4 4 id + p o q q ARITMETIK Pefi Tiopotes

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

ALGEBRA OCH FUNKTIONER

ALGEBRA OCH FUNKTIONER ALGEBRA OCH FUNKTIONER Centralt innehåll Hantering av algebraiska uttrck och ekvationer. Generalisering av aritmetikens lagar. Begreppen polnom och rationellt uttrck. Kontinuerlig och diskret funktion.

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaE vt999 för Ma4 (7) Innehåll Förord Kursprov i matematik, kurs E vt999 Del I: Uppgifter utan miniräknare Del II: Uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik är att vara tdlig och

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars 1997. NATIONELLT PROV

Läs mer

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?

MATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren? Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Månadsrapport maj 2014. Individ- och familjeomsorg

Månadsrapport maj 2014. Individ- och familjeomsorg Måndsrpport mj Individ- och fmiljeomsorg Innehållsförteckning 1 Ekonomi och verksmhet... 3 1.1 Resultt per verksmhet... 3 1.2 Investeringsuppföljning... 3 1.3 Volymer, sttistik och kostndsnyckeltl... 4

Läs mer

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR

Läs mer

Det energieffektiva kylbatteriet

Det energieffektiva kylbatteriet Croline Hglund, Civ.ing. SP Sveriges Provnings- och Forskningsinstitut, Energiteknik, Borås, croline.hglund@sp.se Per Fhlén, Prof. Inst. för Instlltionsteknik, CTH, Göteorg, per.fhlen@hvc.chers.se Det

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:

Läs mer

BLÖTA BOKEN MONTERINGSANVISNING PALLADIUM DE LUXE PLUS VIKDÖRR I NISCH VIKTIG INFORMATION. LÄS DETTA INNAN MONTERINGEN PÅBÖRJAS.

BLÖTA BOKEN MONTERINGSANVISNING PALLADIUM DE LUXE PLUS VIKDÖRR I NISCH VIKTIG INFORMATION. LÄS DETTA INNAN MONTERINGEN PÅBÖRJAS. MONTERINGSANVISNING BLÖTA BOKEN PALLADIUM DE LUXE PLUS VIKDÖRR I NISCH VIKTIG INFORMATION. LÄS DETTA INNAN MONTERINGEN PÅBÖRJAS. 1. Läs igenom hel nvisningen innn monteringen påbörjs. 2. Kontroller produkten

Läs mer

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen, KTH Meknik 2008 05 20 Meknik för I, SG09, Lösningr till probletenten, 2008 05 20 Uppgift : En bo ed ssn och längden är i sin en ände onterd i en kulled på en vertikl vägg. I den ndr änden A är fäst två

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet NpMaB vt 2005 Version 1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material

Läs mer

Frami transportbult 2,5kN

Frami transportbult 2,5kN 07/2012 Orginlbruksnvisning 999281910 sv Sprs för frmtid behov Frmi trnsportbult 2,5kN rt.nr 588494000 fr.o.m. tillverkningsår 2009 Orginlbruksnvisning Frmi trnsportbult 2,5kN Produktbeskrivning d Underhåll

Läs mer

Gustafsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dagverksamhet Servicecentral

Gustafsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dagverksamhet Servicecentral Gustfsgårds åldringscentrum Ålderdomshem Dgverksmhet Servicecentrl 1 På Gustfsgård uppskttr mn följnde sker: invånres välmående ett gott liv ktivt smrbete med de nhörig kompetens i gerontologisk vård personlens

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

RÄTTNINGSMALL TILL KEMIOLYMPIADEN 2014, OMGÅNG 2

RÄTTNINGSMALL TILL KEMIOLYMPIADEN 2014, OMGÅNG 2 RÄTTNINGSMALL TILL EMIOLYMPIADEN 201, OMGÅNG 2 Nmn: Födelsedtum: Skol: Hemdress: e-post: Uppg. Endst svr ing uträkningr Poäng L 1 b c d e f 2 2 b c d e 2,1 cm 2 0,20 mol/dm 2 b 1 kp 2 5 2ClO 2 + 2OH ClO

Läs mer

Facit Arbetsblad. 7 a) 32 b) 35 c) 27 8 a) 5 b) 18 c) 4 9 a) 18 b) 30 10 a) 17 b) 19 11 a) 6 b) 0 12 a) 24 b) 35. 1 Tal

Facit Arbetsblad. 7 a) 32 b) 35 c) 27 8 a) 5 b) 18 c) 4 9 a) 18 b) 30 10 a) 17 b) 19 11 a) 6 b) 0 12 a) 24 b) 35. 1 Tal 1 Tal Arbetsblad 1:1 1 a) 18 9 06 b) 85 10 00 c) 0 1 080 9 060 d) 5 105 6 780 e) 78 8 970 9 05 f) 990 75 102 5 2 a) 0 = 2 2 2 5 b) 75 = 5 5 c) 6 = 2 2 a) 8 = 2 2 2 2 b) 28 = 2 2 7 c) 90 = 2 5 a) = 2 2

Läs mer

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER

Läs mer

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna

Under årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna B. Grevholm, J. Lundqvist, L-E. Persson & P. Wll Ett mentorprojekt för gymnsieelever i Luleå Hur får vi fler gymnsieelever intresserde v tt örj läs mtemtik vid universitetet? Den frågn hr mång mtemtiklärre

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del I

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del I Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av 010. NATIONELLT KURSPROV I

Läs mer