TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
|
|
- Helena Lundström
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt uttrcks som funktioner v någon prmeter t som vrierr i ett intervll. Till eempel skulle (t) = cos t och (t) = sin t, där vi låter t π, beskriv cirkeln + =. På dett sätt kn vi även få med fllet då en kurv inte kn uttrcks som en funktion = f(). Eempelvis kn kurvn som bestäms v = 6 sin 3 t och = 3 cos t 5 cos t cos 3t cos 4t med t π rits enligt följnde. L.7 l.e. Att beskriv dett som ett funktionssmbnd = f() förefller gnsk omöjligt. Omvänt däremot, om vi utgår från en funktion kn vi lltid skp en prmeterfrmställning. Prmeterform för en funktionskurv Om kurvn vi är intresserd v ges v en funktion f på ett intervll [, b], i.e., = f() för b, så kn vi beskriv dett på prmeterform genom tt till eempel välj = t och = f(t), där t b. john.thim@liu.se En dödsklle visde sig vr för svår tt beskriv mtemtiskt...
2 Än så länge hr vi egentligen inte ställt någr krv på ingående funktioner, men för tt på något (enkelt) sätt kunn definier vd vi menr med kurvlängd kommer vi tt kräv tt funktionern är kontinuerligt deriverbr (dvs f är deriverbr och f är kontinuerlig). Vi brukr smmnftt dett villkor genom tt säg tt f C ([, b]). Vi ntr underförstått tt dett gäller om inget nnt nges. Sts. Om C ([, b]) och C ([, b]) så ges längden v kurvn ((t), (t)) för de t där t b, v L = ( (t)) + ( (t)) dt. Vi skissr beviset lite informellt br för tt se tt det verkr rimligt; det finns ett mer precist bevis i kursboken. Vi ritr en figur och funderr över hur vi kn pproimer längden v en liten del v kurvn. Låt t > vr ett litet tl och låt r(t) = ((t), (t)) R. Vi hr följnde principfigur: r(t) s l r(t + t) Då är det lill bågelementet s l om t är litet och kurvn gltt (ges v deriverbr funktion). Längden l i sin tur kn vi beräkn genom l = r(t + t) r(t) = ((t + t) (t)) + ((t + t) (t)) ((t ) ( ) + t) (t) (t + t) (t) = + t ( t t (t)) + ( (t)) dt då t. Vi väljer nu tt kll det sist uttrcket för bågelementet ds. Med ndr ord, vi definierr ds = ( (t)) + ( (t)) dt. Eempel Räkn ut omkretsen för en cirkel med rdie R.
3 Lösning. Vi vet redn svret, men vi nvänder stsen ovn för tt illustrer. Lämpligen representerr vi cirkeln som (t) = R cos t och (t) = R sin t för t π. Dett är ett sätt tt prmetriser cirkeln på. Eftersom ingående funktioner är snäll erhåller vi då kurvlängden L = ˆ π ˆ π ( (t)) + ( (t)) dt = ( R sin t) + (R cos t) dt = ˆ π = R ˆ π R sin t + cos t dt dt = πr, eftersom R = R då R >. Ovnstående är ett specilfll för kurvlängd då vi nvänder polär koordinter. Mer generellt låter vi rdien vr en given funktion r = h(t), så (t) = r(t) cos t och (t) = r(t) sin t. Stsen ovn implicerr tt ds = h(t) + h (t) dt (vis det). Låt oss smmnftt dett nvändbr resultt. Kurvlängd i polär koordinter Om en kurv Γ ges i polär koordinter, = r cos t och = r sin t, där r = h(t) för α t β och h är kontinuerlig, så kn längden v Γ beräkns enligt L = ˆ β α h(t) + (h (t)) dt. Kurvlängd v en funktionskurv Om vi är intresserde v längden v kurvn = f(), b, kn vi enkelt ställ upp uttrcket för dett genom tt prmetriser som i eemplet tidigre: (t) = t och (t) = f(t). Då är (t) = och (t) = f (t) och längden ges v L = + (f ()) d. ( ) Rent konkret blir klklern oft gnsk jobbig eftersom integrnden innehåller kvdrtrötter v ndrgrdsuttrck. Som tur är behndldes mång sådn situtioner i envribel-ettn! Eempel Räkn ut längden v kurvn = för. 3
4 Lösning. Vi ser tt kurvn ges v en C -funktion och tt = f() med f() =. Då ges lltså kurvlängden v + () d = = + 4 d [ + 4 ] = 5 = 5 = där vi utnttjt välkänd (nåj..) primitiv funktion till. Eftersom vi får tillbk inte- + grlen med rätt tecken hr vi nu d + 4 d + d [ ( + 4 d + ln + ) ] d ln( + 5), + () d = 5 + ln( + 5). 4 Definition v kurvlängd Om f C kn mn definier längden L v en kurv direkt med ( ) ovn, men observer tt vi inte direkt kn nvänd stsen som definition v kurvlängd för ll kurvor. Betrkt till eempel fllet då f() =. Som beknt är f inte deriverbr i origo och därmed fungerr inte stsen som formulerd. Men vi vet också tt mn kn del upp Riemnnintegrler i två delr och därmed kunn räkn ut längden v kurvn på vrje del och summer dess. Dett fungerr även om vi hr mång fler punkter där f inte finns (åtminstone så länge dett är ett ändligt ntl). Vd händer sen? Ett eempel på en kurv där det går åt skogen tt räkn ut längden är Kochs snöfling. Mn strtr med en liksidig tringel och delr sedn vrje sid i tre delr och ersätter den mitterst med en n liksidig tringel. Processen uppreps på ll n linjesegment om och om igen oändligt mång gånger. Den kurv som uppstår visr sig inte h någon prmetrisering som är deriverbr i en end punkt! Hur sk vi definier längden v en sådn kurv? Vi ritr de se först stegen. 4
5 Fktum är tt L = är den end rimlig definitionen. Vrför? Låt L n vr kurvlängden för itertion n och ntg tt kntlängden i den först tringeln är. Då är L = 3. När n = får vrje linjesegment längden /3 och vrje sid ger upphov till 4 n knter. Således blir kurvlängden när n = inget nnt än L = = 4. När n = k finns det 3 4k knter, vr och en v dess hr längden 3 k. Alltså ges den totl kurvlängden L k för itertion k v ( ) k 4 precis L k = 3 4 k 3 k = 3. När n är det således tdligt tt L n. 3 Vd blir ren som innesluts v kurvn? Är frågn rimlig? Vid itertion k finns 3 4 k knter, så vid itertion k läggs det till 3 4 k tringlr, vr och en med ren 3 k 3 k 3. 4 Således blir totl ren A n vid itertion n (med n ) n 3 3 A n = A k 9 k 4 = n ( ) k = (4/9)n 4/9 k= k= 3 = ( ( ) ) n 3 4 3, då n. 9 5 En rimlig tolkning på ren som omsluts v snöflingn är lltså 3/5. Pln re Om g() f() på ett intervll [, b] så ges ren A melln f och g v A = (g() f()) d under förutsättning tt funktionern är tillräckligt snäll. Området vrs re vi är intresserde v är D = {(, ) R : b, f() g()}. 5
6 g() D b f() Eempel Räkn ut ren melln = cos och = sin, π/4. Lösning. Aren ges v A = ˆ π/4 (cos sin ) d = [ sin + cos ] π/4 = vilket är positivt så svret är inte helt orimligt. Vi bör även kontroller tt cos sin för < < π/4. En figur visr tdligt hur situtionen ser ut, och här är lltså den skuggde ren lik med.4 reenheter. D π 4. Are i polär koordinter Polär koordinter är nvändbr i situtioner då vi hr lättre tt beskriv hur långt från origo något befinner sig än tt preciser hur vrition ser ut direkt i - och -koordinter. Vi hr som beknt = r cos ϕ och = r sin ϕ och kn då betrkt områden som ges på formen D = {(, ) R : r h(ϕ), α ϕ β} där h(ϕ) är någon kontinuerlig funktion och α β. Vi skissr hur situtionen ser ut. 6
7 D da r = h(ϕ) dϕ α β ϕ Aren v dett område kn beräkns enligt följnde: A(D) = ˆ β α h(ϕ) dϕ. Motiveringen till reformeln kommer från tt vi kn betrkt ett litet reelement vid vinkeln ϕ enligt da = πh(ϕ) dϕ π = h(ϕ) dϕ eftersom det är en del v en disk med rdien h(ϕ). Vi summerr dess reelement och erhåller formeln ovn. 3 Volm Både rottionsre- och rottionsvolmsberäkningr hör egentligen hemm i en flervribelnlskurs, men på grund v rottionssmmetrin kn vi oft reducer re- och volmberäkningr till ett fll med br en vribel. Mcket v kommnde formler är lite hndviftnde men visr ändå på hur krftfull verktg integrl- och differentilklkl är. 3. Rottionsvolm vi skivor Vi börjr med tt beskriv det som brukr klls skivformeln. Vi betrktr en icke-negtiv funktion f() och låter området D = {(, ) R : f(), b} roter ett vrv kring -eln. För vrje värde [, b] uppstår då en disk (skiv) med re A() = πf() eftersom rdien för disken ges v funktionsvärdet i punkten : r = f(). 7
8 Vi multiplicerr med d för tt få en infinitesiml clinder (höjden är lltså d) som hr volmen dv = A() d = πf() d. Vi summerr dess och erhåller då den så kllde skivformeln: V = dv = π f() d. Skivformeln Sts. Om f() är kontinuerlig så ges volmen V som uppstår då området D = {(, ) R : f(), b} roterr ett vrv kring -eln v V = π f() d. Vi bevisr inte stsen utn nöjer oss med rgumentet ovn. En principskiss visr också hur vi summerr små skivor för tt få hel volmen. Formeln är även känd som brödskiveformeln. Vrför tror du formeln fått det nmnet? f() A() b f() Eempel Beräkn volmen v den kropp som uppstår då området som begränss v kurvn = 3 och -eln roters ett vrv kring -eln. 8
9 Lösning. Kurvn = 3 skär -eln då 3 =, vilket sker precis då = och = 3. För 3 är 3, så volmen vi söker ges v ˆ 3 ˆ 3 ] 3 ) π (3 ) d = π ( ) d = π [ = π ( Mn bör se till tt dett uttrck åtminstone är positivt (vrför?). En figur är också på sin plts: 3 +d 3 Vi kn även t hänsn till ihåligheter i rottionskroppen som i följnde eempel. Eempel Bestäm volmen då området 3,, roterr ett vrv kring =. Lösning. Det vnligste felet är tt mn missr tt det är en viss specifik t som roterr runt en el, inte området melln en kurv och rottionseln. De clindrr som uppstår (med höjd d) är INTE homogen utn hr ett hålrum. Vi skissr hur situtionen ser ut i plnet: = Ett tvärsnitt vid : + +d Således kommer volmen tt ges v ˆ ( 3 [ π ( + ) d π 5 3 = π ] 3 ) ( ) 43 = π = 43π 5 5, där vi helt enkelt drgit bort volmen v den ihålig clindern med rdie och höjd 3. 9
10 Eempel Beräkn volmen v ett klot med rdie där vi skär ut en clinder med rdie som hr -eln som sin smmetriel. Lösning. Vi tänker oss tt klotet uppstår vid rottion v disken + kring -eln. Clindern uppstår när vi roterr området melln = och -eln kring -eln. Clindern får oändlig volm så hur reder vi ut hur mcket som ligger i klotet? Ett sätt är skiss situtionen. Kurvn + = skär linjen = precis då = ±. Vi ser då tt skivformeln med en undre gräns = istället för = (-eln) ger tt den eftersökt volmen blir V = π ( ) d = π ( ) d = 4π 3. Rottion kring lr prllell med -eln Vi kn roter kring en linje = c i stället för kring -eln om vi kräver tt f() c. Det end som ändrs är rdien eftersom det nu är reltivt = c och inte =, så skivformeln får utseendet π (f() c) d. Smm formel gäller om f() c. Det viktig är tt vi ligger på en sidn v rottionseln. 3. Rottionsvolm vi clindrr Om vi vill roter kring -eln i stället är det oft enklst tt gör med rörformeln. Vi betrktr smm område D = {(, ) R : f(), b} med tillägget tt (så hel området är på en sidn v rottionseln). Vid ett fit [, b] tänker vi oss en clinder med höjden f() och rdien. Dett ger mntelren M() = πf(). Vi multiplicerr med en liten tjocklek för tt få ett volmselement dv = M() d = πf() d. Vi summerr dess volmelement och erhåller då den så kllde clinderformeln: V = dv = M() d = π f() d.
11 Clinderformeln Sts. Låt och f(). Volmen V som uppstår då området D = {(, ) R : f(), b} roters ett vrv kring -eln ges v V = π f() d Vi försöker skiss situtionen. f( ) f() b b Eempel Beräkn rottionsvolmen som uppstår då området som begränss v kurvn = 3/, -eln och 4, roters ett vrv kring -eln. Lösning. För givet [, 4] är rdien för vår clinder (vståndet till -eln) och höjden ges v 3/. Alltså är mntelren π(3/) = 6π och vårt volmselement blir helt enkelt 6πd. Alterntivt direkt vi rörformeln: = 3/ π ˆ 4 3 ˆ 4 d = π 3 d = 8π. +d Rottion kring lr prllell med -eln Det är inget mgiskt med -eln, utn rottion kn ske kring vilken linje = c som helst utn större modifiktion. Det end som ändrs är krvet tt bts ut mot tt c och tt rdien för vår clindrr nu ges v r = c, eller tt b c och r = c.
12 Eempel Beräkn rottionsvolmen som uppstår då området som begränss v kurvn = 3/, -eln och 4, roters ett vrv kring () linjen = (b) linjen = 5. Lösning. Situtionen är väldigt snrlik föregående eempel. () För givet [, 4] är rdien för vår clinder (vståndet till rottionseln) och höjden ges v 3/. Rörformeln ger nu tt volmen ges v ˆ 4 π ( ) 3 ˆ 4 ( d = π 3 3 ) d = 3/ = 6π [ ln ] 4 = 6π (3 ln ). Observer tt denn volm är strikt mindre än volmen i förr eemplet. Precis som sig bör. (b) Nu befinner vi oss på ndr sidn rottionseln, och rdien för rottionen ges då istället v r = 5. Sålund, +d V = π ˆ 4 (5 ) 3 d = π (5 ln 3 9). = 3/ Volmen är åtminstone större en noll (eftersom ln 3 > ) så inget direkt orimligt. +d 5 4 Smmnfttnde eempel för rottionsvolmer I föregående eempel hr vi nvänt skivformeln för rottion kring lr prllell med -eln och rörformeln för rottion prllell med -eln, men det är inget krv. Följnde eempel belser dett. Eempel Låt området D ges v det begränsde området melln kurvn =, -eln och linjen =. Bestäm volmen V då D roterr ett vrv kring -eln och volmen V då D roterr ett vrv kring -eln. Lösning. Vi börjr med tt rit en figur (lltid en br idé).
13 = +d +d Vi ser tt för kurvn gäller tt = om och endst om = (både och är ickenegtiv). Vi kn lltså uttrck kurvn både som en funktion v och som en funktion v. På dett sätt kn ll rottionsvolmer ställs upp på två olik sätt: med vseende på och med vseende på. Vi ställer upp volmen som uppstår vid rottion kring -eln först: lterntivt V = π V = π ˆ ˆ ( ) d = π ( ) d = π [ ] = π ] [ 4 = π. 4 Angående den ndr formeln kn vi säg tt vi egentligen roterr en clinder med bsrdie och höjd (längs -eln) och drr bort volmen som uppstår från kurvn =. Om vi roterr kring -eln i stället erhåller vi vi rörformeln tt V = π ˆ [ ] d = π 5 5/ = 6π. 5 Alterntivt kn vi nvänd skivformeln där vi återigen måste skär bort delr ur rottionen med hjälp v en clinder: V = π ˆ ( ( ) ) d = π (4 ) 5/ 5 = 6π. 5 3
TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merTATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning 1 Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 15 november 18 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer,
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2016
TATA4: Envribelnlys VT 6 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volym John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 7 mrs 16 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer, men
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs mer1 Föreläsning IX, tillämpning av integral
Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merTillämpad Matematik I Övning 4
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 8 6 Tillämpd Mtemtik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm,
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given
Läs mer6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill
6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merTATA42: Envariabelanalys 2 VT 2018
TATA42: Envribelnlys 2 VT 28 Föreläsningsnteckningr John Thim, MAI L =? TATA42: Föreläsning Mclurinutecklingr John Thim 4 mrs 28 Introduktion Tänk er följnde sitution. En snäll funktion f är given, men
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merMA002X Bastermin - matematik VT16
MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.
GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merAppendix. De plana triangelsatserna. D c
ppendix e pln tringelstsern Pythgors sts: I en rätvinklig tringel gäller, med figurens etekningr: 2 = 2 + 2 1 2 evis: Vi utnyttjr likformigheten melln tringlrn, oh. v denn får vi, med figurens etekningr:
Läs merTATA42: Tips inför tentan
TATA42: Tips inför tentn John Thim 25 mj 205 Syfte Tnken med dett kort dokument är tt ge lite extr studietips inför tentn. Kursinnehållet definiers så klrt fortfrnde v kursplnen och kurslitterturen så
Läs merKan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs merOm stationära flöden och Gauss sats i planet
Om sttionär flöden och Guss sts i plnet Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning Här diskuterr vi den mtemtisk formuleringen v det uppenbr fktum tt om vi hr en ström v prtiklr genom
Läs merUttryck höjden mot c påtvåolikasätt:
Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs mer16 Area- och volymberäkningar, areor av buktiga
Nr 6, ril -5, Ameli 6 Are- och volmberäkningr, reor v buktig tor 6. Någr reberäkningr Eemel (96e) Beräkn ren som begränss v =,=, = och =. 3.5.5.5.5.5.5 3 Lösning: En möjlighet är tt del tn enligt den streckde
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merSats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b
Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten:
Läs mer1.1 Sfäriska koordinater
Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merTILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER. VOLYMBERÄKNING.
Armin lilovic: EXTA ÖNINGA olmeräkning TILLÄMPNINGA A INTEGALE. OLYMEÄNING. uvud verktg för volmeräkning är duelintegrl som tillör kursen i flervrielnls, men någr volmeräkningr kn vi gör med jälp v enkelintegrl.
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merInledande kurs i matematik, avsnitt P.6. Vi ritar upp enhetscirkeln och vinkeln 2π 3.
Inlednde kurs i mtemtik, vsnitt P6 P6 eräkn sin P61 eräkn os 4 Vi ritr upp enhetsirkeln oh vinkeln Vi sk nvänd enhetsirkeln oh symmetrier i denn för tt estämm os 4 Den punkt på enhetsirkeln med vinkeln
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF1) och F3 (ETE55) Tid och plts: 7 jnuri, 215, kl. 8. 13., lokl: MA9, E F. Kursnsvrig lärre: Anders Krlsson, tel. 222 4 89. Tillåtn hjälpmedel:
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs mera sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0
18 Trigonometri Övning 18.1 I tringeln är sidorn och lik lång. Tringelns störst vinkel är 10. eräkn förhållndet melln sidorn och. Svr med tre gällnde siffror. Mätning i figur godts ej. Tringeln är likbent.
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merTENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00
Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merEn skarp version av Iliev-Sendovs hypotes
School of Mthemtics nd Systems Engineering Reports from MSI - Rpporter från MSI En skrp version v Iliev-Sendovs hypotes Elin Berggren Feb 009 MSI Report 09005 Växjö University ISSN 650-647 SE-35 95 VÄXJÖ
Läs merLösningar till tentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merVolym och dubbelintegraler över en rektangel
Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =
Läs merENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT
ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT DAN STRÄNGBERG Innehåll Smmnfttning. Vd som börjde som föreläsningsnteckningr till en repetitionskurs i envribelnlys hr utvecklts till dett kompendium som är ment som
Läs merAnvändande av formler för balk på elastiskt underlag
Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merEnvariabelanalys, del 2
Envribelnlys, del 2 Toms Sjödin Dett är tänkt tt vr en smmnfttning v det jg nser vr den viktigste teorin i kursen. Ing eempel ges, och det är inte lls tänkt tt på något vis vr ett substitut för kursboken.
Läs mer1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14
Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merHF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER
DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Den trigonometrisk enhetscirkeln är en cirkel med rdie = och mittpunkt i origo B(0,) C(,0) O D(0,) I en rätvinklig tringel definierr vi
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merRäkneövning 1 atomstruktur
Räkneövning 1 tomstruktur 1. Atomerns lägen i grfen (ett mteril som består v endst ett end tomlger v koltomer och vrs upptäckt gv Nobelpriset i fysik, 010) ligger i de gitterpunkter som viss i figuren
Läs merUPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION
OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merLösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)
Lösningsskiss för tentmen Vektorfält och klssisk fysik (FFM34 och FFM3) Tid och plts: Måndgen den 3 oktober 07 klockn 4.00-8.00 i Mskinslrn. Lösningsskiss: Christin Forssén Dett är enbrt en skiss v den
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merAnalys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH
Anlys 36 En webbserd nlyskurs Grundbok X. Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com X. Integrlklkyl (8) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs merNautisk matematik, LNC022, Lösningar
Nutisk mtemtik, LN022, 2012-05-21 Lösningr 1. () För vilken eller vilk vinklr v melln 0 oh 180 är sin v = 0, 25? Räknren ger oss v 14, 5, då finns okså lösningen 180 14, 5 = 165, 5 i det givn intervllet.
Läs merInför tentamen i Analys I och II, TNA008
Inför tentmen i Anlys I och II, TNA008. Gränsvärden () Definition v gränsvärde då x ± ; se Definition.2 och.29 i F.A. (b) Definition v gränsvärde då x. Höger och vänster gränsvärde. Se Definition.9,.2
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merEGENVÄRDEN och EGENVEKTORER
EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER Definition. (Linjär vbildning) En funktion T från R n (n-dimensionell vektorer) till R m (m-dimensionell vektorer) säges vr en linjär vbildning ( linjär funktion eller linjär
Läs merTyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler
Läs merTentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 29 augusti, 2008, kl
Tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 9 ugusti, 8, kl. 14. 19., lokl: MA9A Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson, tel. 45 6 & Anders Krlsson tel.
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merGeometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?
Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs mer6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET
UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merSkriv tydligt! Uppgift 1 (5p)
1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!
Läs mer