6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET
|
|
- Kerstin Mattsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket är ett komplext system v komponenter som ljud, skrivtecken, ord, grmmtik, stsmelodi med mer. Instruktionern för en dtor däremot formulers på ett gnsk enkelt språk bestående v ettor och nollor. När vi vill nvänd oss v dtorer för tt behndl mänskligt språk måste vi därför försök hitt något mellnspråk som å en sidn är tillräckligt enkelt för tt kunn översätts till mskinkod, och å ndr sidn tillräckligt komplext för tt fång så mång spekter v nturlig språk som möjligt. Sådn mellnspråk klls formell språk. De är glsklr exempel på mtemtisk modeller enligt den krkteriseringen som vi såg i först föreläsningen: De måste nödvändigtvis vr bstrkt (och kn inte fång in ll komplexitet bkom det mänsklig språket); de måste vr formell (så tt de kn implementers på en dtor); och de bör vr nvändbr i prktisk tillämpningr. I den här delen v kursen kommer vi tt hör om två typer v formell språk som klls reguljär språk och kontextfri språk. Båd typer v språk kn beskrivs på fler olik sätt. I smbnd med reguljär språk kommer vi tt prt om finit utomter och reguljär uttryck. Ett sätt tt se på utomter är tt se dem som mskiner som vgör om ett visst uttryck är korrekt. Reguljär uttryck kn ses som någon form v minigrmmtik som beskriver vilk uttryck är korrekt. Vi kommer tt se tt finit utomter och reguljär uttryck är ekvivlent på det sättet tt ett uttryck ccepters v en finit utomt om och endst om det kn beskrivs genom ett reguljärt uttryck. I viss smmnhng är det mer prktiskt tt nvänd sig v utomter, i ndr smmnhng bör mn föredr reguljär uttryck. Kontextfri språk kn också beskrivs genom (mer vncerde) utomter; men på den här kursen kommer vi tt fokuser på ders beskrivning genom kontextfri grmmtiker. Vi kommer tt se tt dess grmmtiker är mer expressiv än både finit utomter och reguljär uttryck i det vseende tt de kn beskriv ll reguljär språk, men tt det tvärtom finns kontextfri språk som inte kn beskrivs genom vrken utomter eller reguljär uttr Vi börjr med tt lite mer precist definier vd vi menr med ett formellt språk. 1
2 6.1 Grundläggnde begrepp En sträng är en följd v symboler tgn ur något lfbet. Ett exempel på en sträng är p, som består v 2 symboler ur det svensk lfbetet, en v vilk () förekommer två gånger. Noter tt mn skiljer melln symboler och ders förekomster. När mn skriver kn mn men både som symbol och den sträng som består v en end symbol. Det är inte väsentligt tt lfbetet är kopplt till något nturligt språk. Vi kommer tt prt mycket om strängr där symbolern kommer från mer eller mindre rtificiell lfbet som det binär lfbetet {0, 1}. Ett exempel på en sträng över dett lfbet är 101. Det end som är väsentligt är tt lfbetet är en mängd. Ett viktigt specificlfll på strängr är den tomm strängen, strängen som inte innehåller någr symboler lls. Den tomm strängen skrivs (Grekiskns lmbd; i Eriksson och Gvel) eller ɛ (Grekiskns epsilon; i de flest ndr böckern). Mängden v ll strängr över ett lfbet Σ beteckns med Σ. Ett exempel: {, b} = {,, b,, bb, b, b,... } Vi kommer tt nvänd vribler som u, v, w, x, y, z för strängr. En ny sträng kn bilds genom smmnsättning v två ndr strängr. Smmnsättning v 01 och 001 till exempel ger Om x och y betecknr strängr, så skriver vi x y eller oftst br x y för tt beteckn smmnsättningen v x och y. Noter tt x y inte nödvändigtvis är smm sk som y x. Längden hos en sträng u skrivs som u. Längden kn definiers rekursivt: u = 0 om u = 1 + v om u är på formen v När mn säger tt u är på formen v menr mn tt u är en sträng som är smmnstt v en end symbol och en nnn sträng v. Ett språk modellers som en mängd v strängr, vilk klls för ord. Ett exempel på ett språk är {Per, Pi, Pål}. Dett språk består v tre strängr över det svensk lfbetet; dess tre strängr är språkens ord. Ett mer komplicert exempel är det så kllde kopispråket: { ww w {, b} } Fråg: Kn du förklr hur orden i dett språk ser ut? Orden i kopispråket består v ll strängr över lfbetet {, b} där den en hlvn är en exkt kopi v den ndr hlvn. 2
3 När vi nvänder uttrycket språk menr vi oftst tt det finns en grmmtik eller någon nnn specifiktion som nger vilk strängr ingår i språket och vilk inte gör det. 3
4 7 Reguljär språk 7.1 Finit utomter Det är Ni jobbr på ett företg som säljer ett ordbehndlingsprogrm vid nmnet SuperWord. En dg kommer chefen in med en lysnde idé för hur mn kn gör den näst versionen v SuperWord ännu mer ttrktiv: Lägg till en stvningskontroll! Den sk gå genom en text som nvändren hr skrivit och för vrje ord i texten ntingen ccepter det eller refuser det som felstvt. Fråg: Hur sk ni gå tillväg för tt implementer stvningskontrollen? Ett sätt tt implementer stvningskontrollen är tt sml ihop en list med ord i svenskn och låt dtorn ccepter ll ord som finns med i listn och refuser ll ndr. Ordformer, närmre sgt, för i svenskn kn ord som substntiv, verb och djektiv böjs enligt viss regler ordet p till exempel hr ått olik former: p, ps, pn, pns, por, pors, porn, porns. Mn kn tänk sig tt listn kommer tt bli väldigt lång. Ett nnt skäl till tt lösningen med en list är otillfredsställnde är tt den inte fångr den mycket systemtisk uppbyggnden v svensk ordformer. Ord som flick, dock och klock följer ju precis smm mönster när det gäller formbildningen Terminologi Ett bättre sätt tt implementer en stvningskontroll är tt nvänd finit utomter. En finit utomt för ordformern hos p finns i Figur 1. Figuren visr en riktd grf. Nodern i denn grf klls tillstånd och bågrn klls övergångr. En övergång s 0 s 1 klls -övergång. Det finns ett strttillstånd (tillstånd s 0 i digrmmet) och noll eller fler ccepternde tillstånd (i digrmmet mrkerde genom en extr ring). Automten ccepterr en sträng om denn leder till ett ccepternde tillstånd, givet tt mn börjr i strttillståndet. Automten i digrmmet ccepterr till exempel teckenföljden ps eftersom mn kn börj i tillstånd s 0, t -övergången till s 1, t p-övergången till s 2, t -övergången till s 3 och vslut med s-övergången till s 4 som är ett ccepternde tillstånd. Den ccepterr även p, men däremot inte p. 4
5 s 3 s n s s 5 p strt s 0 s 1 s 2 s 4 o s 6 s s 8 r s 7 n Figur 1: En finit utomt som beskriver ordformern hos p. Mängden v ll strängr som ccepters v utomten klls för utomtens språk. Om M betecknr en finit utomt skriver mn L(M) för det v M ccepterde språket. Vår utomt till exempel ccepterr språket {p, ps, pn, pns, por, pors, porn, porns} Men på vilket sätt är finit utomter bättre än listor på ordformer? Fråg: Hur måste ni modifier utomten så tt den även ccepterr ll ordformer hos ordet list? Mn måste utvidg utomten så tt teckenföljden list leder en från strttillståndet s 0 till tillståndet s 2 : l i s s 9 s 10 s 11 t s 0 s 2 Resten v utomten kn förbli som den är, eftersom ordformern hos list bilds på precis smm sätt som ordformern hos p. Mn kn se tt om mn lägger till mång ord v smm slg (flick, dock, klock) så ger en finit utomt en mycket mer kompkt beskrivning v ordformern än en explicit list. Vår utomt för p ccepterr ett finit språk, men det finns även utomter som ccepterr oändligt stor språk. 5
6 p strt s 0 s 1 s 2 o s 3 n s 5 s 6 s r n 7 s 4 s s 8 Figur 2: En nnn finit utomt som beskriver ordformern hos p. Fråg: Kn du konstruer en utomt som ccepterr följnde språk: Här är ett exempel: { b b n 0} n gånger b strt s 0 s 1 s 2 b b övergångr I vår utomt för ordformern hos ordet p motsvrr vrje övergång en symbol. Iblnd vill mn också tillåt en nnn form v övergångr som klls för -övergångr. Sådn övergångr får mn t utn tt läs någon symbol i strängen. En lterntiv version v vår utomt för p som hr -övergångr viss i Figur 2. Fråg: Kn du förklr vrför den ny utomten ccepterr strängen p? Strängen leder till det ccepternde tillståndet s 8 : Mn börjr i strttillståndet s 0. Sedn läser mn de först tre symbolern p för tt komm till tillståndet s 3. Nu hr mn läst ll symboler i strängen; men s 3 är inget ccepternde tillståndet. För tt komm till det ccepternde tillståndet s 8 följer mn två -övergångr: från s 3 till s 4 och från s 4 till s 8. 6
7 I en utomt med -övergångr finns det inte nödvändigtvis en entydig väg från strttillståndet. Dett ser mn i exemplet nedn: s 1 strt s 0 s 3 s 2 Fråg: Vilket språk ccepters v denn utomt? Språket som ccepters är {}, men för strängen finns det två vägr genom grfen: Antingen går mn den övre vägen (s 0 s 1 s 3 ) eller den undre vägen (s 0 s 2 s 3 ). -övergångr gör inte finit utomter mer uttrycksfull på något sätt. För vrje finit utomt med -övergångr kn mn konstruer en ny finit utomt utn -övergångr sådn tt den ny utomten ccepterr smm språk som den gml. 7.2 Reguljär uttryck Från kursen Introduktion till dttektik för språkvetre känner ni igen reguljär uttryck. Dess kn mn nvänd i progrm som grep för tt sök efter ett visst mönster i en textfil. Fråg: Vilket mönster mtchr den följnde regexpen: ( )( )* Regexpen mtchr ll strängr över lfbetet {0,..., 9} som representerr positiv nturlig tl. Dess består v en siffr 1 9, följd v godtyckligt mång (knske ing!) siffror 0 9. Noter tt strängen 0 mtchs inte v den här regexpen. I det här vsnittet kommer vi tt behndl reguljär uttryck lite mer formellt. De uttrycken som vi behndlr är en någorlund förenkld version v de regexpr som nvänds i t. ex. grep; dett eftersom vi vill inte h det lltför svårt. De flest reguljär uttryck som nvänds i prktiken kn fås som kombintioner v de enkl reguljär uttryck som vi behndlr här. 7
8 7.2.1 Syntx för reguljär uttryck Vi börjr med tt definier vd vi menr med ett reguljärt uttryck: 1. Den tomm strängen är ett reguljärt uttryck. 2. Vrje enskild symbol i lfbetet A är ett reguljärt uttryck. 3. Om R 1 och R 2 är reguljär uttryck är även (R 1 + R 2 ) ett reguljärt uttryck. 4. Om R 1 och R 2 är reguljär uttryck är även (R 1 R 2 ) ett reguljärt uttryck. 5. Om R är ett reguljärt uttryck är även R ett reguljärt uttryck. Onödig prenteser kn utelämns. Fråg: Denn definition är ett exempel på en rekursiv definition. Vd är bsfllen? De först två fllen är bsfllen Två opertioner på språk Precis som ett uttryck som (2 + 3) 4 står för ett tl står vrje reguljärt uttryck för ett språk, dvs. en mängd v strängr över ett visst lfbet. För tt förklr hur dett fungerr behöver vi två opertioner på språk: smmnsättning v språk och den så kllde Kleenestjärnn Smmnsättning v språk Smmnsättningen v två språk L 1 och L 2 består v ll ord som kn bilds genom tt sätt ihop ett ord ur L 1 och ett ord ur L 2. Smmnsättningen v L 1 och L 2 skrivs L 1 L 2 eller iblnd br L 1 L 2. Med hjälp v mängdbyggren kn vi definier: L 1 L 2 = { w 1 w 2 w 1 L 1 och w 2 L 2 } Dett sk uttyds: L 1 L 2 är mängden v ll strängr på formen w 1 w 2 sådn tt w 1 L 1 och w 2 L 2. Fråg: Vd är {uto, flyg} {mt, pilot}? {uto, flyg} {mt, pilot} = {utomt, utopilot, flygmt, flygpilot} 8
9 7.2.4 Kleenestjärnn Kleenestjärnn v ett språk L, som skrivs L, består v den tomm strängen och ll smmnsättningr på formen w 1 w n, där n 0 och ll delsträngr w i kommer från L. Mer formellt kn Kleenestjärnn definiers enligt följnde. Först definierr mn en följd v språk L n : L n = {} om n = 0 { vw v L n 1, w L} om n > 0 Fråg: Vd är L 1? L 1 = { vw v L 0, w L} = { vw v {}, w L} = { w w L} = L Sedn definierr mn L = L 0 L 1 L 2 Fråg: Vd är {0, 1}? Kn du nge ett språk L så tt L består v ett end element? Mängden {0, 1} är mängden v ll strängr över det binär lfbetet {0, 1}, inklusive den tomm strängen. De end språken L för vilk L består v ett end element är L = och L = {} det senre eftersom {} n = {} för ll n 0. Så fort L innehåller någon sträng utöver är L infinit Semntik för reguljär uttryck Nu kn vi säg vilket språk som beskrivs v ett reguljärt uttryck. Givet ett reguljärt uttryck R skriver vi L(R) för det språk som R beskriver. Definitionen v L(R) följer den rekursiv definitionen v R: L() = {} L() = {} L(R 1 + R 2 ) = L(R 1 ) L(R 2 ) L(R 1 R 2 ) = L(R 1 ) L(R 2 ) L(R ) = L(R) 9
10 Fråg: Vilket språk beskriver det reguljär uttrycket (0 + 1) 1? Räkn! Dett uttryck beskriver ll strängr över det binär lfbetet som slutr på 1: L((0 + 1) 1) = L((0 + 1) ) L(1) = L(0 + 1) {1} = (L(0) L(1)) {1} = ({0} {1}) {1} = {0, 1} {1} 7.3 Reguljär uttryck och finit utomter Reguljär uttryck och finit utomter är två sätt tt krkteriser formell språk. En typisk mtemtisk fråg är då: Finns det språk som br kn krkterisers på det en sättet, men inte på det ndr? Svret på denn fråg är nej : Reguljär uttryck och finit utomter är ekvivlent på det sättet tt vrje språk som kn beskrivs med hjälp v ett reguljärt uttryck kn också beskrivs genom en finit utomt, och vice vers. Reguljär uttryck och finit utomter beskriver lltså exkt smm typ v språk. Dess språk klls för reguljär språk. De hr viktig tillämpningr inom språkteknologin. Vi hr redn sett en tillämpning inom morfologin, men de är också väldigt viktig i smbnd med informtionssökning, question nswering m.fl. I det här vsnittet kommer vi tt bevis tt vrje språk som kn beskrivs med hjälp v ett reguljärt uttryck kn också beskrivs genom en finit utomt. Den ndr riktningen tr vi inte upp här i kursen. Hur kn vi bevis tt vrje språk som kn krkterisers genom ett reguljärt uttryck kn också beskrivs genom en finit utomt? Grundtken är denn: För vrje reguljärt uttryck sk vi bygg en finit utomt som ccepterr precis det språket som uttrycket representerr. Det finns oändligt mång reguljär uttryck men de hr en rekursiv definition! Vårt bevis kommer tt vr en induktionsbevis som följer denn rekursiv definition. När mn ser på den rekursiv definitionen v reguljär uttryck ser mn tt det finns två bsfll och tre rekursiv fll. För bsfllen kommer vi tt bygg väldigt enkl utomter. I de rekursiv fllen kommer vi sedn tt nt tt vi redn byggt utomter för mindre reguljär uttryck och kombinerr dem till en utomt för det komplex uttrycket. Då sätter vi igång! Fll 1: Vi bygger en utomt som ccepterr språket {}. Vi tr: 10
11 strt Noter tt denn utomt hr precis ett strttillstånd och ett ccepternde tillstånd. I hel det här beviset kommer vi br bygg utomter med denn egenskp. Fråg: Kn du komm på en enklre utomt som ccepterr {}? Mn kn t utomten som består v ett end tillstånd (som smtidigt är strttillstånd och ccepternde tillstånd) och inte hr någr övergångr lls. Fll 2: Vi bygger en utomt som ccepterr språket {}. Vi tr: strt Noter tt även denn utomt hr precis ett strttillstånd och ett ccepternde tillstånd. Fll 2: R 1 + R 2 Vi bygger en utomt som ccepterr språket L(R 1 ) L(R 2 ). Låt oss nt tt vi redn hr byggt en utomt M 1 som ccepterr språket L(R 1 ) och en utomt M 2 som ccepterr språket L(R 2 ). Vår ny utomt bserr på M 1 och M 2. Låt s 10 beteckn strttillståndet i M 1 och låt s 11 beteckn det ccepternde tillståndet i M 1. Låt på smm sätt s 20 och s 21 beteckn strttillståndet och det ccepternde tillståndet i M 2. I den ny utomten kommer ll fyr tillstånd vr helt vnlig tillstånd, dvs. inte strttillstånd eller ccepternde tillstånd. Istället lägger vi till två ny tillstånd s 0 och s 1, vrv s 0 blir det ny strttillståndet och s 1 blir det ny ccepternde tillståndet. Sedn lägger vi till fyr stycken -övergångr: en från s 0 till s 10, en från s 0 till s 20, en från s 11 till s 1 och en från s 21 till s 1. Schemtiskt ser lltså den ny utomten ut så här: M 1 s 10 s 11 strt s 0 s 1 s 20 s 21 M 2 Hur kn vi se tt denn utomt ccepterr språket L(R 1 ) L(R 2 )? För tt utomten sk ccepter en sträng måste det finns en vndring i övergångsgrfen som börjr i 11
12 strttillståndet och slutr i det ccepternde tillståndet. Det finns två sorters sådn vndringr: de som går genom utomten M 1 och de som går genom utomten M 2. Eftersom vi hr ntgit tt språket som ccepters v M 1 är språket L(R 1 ) vet vi tt vrje vndring som går genom M 1 är en ccepternde vndring för ett ord i L(R 1 ). På smm sätt är vrje vndring som går genom M 2 en ccepternde vndring för ett ord i L(R 2 ). Vi drr slutstsen tt vrje ccepternde vndring genom den ny utomten är en ccepternde vndring för ntingen ett ord ur L(R 1 ) eller ett ord ur L(R 2 ). Alltså är vrje ccepternde vndring genom utomten en ccepternde vndring för ett ord ur L(R 1 ) L(R 2 ). Fll 4: R 1 R 2 Vi bygger en utomt som ccepterr språket L(R 1 ) L(R 2 ). På smm sätt som i förr fllet ntr vi tt vi redn hr byggt en utomt M 1 som ccepterr språket L(R 1 ) och en utomt M 2 som ccepterr språket L(R 2 ). Låt s 10, s 11, s 20 och s 21 vr definierde som i förr fllet, och låt s 0 och s 1 vr ny tillstånd som i förr fllet. Vår ny utomt sk set ut så här: M 1 M 2 strt s 0 s 10 s 11 s 20 s 21 s 1 På smm sätt som i förr fllet kn vi rgumenter tt vrje ccepternde vndring genom den ny utomten är en ccepternde vndring för ett ord i språket L(R 1 ) L(R 2 ) och tt vrje ccepternde vndring för dett språk kn fås. Fll 5: R Vi bygger en utomt som ccepterr språket L(R). Låt oss nt tt vi redn hr byggt en utomt M som ccepterr språket L(R). Vår ny utomt bör se ut så här: M strt s 0 s 1 Med dett kn vi vslut beviset. 7.4 Läsning och övningr Eriksson och Gvel, kpitel 9 förutom
13 S NP VP NN VB NP studenter älskr JJ NN mtemtisk texter 8 Kontextfri språk Figur 3: Ett frsstrukturträd. Den syntktisk strukturen hos en sts kn beskrivs genom frsstrukturträd. Ett exempel viss i Figur 3. Löven i ett frsstrukturträd representerr ord såsom älskr och texter; lövens föräldrrnoder representerr ordklsser såsom verbl bsform (VB) och substntiv (NN); de övrig nodern representerr frser. I exemplet representerr noden med symbolen S den fullständig stsen Studenter älskr mtemtisk texter. Denn sts består v två delr, en nominlfrs (NP) (som innehåller stsens subjekt Studenter) och en verblfrs (VP). Verblfrsen förgrenr sig ytterligre i en verbl bsform och en nominlfrs (som innehåller stsens objekt mtemtisk texter). Frsstruktur och den underliggnde synen på syntktisk struktur behndls mer utförligt i mer lingvistisk kurser. I den här kursen ligger fokus på de formell spektern v frsstrukturgrmmtiker. 8.1 Kontextfri grmmtiker När mn tr en frsstrukturgrmmtik och sklr bort ll lingvistisk intuitioner och metforer får mn en form v grmmtik som klls för kontextfri grmmtik Grundläggnde begrepp Här är ett exempel på hur reglern i en enkel kontextfri grmmtik kn se ut: S S Sb I en kontextfri grmmtik förekommer två sorters symboler (förutom den speciell symbolen som nvänds när mn skriver ner reglern): icketerminl symboler eller icketerminler och 13
14 terminl symboler eller terminler Icketerminler brukr nges med versler, terminler brukr nges med gemener. I vår exempelgrmmtik finns br en end icketerminl (S), men två terminler ( och b). När mn nvänder kontextfri grmmtiker som frsstrukturgrmmtiker nvänds terminler för tt representer orden i en mening, medn icketerminl symboler nvänds för tt representer ordklsser (såsom verbl bsform och substntiv) frser (såsom nominlfrs och verblfrs). Vrje kontextfri grmmtik innehåller en speciell icketerminl som klls strtsymbol. Det finns en konvention tt lltid beteckn denn strtsymbol med S, och denn konvention följer vi även i den här kursen. Vrje regel i en kontextfri grmmtik är på formen A α, där A är en enskild icketerminl symbol och α är en sträng bestående v icketerminler och terminler. Observer tt strängen α kn också vr den tomm strängen, som i regeln S ovn. Reglern nvänds som omskrivningsregler, på följnde sätt. Mn börjr med grmmtikens strtsymbol. Så länge mn hr en sträng β som innehåller åtminstone en icketerminl symbol A väljer mn en regel som hr A som vänstersid och ersätter någon förekomst v A i β genom den vld regelns högersid. Till slut kommer mn då till en sträng som br innehåller terminl symboler. Mängden v ll strängr som mn kn härled på dett sätt klls för grmmtikens språk. Om G betecknr en kontextfri grmmtik skriver vi L(G) för tt beteckn G:s språk. Det finns två sätt tt se på en kontextfri grmmtik: Mn kn se den som en modell för tt producer ett språk och som en modell för tt beskriv ett språk. Fråg: Vilket språk beskriver exempelgrmmtiken? Språket { n b n n 0}, som består v strängr med jämn längd vrs först hlv består v br :s och vrs ndr hlv består v br b:s. Under föreläsningen hr vi prtt om det så kllde kopispråket { ww w {, b} }. Dett språk består v ll strängr över lfbetet {, b} som kn dels i två delsträngr såsom tt den ndr delsträngen är en exkt kopi på den först delsträngen. Ett språk som tillsynes är gnsk likt kopispråket är det inverterde kopispråket eller plindromspråket { ww R w {, b }}. Nottionen w R står för strängen som mn får genom tt vänd på strängen w (eng. revert). Det inverterde kopispråket består lltså v ll strängr över lfbetet {, b} som kn dels i två delsträngr såsom tt den ndr delsträngen är en omvänd kopi på den först delsträngen. Sådn strängr klls även för plindrom: mn får ut smm sträng om mn läser från vänster eller från höger. 14
15 Fråg: Kn du nge någr ord som ingår i det inverterde kopispråket? Kn du nge en kontextfri grmmtik som genererr det inverterde kopispråket? Någr exempel är,, bb, bb, bb. En grmmtik som genererr det inverterde kopispråket hr produktionern S, S S, S b S b. Kopispråket och plindromspråket är relevnt när mn modellerr bistser i språk som tysk och holländsk Prseträd Ett sätt tt beskriv en härledning i en kontextfri grmmtik är tt rit ett prseträd. Här är tre exempel på prseträd för exempelgrmmtiken: S S S b S S b S b Prseträd är rotde träd vrs noder är mrkerde med icketerminler och terminler. Rotnoden är lltid mrkerd med strtsymbolen. Vrje gång mn i en härledning nvänder en regel på formen A x 1 x m för tt skriv om en icketerminl A till en följd v symboler x 1,..., x m gör mn en förgrening i prseträdet och skriver ner x 1,..., x m som brn till noden som representerr A. I specilfllet där A skrivs om till den tomm strängen får A ett end brn som är mrkerd med. Fråg: Om mn hr ritt ett prseträd för en härledning v en sträng med n symboler, hur mång löv hr då trädet? Trädet hr då åtminstone n löv. Det kn h fler än n löv, eftersom någr v löven kn vr mrkerde med den tomm strängen. 15
16 8.2 Språkhierrkier Vi sk vrund denn del v kursen med tt titt närmre på reltionen melln reguljär och kontextfri språk. Vi sk se tt ll reguljär språk kn beskrivs med hjälp v kontextfri grmmtiker, men tt det finns kontextfri språk som inte är reguljär, dvs. kn beskrivs vrken med finit utomter eller med reguljär uttryck Vrje reguljärt språk är ett kontextfritt språk Vi börjr med tt vis tt vrje reguljärt språk också är ett kontextfritt språk. Ett språk är ju reguljärt om och endst om det ccepters v en finit utomt v det slget som vi sett i vsnitt 3.1. För tt vis tt vrje reguljärt språk är ett kontextfritt språk visr vi hur mn för en godtycklig finit utomt kn konstruer en kontextfri grmmtik som ccepterr exkt smm språk som utomten. Icketerminlern i grmmtiken är utomtens tillstånd. Strtsymbolen är utomtens strttillstånd. Reglern i grmmtiken är enligt följnde: För vrje -övergång från ett tillstånd s till ett tillstånd s i utomten lägger vi till en regel s s till grmmtiken. För vrje ccepternde tillstånd s lägger vi till en regel s. Intuitionen är tt vrje gång tt utomten gör en -övergång från s till s så nvänder grmmtiken regeln s s, och vice vers. Fråg: Hur ser grmmtiken ut för p-utomten från Figur 1? Kn du nge prseträdet för p enligt denn grmmtik? Grmmtiken hr 9 icketerminler, s 0,..., s 8. Strtsymbolen är s 0. Reglern i grmmtiken ser ut så här: s 0 s 1 s 1 ps 2 s 2 s 3 s 2 os 6 s 3 ss 4 s 3 ns 5 s 5 ss 4 s 6 rs 7 s 7 ss 4 s 7 ns 8 s 8 s 5 s 3 s 4 s 5 s 7 Prseträdet för p är: 16
17 s 0 s 1 p s 2 s Det finns kontextfri språk som inte är reguljär språk Vi sk nu titt på ett språk som är kontextfritt men inte reguljärt. Vi hr redn sett dett språk: { n b n n 0}, det vill säg mängden v ll strängr på formen Låt oss kll dett språk för n b n. b b n ggr n ggr Noter tt vi hde ett gnsk liknnde språk i ett tidigre exempel: { (b) n n 0}, dvs. mängden v ll strängr på formen b b n ggr För dett språk konstruerde vi en finit utomt, men dett är inte möjligt för det ny språket n b n. Hur kn mn bevis dett? Pumpning Vi kommer tt nvänd en mtemtisk princip som klls Postfcksprincipen: Om mn hr fler brev än postfck, och om mn lägger vrje brev i något v postfcken, kommer något postfck tt innehåll minst två brev. Vi illustrerr denn princip genom ett bevis v följnde påstående. Påstående: Det finns minst två Uppslbor som hr precis lik mång hår på huvudet. Bevis: Det finns lite mer än invånre i Uppsl kommun. Vrje människ hr mindre än hår på huvudet (enligt Wikipedi). Det finns lltså minst ett möjligt ntl hår som dels v minst två Uppslbor. 17
18 Fråg: Vd är breven och vd är postfcken i dett exempel? Breven är Uppslborn, postfcken är möjlig ntl hår. Låt oss tänk på hur en finit utomt ccepterr en sträng z. (I det följnde kommer vi tt nt tt utomten inte innehåller någr -övergångr. Om mn hr en utomt med -övergångr måste mn först t bort dem.) Automten börjr i strttillståndet. Vrje gång den läser en symbol i z går den över till något nnt tillstånd. Vi kn skriv ner ll tillstånd som utomten besöker för z. Om z består v n symboler så hr denn tillståndssekvens längd n + 1: Den består v strttillståndet och ett ytterligre tillstånd för vrje symbol i strängen. Nu nvänder vi Postfcksprincipen: Om z består v minst lik mång symboler som det finns tillstånd i utomten kommer något tillstånd tt besöks minst två gånger när utomten processr z. Fråg: Vd innebär dett för utomtens struktur? Om en finit utomt ccepterr en sträng genom en vndring som besöker smm tillstånd minst två gånger så måste det finns en cykel i utomtens grfdigrm. Antg tt z p, där p är ntlet tillstånd i utomten. Då måste det finns en cykel i utomten. Vi kn då del in z i tre delr u, v, w så tt v är den del som utomten processr när den vndrr på cykeln och u och v är de delrn som utomten processr innn och efter den hmnr på cykeln. Schemtiskt ser dett ut så här: v strt u w Noter tt, eftersom utomten inte gör -övergångr måste delsträngen v bestå v minst en symbol. Antg nu tt vi skär bort v från z och därigenom bildr en ny sträng z 0 = uw. Denn sträng kommer också tt ccepters v utomten, eftersom det finns en ccepternde vndring i grfen som ser ut precis som den vi hde för z, br tt den skippr cykeln som processr symbolern i v. Antg nu tt vi klistr in en kopi på v, direkt efter den först förekomsten v v, och därigenom bildr en ny sträng z 2 = uvvw. Mn säger tt mn hr pumpt upp z. 18
19 Även strängen z 2 kommer tt ccepters v utomten, genom en vndring som går genom cykeln två gånger istället för br en gång. Mer llmänt ser mn då tt vrje sträng z i på formen uv i w där i 0 kommer tt ccepters v utomten Tillämpning på språket n b n Hittills hr vi prtt om godtycklig strängr z. Vi hr rgumentert tt, om z ccepters v utomten och br är tillräckligt lång, så kn den dels upp i tre delr u, v, w så tt v och vrje sträng z i = uv i w (i 0) också ccepters v utomten. Låt oss nu nt tt z är v den formen som orden i n b n hr, och tt det finns en utomt M som ccepterr den. Låt p vr ntlet tillstånd i M och låt z = k b k så tt 2k p Som ett konkret exempel kn vi nt tt z = 10 b 10 och tt p = 20: z = 10 ggr 10 ggr b b Eftersom z p ccepters den genom en vndring som följer en cykel. Dett innebär tt vi kn del upp z på det sättet som vi beskrivit: z = uvw. Låt oss funder på hur strängen v kn se ut. Det finns tre fll: 1. Strängen v innehåller br s. Till exempel skulle vi kunn h: z = 2 ggr u 6 ggr v 2. Strängen v innehåller br bs. Till exempel: z = 10 ggr 2 ggr u 2 ggr 10 ggr b b w 6 ggr b b b b v 2 ggr b b w 3. Strängen v innehåller någr s följd v någr bs. Till exempel: z = 6 ggr u 4 ggr 4 ggr v 6 ggr b b b b w Vi hr redn rgumentert tt vi får pump upp strängen z och bildr en ny sträng z 2 = uvvw såsom tt denn sträng också ccepters v M. Vi kn noter det följnde: 19
20 1. Om v innehåller br s innehåller den ny strängen z 2 fler s än bs. I exemplet hr vi: 2 ggr 6 ggr 6 ggr 2 ggr 10 ggr z = b b u v v w Nu finns det lltså 16 förekomster v, men br 10 förekomster v b. 2. Om v innehåller br bs innehåller den ny strängen z 2 fler bs än bs. I exemplet: z = 10 ggr 2 ggr u 6 ggr b b b b v 6 ggr b b v 2 ggr b b w Nu finns det 10 förekomster v, men 16 förekomster v b. 3. Om v innehåller någr s följd v någr bs innehåller den ny strängen z 2 fler än en -region och fler än en b-region: z = 6 ggr u 4 ggr 4 ggr v 4 ggr 4 ggr 6 ggr b b b b b b v w I vrje fll kn vi dr slutstsen tt den ny strängen z 2 inte är på den formen som strängr i språket n b n hr. Men vi vet tt den ny strängen också ccepters v utomten! Det vill säg: Vrje utomt som ccepterr strängr på den formen som strängrn i språket n b n hr ccepterr också stränger som inte är på den formen. Dett betyder tt det kn inte finns någon utomt som ccepterr precis de strängrn i språket n b n. Alltså är dett språk inte reguljärt. 8.3 Läsning Dett mteril. (Kontextfri språk och pumprgument ts inte upp i boken.) 20
1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.
UPPSAA UNIVERSITET Mtemtisk institutionen Slling (070-6527523) PROV I MATEMATIK AUTOMATATEORI 18 okt 2012 SKRIVTID: 8-13. HJÄPMEDE: Ing. MOTIVERA AA ÖSNINGAR NOGGRANT. BETYGSGRÄNSER: För etygen 3, 4 respektive
Läs merAUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:
AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.
Läs merFORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK
FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merMatematik för språkteknologer
1 / 21 Matematik för språkteknologer 3.3 Kontext-fria grammatiker (CFG) Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2014 2 / 21 Dagens saker Kontext-fria grammatiker (CFG). CFG kan
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merFinita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.
Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merRÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merKan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs mer13 Generaliserade dubbelintegraler
Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs mer9. Vektorrum (linjära rum)
9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merEtt förspel till Z -transformen Fibonaccitalen
Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.
Läs merSkriv tydligt! Uppgift 1 (5p)
1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017
KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KndM, MtemA -9-6 Smmnfttning v föreläsningrn 5-7. Föreläsningrn 5 7, 7/9 6/9 : Det kommer, liksom i lärooken, inte tt finns utrymme för
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merByt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
Läs merInternetförsäljning av graviditetstester
Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs mer============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.
GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merSidor i boken
Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merGrundläggande textanalys, VT2012
Grundläggnde textnlys, VT2012 evelin.ndersson@lingfil.uu.se Rum 9-2035 http://stp.ling.uu.se/~evelin/uv/uv12/gt/ (Tck till Sofi Gustfson-Cpkovâ för mteril.) Idg - Kurspln - Kort historik - Ändlig utomter
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merV1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,
Läs merTillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.
TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys
Läs merListor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.
1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merSERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER
SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +
Läs merEasyMP Multi PC Projection-bruksanvisning
EsyMP Multi PC Projection-bruksnvisning Innehåll 2 Om EsyMP Multi PC Projection Olik typer v möten med EsyMP Multi PC Projection... 5 Håll möten och nvänd fler bilder...5 Håll fjärrmöten över ett nätverk...
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merUPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION
OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i
Läs merKontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj
Kontrollskrivning 3 till Diskret Mtemtik SF60, för CINTE, vt 209 Emintor: Armin Hlilovic Dtum: 2 mj Version B Resultt: Σ p P/F Etr Bonus Ing hjälpmedel tillåtn Minst 8 poäng ger godkänt Godkänd KS nr n
Läs merINLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp
rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fnktioner =bildningr Beteckningr och grndbegrepp Definition En fnktion eller bildning från en mängd till en mängd B är en regel som
Läs merUppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1
Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert
Läs merSpelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson
Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2
Lösningr och kommentrer till uppgifter i.2 202 d) t t 2 25 t (t 5)(t + 5) Med hjälp v konjugtregeln kn vi fktoriser nämnren. Eftersom nämnren inte får bli noll är ej t 5 eller t 5 tillåtn. 206 Först presenterr
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merIE1204 Digital Design
IE1204 Digitl Design F1 F3 F2 F4 Ö1 Booles lgebr, Grindr MOS-teknologi, minimering F5 F6 Ö2 Aritmetik Ö3 KK1 LAB1 Kombintorisk kretsr F7 F8 Ö4 F9 Ö5 Multipleor KK2 LAB2 Låskretsr, vippor, FSM F10 F11 Ö6
Läs merTillämpning av integraler
CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merMat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III
Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))
Läs merLösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp
Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m
Läs merOperativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik
Opertivsystemets uppgifter Föreläsning 6 Opertivsystem Opertivsystemets uppgifter Historik Skydd: in- oh utmtning, minne, CPU Proesser, tidsdelning Sidindelt minne, virtuellt minne Filsystem Opertivsystemet
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8
Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr
Läs merDefinition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.
Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att
Läs merGör slag i saken! Frank Bach
Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn
Läs merFöreläsning 3: Strängmatchning
2D1458, Prolemlösning oh progrmmering under press Föreläsning 3: Strängmthning Dtum: 2006-09-18 Srienter: Miel Elisson, Joim Erisson oh Mts Linnder Föreläsre: Miel Goldmnn Denn föreläsning ehndlr prolemet
Läs merSIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH
SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr
Läs merMängder i R n. Funktioner från R n till R p
Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,)
Läs mer12 frågor om patent RESEARCHA-ÖVNING
reser 12 frågor om ptent En uppfinning är i sig ett llmänt begrepp och kn omftt vrje ny idé på ll möjlig områden. En uppfinning måste däremot, för tt kunn beviljs ptent, uppfyll viss bestämd kriterier.
Läs merRepetition 2. a) Delmängdskonstruktionen ger nedanstående DFA. Till höger med nya tillståndsnamn.
1 Repetition 2.n Repetition 2 3 1. Betrt vidstående NFA. 1 2 ) Konstruer ed hjälp v delängdsonstrutionen en DFA evivlent ed NFA:n. ) Är den resulternde DFA:n inil? O ej, inier den! c) Konstruer ett reguljärt
Läs merKOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015
KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och
Läs merTentamen Programmeringsteknik II Skrivtid: Skriv läsligt! Använd inte rödpenna! Skriv bara på framsidan av varje papper.
Tentmen Progrmmeringsteknik II 014-10-4 Skrivtid: 1400 1900 Tänk på följnde Skriv läsligt! Använd inte rödpenn! Skriv r på frmsidn v vrje ppper. Börj lltid ny uppgift på nytt ppper. Lägg uppgiftern i ordning.
Läs mer4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar
Signler och system i frevensplnet Övningr. Bestäm fourierserieoefficientern för de periodis signlern ) 7 δ [ n ] N = b) { δ [ n ] δ [ n 6] } N = c) { δ [ n + ] δ [ n ] } N =. T frm fourierserieoefficientern
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
Komplex tl De komplex tlen nvänds när mn behndlr växelström inom elektroniken. Imginär enheten beteckns i elektroniken med j (i, som nvänds i mtemtiken, är ju upptget v strömmen). Den definiers v j = 1
Läs merAlgebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )
Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde
Läs merCHECKLISTA FÖR PERSONALRUM
CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-
Läs merKTH Teknikvetenskap Fotografi-lab 3
KTH Teknikvetenskp Fotogrfi-lb 3 Svrtvitt kopieringsrbete, tonreproduktion Kurs: SK2380, Teknisk Fotogrfi Kjell Crlsson & Hns Järling Tillämpd Fysik, KTH, 2015 1 För tt uppnå en god förståelse och inlärning
Läs merArea([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)
Aren och integrl Summor Huvudämne i föreläsningen är reor v gurer i plnet och integrler. Integrl är ett egrepp som låter de nier reor v gurer i plnet, och speciellt eräkn reor melln grfer v funktioner
Läs merEnvariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik
Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................
Läs merAnalys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013
Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två
Läs merRationella uttryck. Förlängning och förkortning
Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing
Läs merLångtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.
REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merINNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3
INNEHALL 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 DATORER Allmänt Digitl dtorer Orgnistion Ordmm Minnesenheten Aritmetisk enheten Styrenheten In/utenheten Avbrott Spräk och proglmm
Läs mer0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.
Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.
Läs merAnvändande av formler för balk på elastiskt underlag
Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller
Läs merGuide - Hur du gör din ansökan
Guide - Hur du gör din nsökn För tt komm till nsökningswebben går du in på www.gymnsievlsjuhärd.se och klickr på Ansökningswebb. Men innn du går dit läs igenom informtion under Ansökn och Antgning. Ansökningswebben
Läs mer