6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET"

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket är ett komplext system v komponenter som ljud, skrivtecken, ord, grmmtik, stsmelodi med mer. Instruktionern för en dtor däremot formulers på ett gnsk enkelt språk bestående v ettor och nollor. När vi vill nvänd oss v dtorer för tt behndl mänskligt språk måste vi därför försök hitt något mellnspråk som å en sidn är tillräckligt enkelt för tt kunn översätts till mskinkod, och å ndr sidn tillräckligt komplext för tt fång så mång spekter v nturlig språk som möjligt. Sådn mellnspråk klls formell språk. De är glsklr exempel på mtemtisk modeller enligt den krkteriseringen som vi såg i först föreläsningen: De måste nödvändigtvis vr bstrkt (och kn inte fång in ll komplexitet bkom det mänsklig språket); de måste vr formell (så tt de kn implementers på en dtor); och de bör vr nvändbr i prktisk tillämpningr. I den här delen v kursen kommer vi tt hör om två typer v formell språk som klls reguljär språk och kontextfri språk. Båd typer v språk kn beskrivs på fler olik sätt. I smbnd med reguljär språk kommer vi tt prt om finit utomter och reguljär uttryck. Ett sätt tt se på utomter är tt se dem som mskiner som vgör om ett visst uttryck är korrekt. Reguljär uttryck kn ses som någon form v minigrmmtik som beskriver vilk uttryck är korrekt. Vi kommer tt se tt finit utomter och reguljär uttryck är ekvivlent på det sättet tt ett uttryck ccepters v en finit utomt om och endst om det kn beskrivs genom ett reguljärt uttryck. I viss smmnhng är det mer prktiskt tt nvänd sig v utomter, i ndr smmnhng bör mn föredr reguljär uttryck. Kontextfri språk kn också beskrivs genom (mer vncerde) utomter; men på den här kursen kommer vi tt fokuser på ders beskrivning genom kontextfri grmmtiker. Vi kommer tt se tt dess grmmtiker är mer expressiv än både finit utomter och reguljär uttryck i det vseende tt de kn beskriv ll reguljär språk, men tt det tvärtom finns kontextfri språk som inte kn beskrivs genom vrken utomter eller reguljär uttr Vi börjr med tt lite mer precist definier vd vi menr med ett formellt språk. 1

2 6.1 Grundläggnde begrepp En sträng är en följd v symboler tgn ur något lfbet. Ett exempel på en sträng är p, som består v 2 symboler ur det svensk lfbetet, en v vilk () förekommer två gånger. Noter tt mn skiljer melln symboler och ders förekomster. När mn skriver kn mn men både som symbol och den sträng som består v en end symbol. Det är inte väsentligt tt lfbetet är kopplt till något nturligt språk. Vi kommer tt prt mycket om strängr där symbolern kommer från mer eller mindre rtificiell lfbet som det binär lfbetet {0, 1}. Ett exempel på en sträng över dett lfbet är 101. Det end som är väsentligt är tt lfbetet är en mängd. Ett viktigt specificlfll på strängr är den tomm strängen, strängen som inte innehåller någr symboler lls. Den tomm strängen skrivs (Grekiskns lmbd; i Eriksson och Gvel) eller ɛ (Grekiskns epsilon; i de flest ndr böckern). Mängden v ll strängr över ett lfbet Σ beteckns med Σ. Ett exempel: {, b} = {,, b,, bb, b, b,... } Vi kommer tt nvänd vribler som u, v, w, x, y, z för strängr. En ny sträng kn bilds genom smmnsättning v två ndr strängr. Smmnsättning v 01 och 001 till exempel ger Om x och y betecknr strängr, så skriver vi x y eller oftst br x y för tt beteckn smmnsättningen v x och y. Noter tt x y inte nödvändigtvis är smm sk som y x. Längden hos en sträng u skrivs som u. Längden kn definiers rekursivt: u = 0 om u = 1 + v om u är på formen v När mn säger tt u är på formen v menr mn tt u är en sträng som är smmnstt v en end symbol och en nnn sträng v. Ett språk modellers som en mängd v strängr, vilk klls för ord. Ett exempel på ett språk är {Per, Pi, Pål}. Dett språk består v tre strängr över det svensk lfbetet; dess tre strängr är språkens ord. Ett mer komplicert exempel är det så kllde kopispråket: { ww w {, b} } Fråg: Kn du förklr hur orden i dett språk ser ut? Orden i kopispråket består v ll strängr över lfbetet {, b} där den en hlvn är en exkt kopi v den ndr hlvn. 2

3 När vi nvänder uttrycket språk menr vi oftst tt det finns en grmmtik eller någon nnn specifiktion som nger vilk strängr ingår i språket och vilk inte gör det. 3

4 7 Reguljär språk 7.1 Finit utomter Det är Ni jobbr på ett företg som säljer ett ordbehndlingsprogrm vid nmnet SuperWord. En dg kommer chefen in med en lysnde idé för hur mn kn gör den näst versionen v SuperWord ännu mer ttrktiv: Lägg till en stvningskontroll! Den sk gå genom en text som nvändren hr skrivit och för vrje ord i texten ntingen ccepter det eller refuser det som felstvt. Fråg: Hur sk ni gå tillväg för tt implementer stvningskontrollen? Ett sätt tt implementer stvningskontrollen är tt sml ihop en list med ord i svenskn och låt dtorn ccepter ll ord som finns med i listn och refuser ll ndr. Ordformer, närmre sgt, för i svenskn kn ord som substntiv, verb och djektiv böjs enligt viss regler ordet p till exempel hr ått olik former: p, ps, pn, pns, por, pors, porn, porns. Mn kn tänk sig tt listn kommer tt bli väldigt lång. Ett nnt skäl till tt lösningen med en list är otillfredsställnde är tt den inte fångr den mycket systemtisk uppbyggnden v svensk ordformer. Ord som flick, dock och klock följer ju precis smm mönster när det gäller formbildningen Terminologi Ett bättre sätt tt implementer en stvningskontroll är tt nvänd finit utomter. En finit utomt för ordformern hos p finns i Figur 1. Figuren visr en riktd grf. Nodern i denn grf klls tillstånd och bågrn klls övergångr. En övergång s 0 s 1 klls -övergång. Det finns ett strttillstånd (tillstånd s 0 i digrmmet) och noll eller fler ccepternde tillstånd (i digrmmet mrkerde genom en extr ring). Automten ccepterr en sträng om denn leder till ett ccepternde tillstånd, givet tt mn börjr i strttillståndet. Automten i digrmmet ccepterr till exempel teckenföljden ps eftersom mn kn börj i tillstånd s 0, t -övergången till s 1, t p-övergången till s 2, t -övergången till s 3 och vslut med s-övergången till s 4 som är ett ccepternde tillstånd. Den ccepterr även p, men däremot inte p. 4

5 s 3 s n s s 5 p strt s 0 s 1 s 2 s 4 o s 6 s s 8 r s 7 n Figur 1: En finit utomt som beskriver ordformern hos p. Mängden v ll strängr som ccepters v utomten klls för utomtens språk. Om M betecknr en finit utomt skriver mn L(M) för det v M ccepterde språket. Vår utomt till exempel ccepterr språket {p, ps, pn, pns, por, pors, porn, porns} Men på vilket sätt är finit utomter bättre än listor på ordformer? Fråg: Hur måste ni modifier utomten så tt den även ccepterr ll ordformer hos ordet list? Mn måste utvidg utomten så tt teckenföljden list leder en från strttillståndet s 0 till tillståndet s 2 : l i s s 9 s 10 s 11 t s 0 s 2 Resten v utomten kn förbli som den är, eftersom ordformern hos list bilds på precis smm sätt som ordformern hos p. Mn kn se tt om mn lägger till mång ord v smm slg (flick, dock, klock) så ger en finit utomt en mycket mer kompkt beskrivning v ordformern än en explicit list. Vår utomt för p ccepterr ett finit språk, men det finns även utomter som ccepterr oändligt stor språk. 5

6 p strt s 0 s 1 s 2 o s 3 n s 5 s 6 s r n 7 s 4 s s 8 Figur 2: En nnn finit utomt som beskriver ordformern hos p. Fråg: Kn du konstruer en utomt som ccepterr följnde språk: Här är ett exempel: { b b n 0} n gånger b strt s 0 s 1 s 2 b b övergångr I vår utomt för ordformern hos ordet p motsvrr vrje övergång en symbol. Iblnd vill mn också tillåt en nnn form v övergångr som klls för -övergångr. Sådn övergångr får mn t utn tt läs någon symbol i strängen. En lterntiv version v vår utomt för p som hr -övergångr viss i Figur 2. Fråg: Kn du förklr vrför den ny utomten ccepterr strängen p? Strängen leder till det ccepternde tillståndet s 8 : Mn börjr i strttillståndet s 0. Sedn läser mn de först tre symbolern p för tt komm till tillståndet s 3. Nu hr mn läst ll symboler i strängen; men s 3 är inget ccepternde tillståndet. För tt komm till det ccepternde tillståndet s 8 följer mn två -övergångr: från s 3 till s 4 och från s 4 till s 8. 6

7 I en utomt med -övergångr finns det inte nödvändigtvis en entydig väg från strttillståndet. Dett ser mn i exemplet nedn: s 1 strt s 0 s 3 s 2 Fråg: Vilket språk ccepters v denn utomt? Språket som ccepters är {}, men för strängen finns det två vägr genom grfen: Antingen går mn den övre vägen (s 0 s 1 s 3 ) eller den undre vägen (s 0 s 2 s 3 ). -övergångr gör inte finit utomter mer uttrycksfull på något sätt. För vrje finit utomt med -övergångr kn mn konstruer en ny finit utomt utn -övergångr sådn tt den ny utomten ccepterr smm språk som den gml. 7.2 Reguljär uttryck Från kursen Introduktion till dttektik för språkvetre känner ni igen reguljär uttryck. Dess kn mn nvänd i progrm som grep för tt sök efter ett visst mönster i en textfil. Fråg: Vilket mönster mtchr den följnde regexpen: ( )( )* Regexpen mtchr ll strängr över lfbetet {0,..., 9} som representerr positiv nturlig tl. Dess består v en siffr 1 9, följd v godtyckligt mång (knske ing!) siffror 0 9. Noter tt strängen 0 mtchs inte v den här regexpen. I det här vsnittet kommer vi tt behndl reguljär uttryck lite mer formellt. De uttrycken som vi behndlr är en någorlund förenkld version v de regexpr som nvänds i t. ex. grep; dett eftersom vi vill inte h det lltför svårt. De flest reguljär uttryck som nvänds i prktiken kn fås som kombintioner v de enkl reguljär uttryck som vi behndlr här. 7

8 7.2.1 Syntx för reguljär uttryck Vi börjr med tt definier vd vi menr med ett reguljärt uttryck: 1. Den tomm strängen är ett reguljärt uttryck. 2. Vrje enskild symbol i lfbetet A är ett reguljärt uttryck. 3. Om R 1 och R 2 är reguljär uttryck är även (R 1 + R 2 ) ett reguljärt uttryck. 4. Om R 1 och R 2 är reguljär uttryck är även (R 1 R 2 ) ett reguljärt uttryck. 5. Om R är ett reguljärt uttryck är även R ett reguljärt uttryck. Onödig prenteser kn utelämns. Fråg: Denn definition är ett exempel på en rekursiv definition. Vd är bsfllen? De först två fllen är bsfllen Två opertioner på språk Precis som ett uttryck som (2 + 3) 4 står för ett tl står vrje reguljärt uttryck för ett språk, dvs. en mängd v strängr över ett visst lfbet. För tt förklr hur dett fungerr behöver vi två opertioner på språk: smmnsättning v språk och den så kllde Kleenestjärnn Smmnsättning v språk Smmnsättningen v två språk L 1 och L 2 består v ll ord som kn bilds genom tt sätt ihop ett ord ur L 1 och ett ord ur L 2. Smmnsättningen v L 1 och L 2 skrivs L 1 L 2 eller iblnd br L 1 L 2. Med hjälp v mängdbyggren kn vi definier: L 1 L 2 = { w 1 w 2 w 1 L 1 och w 2 L 2 } Dett sk uttyds: L 1 L 2 är mängden v ll strängr på formen w 1 w 2 sådn tt w 1 L 1 och w 2 L 2. Fråg: Vd är {uto, flyg} {mt, pilot}? {uto, flyg} {mt, pilot} = {utomt, utopilot, flygmt, flygpilot} 8

9 7.2.4 Kleenestjärnn Kleenestjärnn v ett språk L, som skrivs L, består v den tomm strängen och ll smmnsättningr på formen w 1 w n, där n 0 och ll delsträngr w i kommer från L. Mer formellt kn Kleenestjärnn definiers enligt följnde. Först definierr mn en följd v språk L n : L n = {} om n = 0 { vw v L n 1, w L} om n > 0 Fråg: Vd är L 1? L 1 = { vw v L 0, w L} = { vw v {}, w L} = { w w L} = L Sedn definierr mn L = L 0 L 1 L 2 Fråg: Vd är {0, 1}? Kn du nge ett språk L så tt L består v ett end element? Mängden {0, 1} är mängden v ll strängr över det binär lfbetet {0, 1}, inklusive den tomm strängen. De end språken L för vilk L består v ett end element är L = och L = {} det senre eftersom {} n = {} för ll n 0. Så fort L innehåller någon sträng utöver är L infinit Semntik för reguljär uttryck Nu kn vi säg vilket språk som beskrivs v ett reguljärt uttryck. Givet ett reguljärt uttryck R skriver vi L(R) för det språk som R beskriver. Definitionen v L(R) följer den rekursiv definitionen v R: L() = {} L() = {} L(R 1 + R 2 ) = L(R 1 ) L(R 2 ) L(R 1 R 2 ) = L(R 1 ) L(R 2 ) L(R ) = L(R) 9

10 Fråg: Vilket språk beskriver det reguljär uttrycket (0 + 1) 1? Räkn! Dett uttryck beskriver ll strängr över det binär lfbetet som slutr på 1: L((0 + 1) 1) = L((0 + 1) ) L(1) = L(0 + 1) {1} = (L(0) L(1)) {1} = ({0} {1}) {1} = {0, 1} {1} 7.3 Reguljär uttryck och finit utomter Reguljär uttryck och finit utomter är två sätt tt krkteriser formell språk. En typisk mtemtisk fråg är då: Finns det språk som br kn krkterisers på det en sättet, men inte på det ndr? Svret på denn fråg är nej : Reguljär uttryck och finit utomter är ekvivlent på det sättet tt vrje språk som kn beskrivs med hjälp v ett reguljärt uttryck kn också beskrivs genom en finit utomt, och vice vers. Reguljär uttryck och finit utomter beskriver lltså exkt smm typ v språk. Dess språk klls för reguljär språk. De hr viktig tillämpningr inom språkteknologin. Vi hr redn sett en tillämpning inom morfologin, men de är också väldigt viktig i smbnd med informtionssökning, question nswering m.fl. I det här vsnittet kommer vi tt bevis tt vrje språk som kn beskrivs med hjälp v ett reguljärt uttryck kn också beskrivs genom en finit utomt. Den ndr riktningen tr vi inte upp här i kursen. Hur kn vi bevis tt vrje språk som kn krkterisers genom ett reguljärt uttryck kn också beskrivs genom en finit utomt? Grundtken är denn: För vrje reguljärt uttryck sk vi bygg en finit utomt som ccepterr precis det språket som uttrycket representerr. Det finns oändligt mång reguljär uttryck men de hr en rekursiv definition! Vårt bevis kommer tt vr en induktionsbevis som följer denn rekursiv definition. När mn ser på den rekursiv definitionen v reguljär uttryck ser mn tt det finns två bsfll och tre rekursiv fll. För bsfllen kommer vi tt bygg väldigt enkl utomter. I de rekursiv fllen kommer vi sedn tt nt tt vi redn byggt utomter för mindre reguljär uttryck och kombinerr dem till en utomt för det komplex uttrycket. Då sätter vi igång! Fll 1: Vi bygger en utomt som ccepterr språket {}. Vi tr: 10

11 strt Noter tt denn utomt hr precis ett strttillstånd och ett ccepternde tillstånd. I hel det här beviset kommer vi br bygg utomter med denn egenskp. Fråg: Kn du komm på en enklre utomt som ccepterr {}? Mn kn t utomten som består v ett end tillstånd (som smtidigt är strttillstånd och ccepternde tillstånd) och inte hr någr övergångr lls. Fll 2: Vi bygger en utomt som ccepterr språket {}. Vi tr: strt Noter tt även denn utomt hr precis ett strttillstånd och ett ccepternde tillstånd. Fll 2: R 1 + R 2 Vi bygger en utomt som ccepterr språket L(R 1 ) L(R 2 ). Låt oss nt tt vi redn hr byggt en utomt M 1 som ccepterr språket L(R 1 ) och en utomt M 2 som ccepterr språket L(R 2 ). Vår ny utomt bserr på M 1 och M 2. Låt s 10 beteckn strttillståndet i M 1 och låt s 11 beteckn det ccepternde tillståndet i M 1. Låt på smm sätt s 20 och s 21 beteckn strttillståndet och det ccepternde tillståndet i M 2. I den ny utomten kommer ll fyr tillstånd vr helt vnlig tillstånd, dvs. inte strttillstånd eller ccepternde tillstånd. Istället lägger vi till två ny tillstånd s 0 och s 1, vrv s 0 blir det ny strttillståndet och s 1 blir det ny ccepternde tillståndet. Sedn lägger vi till fyr stycken -övergångr: en från s 0 till s 10, en från s 0 till s 20, en från s 11 till s 1 och en från s 21 till s 1. Schemtiskt ser lltså den ny utomten ut så här: M 1 s 10 s 11 strt s 0 s 1 s 20 s 21 M 2 Hur kn vi se tt denn utomt ccepterr språket L(R 1 ) L(R 2 )? För tt utomten sk ccepter en sträng måste det finns en vndring i övergångsgrfen som börjr i 11

12 strttillståndet och slutr i det ccepternde tillståndet. Det finns två sorters sådn vndringr: de som går genom utomten M 1 och de som går genom utomten M 2. Eftersom vi hr ntgit tt språket som ccepters v M 1 är språket L(R 1 ) vet vi tt vrje vndring som går genom M 1 är en ccepternde vndring för ett ord i L(R 1 ). På smm sätt är vrje vndring som går genom M 2 en ccepternde vndring för ett ord i L(R 2 ). Vi drr slutstsen tt vrje ccepternde vndring genom den ny utomten är en ccepternde vndring för ntingen ett ord ur L(R 1 ) eller ett ord ur L(R 2 ). Alltså är vrje ccepternde vndring genom utomten en ccepternde vndring för ett ord ur L(R 1 ) L(R 2 ). Fll 4: R 1 R 2 Vi bygger en utomt som ccepterr språket L(R 1 ) L(R 2 ). På smm sätt som i förr fllet ntr vi tt vi redn hr byggt en utomt M 1 som ccepterr språket L(R 1 ) och en utomt M 2 som ccepterr språket L(R 2 ). Låt s 10, s 11, s 20 och s 21 vr definierde som i förr fllet, och låt s 0 och s 1 vr ny tillstånd som i förr fllet. Vår ny utomt sk set ut så här: M 1 M 2 strt s 0 s 10 s 11 s 20 s 21 s 1 På smm sätt som i förr fllet kn vi rgumenter tt vrje ccepternde vndring genom den ny utomten är en ccepternde vndring för ett ord i språket L(R 1 ) L(R 2 ) och tt vrje ccepternde vndring för dett språk kn fås. Fll 5: R Vi bygger en utomt som ccepterr språket L(R). Låt oss nt tt vi redn hr byggt en utomt M som ccepterr språket L(R). Vår ny utomt bör se ut så här: M strt s 0 s 1 Med dett kn vi vslut beviset. 7.4 Läsning och övningr Eriksson och Gvel, kpitel 9 förutom

13 S NP VP NN VB NP studenter älskr JJ NN mtemtisk texter 8 Kontextfri språk Figur 3: Ett frsstrukturträd. Den syntktisk strukturen hos en sts kn beskrivs genom frsstrukturträd. Ett exempel viss i Figur 3. Löven i ett frsstrukturträd representerr ord såsom älskr och texter; lövens föräldrrnoder representerr ordklsser såsom verbl bsform (VB) och substntiv (NN); de övrig nodern representerr frser. I exemplet representerr noden med symbolen S den fullständig stsen Studenter älskr mtemtisk texter. Denn sts består v två delr, en nominlfrs (NP) (som innehåller stsens subjekt Studenter) och en verblfrs (VP). Verblfrsen förgrenr sig ytterligre i en verbl bsform och en nominlfrs (som innehåller stsens objekt mtemtisk texter). Frsstruktur och den underliggnde synen på syntktisk struktur behndls mer utförligt i mer lingvistisk kurser. I den här kursen ligger fokus på de formell spektern v frsstrukturgrmmtiker. 8.1 Kontextfri grmmtiker När mn tr en frsstrukturgrmmtik och sklr bort ll lingvistisk intuitioner och metforer får mn en form v grmmtik som klls för kontextfri grmmtik Grundläggnde begrepp Här är ett exempel på hur reglern i en enkel kontextfri grmmtik kn se ut: S S Sb I en kontextfri grmmtik förekommer två sorters symboler (förutom den speciell symbolen som nvänds när mn skriver ner reglern): icketerminl symboler eller icketerminler och 13

14 terminl symboler eller terminler Icketerminler brukr nges med versler, terminler brukr nges med gemener. I vår exempelgrmmtik finns br en end icketerminl (S), men två terminler ( och b). När mn nvänder kontextfri grmmtiker som frsstrukturgrmmtiker nvänds terminler för tt representer orden i en mening, medn icketerminl symboler nvänds för tt representer ordklsser (såsom verbl bsform och substntiv) frser (såsom nominlfrs och verblfrs). Vrje kontextfri grmmtik innehåller en speciell icketerminl som klls strtsymbol. Det finns en konvention tt lltid beteckn denn strtsymbol med S, och denn konvention följer vi även i den här kursen. Vrje regel i en kontextfri grmmtik är på formen A α, där A är en enskild icketerminl symbol och α är en sträng bestående v icketerminler och terminler. Observer tt strängen α kn också vr den tomm strängen, som i regeln S ovn. Reglern nvänds som omskrivningsregler, på följnde sätt. Mn börjr med grmmtikens strtsymbol. Så länge mn hr en sträng β som innehåller åtminstone en icketerminl symbol A väljer mn en regel som hr A som vänstersid och ersätter någon förekomst v A i β genom den vld regelns högersid. Till slut kommer mn då till en sträng som br innehåller terminl symboler. Mängden v ll strängr som mn kn härled på dett sätt klls för grmmtikens språk. Om G betecknr en kontextfri grmmtik skriver vi L(G) för tt beteckn G:s språk. Det finns två sätt tt se på en kontextfri grmmtik: Mn kn se den som en modell för tt producer ett språk och som en modell för tt beskriv ett språk. Fråg: Vilket språk beskriver exempelgrmmtiken? Språket { n b n n 0}, som består v strängr med jämn längd vrs först hlv består v br :s och vrs ndr hlv består v br b:s. Under föreläsningen hr vi prtt om det så kllde kopispråket { ww w {, b} }. Dett språk består v ll strängr över lfbetet {, b} som kn dels i två delsträngr såsom tt den ndr delsträngen är en exkt kopi på den först delsträngen. Ett språk som tillsynes är gnsk likt kopispråket är det inverterde kopispråket eller plindromspråket { ww R w {, b }}. Nottionen w R står för strängen som mn får genom tt vänd på strängen w (eng. revert). Det inverterde kopispråket består lltså v ll strängr över lfbetet {, b} som kn dels i två delsträngr såsom tt den ndr delsträngen är en omvänd kopi på den först delsträngen. Sådn strängr klls även för plindrom: mn får ut smm sträng om mn läser från vänster eller från höger. 14

15 Fråg: Kn du nge någr ord som ingår i det inverterde kopispråket? Kn du nge en kontextfri grmmtik som genererr det inverterde kopispråket? Någr exempel är,, bb, bb, bb. En grmmtik som genererr det inverterde kopispråket hr produktionern S, S S, S b S b. Kopispråket och plindromspråket är relevnt när mn modellerr bistser i språk som tysk och holländsk Prseträd Ett sätt tt beskriv en härledning i en kontextfri grmmtik är tt rit ett prseträd. Här är tre exempel på prseträd för exempelgrmmtiken: S S S b S S b S b Prseträd är rotde träd vrs noder är mrkerde med icketerminler och terminler. Rotnoden är lltid mrkerd med strtsymbolen. Vrje gång mn i en härledning nvänder en regel på formen A x 1 x m för tt skriv om en icketerminl A till en följd v symboler x 1,..., x m gör mn en förgrening i prseträdet och skriver ner x 1,..., x m som brn till noden som representerr A. I specilfllet där A skrivs om till den tomm strängen får A ett end brn som är mrkerd med. Fråg: Om mn hr ritt ett prseträd för en härledning v en sträng med n symboler, hur mång löv hr då trädet? Trädet hr då åtminstone n löv. Det kn h fler än n löv, eftersom någr v löven kn vr mrkerde med den tomm strängen. 15

16 8.2 Språkhierrkier Vi sk vrund denn del v kursen med tt titt närmre på reltionen melln reguljär och kontextfri språk. Vi sk se tt ll reguljär språk kn beskrivs med hjälp v kontextfri grmmtiker, men tt det finns kontextfri språk som inte är reguljär, dvs. kn beskrivs vrken med finit utomter eller med reguljär uttryck Vrje reguljärt språk är ett kontextfritt språk Vi börjr med tt vis tt vrje reguljärt språk också är ett kontextfritt språk. Ett språk är ju reguljärt om och endst om det ccepters v en finit utomt v det slget som vi sett i vsnitt 3.1. För tt vis tt vrje reguljärt språk är ett kontextfritt språk visr vi hur mn för en godtycklig finit utomt kn konstruer en kontextfri grmmtik som ccepterr exkt smm språk som utomten. Icketerminlern i grmmtiken är utomtens tillstånd. Strtsymbolen är utomtens strttillstånd. Reglern i grmmtiken är enligt följnde: För vrje -övergång från ett tillstånd s till ett tillstånd s i utomten lägger vi till en regel s s till grmmtiken. För vrje ccepternde tillstånd s lägger vi till en regel s. Intuitionen är tt vrje gång tt utomten gör en -övergång från s till s så nvänder grmmtiken regeln s s, och vice vers. Fråg: Hur ser grmmtiken ut för p-utomten från Figur 1? Kn du nge prseträdet för p enligt denn grmmtik? Grmmtiken hr 9 icketerminler, s 0,..., s 8. Strtsymbolen är s 0. Reglern i grmmtiken ser ut så här: s 0 s 1 s 1 ps 2 s 2 s 3 s 2 os 6 s 3 ss 4 s 3 ns 5 s 5 ss 4 s 6 rs 7 s 7 ss 4 s 7 ns 8 s 8 s 5 s 3 s 4 s 5 s 7 Prseträdet för p är: 16

17 s 0 s 1 p s 2 s Det finns kontextfri språk som inte är reguljär språk Vi sk nu titt på ett språk som är kontextfritt men inte reguljärt. Vi hr redn sett dett språk: { n b n n 0}, det vill säg mängden v ll strängr på formen Låt oss kll dett språk för n b n. b b n ggr n ggr Noter tt vi hde ett gnsk liknnde språk i ett tidigre exempel: { (b) n n 0}, dvs. mängden v ll strängr på formen b b n ggr För dett språk konstruerde vi en finit utomt, men dett är inte möjligt för det ny språket n b n. Hur kn mn bevis dett? Pumpning Vi kommer tt nvänd en mtemtisk princip som klls Postfcksprincipen: Om mn hr fler brev än postfck, och om mn lägger vrje brev i något v postfcken, kommer något postfck tt innehåll minst två brev. Vi illustrerr denn princip genom ett bevis v följnde påstående. Påstående: Det finns minst två Uppslbor som hr precis lik mång hår på huvudet. Bevis: Det finns lite mer än invånre i Uppsl kommun. Vrje människ hr mindre än hår på huvudet (enligt Wikipedi). Det finns lltså minst ett möjligt ntl hår som dels v minst två Uppslbor. 17

18 Fråg: Vd är breven och vd är postfcken i dett exempel? Breven är Uppslborn, postfcken är möjlig ntl hår. Låt oss tänk på hur en finit utomt ccepterr en sträng z. (I det följnde kommer vi tt nt tt utomten inte innehåller någr -övergångr. Om mn hr en utomt med -övergångr måste mn först t bort dem.) Automten börjr i strttillståndet. Vrje gång den läser en symbol i z går den över till något nnt tillstånd. Vi kn skriv ner ll tillstånd som utomten besöker för z. Om z består v n symboler så hr denn tillståndssekvens längd n + 1: Den består v strttillståndet och ett ytterligre tillstånd för vrje symbol i strängen. Nu nvänder vi Postfcksprincipen: Om z består v minst lik mång symboler som det finns tillstånd i utomten kommer något tillstånd tt besöks minst två gånger när utomten processr z. Fråg: Vd innebär dett för utomtens struktur? Om en finit utomt ccepterr en sträng genom en vndring som besöker smm tillstånd minst två gånger så måste det finns en cykel i utomtens grfdigrm. Antg tt z p, där p är ntlet tillstånd i utomten. Då måste det finns en cykel i utomten. Vi kn då del in z i tre delr u, v, w så tt v är den del som utomten processr när den vndrr på cykeln och u och v är de delrn som utomten processr innn och efter den hmnr på cykeln. Schemtiskt ser dett ut så här: v strt u w Noter tt, eftersom utomten inte gör -övergångr måste delsträngen v bestå v minst en symbol. Antg nu tt vi skär bort v från z och därigenom bildr en ny sträng z 0 = uw. Denn sträng kommer också tt ccepters v utomten, eftersom det finns en ccepternde vndring i grfen som ser ut precis som den vi hde för z, br tt den skippr cykeln som processr symbolern i v. Antg nu tt vi klistr in en kopi på v, direkt efter den först förekomsten v v, och därigenom bildr en ny sträng z 2 = uvvw. Mn säger tt mn hr pumpt upp z. 18

19 Även strängen z 2 kommer tt ccepters v utomten, genom en vndring som går genom cykeln två gånger istället för br en gång. Mer llmänt ser mn då tt vrje sträng z i på formen uv i w där i 0 kommer tt ccepters v utomten Tillämpning på språket n b n Hittills hr vi prtt om godtycklig strängr z. Vi hr rgumentert tt, om z ccepters v utomten och br är tillräckligt lång, så kn den dels upp i tre delr u, v, w så tt v och vrje sträng z i = uv i w (i 0) också ccepters v utomten. Låt oss nu nt tt z är v den formen som orden i n b n hr, och tt det finns en utomt M som ccepterr den. Låt p vr ntlet tillstånd i M och låt z = k b k så tt 2k p Som ett konkret exempel kn vi nt tt z = 10 b 10 och tt p = 20: z = 10 ggr 10 ggr b b Eftersom z p ccepters den genom en vndring som följer en cykel. Dett innebär tt vi kn del upp z på det sättet som vi beskrivit: z = uvw. Låt oss funder på hur strängen v kn se ut. Det finns tre fll: 1. Strängen v innehåller br s. Till exempel skulle vi kunn h: z = 2 ggr u 6 ggr v 2. Strängen v innehåller br bs. Till exempel: z = 10 ggr 2 ggr u 2 ggr 10 ggr b b w 6 ggr b b b b v 2 ggr b b w 3. Strängen v innehåller någr s följd v någr bs. Till exempel: z = 6 ggr u 4 ggr 4 ggr v 6 ggr b b b b w Vi hr redn rgumentert tt vi får pump upp strängen z och bildr en ny sträng z 2 = uvvw såsom tt denn sträng också ccepters v M. Vi kn noter det följnde: 19

20 1. Om v innehåller br s innehåller den ny strängen z 2 fler s än bs. I exemplet hr vi: 2 ggr 6 ggr 6 ggr 2 ggr 10 ggr z = b b u v v w Nu finns det lltså 16 förekomster v, men br 10 förekomster v b. 2. Om v innehåller br bs innehåller den ny strängen z 2 fler bs än bs. I exemplet: z = 10 ggr 2 ggr u 6 ggr b b b b v 6 ggr b b v 2 ggr b b w Nu finns det 10 förekomster v, men 16 förekomster v b. 3. Om v innehåller någr s följd v någr bs innehåller den ny strängen z 2 fler än en -region och fler än en b-region: z = 6 ggr u 4 ggr 4 ggr v 4 ggr 4 ggr 6 ggr b b b b b b v w I vrje fll kn vi dr slutstsen tt den ny strängen z 2 inte är på den formen som strängr i språket n b n hr. Men vi vet tt den ny strängen också ccepters v utomten! Det vill säg: Vrje utomt som ccepterr strängr på den formen som strängrn i språket n b n hr ccepterr också stränger som inte är på den formen. Dett betyder tt det kn inte finns någon utomt som ccepterr precis de strängrn i språket n b n. Alltså är dett språk inte reguljärt. 8.3 Läsning Dett mteril. (Kontextfri språk och pumprgument ts inte upp i boken.) 20

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

Matematik för språkteknologer

Matematik för språkteknologer 1 / 21 Matematik för språkteknologer 3.3 Kontext-fria grammatiker (CFG) Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Februari 2014 2 / 21 Dagens saker Kontext-fria grammatiker (CFG). CFG kan

Läs mer

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater. Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Kan det vara möjligt att med endast

Kan det vara möjligt att med endast ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

9. Vektorrum (linjära rum)

9. Vektorrum (linjära rum) 9. Vektorrum (linjär rum) 43. Vektorrum (linjärt rum) : definition och xiom 44. Exempel på vektorrum v funktioner. 45. Hur definierr mn subtrktion i ett vektorrum? 46. Underrum 47. Linjärkombintioner,

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Föreläsning 7: Trigonometri

Föreläsning 7: Trigonometri ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Internetförsäljning av graviditetstester

Internetförsäljning av graviditetstester Internetförsäljning v grviditetstester Mrkndskontrollrpport från Enheten för medicinteknik 2010-05-28 Postdress/Postl ddress: P.O. Box 26, SE-751 03 Uppsl, SWEDEN Besöksdress/Visiting ddress: Dg Hmmrskjölds

Läs mer

Integraler och statistik

Integraler och statistik Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

EasyMP Multi PC Projection-bruksanvisning

EasyMP Multi PC Projection-bruksanvisning EsyMP Multi PC Projection-bruksnvisning Innehåll 2 Om EsyMP Multi PC Projection Olik typer v möten med EsyMP Multi PC Projection... 5 Håll möten och nvänd fler bilder...5 Håll fjärrmöten över ett nätverk...

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson

Spelteori: En studie av hur pokerproblemet delvis lösts. Mika Gustafsson Spelteori: En studie v hur pokerproblemet delvis lösts Mik Gustfsson Smmnfttning Spelteorin föddes 198 då von Neumnn mtemtiskt lyckdes påvis bluffens nödvändighet i spel med ofullständig informtion. Dett

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Kontinuerliga variabler

Kontinuerliga variabler Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del III Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III G. Gripenberg TKK december 00 G. Gripenberg TKK) Mt-.50 Grundkurs i mtemtik, del III december 00 / 59 Vribelbyte F gx))g x) dx = d F gx)) dx dx = / b F gx)) = F gb))

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel

Läsanvisningar till kapitel Läsnvisningr till kpitel 4.1 4.6 4.1 Konturer Dett är ett vsnitt om kurvor och hur mn prmetriserr kurvor, som borde vr en repetition från lägre kurser. Låt oss gå igenom lite ändå. Definition 4.1. Låt

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik Opertivsystemets uppgifter Föreläsning 6 Opertivsystem Opertivsystemets uppgifter Historik Skydd: in- oh utmtning, minne, CPU Proesser, tidsdelning Sidindelt minne, virtuellt minne Filsystem Opertivsystemet

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Tillämpning av integraler

Tillämpning av integraler CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr

Läs mer

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger )

Algebraiska uttryck: Introduktionskurs i matematik. Räknelagar: a = b a. a b. Potenser: 1. = ( n gånger ) Intrduktinskurs i mtemtik 1 v 5 Algerisk uttrk: Räknelgr: lgen distriutiv lgr ssitiv lgr kmmuttiv, Ptenser: 1 n L n gånger --------------------------------------- n udd tl, jämnt tl n, n n n 4 4.. ---------------------------------------

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM

CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM CHECKLISTA FÖR PERSONALRUM Checklistn är ett hjälpmedel både vid plnering v ny personlrum och vid genomgång v befintlig personlutrymmen. Den innehålller bl frågor om klädrum, torkskåp och torkrum, tvätt-

Läs mer

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3

INNEHALL. 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 INNEHALL 7 7.1 7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.2.4 7.2.5 7.2.6 7.2.7 7.2.8 t.3 DATORER Allmänt Digitl dtorer Orgnistion Ordmm Minnesenheten Aritmetisk enheten Styrenheten In/utenheten Avbrott Spräk och proglmm

Läs mer

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH

SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION 1. Fredrik Andréasson. Department of Mathematics, KTH SIGNALER OCH SYSTEM II LEKTION 2 / MATEMATISK LEKTION Fredrik Andrésson Deprtment of Mthemtics, KTH Lplcetrnsformen. I förr delkursen studerde vi fouriertrnsformen v en funktion h(t) H(iω) F[h(t)] Vi definierr

Läs mer

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.

Långtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7. REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik

Envariabelanalys. Tomas Ekholm. Institutionen för matematik Envribelnlys Toms Ekholm Institutionen för mtemtik Innehåll Att läs innn vi börjr 5. Vrför läs mtemtik?...................... 5.2 Definitioner, stser och bevis................... 5.3 Mängder...............................

Läs mer

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel.

Grundläggande logik. Lösningsdel. Kaj B Hansen och Taeda Jovicic. Kapitel 2: Lösningar till övningarna på s 38-40. 2-6.1 (a) (A (B A)) är en formel. Kpitel 2: Lösningr till övningrn på s 38-40 2-6.1 (A (B A)) är en formel. Kj B Hnsen och Ted Jovicic Grundläggnde logik (1) A och B är formler enligt (1) (2) A är en formel (*enligt (1)*) A är en formel

Läs mer

upp maskinen och kontrollera komponenterna Strömkabel Bärark/ Bärark för plastkort Dvd-skiva

upp maskinen och kontrollera komponenterna Strömkabel Bärark/ Bärark för plastkort Dvd-skiva Snguide Strt här ADS-2100 Läs igenom Produktsäkerhetsguiden innn du ställer in mskinen. Därefter läser du igenom Snguiden så tt du kn ställ in oh instller mskinen på rätt sätt. VARNING VARNING indikerr

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Mtemtik för sjöingenjörsprogrmmet Mtemtisk Vetenskper 29 ugusti 202 Innehåll Aritmetik och lger. Räkning med nturlig tl och heltl.................... Nturlig tl.......................... 2..2 Negtiv tl...........................

Läs mer

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning Mtemtik Bokstvsräkning Du står nu inför en ny kurs i mtemtik, där meningen är tt du sk tillgodogör dig ny teorier, som smtlig leder frm till övningr och uppgifter. Även om du förstått vd teorin sk nvänds

Läs mer

Tentamen i Databasteknik

Tentamen i Databasteknik Tentmen i Dtsteknik lördgen den 22 oktoer 2005 Tillåtn hjälpmedel: Allt upptänkligt mteril Använd r frmsidn på vrje ld. Skriv mx en uppgift per ld. Motiver llt, dokumenter egn ntgnden. Oläslig/oegriplig

Läs mer

KLARA Manual för kemikalieregistrerare

KLARA Manual för kemikalieregistrerare KLARA Mnul för kemiklieregistrerre Version 16.4 (2015-05-08) Utrbetd v Anders Thorén och Björn Orheim Först utgåv 2002-11-01 Innehåll Introduktion 3 Vd är KLARA? 3 Systemkrv och övrig informtion 3 Vd säger

Läs mer

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53 Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5 Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller

Läs mer

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning Sidor i boken 8-9, 0- Rtionell uttryck. Förlängning och förkortning Först någr begrepp. Aritmetik eller räknelär är den mest grundläggnde formen v mtemtik. Ett ritmetiskt uttryck innehåller tl, men ing

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?

Geometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför? Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

Så här gör du? Innehåll

Så här gör du? Innehåll hp dvd writer Så här gör du? Innehåll hur vet jg vilket progrm jg sk nvänd? 1 svensk hur kopierr jg en skiv? 2 hur överför jg min nd till en skiv? 4 hur skpr jg en dvd-film? 9 hur redigerr jg en video-dvd-skiv?

Läs mer

24 Integraler av masstyp

24 Integraler av masstyp Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI...

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI... Olik typer v tl Vi sk se hur vi utgående från de nturlig tlen kn konstruer de hel tlen, de rtionell tlen och de reell tlen och diskuter räknereglern som de uppfyller. Nturlig tl Vi påminner lite om nturlig

Läs mer

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC BYGG DIN EGEN PC MEDIA PRO Introduktion Dett är Kjell & Compnys snguide till hur Dtorpketet MEDIA PRO monters. Att ygg en dtor är idg myket enkelt oh kräver ingen tidigre erfrenhet. Det ehövs ing djupgående

Läs mer

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter

Läs mer

Matematik för Ekonomer

Matematik för Ekonomer v Tönu Puu Mtemtik för Ekonomer : upplgn 998 y (-, -, ) (,, ) (-, -) (, ) vi vii Förord Denn bok utkom i först upplg 97 på Rbén och Sjögrens förlg. Under loppet v någr få år på 60-tlet hde studentntlet

Läs mer

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen

Plan för lika rättigheter och möjligheter i arbetslivet uppdrag till kommunstyrelseförvaltningen 2016-05-23 Sid 1/2 Tjänsteskrivelse Dnr: LKS 2016-235 Kommunstyrelseförvltningen Leif Schöndell, 0523-61 31 01 leif.schondell@lysekil.se Pln för lik rättigheter och möjligheter i rbetslivet uppdrg till

Läs mer

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym

TATA42: Föreläsning 1 Kurvlängd, area och volym TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 5 pril 6 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt

Läs mer

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int. Svr till uppgifter 42 SF62 Di. Int. Svr kortuppgifter. 3: i) Om f(x) är kontinuerlig på [, ] kn mn då skriv lim k k n= f(n/k) på ett enklre sätt? k Svr: J, dett är f(x)dx. (Rit en bild med grfen v f(x)

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody

Från fotbollsplan till affärsplan. Berättelsen om Newbody Från fotbollspln till ffärspln Berättelsen om Newbody Vi hjälper skolor och föreningr tt tjän pengr till cuper, träningsläger och skolresor. Genom tt sälj vår populär strumpor och underkläder kn de lätt

Läs mer

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Noder (hörn) och bågar (kanter)

Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi. Grundbegrepp: Noder (hörn) och bågar (kanter) Grfer Jokim Nivre Uppsl universitet Institutionen för lingvistik oh filologi Översikt Grunegrepp: Noer (hörn) oh ågr (knter) Grfteoretisk egrepp: Stigr oh ykler Delgrfer oh smmnhängne grfer Rikte oh orikte

Läs mer

Addition och subtraktion

Addition och subtraktion Sidor i boken 35-39 Addition och subtrktion Vi börjr med lite ritmetik. Heltlsddition innebär ing som helst problem. Här tr vi lämpligen räknedosn till hjälp. Eempel. 3+00+5 = 7 Så länge ll nämnre är lik

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Starta här HL-2135W /

Starta här HL-2135W / Snguide Strt här HL-2135W / HL-2270DW (endst EU) Läs den här Snguiden när du sk instller och konfigurer mskinen innn du nvänder den för först gången. På http://solutions.rother.com/ kn du se Snguiden även

Läs mer

Lexikon och lexikonorganisation. Lexikal information. Reguljära uttryck i implementeringar. Reguljära uttryck. Olika sätt att definiera strängmängder

Lexikon och lexikonorganisation. Lexikal information. Reguljära uttryck i implementeringar. Reguljära uttryck. Olika sätt att definiera strängmängder Språkteknologi (Lrs Ahrenberg) Språkteknologi (Lrs Ahrenberg) Lexikon och lexikonorgnistion Reguljär språk, ändlig utomter och trnsduktorer Lexikonorgnistion fullformslexikon minilexikon (= morfembserde

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls

Läs mer

GENETIK. en introduktion av Ingela Carlén 1988 och 1999

GENETIK. en introduktion av Ingela Carlén 1988 och 1999 GENETIK en introduktion v Ingel Crlén 1988 och 1999 Innehållsförteckning Innehåll Sidn Förord 3 Kromosomer 4 DN 4 Muttioner 5 Gregor Mendel 5 Mendels metod 6 Mendelklyvning (monohybrid) 6 Dihybrid klyvning

Läs mer

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015. FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.

Läs mer

Programmeringsguide ipfg 1.6

Programmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd

Läs mer

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14

1 Inledning 2. 2 Måttet av en öppen mängd 3. 3 Integralen av en kontinuerlig funktion 9. 4 Jämförelse med Riemannintegralen 14 Innehåll 1 Inledning 2 2 Måttet v en öppen mängd 3 3 Integrlen v en kontinuerlig funktion 9 4 Jämförelse med Riemnnintegrlen 14 5 Skivformeln och itererd integrtion 17 6 Generliserde positiv integrler

Läs mer

DAB760: Språk och logik

DAB760: Språk och logik DAB76: Språk och logik /4: Finita automater och -7 reguljära uttryck Leif Grönqvist (leif.gronqvist@msi.vxu.se) Växjö Universitet (MSI) GSLT (Sveriges nationella forskarskola i språkteknologi) Göteborg

Läs mer

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden

temaunga.se EUROPEISKA UNIONEN Europeiska socialfonden temung.se T E M AG RU P P E N U N G A I A R B E T S L I V E T n n u k k s g n u r All e d u t s r e l l e b job EUROPEISKA UNIONEN Europeisk socilfonden »GÅ UT GYMNASIET«Mång ung upplever stress och tjt

Läs mer

Föreläsning 7. Splay-träd. Prioritetsköer och heapar. Union/Find TDDC70/91: DALG. Innehåll. Innehåll. 1 Splay-träd

Föreläsning 7. Splay-träd. Prioritetsköer och heapar. Union/Find TDDC70/91: DALG. Innehåll. Innehåll. 1 Splay-träd Föreläsning 7 Sply-träd. rioritetsköer oh hepr. Union/Find TDDC70/1: DALG Utskriftsversion v föreläsning i Dtstrukturer oh lgoritmer 7 septemer 01 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 7.1 Innehåll

Läs mer

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING Se till tt lmellgrdinen fästes i ett tillräckligt säkert underlg. Ev motor och styrutrustning skll instllers v behörig elektriker. 1 Montering Luxor monters med de

Läs mer

Nystartsjobb /särskilt nystartsjobb

Nystartsjobb /särskilt nystartsjobb Arbetsförmedlingens fktbld. Arbetsgivre. 2015-08. Nystrtsjobb /särskilt nystrtsjobb Du kn få ekonomisk ersättning om du nställer en person som hr vrit utn rbete en längre tid eller är ny i Sverige. Stödet

Läs mer

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks

Björnen och sköldpaddan Analys av en matematiskt paradoks Björnen och sköldpddn Anlys v en mtemtiskt prdoks Brummelis, Nin Knin, Lille Skutt & Bmse Hndledre: Sklmn 10 pril 2015 Smmnfttning Syftet med denn (nonsens-)text är tt illustrer olik kommndon i LATEX.

Läs mer

Nystartsjobb /särskilt nystartsjobb

Nystartsjobb /särskilt nystartsjobb Arbetsförmedlingens fktbld. Arbetsgivre. 2015-04. Nystrtsjobb /särskilt nystrtsjobb Du kn få ekonomisk ersättning om du nställer en person som hr vrit utn rbete en längre tid eller är ny i Sverige. Stödet

Läs mer