4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "4 Signaler och system i frekvensplanet Övningar"

Transkript

1 Signler och system i frevensplnet Övningr. Bestäm fourierserieoefficientern för de periodis signlern ) 7 δ [ n ] N = b) { δ [ n ] δ [ n 6] } N = c) { δ [ n + ] δ [ n ] } N =. T frm fourierserieoefficientern för följnde periodis signler: n π n π n π π x n = sin + cos + sin + 6 ) [ ] n π n π π x n = sin + cos 8 6 b) [ ] c) x [ n] = { KK } -spetrts symmetri- Plott i intervllet = K N. Bestäm i vrje fll punt på -xeln dvs den punt runt vilen spetrt spegls. Betrt signlen x n π 9 n π n π 9 [ n] = + sin + cos + sin ) Vilen period N hr signlen? b) Vil fourierserieoefficienter i intervllet = K N är sild från noll? c) Berän mplitud och fs hos fourierserieoefficientern och plott mplituden som funtion v i intervllet N K N. (Obs! Hur mång oefficienter behöver mn egentligen berän?) d) Vd betyder -oefficienten? Hur n mn diret se om en signls -oefficient är noll eller inte? Signler och system i frevensplnet Övningr sid.

2 . Tecn uttryc för de signler som hr följnde fourierserieoefficienter ) N = 8 = 6 π = π = π 7 = 6 π b) N = = 7 = = + j = 8 j 6 = 8 + j = j = Övrig oefficienter är noll. 8. Vi önsr i ett tidsdisret system med smplingsfrevensen Hz syntetiser (generer) den periodis signlen x () t = sin( 8 π t) 7 cos( π t) + sin( 8 π t) genom tt berän smpelvärden för en period v signlen och sedn generer denn följd cylist. Hur mång punter måste vår följd v berände värden bestå v dvs hur mång punter rävs för tt sp en period v den totl signlen?.6 Vi hr den periodis signlen x n [ n] = cos π + 8 sin π n 6 ) Tecn oefficientern i signlens fourierserie b) Tecn fourierserieoefficientern för signlen 6 x[ n] c) Tecn fourierserieoefficientern för signlen 8 x [ n ] x n x n d) Tecn fourierserieoefficientern för signlen { [ ] [ ] }.7 Bestäm fouriertrnsformern X ( Ω) för de periodis signlern δ b) { δ [ n + ] δ [ n ] } ) 7 [ n ] c) { δ [ n ] δ [ n 6] } Signler och system i frevensplnet Övningr sid.

3 .8 ) Berän ett uttryc för fouriertrnsformen X ( Ω) för signlen i vidstående figur Figur Q.8. b) Plott dess mplitud- och fsspetrum i intervllet π < Ω < π. (Plott gärn med hjälp v dtor) x[n] n - Figur Q.8. Signlens tidsförlopp.9 Berän fouriertrnsformen ( Ω) intervllet π. ) [ n] = δ [ n + ] δ [ n] δ [ n ] x b) [ n] = r[ n + ] r[ n + ] r[ n ] + r[ n ] x b X för signlern nedn. Plott mplitudspetrt i c) Hur sulle fsurvn i b)-fllet se ut? Vd lls en sådn fsgång? n d) Rit s- och fsspetr för signlen x b [ ] e) Rit s- och fsspetr för signlen x b [ n ] f) Rit s- och fsspetr för signlen 7 { x [ n + ] x [ n ] }. ) Berän ett uttryc för frevenssvret för det LTI-system som hr följnde impulssvr h h [ n] = δ [ n + ] + 7 δ [ n] δ [ n ] [] n = { [] n + δ [ n ] + δ [ n ] } 8 h [ n ] + 6 h [ n δ ] b) Rit bilder (blocschemn) över hur systemen ser ut. Följnde differensevtioner besriver ett ntl tidsdisret system y y y [ n] = 8 x[ n] + x[ n ] x[ n ] [ n] = x[ n] + y [ n ] y [ n ] [ n] = x[ n] + x[ n ] + y [ n ] y [ n ] ) Bestäm systemens överföringsfuntioner H ( Ω) b b b) Bestäm förstärningen vid Hz och vid f s Signler och system i frevensplnet Övningr sid.

4 . forts. c) Siss överföringsfuntionerns survor ( Ω) H i frevensplnet. Siss survorn i intervllet f s. Betrt LTI-system i Figur Q.. ) Ange systemets differensevtion b) Plott systemets impulssvr (de ått först termern) c) Är systemet stbilt? d) Är systemet uslt? e) Ange ett uttryc för systemets frevenssvr H( Ω). f) Plott mplitudspetrt H Ω ( ) x[n] T T Figur Q.. Systemets blocschem - T T y[n] g) Ange ett uttryc för systemets utsignl i frevensplnet Y ( Ω) och rit upp dess om systemets insignl x [n] ser ut enligt Figur Q.. - x[n] n Figur Q.. Systemets insignl y[ ] N []. Om signlen n smpld i punter hr den disret fouriertrnsformen Y hur blir då DFT:n v y [ n ] y [ n + ] y[ n ] ) b) n. Berän ll nödvändig värden på ftorern W N då ) N = b) N = 8 c) N = 6. Använd din resultt i Övning. för tt berän 7 ) b) W c) W W Signler och system i frevensplnet Övningr sid.

5 .6 Använd resultten i Övning. för tt berän DFT:n för följnde signl: x [ n] = { } Plott sedn X [ ]. Försö innn du ränr och innn du plottr tt giss hur X [ ] ommer tt se ut. (I det här fllet n mn ftist gör en gns br gissning men det gäller inte generellt!) Hur mång punter ommer vi tt plott längs -xeln? Vilen omponent ommer tt bli störst och vrför blir den störst? Förväntr vi oss ett stort eller litet värde på X? [].7 ) Berän fourierserieoefficientern till den periodis signlen x [ n] = { K} b) Berän fouriertrnsformen X (Ω) för den iceperiodis signlen i Figur Q.7. x[n] n - - Figur Q.7. Den ice-periodis signlens tidsförlopp c) Berän DFT för den smplde signlen i Figur Q.7. d) Hur sulle spetrt i c) förändrs om vi istället beränr FFT på den smplde signlen? - x(t) t - Figur Q.7. Smpld signl Signler och system i frevensplnet Övningr sid.

6 .7 fort. e) Plott ( Ω ) X i intervllet π (gärn med dtorhjälp). Mrer sedn i smm digrm DFT-spetrt dvs X [ ]. Mrer ocså i smm digrm. Förlr sillndern och lihetern i vår tre spetrn. Förlr smbndet melln de tre resultten.8 Fyll utgående från din slutstser i Övning.7 i de ord som sns nedn. X() -spetrt som DFT producerr n betrts som N stycen smpels v Alterntivt n mn säg tt DFT/FFT beränr _ v den _ signl som hr en period som ext motsvrr den smplde dtmängden (bortsett från en slftor på /N)..9 En smpld signl hr en fouriertrnsform () enligt Figur Q.9.. Vilet spetr hde vi fått om vi i stället hde beränt DFT/FFT v signlen i ) 6 punter b) punter Frevensspetr.... Vinelfrevens (reltivt pi). Signlen Figur Q..9. Signlens fouriertrnsform x () t = sin ( π t) + sin ( 6 π t) smpls med smpel/s. ) Hur stor frevensupplösning får vi i FFT-spetrt om vi smplt i 8 punter? b) I vil spetrlomponenter hmnr de sex störst topprn (en)? c) Plott FFT-spetrts med dess toppr utritde. Plott endst i intervllet = K6. Klibrer även frevensxeln i Hertz. Signler och system i frevensplnet Övningr sid.6

7 . ) I vilen spetrlomponent hmnr störst utslget om signlen x[ n] = cos ( n) nlysers i en 8-punters FFT? b) Vil är de tre störst spetrltopprn (i intervllet reltiv storle f s. Figur Q.. nedn visr FFT-spetrt () för en signl [ n] x smpld i 6 punter med smplingshstigheten smpel/s. )? Ange ders inbördes FFT-spetr med retngulärt fönster X() Figur Q.. En signls FFT-spetr ) Vil frevensomponenter ingår enligt spetrt i signlen? Signler och system i frevensplnet Övningr sid.7

8 . forts b) Spetrt i Figur Q.. nedn visr FFT () v smm signl men nu hr signlen fönstrts med ett Hnningfönster. Ange utgående från dess båd spetrn x n (troligen) innehåller ll frevensomponenter som signlen [ ] 7 FFT-spetr med Hnningfönster 6 X() 6 8 Figur Q.. FFT-spetr för en signl fönstrd med Hnningfönster. I Figur Q.. nedn ser du en del v ett 6-punters FFT-sspetrum. FFT-spetr X() Figur Q.. En signls FFT-spetr Signler och system i frevensplnet Övningr sid.8

9 . forts. Signlen som smpldes vr en ren sinusignl. Använd spetrt i Figur Q.. för tt berän sinussignlens ext frevens med två decimlers noggrnnhet. Smplingshstigheten vr smpel/s. I ett system som gör frevensnlys i reltid visr det sig tt mn då frevensnlysen görs med DFT över punter så hinner mn med uppdteringr dvs ny frevensnlyser vrje seund. Uppstt mximl uppdteringshstigheten om vi i stället övergår till FFT med minst li god upplösning. Signler och system i frevensplnet Övningr sid.9

10 Signler och system i frevensplnet Övningr sid.

11 Signler och system i frevensplnet Fcit 7 π π. ) = = 8 = L b) = e 8 π j e π j = = 8 π cos π cos 8 π + sin π sin L 8 π π sin sin L rctn = L 8 π π cos cos 8 π π c) = j sin = j sin = L9. ) N = = j = = 8 = j 8 = = 8 = 8 = + j = 8 = = = = = = j = All ndr omponenter är noll () Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

12 . ) forts Figur A.. Signlens fourierserieoefficienter b) N = 8 j π 6 = j = = e = 6 = = = j = 7 = = = e 7 = All ndr omponenter är noll () j π Figur A.. Signlens fourierserieoefficienter c) N = = = j = = + j Figur A.. Signlens fourierserieoefficienter Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

13 . ) N = 7 b) Termern och är sild från noll () c) = = j 9 = 7 j = = j = 6 = 7 = 9 68 = j = Figur A.. Signlens fourierserieoefficienter d) är lispänningsnivån. Denn omponent finns med om signlens medelvärde inte är noll () π n π π n. ) cos + sin π n π n π n b) cos + 6 cos + 6 π + cos π. 6 punter.6 N = 8 ) = = 7 9 = = j = 9 π Övrig oefficienter är noll () b) = = 9 = = j = 9 π Övrig oefficienter är noll () Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

14 .6 forts. c) * = = 6 π 9 * 9 = = π d) Övrig oefficienter är noll π * j = = 7 e Övrig oefficienter är noll () π 7 * j j = = 8 9 e e 9 π.7 ) 7 Ω b) 8 sin( Ω) π j Ω j 6 Ω c) ( e e ) = sin( Ω) Ω X Ω π = e e + e j Ω j Ω j Ω.8 ) ( ) b) Fs (reltivt pi) Figur A.8. Signlens spetr Fsvinel (reltivt Pi) Fsvinel Fs (reltivt pi) Figur A.8. Signlens spetr fs Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

15 .9 ) ( Ω) = + j sin( Ω) X Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr b) ( Ω) = + cos( Ω) + cos( Ω) X b Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr ( ) c) Funtionen X b Ω är rent reell och snr lltså fsvridning. Egenspen lls nollfs och är ett specilfll v linjär fs som vi återommer till i Kpitel 8 d) Funtionen är även nu reell och snr fsvridning Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

16 .9 d) forts Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr e). Fsvinel Fsvinel (reltivt pi) Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr -.. Fs (reltivt pi) Figur A.9. Signlens frevensspetr fs Signler och system i frevensplnet Fcit sid.6

17 .9 forts f). Fsvinel Fsvinel (reltivt pi) Fs (reltivt pi) Figur A.9.6 Signlens frevensspetr -... Fs (reltivt pi) Figur A.9.7 Signlens frevensspetr fs j Ω j Ω. ) ( ) H Ω = e + 7 e H ( ) = + e j Ω + e j Ω Ω j Ω j Ω ( + 8 e 6 e ) b) x[n] + T y [n] T 7 + T T - Figur A.. System :s blocschem Signler och system i frevensplnet Fcit sid.7

18 . b) forts. x[n] / + + y [n] T / T T / 6 T Figur A.. System :s blocschem j Ω j Ω. ) ( ) H Ω = 8 + e e H H + e ( Ω) = j Ω j Ω e j Ω + e e + e ( Ω) = j Ω j Ω b) H f H ( ) s = 7 =. 8 H f H ( ) s = 78 = 7 H f H ( ) s = =. 6 c) H. H Frevens (reltivt fs) Figur A.. Överföringsfuntionen H..... Frevens (reltivt fs) Figur A.. Överföringsfuntionen H Signler och system i frevensplnet Fcit sid.8

19 . c) forts.... H Frevens (reltivt fs) Figur A.. Överföringsfuntionen H. ) y [ n] = y[ n ] + x[ n] x[ n ] + 7 x[ n ] b) { } 7 h[n] n - - Figur A.. Systemets impulssvr c) Systemet är stbilt d) Systemet är uslt e) j e H = e e Ω ( Ω) j Ω j Ω Signler och system i frevensplnet Fcit sid.9

20 . forts. f) Frevens (reltivt fs) Figur A.. Systemets överföringsfuntion g) Y e j Ω j Ω e + e + e ( Ω) = j Ω j Ω 7 e j Ω [] Y [ ]. ) Y b) W N. ) W = W = j b) W 8 = W 8 = j W8 = W = j W = j 8 c) W W = 9 j 8 6 = 6 W = W8 = j 6 W = 8 j 9 W6 = W = j W6 = 8 j 9 6 W = W8 = j 6 6. ) j b) j c) j Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

21 .6 X [] = { 7 + j 9 + j 9 9 j j 7 j 9 7 j 9} DFT Figur.6. Signlens DFT-spetr.7 ) { = 6 8 j 88 j 7 6 j j 88 j j 88} X Ω = + e e + e + e e j Ω j Ω j Ω j 6 Ω j 7 Ω b) ( ) c) X [ ] = { 7 j j 7 j j 9 j j 7} d) Smm resultt som DFT:n Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

22 .7 forts. e) Fourierserie fouriertrnsform och DFT 8 6 Fourierserie DFT urv Fouriertrnsform respetive frevens (reltivt fs) Figur.7. Signlerns fourierspetr DFT-spetr och fourierserieoefficienter.8 X ( ) -spetrt som DFT:n producerr n betrts som N stycen smpel v X ( Ω ). Alterntivt n mn säg tt DFT/FFT:n beränr fourierserieoefficientern v den periodis signl som hr en period som ext motsvrr den smplde dtmängden.9 ) b).6 DFT- N=6.6 DFT- N= Frevens (reltivt fs) Figur.9. Signlens DFT-spetr N = Frevens (reltivt fs) Figur.9. Signlens DFT-spetr N = Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

23 . ) 6 Hz X [] X [] X [] X [] X [ 9] och X [ 9] b) c) Frevensspetr Frevens (Hz) Figur A.. Signlens FFT-spetr. ) X [] 6 b) De tre störst spetrlomponentern är X [ ] X [ 6] och [ 7] X med de reltiv storlern respetive. ) 9 och Hz (spetrlomponentern X [ 9] och X [ ] X [ ] X [ ] närmre bestämt ungefär vid 6 dvs 6 Hz ). Läcget in i omponent visr tt den senre omponenten egentligen ligger melln X och b) Signlen innehåller ytterligre en omponent med frevensen 7 Hz (omponent X [ 7]). 797 Hz melln [ och. 6 uppdteringr/seund X ] X [ ] [ ] Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

24 Signler och system i frevensplnet Fcit sid.

TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektrovetenskap. Tentamen i Digital Signalbehandling ESS040 (ETI240/ETI275)

TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektrovetenskap. Tentamen i Digital Signalbehandling ESS040 (ETI240/ETI275) EKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Istitutioe för eletrovetesp etme i Digitl Siglbehdlig ESS EI/EI75 7-5- id:. -. Sl: MA F-J Hjälpmedel: Formelsmlig, Räedos. Motiver tgde. De oli lede i lösigr s u följs. Rit gär

Läs mer

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER

SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER SERIER OCH GENERALISERADE INTEGRALER MARTIN TAMM. Inledning Då och då hr vi i tidigre urser ställts inför problemet tt hnter summor med oändligt mång termer, t e Eempel. () eller Eempel. () = ( ) = + +

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

FREKVENSSPEKTRUM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1

FREKVENSSPEKTRUM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 FREKVENSSPEKTRUM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET JEAN BATISTE JOSEPH FOURIER 768-83 Fourier utveclade metoden att besriva periodisa förlopp genom summering av vitade ortogonala funtioner

Läs mer

TENTAMEN. Digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare

TENTAMEN. Digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare Istitutioe för dt- och eletrotei 5-5-4 TETAME KURSAM PROGRAM: m Eletro- och dtigejörslije å / läsperiod årsurs /läsperiod 3 KURSBETECKIG LET39 96 EAMIATOR Sve Kutsso TID FÖR TETAME Fredg 7 ugusti 4 l 3.3

Läs mer

5 Signaler och system i z-planet Övningar 5.1 Bestäm överföringsfunktionen i z-planet för ett system med impulssvaret

5 Signaler och system i z-planet Övningar 5.1 Bestäm överföringsfunktionen i z-planet för ett system med impulssvaret Sigler och sstem i -plet Övigr. Bestäm överförigsfutioe i -plet för ett sstem med impulssvret ) h[ ] [ ] 9 [ ] [ ] b) h [ ] u[ ] u[ ] h [] h[ ] c) d). Bestäm -trsforme för de sigler som besrivs v följde

Läs mer

Digital signalbehandling Kamfilter och frekvenssamplande filter

Digital signalbehandling Kamfilter och frekvenssamplande filter Institutionen för eletroteni 999--9 Kamfilter och frevenssamplande filter I frevenssamplande filter utgår vi från en filterstrutur som har ett stort antal nollställen i frevensgången och modellerar filtrets

Läs mer

TENTAMEN. Tillämpad digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare Sven Knutsson: Signalprocessorn ADSP-2105

TENTAMEN. Tillämpad digital signalbehandling. Sven Knutsson. Typgodkänd räknare Sven Knutsson: Signalprocessorn ADSP-2105 Istitutioe för dt- och eletrotei 4-8- TETAME KURSAM PROGRAM: m Eletroigejörslije å / läsperiod årsurs /läsperiod 4 KURSBETECKIG LET39 EAMIATOR Sve Kutsso TID FÖR TETAME Fredg 7 ugusti 4 l 3.3 7.3 HJÄLPMEDEL

Läs mer

Integralkalkyl. Den bestämda integralen. Om Maclaurinutvecklingar. Integralen mäter en area. Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter

Integralkalkyl. Den bestämda integralen. Om Maclaurinutvecklingar. Integralen mäter en area. Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter Integrlll Anls6 (Grundurs) Instuderingsuppgifter Dess övningr är det tänt du s gör i nslutning till tt du läser huvudteten. De flest v övningrn hr, om inte lösningr, så i vrje fll nvisningr till hur uppgiften

Läs mer

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1 UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs

Läs mer

DIAGONALISERING AV EN MATRIS

DIAGONALISERING AV EN MATRIS Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr

Läs mer

Komplexa tal. j 2 = 1

Komplexa tal. j 2 = 1 Komplex tl De komplex tlen nvänds när mn behndlr växelström inom elektroniken. Imginär enheten beteckns i elektroniken med j (i, som nvänds i mtemtiken, är ju upptget v strömmen). Den definiers v j = 1

Läs mer

Randvillkoren tecknas

Randvillkoren tecknas Tenis Högsoln i Linöping, IEI /Tore Dhlberg TENTMEN i Hållfsthetslär - Dimensioneringmetoder, TMHL09, 2007-06-05 l 8-12 R O B L E M med L Ö S N I N G R Del 1 - (Teoridel utn hjälpmedel) 1. En bl belsts

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ± V Funktionen f () är egränsd i intervllet

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER

KVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER rmin Hlilovic: EXR ÖVNNGR v nvers mtriser KVDRSK MRSER, DGONLMRSER, MRSENS SPÅR, RNGULÄR MRSER, ENHESMRSER, NVERS MRSER KVDRSK MRSER Definition En mtris med n rder och n olonner, lls vdrtis n n n n nn

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn

Läs mer

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om

Läs mer

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik Grundläggnde mtemtisk sttistik Diskret och kontinuerlig slumpvribler Uwe Menzel, 208 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@mtstt.de www.mtstt.de Diskret och kontinuerlig slumpvribler Slumpvribel (s.v.): vribel

Läs mer

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v

Läs mer

Serier och potensserier

Serier och potensserier Serier oc potensserier J A S, t-05 Serier. Allmänt om serier När är en tlföljd lls uttrycet = 0 + + 2 + + + för en serie. Serien är börjr med index = 0, men det är inte nödvändigt. När ing missförstånd

Läs mer

Användande av formler för balk på elastiskt underlag

Användande av formler för balk på elastiskt underlag Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen... Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Föreläsning 3: Strängmatchning

Föreläsning 3: Strängmatchning 2D1458, Prolemlösning oh progrmmering under press Föreläsning 3: Strängmthning Dtum: 2006-09-18 Srienter: Miel Elisson, Joim Erisson oh Mts Linnder Föreläsre: Miel Goldmnn Denn föreläsning ehndlr prolemet

Läs mer

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b]. Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

IE1204 Digital Design

IE1204 Digital Design IE1204 Digitl Design F1 F3 F2 F4 Ö1 Booles lgebr, Grindr MOS-teknologi, minimering F5 F6 Ö2 Aritmetik Ö3 KK1 LAB1 Kombintorisk kretsr F7 F8 Ö4 F9 Ö5 Multipleor KK2 LAB2 Låskretsr, vippor, FSM F10 F11 Ö6

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER. LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER. ----------------------------------------------------------------- Låt u vr en vektor med tre koordinter u. Vi säger tt u är tredimensionell

Läs mer

Tentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag

Tentamen SF1661 Perspektiv på matematik Lördagen 18 februari 2012, klockan Svar och lösningsförslag Tentamen SF1661 Perspetiv på matemati Lördagen 18 februari 01, locan 09.00 1.00 Svar och lösningsförslag (1) Sissera den mängd i xy-planet som består av alla punter som uppfyller oliheten (x + ) + (y )

Läs mer

Repetition 2. a) Delmängdskonstruktionen ger nedanstående DFA. Till höger med nya tillståndsnamn.

Repetition 2. a) Delmängdskonstruktionen ger nedanstående DFA. Till höger med nya tillståndsnamn. 1 Repetition 2.n Repetition 2 3 1. Betrt vidstående NFA. 1 2 ) Konstruer ed hjälp v delängdsonstrutionen en DFA evivlent ed NFA:n. ) Är den resulternde DFA:n inil? O ej, inier den! c) Konstruer ett reguljärt

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter? Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen

Läs mer

TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer).

TILLÄMPNINGAR AV DIAGONALISERING Beräkning av potenser A n. Rekursiva samband (s.k. differensekvationer). rmi Hlilovic: ETR ÖVNINGR Tillämpigr v digoliserig TILLÄMPNINGR V DIGONLISERING Beräig v poteser. Reursiv smbd s.. differesevtioer. Beräig v poteser med hjälp v digoliserig Om mtrise är digoliserbr dvs

Läs mer

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i

Läs mer

Något om funktionsföljder/funktionsserier

Något om funktionsföljder/funktionsserier mtemtis metoder E, del D, FF Något om futiosföljder/futiosserier. Putvis och liformig overges Vi etrtr reellvärd futioer med gemesm defiitiosmägd D IR, M D. Me (äst) llt går helt logt för omplevärd futioer

Läs mer

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015 Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 5/8 05 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten

Läs mer

Periodisk summa av sinusar

Periodisk summa av sinusar 1 Periodis sua av sinusar Låt x( t) = Asin( ω a t + α ) + Bsin( ω b t + β ). O ω a! x( t) är T-periodis, dvs. x( t) = x( t +T ) ω b ed T = π ω 1, där ω 1 = SGD( ω a,ω ) Största Geensaa Delare (SGD) b =

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010: Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Bo Styf Envribelnlys, 0 hp STS, X 00-0-7 Föreläsning 6-7, 00: Genomgånget på föreläsningrn 6-0. Här gick vi inte igenom något nytt mteril, utn räknde igenom Blndde

Läs mer

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13 LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,

Läs mer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel

Läs mer

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e

Läs mer

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE. GENERALISERADE INTEGRALER ============================================================ När vi definierr Riemnnintegrl ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern,

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017 KTH, Mtemtik Mri Sprkin Lösningsförslg till tentmen i SF683 och SF629 (del ) 23 oktober 207 Tentmen består v sex uppgifter där vrder uppgift ger mximlt fr poäng. Preliminär betgsgränser: A 2 poäng, B 9,

Läs mer

Tentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Tentamen TEN1, HF1012, 30 maj Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 14:00-18:00 Lärare och examinator : Armin Halilovic Tentmen TEN, HF, mj 8 Mtemtis sttisti Kursod HF Srivtid: 4:-8: Lärre och emintor : Armin Hlilovic Hjälmedel: Bifogt formelhäfte ("Formler och teller i sttisti " och miniränre v vilen ty som helst Förjudn

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning. TANA09 Föreläsning 3 Tillämpning - Ry Trcing och Bézier Ytor z = B(x, y) q o Ekvtionslösning Tillämpning Existens Itertion Konvergens Intervllhlveringsmetoden Fixpuntsitertion Newton-Rphsons metod Anlys

Läs mer

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p) 1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!

Läs mer

Gör slag i saken! Frank Bach

Gör slag i saken! Frank Bach Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn

Läs mer

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1 Uppgiftssmling 5B1493, lektionern 1 6 Lektion 1 4. (Räkning med oändlig decimlbråk) Låt x = 0, 1 2 3 n och y = 0,b 1 b 2 b 3 b n ( i och b i siffror 0, 1,, 9).. Kn Du beskriv något förfrnde som säkert

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

Kursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge:

Kursens mål är, förutom faktakunskaper om kursinnehållet, att ge: Inlämningsuppgifter i Funtionsteori För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa. Enligt

Läs mer

Belöningsbaserad inlärning. Reinforcement Learning. Inlärningssituationen Belöningens roll Förenklande antaganden Centrala begrepp

Belöningsbaserad inlärning. Reinforcement Learning. Inlärningssituationen Belöningens roll Förenklande antaganden Centrala begrepp Belöningsbserd Inlärning Reinforcement Lerning 1 2 3 4 1 2 3 4 Belöningsbserd inlärning Reinforcement Lerning Inlärning v ett beteende utn tillgång till fcit. En belöning ger informtion om hur br det går

Läs mer

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel Millerindex Lösningsförslg till deltentmen i IM61 Fst tillståndets fysik Torsdgen den 15 mrs, 1 Teoridel 1. ) Millerindex för ett tompln bestäms med följnde principiell metod. i) Bestäm plnets skärningspunkter

Läs mer

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning

ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER. 1. Inledning ANALYTISKA FUNKTIONER, LIKFORMIG KONVERGENS OCH POTENSSERIER ANDRZEJ SZULKIN & MARTIN TAMM. Inledning Dett ompendium innehåller mteril som ompletterr ursboen Persson&Böiers, del 2. De inlednde fem vsnitten

Läs mer

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien. Sinus- och cosinusserier I slutet v kursen där vi skll lös differentilekvtioner på ändlig intervll v typen H, L, behöver vi konstruer Fourierserier med en viss typ v uppförnde i intervllens ändpunkter.

Läs mer

Finaltävling den 20 november 2010

Finaltävling den 20 november 2010 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m

Läs mer

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.

Läs mer

Generaliserade integraler

Generaliserade integraler Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst

Läs mer

13 Generaliserade dubbelintegraler

13 Generaliserade dubbelintegraler Nr 3, 4 pril -5, Ameli 3 Generliserde dubbelintegrler 3. Generliserde enkelintegrler Integrerbrhet är definiert för funktioner som är begränsde och definierde på ett ändligt intervll. ett kn i mång fll

Läs mer

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017 Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 4/ 07 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. v 0 i 0 Beräkn

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

9. Bestämda integraler

9. Bestämda integraler 77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln

Läs mer

Sammanfattning, Dag 9

Sammanfattning, Dag 9 Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB

Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Uppgifter övning I8: Uppgift nr 1 Sealine AB Rederiet Sealine AB har undersöt specialfartygsmarnaden under senaste året för 700 000 r och funnit en lämplig fartygsstorle, som det an tecna ontrat på. Vid

Läs mer

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1 F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2 Lösningr och kommentrer till uppgifter i.2 202 d) t t 2 25 t (t 5)(t + 5) Med hjälp v konjugtregeln kn vi fktoriser nämnren. Eftersom nämnren inte får bli noll är ej t 5 eller t 5 tillåtn. 206 Först presenterr

Läs mer

1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.

1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b. UPPSAA UNIVERSITET Mtemtisk institutionen Slling (070-6527523) PROV I MATEMATIK AUTOMATATEORI 18 okt 2012 SKRIVTID: 8-13. HJÄPMEDE: Ing. MOTIVERA AA ÖSNINGAR NOGGRANT. BETYGSGRÄNSER: För etygen 3, 4 respektive

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Det energieffektiva kylbatteriet

Det energieffektiva kylbatteriet Croline Hglund, Civ.ing. SP Sveriges Provnings- och Forskningsinstitut, Energiteknik, Borås, croline.hglund@sp.se Per Fhlén, Prof. Inst. för Instlltionsteknik, CTH, Göteorg, per.fhlen@hvc.chers.se Det

Läs mer

Lösningar till problemtentamen

Lösningar till problemtentamen KTH Meani 2006 05 2 Meani b och I, 5C03-30, för I och BD, 2006 05 2, l 08.00-2.00 Lösningar till problemtentamen Uppgift : En platta i form av en lisidig triangel BC med sidolängderna a och massan m står

Läs mer

1.1 Sfäriska koordinater

1.1 Sfäriska koordinater Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..

Läs mer

Digital signalbehandling Digital signalbehandling

Digital signalbehandling Digital signalbehandling Istitutioe för data- och eletrotei --8 Ly, Fuerst: Itroductory Digital Sigal Processig Kapitel. 7 Mbit/s. 96 Mbit/s., bit/s. a) b) - - CHALMERS LINDHOLMEN Sida Istitutioe för data- och eletrotei Sve Kutsso

Läs mer

1 av 13. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

1 av 13. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Armn Hlloc: EXTRA ÖVNINGAR Vetorprodt VEKTORPRODUKT OCH TILLÄMPNINGAR Kompln etorer. Defnton: V säger tt... n är ompln etorer om etorern lgger ett pln när de stts från smm pnt. Med ndr ord ompln etorer

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen T Erlndsson TENTAMEN 5--4 Anlys MN SVAR OCH ANVISNINGAR FRÅGOR... 4. 5. x-xeln 6. y = x + x + 7. y = sin x + 8. y = xe x + 9. y = e x. y = x +.. + x. x = 4. 5.

Läs mer

KTH Teknikvetenskap Fotografi-lab 3

KTH Teknikvetenskap Fotografi-lab 3 KTH Teknikvetenskp Fotogrfi-lb 3 Svrtvitt kopieringsrbete, tonreproduktion Kurs: SK2380, Teknisk Fotogrfi Kjell Crlsson & Hns Järling Tillämpd Fysik, KTH, 2015 1 För tt uppnå en god förståelse och inlärning

Läs mer

Tentamen i EITF90 Ellära och elektronik, 28/8 2018

Tentamen i EITF90 Ellära och elektronik, 28/8 2018 Tentmen i EITF9 Ellär och elektronik, 8/8 8 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. Bestäm Thévenin-ekvivlenten

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken -5 Vi räknr en KS För tt ni sk få en uppfttning om hur en KS kn se ut räknr vi här igenom den end KS som givits i denn kurs! Totlt kn mn få poäng. Om mn lycks skrp ihop 7 poäng eller mer

Läs mer

Obligatoriska uppgifter

Obligatoriska uppgifter TSDT15 Signler & System, del 2 1. Lsse Alfredsson, lsse@isy.liu.se TSDT15 DATORUPPGIFTER 2011 OMGÅNG 1 Obligtorisk uppgifter Fltning och system- & signlnlys med z-trnsformen och fouriertrnsformen och inlednde

Läs mer

Matris invers, invers linjär transformation.

Matris invers, invers linjär transformation. Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,

Läs mer

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp rmin Hliloic: EXR ÖVNINGR Linjär bildningr LINJÄR VBILDNINGR INLEDNING: Fnktioner =bildningr Beteckningr och grndbegrepp Definition En fnktion eller bildning från en mängd till en mängd B är en regel som

Läs mer

Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab

Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab Löpsedel: Integrler Block : Integrler Grundidé, numerisk kvdrtur Noggrnnet, teoretiskt Prktisk feluppskttning med ricrdsonextrpoltion Adptiv kvdrtur Noggrnnet, inverkn v mätfel/vrundningsfel Lärook Kp

Läs mer

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak

I den här stencilen betraktar vi huvudsakligen reella talserie, dvs serier vars termer ak Armi Hlilovic: EXTRA ÖVIGAR SERIER (OÄDLIGA SUMMOR) Defiitio E serie är e summ v oädligt måg termer I de här stecile etrtr vi huvudslige reell tlserie, dvs serier vrs termer är reell tl (I slutet v stecile

Läs mer

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill 6 Greens formel, tokes sts och lite därtill 6.1 Greens formel i låter de två sklärvärd funktionern P (, ) och Q(, ) vr kontinuerligt deriverbr i ett öppet område i -plnet. Området begränss v en positivt

Läs mer

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, ht 2018

Inlämningsuppgifter i Funktionsteori, ht 2018 Inlämningsuppgifter i Funtionsteori, ht 208 För att man sa bli godänd på ursen rävs att såväl tentamen som inlämningsuppgifter och laborationer är godända. Inlämningsuppgifterna är alltså obligatorisa.

Läs mer

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng Tentmen i Eleffektytem C40 4 poäng Ondgen 5 december 004 kl 4.00-9.00 (Frågetund: 5.00, 6.00 och 7.30) Hjälpmedel: En hndkriven A4-id, Bet eller Joefon, fickräknre. Endt en uppgift per bld! Teern lämn

Läs mer

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B.

Definition 1 En funktion (eller avbildning ) från en mängd A till en mängd B är en regel som till några element i A ordnar högst ett element i B. Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att

Läs mer

Potensserier och potensserieutvecklingar av funktioner

Potensserier och potensserieutvecklingar av funktioner Analys 36 En webbaserad analysurs Analysens grunder Potensserier och potensserieutveclingar av funtioner Anders Källén MatematiCentrum LTH andersallen@gmail.com Potensserier och potensserieutveclingar

Läs mer

Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik Tentmen i Meni I del Stti och prtieldynmi TMME7 03-08-7, l 4.00-9.00 Tentmensod: TEN Tentsl: TERE, TER Exmintor: Peter Schmidt Tentjour: Peter Schmidt, Tel. 8 7 43, (Besöer slrn c 5.00 och 7.30) Kursdministrtör:

Läs mer

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Volym och dubbelintegraler över en rektangel Volym oh dubbelintegrler över en rektngel All funktioner nedn nts vr kontinuerlig. Om f (x i intervllet [, b], så är ren v mängden {(x, y : y f (x, x b} lik med integrlen b f (x dx. Låt = [, b] [, d] =

Läs mer

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys

ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Matematisk Analys Mtemticentrum Mtemti NF ETT OSKRIVET KAPITEL I FORSLING NEYMARK: Mtemtis Anlys en vribel Toms Clesson och Per-Anders Ivert Generliserde integrler och summor. Generliserde integrler över obegränsde intervll

Läs mer

Vektorer. Avsnitt 1. Ange lägesvektorerna för de två väteatomerna på formen: r = x ˆx + y ˆx

Vektorer. Avsnitt 1. Ange lägesvektorerna för de två väteatomerna på formen: r = x ˆx + y ˆx Avsnitt 1 Vektorer 1.1 Skissen nedn visr molekylgeometrin för H 2 O, där syretomen befinner sig i origo och vätetomern lägger symmetriskt kring x-xeln. Bindningslängden är = 96 pm och bindningsvinkeln

Läs mer

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och

Läs mer