Repetition 2. a) Delmängdskonstruktionen ger nedanstående DFA. Till höger med nya tillståndsnamn.

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Repetition 2. a) Delmängdskonstruktionen ger nedanstående DFA. Till höger med nya tillståndsnamn."

Magnus Fransson
för 5 år sedan
Visningar:

1 1 Repetition 2.n Repetition Betrt vidstående NFA. 1 2 ) Konstruer ed hjälp v delängdsonstrutionen en DFA evivlent ed NFA:n. ) Är den resulternde DFA:n inil? O ej, inier den! c) Konstruer ett reguljärt uttryc för utotens språ. ) Delängdsonstrutionen ger nednstående DFA. Till höger ed ny tillståndsnn. {1} {1, 2} A D {3} {1, 3} {1, 2, 3} B C E ) Den är inte inil. A, C går näligen inte tt särsilj ed eller. Dets gäller D, E. 8A, B, C, D, E< ε 8A, C, D, E< 8B< 8A, C< 8D, E< Resulttet v ovnstående iniering lir {A, C} {D, E} {B} c) Med hjälp v tillståndseliintion får n t.ex. I + M * *.

2 Repetition 2.n 2 2. Betrt följnde tegorier v språ reguljär, inte reguljär, en snhngsfri, inte snhngsfri. Plcer (ed otiveringr) nednstående språ över 8, < i rätt tegori. ) L 1 = 8w AntlH, wl 2 ÿ Antl H, wl<, ) L 2 = 9w AntlH, wl 2 AntlH, wl =, c) L 3 = 8w w x y och AntlH, xl AntlH, yl<. PS. AntlH, wl etecnr ntlet -föreoster i w. ) L 1 tillhör den ndr tegorin. Bristen på reguljäritet följer t. ex. v tt 2 N N inte n pups på något sätt inuti -locet utn tt n fller ur språet. (En urpupning v :n leder ju till tt det lir för få :n.) Men L 1 är snhngsfritt. Här är en CFG för språet: S Ø S S SS SS SS ε Motivering: Först n n onstter tt vrje regel ger duelt så ång so. Däred producerr reglern enrt strängr ur L 1. Men producers stlig w œ L 1? Få se. Betrt en godtyclig sträng w œ L 1. Vi s vis tt w n esrivs ed reglern ovnför. Tot w esrivs v sfllsregeln S Ø ε. Iceto w då? De ortste, vil är, och, esrivs oneligen v reglern, eller hur! De n ocså esrivs grfist so i figuren nednför, där representers v en uppåtpil och v en duelt så lång nedåtpil. Betrt nu ett godtycligt icetot w och dess grfis representtion. Antg först tt w örjr på och slutr på, dvs. tt w = x för något x. Med lnsresoneng inses tt n vid läsning v x:et förr eller senre åste psser lnslinjen uppifrån och nedåt. Ty 1) vid läsning v det inlednde :et tvings n upp ovnför lnslinjen, och 2) vid läsning v det vslutnde :et når n lnslinjen nedifrån. Dess två onstternden sntgn inneär tt n någonstns på vägen elln de två nänd :n åste psser lnslinjen uppifrån och nedåt. Pssgen v lnslinjen på väg nedåt n r se geno tt ender en -pil:s itt öter linjen på väg nedåt, eller tt en -pils spets träffr linjen (och nänd pil följs v ytterligre en -pil).

3 3 Repetition 2.n Det etyder i sist fllet tt vårt disuterd w i själv veret är v typ S S där det först S:et representerr den del v w so läses fr till och ed tt n träffr lnslinjen inuti x, och det ndr S:et är återstoden v w. I först fllet, när en -pils itt träffr lnslinjen, oer nänd -pil från den nivån ovnför linjen so det inlednde :et drev oss till, och den per på den nivå so det vslutnde :et oer ifrån. Melln inlednde och vslutnde finns därför en sträng v typ S S. Alltså är w v typ S S. Dett vslutr disussionen tt w örjr på och slutr på. På otsvrnde sätt går n igeno de övrig fllen. ) L 2 tillhör den tredje tegorin. Bristen på snhngsfrihet följer t. ex. v tt w = 2K K inte n pups på något sätt i något end loc v längd K utn tt n fller ur språet. Det senre förlrs v tt ingen upp-pupning n iehåll det givn förhållnde elln ntlet :n och ntlet :n, o puplocet inte är längre än K. Ty en upp-pupning i ett K-loc n högst ge K ny tecen. Och det räcer inte. Den närst längre strängen i L 2 sll näligen h 2 K+1 = 2 2 K = 2 K + 2 K stycen :n och K + 1 stycen :n. (Det ehövs således inst 2 K + 1 ny tecen.) c) L 3 är reguljärt. Det givn villoret uttrycer näligen r tt ntlet :n i w sll vr jänt. Här är ett reguljärt uttryc för sådn w: * H * * L * *. 3. Turingsinen X / 1 R 1 / X R # L 1 / # L X # L # X / # är en funtionserännde typ ed inputlfet 81<. Vilen funtion eränr den?

4 Repetition 2.n 4 Msinen eränr funtionen KvotHx, 2L, för godtyclig nturlig tl x, där input och output representers unärt. MOTIVERING: Vrje oplett vrv i slingn från R och till till R driver sinen tt (i höger ände) sudd ort en 1: st (i vänster ände) förflytt läshuvudet ett steg till höger: Ò 1 n Ò ï Ò 1 1 n-2 Ò ï Ò n-4 Ò ï Ò n-6 Ò Efter vrv ser tpeonfigurtionen ut så här: Ò n-2 Ò (1) (i) O n är jän, säg tt n = 2, så ser (1) ut så här Ò Ò. O ntlet vrv snfller ed, så får vi Ò 1 1 Ò. Därefter drivs sinen tt efter R gå den nedre vänstr övergången till L Ò. Resulttet lir Ò 1 1 Ò (ii) O n är udd, säg tt n = 2 + 1, så ser tpeonfigurtionen istället ut på följnde sätt efter vrv: Ò Ò O ntlet vrv åter snfller ed, så får vi Ò Ò I dett läge drivs sinen tt gå hlvvägs in i slingn (fr till R Ò L). Därefter är tpeonfigurtionen li ed Ò 1 1 X Ò Sedn drivs sinen tt gå den nedre högr övergången till L Ò (stidigt sudds X). Resulttet lir Ò 1 1 Ò Sntget hr vi sett tt vre sig sinen örs på n = 2 ettor eller n = ettor, stnnr den ed ettor vr på tpen. Det inneär tt KvotHn, 2L = f n 2 v eräns.

5 5 Repetition 2.n 4. Konstruer en lterntiv en enlre grti än nednstående dito. S Ø A B A Ø A C B Ø C B C C C Ø ε C C C C C Ø C ANM. Ino hierrin reguljär Ä snhngsfri Ä restritionsfri finns de enlste grtiern till vänster. Din grti sll esriv s språ so den givn grtien. Full poäng erhålls enrt o en enlste grti presenters. Med A-reglern producers följt v ett eller fler C:n, och B-reglern ger på otsvrnde sätt ett eller fler C:n följt v ett. Så S-regeln tillsns ed ovnstående regler säger tt S är v typ C n, där n är 2 eller större. Med C-reglern n n producer ll strängr (över {, }) v jän längd, även to sträng. Den sist rdens regel ( C Ø C) är värdelös. Ty ed dess hjälp n n inte åstdo något so n inte lrr utn dens. Vrför? Jo när nänd regel "suddr" ort två :n, får n en ortre sträng v jän längd ed :n i ntern och vrje sträng v jän längd ed :n i ntern n redn tillvers utn nänd regel. Sntget esriver den givn grtien således språet (över {, }) v strängr so hr jän längd och so örjr och slutr på ett reguljärt språ. Här är en reguljär grti för språet: S Ø A, A Ø A A A A. 5. Disuter vgörrheten för proleet Innehåller LHML enrt strängr v jän längd?" ) då M är en godtyclig finit utot? ) då M är en godtyclig Turingsin? ) Avgörrt. För given finit utot M ed inputlfet S ehöver n r onstruer en DFA för LHML SIS 2 M * och undersö ifll den snr ccepterndetillstånd på väg från strt. (En sådn DFA snr ccepterndetillstånd o svret på det givn proleet är JA.) ) Ovgörrt. Följer v RICES' sts. Ty det givn proleet hndlr o en icetrivil egensp för Turingccepterr språ näligen egenspen tt innehåll enrt strängr v jän längd. FORMELLT: Låt W vr ängden v Turingccepterr språ so innehåller enrt strängr v jän längd. Det finns Turingccepterr språ inuti W (ex.vis 8 ε<) och det finns Turingccepterr språ utnför W (ex.vis 8<). Då följer enligt RICES' sts tt ingen TM n vgör för godtyclig TM M ifll LHML œ W.

Relevanta dokument

1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.

1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b. UPPSAA UNIVERSITET Mtemtisk institutionen Slling (070-6527523) PROV I MATEMATIK AUTOMATATEORI 18 okt 2012 SKRIVTID: 8-13. HJÄPMEDE: Ing. MOTIVERA AA ÖSNINGAR NOGGRANT. BETYGSGRÄNSER: För etygen 3, 4 respektive