Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,"

Sven Nyberg
för 6 år sedan
Visningar:

1 KTH Meknik Meknik för I, SG09, Lösningr till probletenten, Uppgift : En bo ed ssn och längden är i sin en ände onterd i en kulled på en vertikl vägg. I den ndr änden A är fäst två linor so går till fästpunkter B respektive C på väggen so håller boen horisontell och vinkelrät ot väggen. I ett koordintsste där boen är - el och z-eln vertikl uppåt gäller tt koordintern för B är, 0, ) och koordintern för C är 2,0, /4). I änden A är en vikt ed ssn 3 upphängd. Beräkn spänningrn i linorn och boens krft på kulleden. z C /4 2 B R S AB S AC A 3 Figur : Ssteet i Uppgift. De tre sökt krftern är utritde. Föruto dess verkr tngdkrften g i boens sscentru och tngdkrften 3g i A. Lösning : Trådrn går från r A = 0,,0) till r B =,0, ) respektive r C = 2,0, /4). Det betder tt spännkrftern i trådrn kn skrivs, r B r A ) S AB e AB = S AB r B r A = S,, ),, ) AB = S AB, ) S AC e AC = S AC r C r A ) r C r A = S AC 2,, /4) 9/4 8, 4, ) = S AC. 2) 9 Krftjävikt kräver tt, R + 4g + S AB e AB + S AC e AC = 0, där g = g e z, vilket ger koponentekvtionern, ) : R + S AB / 3 8S AC /9 = 0, 3) ) : R S AB / 3 4S AC /9 = 0, 4) z) : R z 4g + S AB / 3 + S AC /9 = 0. 5) Moeentjävikt..p. A, M A = e ) g/2)e z + R) = 0, ger två ekvtioner: M A : g/2 R z = 0, 6) M Az : R = 0, 7) Dess ekvtioner ger tt Svr: Spännkrftbeloppen är S AB = 28 3g/9 och S AC = 7g/2 och boens krft på kulleden är R = g0, 4/3, /2).

Uppgift 2: En n ed ssn hänger i ett rep just över itten v en horisontell kvdrtisk pltt onterd på fr likdn fjädrr, en i vrt och ett v hörnen. Fjädrrns stvhet är k.

2 Uppgift 2: En n ed ssn hänger i ett rep just över itten v en horisontell kvdrtisk pltt onterd på fr likdn fjädrr, en i vrt och ett v hörnen. Fjädrrns stvhet är k. Plttn och fjädrrn hr försubr ss jäfört ed nnen. Mnnen tppr nu tget o repet. Vilken il norlkrft från plttn utsätts nnen för? - 4k k k g Figur 2: Till vänster begnnelsesitutionen i Uppgift 2. Krfter verkr endst i den vertikl riktningen. Till höger hr nnen koit till negtiv -värden. Där verkr tngdkrft och fjäderkrft i de riktningr so viss till höger i figuren. Lösning 2: Mn kn nvänd energins bevrnde eller rörelseekvtionen. Energin är: 2 ẋ k)2 + g = E, efterso det är fr fjädrr ed k prllellkopplde. Begnnelsevärden när nnen just släppt repet är = 0, ẋ = 0, så tt E = 0. Norlkrften är krften från plttn N) = 4k för < 0) och den är störst när når sitt störst värde. Dett sker vid vändläget där ẋ = 0, igen. Ekvtionen för vändlägen är lltså i dett fll: 2 4k)2 + g = 0. Dett ger tt vändlägen finns vid = 0 och = g/2k). Det senre värdet ger il norlkrft, N = 4k[ g/2k)], d.v.s. Svr: N = 2g

3 Uppgift 3: En rk horisontell stång är fäst på en rk vertikl stång so kn roter kring vertiklen ed försubrt friktionsoent. När nordningen roterr ed en vinkelhstighet ω hr den rörelseängdsoent H 0z = 2 ω. Det betder tt den hr tröghetsoent I 0z = 2. Nu onters två kulor, vrder ed ss, på tvärstången. De kn glid längs stången en hålls båd på plts ed trådr på vståndet d från rottionseln. Anordningen, ed kulorn, ges nu vinkelhstigheten ω. Geno tt dr i trådrn insks vståndet till d/3 och fiers där. Vd blir den n vinkelhstigheten ω 2? Vd blir ändringen i kinetisk energi? z d d Figur 3: Bild till Uppgift 3 Lösning 3: Rörelseängdsoentet, H z,..p. z-eln, är bevrt. När kulorn är på vståndet d från rottionseln är rörelseängdsoentet, H z = 2 ω + 2d 2 ω = 2 + 2d 2 )ω. Kulorn drs sedn in ot rottionseln utn tt något ttre oent verkr på ssteet. Rörelseängdsoentet när de stnnt vid d/3 ges nu v, Sätter n dess lik kn n lös ut tt : H z = 2 ω 2 + 2d/3) 2 ω 2 = 2 + 2d 2 /9)ω 2. Svr : ω 2 = 2 + 2d 2 ) 2 + 2d 2 /9) ω. Kinetisk energin för en roternde stel kropp ges v T = 2 I zω 2. I dett fll är och T = d 2 )ω 2 T 2 = d 2 /9)ω 2 2 = d 2 /9) 2 + 2d 2 ) 2 ) 2 + 2d 2 /9) ω = d 2 ) d 2 /9) ω2. Mn får då tt ökningen i kinetisk energi, d.v.s. rbetet so uträttts när trådrn drog in kulorn, är: Svr 2: T 2 T = d 2 ) 6d d 2 /9) 9 ω2.

4 Uppgift 4: En prtikel ed ssn rör på ett gltt horisontlpln under inverkn v en centrlkrft vrs potentiell energi ges v V r) = 2 kr2. Vid tiden t = 0 är läget r0) = 2e och hstigheten v0) = ω e, där ω 2 = k/. Beräkn störst och inst vståndet från rigo i den fortstt rörelsen. v0) 2 r0) Figur 4: Begnnelsevärden för prtikelns läge och hstighet viss. Dessuto viss den verklig bnn. Mn ser tt svren blir r in =, och r = 2. Lösning 4: Energin och rörelseängdsoentets z-koponent är bevrde. Med hjälp v begnnelsevärden får vi tt dess hr värden: E = 2 v2 0)+ 2 kr2 0) = 2 2 ω k2)2 = 2 [2 ω 2 +k/)4 2 ] = 2 [2 ω 2 +ω ] = ω 2 och Clinderkoordinter ger också tt H = r0) v0) = 2 2 ω e z = H z e z. E = 2 ṙ2 + r 2 θ2 ) + 2 kr2 = 2 ṙ2 + r 2 θ2 + ω 2 r 2 ) och tt H z = r 2 θ. Då Hz = 2 2 ω fås genst tt. Kobiners dett ed energin fås, E/ = 2 θ = 2/r) 2 ω ṙ ω 2 ) r 2 + ω 2 r 2 = ω 2. Vid störst och inst r-värden är ṙ = 0. Mn får lltså ekvtionen 4 4 ω ω r 2 r 2) = ω 2 för dess r-värden. Multiplicers denn ed r 2 erhålls en ndrgrdsekvtion i r 2. Den hr röttern r 2 = 5 2 2) ± 3 2. Således fås Svren: r in =, och r = 2.

5 Teoritenten Uppgift 5: Ange den fsiklisk diensionen M α L β T γ, d.v.s. ge värden på α, β och γ, för följnde eknisk storheter: ) Accelertion, b) Arbete U, c) Rörelseängdsoent H z, d) Krftoent M z, e) Fjäderkonstnt stvhet) k, f) Tröghetsoent I z. Svr: ) Accelertion α = 0, β =, γ = 2, b) Arbete α =, β = 2, γ = 2, c) Rörelseängdsoent α =, β = 2, γ =, d) Krftoent α =, β = 2, γ = 2, e) Fjäderkonstnt stvhet) α =, β = 0, γ = 2, f) Tröghetsoent α =, β = 2, γ = 0. Uppgift 6: Härled d.v.s. bevis ed en räkning) uttrcket för ccelertionen i clinderkooordinter. Det skll vr vektorstreck på vektorer. Svr: Se boken. Resulttet skll vr = r r θ 2 )e r + r θ + 2ṙ θ)e θ + z e z. Uppgift 7: Utgå från definitionen v rörelseängdsoent H och krftoent M st Newtons ndr lg krftekvtionen) och vis tt Ḣ = M gäller för en prtikel). Det skll vr vektorstreck på vektorer. Svr: Se Nbergs teoribok sidn 244. Uppgift 8: En stel kropp roterr kring en fi z-el. Kroppen hr tröghetsoentet I z och vinkelhstigheten θ. Skriv upp dess rörelseängdsoent H z och dess kinetisk energi T. Antg tt kroppens vinkelccelertion är θ. Ge ett uttrck för krftoentet M z på kroppen. Svr: H z = I z θ, T = 2 I z θ 2, M z = I z θ. HE

Relevanta dokument

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 9. Förklaring till dragkraftens storlek är: f

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 9. Förklaring till dragkraftens storlek är: f LEDNINGAR TILL PROBLE I KAPITEL 9 LP 9. N S S S Vi sk bestä stockens frt so funktion v tiden och frilägger den därför. Den påverks v tyngdkrften, norlkrften N, friktionskrften f st drgkrften S från otorn.