Analytisk mekanik Problemsamling
|
|
- Astrid Nyström
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 nlytisk meknik Problemsmling Rolf Pulsson och Hnno Essén KTH Meknik Stockholm 1987 och 2003 bstrct Denn problemsmling smmnställdes ursprungligen v Rolf Pulsson (Uppsl universitet) 1987 för nvändning i undervisningen på det som då hette Meknik del 4 och som innehöll tredimensionell stelkroppssrörelse och nlytisk meknik, speciellt Lgrnges metod. Numer kommer studenter vid KTH, i bäst fll, till denn nivå i årskurs tre efter två strkt bntde meknikkurser om smmnlgt 10 poäng. Problemsmlingen innehåller därför delvis problem som är lite för svår för den normle teknologen. Icke desto mindre är smlingen ett värdefullt pedgogiskt hjälpmedel. Jg hr därför fräscht upp den med hjälp v L TEX och CorelDrw. Viss redigering v lydelserns tet och beteckningr hr också gjorts, men mest rbete hr lgts ned på figurern. Den ursprunglig ordningen hr bibehållits. Ett ntl småfel hr rättts. Tck till Göst Wingårdh för hjälp med ytterligre felreducering. 1
2 1 Problem rörnde stel kroppens tredimensionell dynmik z h r Problem 1 En rät cirkulär homogen kon med mssn m, höjden h och toppvinkeln 2α rullr utn tt glid på ett pln, vrvid spetsen hålles fi. Vinkelhstigheten i ett visst ögonblick är ω. Beräkn rörelseenergin. nvänd tröghetsmomenten: J z = 3 10 mr2 och J = 3m ( ) h 2 + r G Problem 2 En homogen kub med mssn m och kntlängden roterr med vinkelhstigheten ω kring en el genom msscentrum och mittpunkten på en v kntern. Hur stor är rörelseenergin? 2
3 z B t y C O t D Problem 3 En sml homogen stång B med mssn m och längden l roterr med den konstnt vinkelhstigheten ω kring en horisontell el CD, som går genom stångens mittpunkt O och är vinkelrät mot stången. eln CD roterr kring vertiklen genom O med den konstnt vinkelhstigheten Ω. Bestäm som funktion v tiden det krftmoment med vseende på O som ger den ovn beskrivn rörelsen. Svret får ges i komponentform med vseende på det kroppsfi yz-systemet. r l B r Problem 4 En ändpunkten B v en rk stång B med längden l är fäst i centrum v en homogen tunn cirkulär skiv med rdien r så tt stången är vinkelrät mot skivn. Den ndr ändpunkten v stången är med en led, som medger fri vridbrhet i ll riktningr fäst vid en fi punkt. Skivn rullr utn glidning på ett horisontellt pln beläget på vståndet r nednför. B är lltså horisontell. Skivns mss är m och stångens mss kn försumms. Bestäm skivns tryck mot horisontlplnet om B roterr med konstnt vinkelhstighet ω 0 kring vertiklen genom. 3
4 B O 2 2 Problem 5 En stång B med försumbr mss och med längden 2 är fritt vridbr kring den fi mittpunkten O och ligger hel tiden horisontellt. I B finns en prtikel med mssn m och i kn ett hjul i form v en homogen cirkulär skiv med rdien och mssn m med försumbr friktion roter kring B, somär norml till hjulet i dess medelpunkt. Hjulet stöder mot ett plnt strävt horisontellt underlg. Systemet sätts i rörelse så tt hjulet tilldels en rottionshstighet 4ω 0 i riktningen B, smtidigt som eln ges en rottion ω 0 vertiklt nedåt. I börjn glider hjulet men så småningom inträder ren rullning. Hjulet förutsättes hel tiden vr i kontkt med underlget och friktionen förutsättes verk i hjulets tngentriktning. Beräkn hjulets och elns rottionshstigheter när ren rullning inträtt. Beräkn även hjulets tryck mot underlget i dett fll. 4
5 O mg Problem 6 En rk homogen stång O (längd 2l, mss m) är fritt vridbr kring sin en ändpunkt O, somär fi. I först ögonblicket är stången horisontell (θ = 0) och roterr kring vertiklen genom O med vinkelhstighet ϕ = ω. Under inverkn tyngdkrften börjr den vrid sig kring en horisontell el genom O. Beräkn ϕ som en funktion v θ för den följnde rörelsen smt beräkn vändlägen för θ rörelsen. L R O Problem 7 En snurr består v en skiv med rdien R och en rk lätt stång som utgör snurrns el. Denn el går genom en fi punkt O. vståndet melln O och skivn är L. eln bildr med vertiklen i O en fi vinkel α. Plnet genom snurrns el och vertiklen i O roterr med en konstnt vinkelhstighet Ω kring vertiklen i O. Bestäm snurrns vinkelhstighet ω reltivt dett pln. 5
6 h Problem 8 En homogen likbent tringulär skiv med bsen och höjden h roterr med konstnt vinkelhstighet Ω kring en vertikl el genom tringelns spets. Tringelns bs är hel tiden horisontell och rottionen sker kring en gltt kulled i tringelns spets. Beräkn den vinkel α som tringelns höjd bildr med vertiklen. R r/2 r Problem 9 En snurr består v en homogen, cirkulär skiv med rdien r och en lätt el med längden r/2 vinkelrätt mot skivn genom dess medelpunkt. elns ändpunkt är lgrd i en punkt på periferin till en horisontell cirkulär krusell med rdien R, så tt snurrns el kn rör sig utn friktion i ett vertiklpln, som innehåller krusellens el. Krusellen hr den konstnt vinkelhstigheten Ω kring sin el, och snurrn hr den konstnt vinkelhstigheten ω reltivt krusellen kring sin el. Sök vinkeln α melln snurrns el och vertiklen. 6
7 r R Problem 10 Ett mynt rullr utn rullningsmotstånd på ett horisontellt bord längs en cirkel med rdien R. Myntet betrkts som en tunn homogen skiv med rdien r och mssn m. Myntets pln bildr vinkeln α = rcsin(r/r) med vertiklplnet genom skärningslinjen melln myntets pln och horisontlplnet. Hur lång tid behöver myntet för tt rull ett vrv runt cirkeln på bordet? 2n t C O 2N t z D y l l Problem 11 En homogen jämntjock cirkelrund skiv med mssn M och rdien roterr runt den horisontell eln CD med den konstnt vinkelhstigheten ω =2πN. elncd i sin tur vrides enligt figuren runt en vertikl el mitt under skivn med den konstnt vinkelhstigheten Ω = 2πn. Skivn sitter mitt på elncd, somhrlängden 2l. elns tyngd kn försumms. ) Sök påfrestningen på lgren C och D. b) Sök n så tt trycket i en lgret blir noll. Siffervärden: l = =0.5meter, N = 1800 vrv per minut, tyngdccelertionen g π 2 m/s 2. 7
8 B F D O C E Problem 12 eln B till en rottionssymmetrisk snurr är lgrd i en rektngulär rm, vridbr kring eln CD. CD är B och psserr snurrns tyngdpunkt O. vstånden är O = BO = L. pprten är enligt figuren monterd på en pltt. Rmens rottion kring CD hindrs v trådr E och BF som är B och CD. Dess trådr är från börjn sträckt men spänningslös. Snurrns tröghetsmoment kring B är J och dess vinkelhstighet reltivt rmen är ω, moturs sett från. Om hel pprten vrides kring en el B och CD med vinkelhstigheten ω 0,moturssettfrån O dvs ovnifrån så uppträder en spänning i trådrn E och BF. Vilken tråd blir spänd och hur stor blir spänningen? R O r R P r Problem 13 En vertikl stång O med längden r är fäst i ett horisontellt tk. I den nedre punkten är en lätt stång P med längden R monterd i en gltt universlled. En cirkulär homogen skiv är monterd med medelpunkten i P, vinkelrät mot P. Skivn, vrs mss är m och rdie r, rullr i tket utn tt glid. Kontktpunkten beskriver en cirkel med rdie R. Tyngdccelertionen är g. Skivns vinkelhstighet reltivt plnet OP är ω. Sök skivns tryck mot tket och det minst ω som krävs för bibehållen tkkontkt. 8
9 C B r b D Problem 14 En elektrisk motor med tyngden mg vilr på två sml lister, vilk är fststt på en horisontell skiv, som vrider sig med konstnt vinkelhstighet Ω moturs sett uppifrånkringenvertiklelcd, vilken skär rottionselns medellinje B. Listern är vinkelrät mot B och befinner sig på vstånden och b från CD enligt figuren. Rotorn vrider sig reltivt sttorn med den konstnt vinkelhstigheten ω r moturs sett från B. Sttorn är symmetrisk med vseende på vertiklplnet genom B och det mot B vinkelrät plnet genom CD. Rotorns tyngdpunkt ligger i skärningspunkten melln B och CD och tröghetsellipsoiden i tyngpunkten är rottionssymmetrisk kring B. Rotorns tröghetsmoment med vseende på B är J. Hurstorfår Ω högst vr för tt motorn skll stå still på listern? v Problem 15 En sportbil med gsturbinmotor psserr på rk väg ett bckkrön med hstigheten v. Bckkrönet hr krökningsrdie ρ. Gsturbinens el är orienterd i bilens längdriktning, rotorn hr tröghetsmomentet J kring turbineln och vinkelhstigheten ω reltivt bilen, så tt rottionsvektorn ω pekr frmåt. Förren märker härvid tt bilen visr en tendens tt sväng åt en sidn. ) Åt vilken sid och hur stort vridnde moment behövs för tt håll bilen påvägen? b) Hur stor blir speciellt momentet i SI-systemet om v =30m/s,ρ = 100 m, J =1kgm 2 och ω = 2000 rdiner per sekund? 9
10 z C D y B C D Problem 16 En kvdrtisk homogen luck BCD med kntlängden kn friktionsfritt roter kring den horisontell knten B. Lucknstår först vertiklt men rubbs obetydligt och fller. Då D är horisontell slår hörnet D mot en fi punkt D och fstnr. Det ntges tt hörnet B smtidigt lossnr (utn stötkrfter), smt tt luckn börjr roter kring D med en vinkelhstighet ω.sök ω. O B b y Problem 17 En jämntjock, homogen, tunn skiv i form v en rätvinklig tringel OB med mss m är fritt rörlig kring en fi kulled i den rät vinkelns spets O. Kteterns längder är OB = och O = b. Från börjn fsthålls punkten, och skivn roterr med vinkelhstigheten ω kring O. Plötsligt släpps bindningen vid, och punkten B fiers i stället. ) Hur stor blir den ny vinkelhstigheten ω kring OB omedelbrt efter fierndet v B? b)hurstorblirdenib uppträdnde stötimpulsen S z? 10
11 z R m T R P v m y Problem 18 En tunn homogen cirkulär skiv med rdien R och mssn m hänger i vil i en fi punkt på periferin. Skivn kn friktionsfritt roter i ll riktningr kring, som lltså är en gltt kulled. En prtikel med mssn m och hstigheten v riktd vinkelrätt mot skivn träffr denn i en punkt P på periferin och fstnr där. Punkten P ligger längst till höger, sett från prtikeln, på smm höjd som skivns medelpunkt T. Vinkeln T P är således en rät vinkel. ) Bestäm till storlek och riktning vinkelhstigheten omedelbrt efter stöten. b) Bestäm även stötimpulsen i. 11
12 2 Problem med tillämpningr på Lgrnges ekvtioner R P Problem 19 Ett rör i form v ett rkt, cirkulärt, cylindriskt skl med mss M och rdie R kn rull utn glidning på ett horisontlpln. Inuti sklet glider en prtikel P med mss m, medförsumbr friktion. Låt ϕ vr vinkeln melln vertiklen och P, linjen från cylindereln till prtikeln. Systemet börjr sin rörelse utn begynnelsehstighet och med prtikeln vid ϕ = π/2. Beräkn cylinderelns läge, med = 0 vid strtläget, som funktion v ϕ. l B P C l l y Problem 20 Två lik, homogen, jämntjock stänger B och BC, båd v längden l, är förende med en gltt led vid B. Ändpunkten kn vrid sig kring är fi gltt led. Stängern fsthålles först i rät linje i horisontlplnet genom. En mycket liten prtikel med försumbr mss plcers i en punkt P på stången BC:s översid, vrefter systemet släpps och börjr rör sig (fll), utn begynnelsehstighet. På vilket vstånd från B kn prtikeln vr plcerd, för tt dess kontkt med stången ej skll upphör omedelbrt efter tt rörelsen börjt? 12
13 O l B Problem 21 Ändpunkten på en pendel i form v en stång B kn friktionsfritt rör sig längs en rät horisontell linje (-eln). Stången är rk och homogen. Den hr längden l och mssn m. Denrör sig i ett vertiklpln där den kn roter fritt kring. Ändpunkten påverks v en periodisk krft F = mg cos(ωt), där 3 ω2 = g/l, längs den horisontell -eln. ) Uppställ pendelns rörelseekvtioner. b) Bestäm rörelsen under förutsättning tt stångens lutningsvinkel ϕ och vinkelhstighet ϕ lltid är små. nvänd begynnelsevärden (vid t = 0): (0) = ẋ(0) = ϕ(0) = ϕ(0) = 0, där är :s läge. z y O Problem 22 En skål hr formen v en elliptisk prboloid vrs ekvtion kn skrivs 7( 2 + y 2 ) 2y =24cz. Den ställs med z-eln lodrätt uppåtriktd, så tt en prtikel kn befinn sig i jämvikt i origo O. Skålens insid är gltt. Beräkn vinkelfrekvensern ω 1 och ω 2 för de båd egensvängningrn, som prtikeln kn utför i närheten v jämviktsläget O. 13
14 z B q t k m Problem 23 En vikt med mssn m kn glid friktionsfritt längs ett rkt horisontellt spår B. Melln mssn och änden v spåret går en spirlfjäder, v försumbr mss, med fjäderkonstnt k. Som figuren visr är mssns jämviktsläge bortom spårets mittpunkt från sett. Spåret är montert så tt det kn roters kring en vertikl el genom spårets mittpunkt. ) Beräkn vinkelfrekvensen Ω för mssns svängning kring jämviktsläget när spåret ej roterr. ntg tt spåret roterr med den konstnt vinkelhstigheten ω. Beräkn: b) mssns ny jämviktsläge uttryckt i Ω. c) ny frekvensen ν för små svängningr uttryckt i Ω. 2m km km r l m Problem 24 En horisontell, rektngulär pltt ligger på två likdn cirkulär cylindrr, vilk är friktionsfritt vridbr kring sin fi lr. Plttn kn rull på cylindrrn utn glidning och utn rullfriktion, vrvid desss lr ständigt är prllell med en kntlinje i plttn. Cylindrrn, som är homogen med rdie r, hr vrder mssn km. Plttns mss är 2m. I plttns mittpunkt är en mtemtisk pendel med mssn m och längden l upphängd. Uppställ de Lgrngesk rörelseekvtionern för systemets rörelse och integrer dem för små svängningr hos pendeln. I begynnelseögonblicket är systemet i vil, plttns mittpunkt mitt emelln cylindrrn ( = 0) och pendeln bildr vinkeln ϕ(0) = α med vertiklen. 14
15 3 Svr och nvisningr Svr 1 Noter tt vinkelhstighetsvektorn är prllell med konens kontktlinje med plnet. Kinetisk energin (eller rörelseenergin) är T = 3mω2 40 6h 2 + r 2 h 2 + r 2 r2. Svr 2 Noter tt kinetisk energin är den smm för ll riktningr på rottionslen genom msscentrum; kuben är en sfärisk snurr. Kinetisk energin är T = 1 12 m2 ω 2. Svr 3 Krftmomentets komponenter blir Svr 4 Tryckkrften blir M = ml2 12 Ω2 sin ωt cos ωt, M y = ml2 6 ωωcosωt, M z = 0. F = mg + mrω Svr 5 Hjulets vinkelhstighet blir ω 0. eln B får vinkelhstigheten 2ω 0 vertiklt nedåt. Tryckkrften mot underlget blir F =4mω0. 2 Svr 6 nvänd tt rörelsemängdsmomentets vertikl komponenet är bevrd. Mn får med hjälp v dett tt: ϕ(θ) = ω cos 2 θ. nvänder mn energins bevrnde och tt vändlägen i θ-rörelsen inträffr när θ =0får mn tt vändlägen ges v θ min =0och ( ) θ m = rcsin lω2 3g g lω 2 Svr 7 Dett är ett eempel på den tung precessernde symmetrisk snurrn. Resulttet bör bli ω = 2Lg [ ( ) L 2 R 2 Ω Ωcosα. R 2] Noter tt om ω 1såmåste Ω 1 och den ndr termen i uttrycket kn dåförsumms jämfört med den först. 15
16 Svr 8 Du behöver tröghetsmomenten för en tringel. Mn får tt vinkeln kn vr ntingen α = 0 eller ( ) 4g α = rccos. 3hΩ 2 Svr 9 Vinkeln blir ( ) RΩ 2 α = rctn. rωω g Svr 10 Perioden är T = π r g 4cot 2 α cos α sin α +2cotα cos α sin α. sin α Svr 11 ) Krftern på lgren blir N C,D = M 2 ( g ± 2π2 nn 2 l ). b) På en lgret blir då krften noll när gl n = 2π 2 N. 2 Med siffervärden fås då tt krften blir noll när n =2 vrv/minut. Svr 12 Tråden E blir spänd och spänningen ges v Svr 13 Tryckkrften mot skivn blir, S E = Jωω 0 L. N = mr3 ω 2 2R 2 och vinkelhstigheten måste uppfyll mg, ω 2 2gR2. r 3 Svr 14 Störst tillåtn vinkelhstighet blir Ω m = mg Jω. Svr 15 ) Bilen tenderr tt sväng åt vänster och momentet är M = Jvω ρ. b) Med givn dt fås momentet M = 600 Nm. 16
17 Svr 16 Vinkelhstigheten blir Svr 17 ) Vinkelhstigheten blir ω = 3 4 3g. ω = 2b ω. b) Stötimpulsen blir S z = mω 8. Svr 18 Vinkelhstighetsvektorn omedelbrt efter stöten är ω = v 29R (4 e 20 e y ). Tvångsstötimpulsen i ges v S = mv 29 e z. Svr 19 Mn får tt smbndet blir = mr (1 sin ϕ), 2M + m melln cylinderns läge och prtikelns vinkel. Svr 20 Prtikeln behåller kontkten med stången om ccelertionen nedåt är mindre än g, där den ligger. Noter tt mn endst behöver ccelertionern i först ögonblicket, dvs när ϕ = θ = ϕ = θ =0. Mnfår tt 2l/3 måste gäll om kontkten skll bibehålls. Svr 21 ) Rörelseekvtionern blir med Lgrnges metod ẍ l ϕ cos ϕ 1 2 l ϕ2 sin ϕ = 1 g cos ωt, 3 ẍ cos ϕ + 2 l ϕ = g sin ϕ. 3 b) Mn får, efter linerisering och lösning resulttet: ϕ = 2 [ ( ) cos 6g/l t 5 = l 3 l 5 ( cos )] g/l t, [ ( ) cos 6g/l t + 2 ( )] 3 cos g/l t. 17
18 Svr 22 Noter tt bidrget till kinetisk energin från ż kn försumms när jämviktsläget. Med teorin för kopplde svängningr fås ω1 2 = g 2c, ω2 2 = 2g 3c. Svr 23 ) Vinkelfrekvensen dåspåret ej roterr ges v Ω= k m. b) Vid rottion blir det ny jämviktsläget Ω 2 q 0 = Ω 2 ω. 2 c) För den ny vinkelfrekvensen Ω fås Ω 2 =Ω 2 ω 2.Frekvensenär då ν = Ω /2π. lltså är frekvensen för små svängnningr kring ny jämviktsläget ν = 1 Ω2 ω 2π 2. Svr 24 Pendelns utslgsvinkel ges v och plttns mittpunkt uppfyller ϕ = α cos ωt där = αl (1 cos ωt) 3+k ω 2 = 3+k 2+k g l. 18
Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,
KTH Meknik 2008 05 20 Meknik för I, SG09, Lösningr till probletenten, 2008 05 20 Uppgift : En bo ed ssn och längden är i sin en ände onterd i en kulled på en vertikl vägg. I den ndr änden A är fäst två
Läs merLösning, Analytisk mekanik, 5C1121, Tentamen,
Kungl Teknisk Högskoln 005 03 11 Institutionen för Meknik Lösning, Anlytisk eknik, 5C111, Tenten, 005 03 11 Räkneproble Uppgift 1: En etllring hr ss M och rdie R. En punkt på dess periferi är upphängd
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 9. Förklaring till dragkraftens storlek är: f
LEDNINGAR TILL PROBLE I KAPITEL 9 LP 9. N S S S Vi sk bestä stockens frt so funktion v tiden och frilägger den därför. Den påverks v tyngdkrften, norlkrften N, friktionskrften f st drgkrften S från otorn.
Läs merRätt svar (1p): u A. α β A B. u B. b) (max 3p) I början har endast puck A rörelseenergi: E AB,i = 1 2 m Av 2 A = 1 2 m Au 2 A
1 I ett experiment hängdes vikter med olik stor mss i en lätt fjäder. Vikten drogs neråt och perioden för den hrmonisk oscilltionen som då uppstod mättes. Frekvensen för oscilltorn f = 2π 1 k mv. Nednstående
Läs mera sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0
18 Trigonometri Övning 18.1 I tringeln är sidorn och lik lång. Tringelns störst vinkel är 10. eräkn förhållndet melln sidorn och. Svr med tre gällnde siffror. Mätning i figur godts ej. Tringeln är likbent.
Läs merORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR v Vektorer oh koordinter i D-rummet ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM LÄNGDEN AV EN VEKTOR AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER MITTPUNKT TYNGDPUNKT SFÄR OCH KLOT INLEDNING För tt bild
Läs mer1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1
UPPSALA UNIVERSITET Svr till tent i mtemtik Mtemtisk institutionen Anlys MN Distns Jons Elisson 7-- Skrivtid: - 5. Observer tt problemen inte står i svårighetsordning. All svr sk motivers. Det kn krävs
Läs merTillämpad Matematik I Övning 4
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 8 6 Tillämpd Mtemtik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm,
Läs merVektorer. Avsnitt 1. Ange lägesvektorerna för de två väteatomerna på formen: r = x ˆx + y ˆx
Avsnitt 1 Vektorer 1.1 Skissen nedn visr molekylgeometrin för H 2 O, där syretomen befinner sig i origo och vätetomern lägger symmetriskt kring x-xeln. Bindningslängden är = 96 pm och bindningsvinkeln
Läs merTentamen i Mekanik D, TKYY , kl 14:00-19:00
Tenten i Meknik D, TKYY06 003-1-18, kl 14:00-19:00 Tenten är på 5 tir och består v 6 uppgifter v teoretisk och prktisk ntur. Vrje helt korrekt löst uppgift vrder 4 poäng, betyg ges endligt skl: 10-14 poäng
Läs merORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR 1 v 1 Ortonormerde bser oh koordinter i 3D-rummet ORTONORMERADE BASER I PLAN D OCH RUMMET 3D ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM Vi säger tt en bs i rummet e r, e r, e r z e r,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervribelnlys Tentmen 8 juni 11, 8. - 13. Svr och lösningsförslg Del A (1 estäm en ekvtion för tngentplnet till ytn z + y z 3 1 i punkten (, y, (1, 1,. (3p b Punkten (, y, z (1.1,.9, t ligger på
Läs merTATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning 1 Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 15 november 18 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer,
Läs merLösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp
Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merTillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter
, plan kinematik och kinetik 1. Konstruktionen i figuren används för att överföra rotationsrörelse för stången till en rätlinjig rörelse för hjulet. a) Bestäm stångens vinkelhastighet ϕ& som funktion av
Läs mer13. Energimetoder. r R
13. Energimetoder 13.1 eräkn nedböjningen under lsten å kvrtscirkelbågen med krökningsrdien. Tg hänsyn till xil, skjuv och böjdeformtion. ågen hr ett mssivt cirkulärt tvärsnitt med rdien r «; mterilet
Läs mer1 Föreläsning IX, tillämpning av integral
Föreläsning IX, tillämpning v integrl. Volym v någr kroppr.. Skiv- oc sklmetodern, m.m. Vi kn tänk oss en limp (röd) som längsledes är genomorrd v eln,. Limpn skivs i n lik tjock skivor, lltså med tjocklek
Läs merLösningar till repetitionstentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till repetitionstentmen i EF för π3 oh F3 Lösning problem Från Poyntingvektorn (r, t = E(r, t H(r, t = A ẑ η 0 konstterr vi tt vågens utbredningsriktning ê är vilket leder till tt dess vågvektor
Läs merMA002X Bastermin - matematik VT16
MA00X Bstermin - mtemtik VT6 Något om trigonometri Mikel Hindgren februri 06 Cirkelns ekvtion Exempel Beräkn vståndet melln punktern (4, 6) och (, ). 7 6 5 4 d (, ) 4 = (4, 6) 6 = 4 4 5 6 Pythgors sts:
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs mer4 ARBETE OCH ENERGI. 4.1 Inledning. 4.3 Lagen fór kinetiska energin i en dimension. 4.2 Integration av rörelseekvationerna i en dimension
Arbete och energi 4 4 ARBETE OCH ENERGI 4. Inledning Från Newton s ndr lg kn mn härled ndr lgr, vilk lterntivt kn nvänds vid problemlösning. Dett leder till de ny begreppen rbete och energi. I mång fll
Läs merLösningar till tentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till tentmen i EF för π3 och F3 Tid och plts: 31 oktober, 14, kl. 14.19., lokl: Vic 3BC. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem 1 Vi beräknr potentilen från en stv och multiplicerr
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF1) och F3 (ETE55) Tid och plts: 7 jnuri, 215, kl. 8. 13., lokl: MA9, E F. Kursnsvrig lärre: Anders Krlsson, tel. 222 4 89. Tillåtn hjälpmedel:
Läs merTentamensskrivning i Mekanik - Dynamik, för M.
Mekanik, LTH Tentamensskrivning i Mekanik - Dynamik, för M. Fredagen den 20 decemer 2013, kl. 14-19 Namn(texta):. Personnr: ÅRSKURS M:... Skrivningen estår av 5 uppgifter. Kontrollera att alla uppgifterna
Läs mer1.1 Sfäriska koordinater
Föreläsning 3 Mång fysiklisk problem hr någon slgs symmetri. Mest vnligt förekommnde är sfärisk cylinisk. Det visr sig tt mn kn förenkl beräkningr betydligt om mn nvänder sfärisk /eller cylinisk koordinter..
Läs merTentamen ellära 92FY21 och 27
Tentmen ellär 92FY21 och 27 201-08-22 kl. 8 13 Svren nges på seprt ppper. Fullständig lösningr med ll steg motiverde och eteckningr utstt sk redoviss för tt få full poäng. Poängen för en helt korrekt löst
Läs merKompletterande formelsamling i hållfasthetslära
Kompletternde formelsmling i hållfsthetslär Görn Wihlorg LTH 004 Spänningstillståndet i ett pln, vinkelätt mot en huvudspänningsriktning ϕ cos ϕ+ sin ϕ + sinϕcosϕ ϕ sinϕ+ cos ϕ Huvudspänningr och huvudspänningsriktningr
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs merHF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER
DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER Den trigonometrisk enhetscirkeln är en cirkel med rdie = och mittpunkt i origo B(0,) C(,0) O D(0,) I en rätvinklig tringel definierr vi
Läs merTentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 29 augusti, 2008, kl
Tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 9 ugusti, 8, kl. 14. 19., lokl: MA9A Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson, tel. 45 6 & Anders Krlsson tel.
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merLösningar till tentamen i EF för π3 och F3
Lösningr till tentmen i EF för π och F Tid och plts: 7 jnuri, 4, kl. 8.., lokl: MA9, EF. Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson. Lösning problem Den totlt upplgrde elektrosttisk energin ges v W = i,j= i
Läs merTentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik
Tentmen i Meni I del Stti och prtieldynmi TMME7 03-08-7, l 4.00-9.00 Tentmensod: TEN Tentsl: TERE, TER Exmintor: Peter Schmidt Tentjour: Peter Schmidt, Tel. 8 7 43, (Besöer slrn c 5.00 och 7.30) Kursdministrtör:
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merMatematiska uppgifter
Element Årgång 59, 976 Årgång 59, 976 Först häftet 3020. Lös på enklste sätt ekvtionssystemet (Svr: x = v = 2 och y = u = 2) x + 7y + 3v + 5u = 6 8x + 4y + 6v + 2u = 6 2x + 6y + 4v + 8u = 6 5x + 3y + 7v
Läs merFysiktävlingen Lösningsförslag. Uppgift 1. Vi får anta att kinetisk energi övergår i lägesenergi, och att tyngdpunkten lyftes 6,5 m.
SVESK FYSIKESMFUDET Fysiktälingen 006. Lösningsörslg. Uppgit. Vi år nt tt kinetisk energi öergår i lägesenergi, och tt tyngdpunkten lytes 6,5 m. m mgh gh t s gh 00 9,8 6,5 8,85 8,9 s Stöten stången mot
Läs merVolum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3
Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Adms 7., 7., 7.3 Volum v rottionskroppr. Båglängd, rottionsytor. Integrtion v rtionell uttryck, prtilbråksuppdelning. Exempel med invers substitutioner.
Läs merSkriftlig tentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055)
Skriftlig tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π3 (ETEF01) och F3 (ETE055) Ti och plts: 3 jnuri, 017, kl. 14.00 19.00, lokl: Sprt B för F och E3139 för Pi. Kursnsvrig lärre: Aners Krlsson, tel. 40 89.
Läs merTentamen för FYSIK (TFYA68), samt ELEKTROMAGNETISM (TFYA48, 9FY321)
Tentmen för FYK (TFYA68), smt LKTROMAGNTM (TFYA48, 9FY321) 2012-08-16 kl. 8.00-13.00 Tillåtn hjälpmedel: Physics Hndbook (Nordling, Östermn), miniräknre, smt formelsmling som bifogs denn tentmen men består
Läs mer9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar
9.1 Kinetik Rotation kring fix axel Ledningar 9.5 Frilägg hjulet och armen var för sig. Normalkraften kan beräknas med hjälp av jämvikt för armen. 9.6 Frilägg armen, och beräkna normalkraften. a) N µn
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En cirkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given
Läs mer10. Tillämpningar av integraler
90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v 6 Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merTATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym
TATA4: Föreläsning Kurvlängd, re och volm John Thim 4 mrs 8 Kurvlängd Vi börjr med tt betrkt situtionen då en kurv i plnet ges på prmeterform: ((t), (t)). Dett innebär tt både - och -koordintern simultnt
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4
LEDNINAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4 LP 4.3 Tyngdkraften, normalkraften och friktionskraften verkar på lådan. Antag att normalkraftens angreppspunkt är på avståndet x från lådans nedre vänstra hörn. Kraftekvationen
Läs merTFYA16: Tenta Svar och anvisningar
150821 TFYA16 1 TFYA16: Tenta 150821 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Sträckan fås genom integration: x = 1 0 sin π 2 t dt m = 2 π [ cos π 2 t ] 1 0 m = 2 π m = 0,64 m Svar: 0,64 m b) Vi antar att loket
Läs merSLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING
SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,
Läs merLÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4. Masscentrums x-koordinat för den sammansatta kroppen är allmänt. 1 g1 2 g2 3 g3 4 g4.
ÖSNINA TI POBEM I KAPITE P. z åt kroppens totl ss vr, så tt vrje rk stång hr ssn och längden. O Msscentru för en rk hoogen stång ligger självklrt i itten. Msscentrus -koordint för den snstt kroppen är
Läs merTentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik- och partikeldynamik Lösningsförslag
entmensskrivnin i Meknik (FME3) Del 1 ttik- och prtikeldynmik 1518 Lösninsförsl 1. ) Frilä rmverket! Inför spännkrftern G och i linorn, rektionskrften R från väen på stånen i punkten och tyndkrften m =
Läs merTentamen för FYSIK (TFYA68), samt ELEKTROMAGNETISM (TFYA48, 9FY321)
Tentmen för FYK (TFYA68), smt LKTROMAGNTM (TFYA48, 9FY321) 2013-01-09 kl. 14.00-19.00 Tillåtn hjälpmedel: Physics Hndbook (Nordling, Östermn), miniräknre, smt formelsmling som bifogs denn tentmen men består
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merTavelpresentation grupp 5E
Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri 2017 1 Multipelintegrler Frmställningen för definitionen
Läs merTentamen i Mekanik II
Institutionen för fysik och astronomi F1Q1W2 Tentamen i Mekanik II 30 maj 2016 Hjälpmedel: Mathematics Handbook, Physics Handbook och miniräknare. Maximalt 5 poäng per uppgift. För betyg 3 krävs godkänd
Läs merTentamen i mekanik TFYA16
EKNISK HÖGSKOLN I LINKÖPING Institutionen för Fysik, Kei och ioloi Gli Pozin enten i eknik FY6 illåtn Hjälpedel: Physics Hndbook eller efy utn en nteckninr, vprorerd räknedos enlit IFM:s reler. Forelslinen
Läs merLösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel
Lösningsförslg till deltentmen i IM601 Fst tillståndets fysik Gitter och bs i dimensioner Fredgen den 18 mrs, 011 Teoridel 1. ) Den primitiv enhetscellen är den minst enhetscell som ger trnsltionssymmetri
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merFöreläsning 7: Trigonometri
ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi
Läs merTentamen i Elektromagnetisk fältteori för π3 och Modellering och simulering inom fältteori för F3, 17 december, 2007, kl. 8 13, lokal: Gasque
Tentmen i Elektromgnetisk fältteori för π och Modellering och simulering inom fältteori för F, 17 decemer, 2007, kl. 8 1, lokl: Gsque Kursnsvrig lärre: Gerhrd Kristensson, tel. 222 45 62 & Anders Krlsson
Läs merKomplexa tal. j 2 = 1
Komplex tl De komplex tlen nvänds när mn behndlr växelström inom elektroniken. Imginär enheten beteckns i elektroniken med j (i, som nvänds i mtemtiken, är ju upptget v strömmen). Den definiers v j = 1
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 3/6 2017
Tentmen i ETE115 Ellär och elektronik, 3/6 17 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. 1 8 V
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs merTENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00
Kursnummer: Moment: Progrm: Rättnde lärre: TENTAMEN HF00 Mtemtik för bsår I TENA / TEN Tekniskt bsår Mssimilino Colrieti-Tosti, Nicls Hjelm & Philip Köck Nicls Hjelm 0-0-6 08:00-:00 Emintor: Dtum: Tid:
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 10/1 2015
Tentmen i ETE Ellär och elektronik, 0/ 20 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Observer tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. g 2 v in
Läs merUttryck höjden mot c påtvåolikasätt:
Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:
Läs merRäkneövning 1 atomstruktur
Räkneövning 1 tomstruktur 1. Atomerns lägen i grfen (ett mteril som består v endst ett end tomlger v koltomer och vrs upptäckt gv Nobelpriset i fysik, 010) ligger i de gitterpunkter som viss i figuren
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Mtemtisk Institutionen Jokim Arnlind Tentmen i Anlys B för KB/TB (TATA9/TEN 5-6- kl 8 3 Ing hjälpmedel är tillåtn. Vrje uppgift kn ge mximlt 3 poäng. Betygsgränser: 8p för etyg 3,
Läs merMATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR
MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 905 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningr v svrens innehåll och poängsättningr som ges här är inte bindnde för studentexmensnämndens bedömning Censorern beslutr om de kriterier
Läs merKan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Läs merLEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 3 (1-48)
LEDIGR TILL ROLEM I KITEL 3-48) L 3. α Mg ntg tt den hög lådns mss ä M. Filägg åd lådon! Filäggningsfiguen, som skll innehåll pktiskt tget ll infomtion som ehövs fö tt lös polemet, viss hä. Kontktkften
Läs merLösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2)
Lösningar till dugga för kursen Mekanik II, FA02, GyLärFys, KandFys, F, Q, W, ES Tekn-Nat Fak, Uppsala Universitet Tid: 7 april 2009, kl 4.00 7.00. Plats: Skrivsalen, Polacksbacken, Uppsala. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merFFM234, Klassisk fysik och vektorfält - Föreläsningsanteckningar
FFM234, Klssisk fysik och vektorfält - Föreläsningsnteckningr Christin Forssén, Institutionen för fysik, Chlmers, Göteborg, verige ep 13, 218 4. Integrlstser Minnesregel för strukturen på ll integrlstser
Läs merKapitel extra Tröghetsmoment
et betecknas med I eller J används för att beskriva stela kroppars dynamik har samma roll i rotationsrörelser som massa har för translationsrörelser Innebär systemets tröghet när det gäller att ändra rotationshastigheten
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl
Tentmen i Mtemtik, HF9 tisdg 8 jnui, kl 8.. Hjälpmedel: ndst fomelbld miniäkne ä inte tillåten Fö godkänt kävs poäng v 4 möjlig poäng betgsskl ä,,c,d,,f,f. Den som uppnått 9 poäng få betget F och h ätt
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP00, Fysikprogrammet termin 2 Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Lödag 29 maj 200, kl 8 30 3 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merÖvningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt
Övningstenta 015 Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt tillsammans med begynnelsevillkoret v(0) = 0. Vi får: v(t) = 0,5t dt = 1 6 t3 + C och vi bestämmer
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merTentamen för FYSIK (TFYA68), samt ELEKTROMAGNETISM (TFYA48, 9FY321)
Tentmen för FYK (TFYA68), smt LKTOMAGNTM (TFYA48, 9FY321) 2012-05-30 kl. 14.00-19.00 Tillåtn hjälpmedel: Physics Hndbook (Nordling, Östermn), miniräknre, smt formelsmling som bifogs denn tentmen men består
Läs merInlupp 3 utgörs av i Bedford-Fowler med obetydligt ändrade data. B
Inlupp Sommarkurs 20 Mekanik II En trissa (ett svänghjul) har radie R 0.6 m och är upphängd i en horisontell friktionsfri axel genom masscentrum.. Ett snöre lindas på trissans utsida och en konstant kraft
Läs merAnvändande av formler för balk på elastiskt underlag
Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller
Läs merGÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin 2
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MEKANIK B För FYP100, Fysikprogrammet termin Tid: Plats: Ansvarig: Hjälpmedel: Tisdag juni 009, kl 8 30 13 30 V-huset Lennart Sjögren,
Läs merGeometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?
Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde
Läs mer24 Integraler av masstyp
Nr, mj -5, Ameli Integrler v msstyp Kurvintegrler v msstyp Vi hr hittills studert en typ v kurvintegrl, R F dr, där vi integrerr den komponent v ett vektorfält F som är tngentiell till kurvn ( dr) i punkter
Läs merKursinformation Mekanik f.k. TMMI39
Kursinformation Mekanik f.k. TMMI39 Uppdaterad 202--26 Linköpings universitet tekniska högskolan IEI/mekanik Joakim Holmberg Omfång 30 h föreläsningar och 24 h lektioner i period HT2, hösten 202. Kursansvarig,
Läs merTentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik och partikeldynamik
Mekanik, LTH Tentamensskrivning i Mekanik (FMEA30) Del 1 Statik och partikeldynamik Fredagen den 25 oktober 2013, kl. 14-19 Namn(texta):. Personnr: ÅRSKURS M:... Namn(signatur).. Skrivningen består av
Läs merNågra integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1
F r å g L u n d o m m t e m t i k Mtemtikcentrum Mtemtik NF Någr integrler Kjell Elfström Invers funktioner Om f är en funktion, och ekvtionen f() = till vrje V f hr en entdigt bestämd lösning D f, så
Läs merLösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520)
Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520) Tid och plats: Tisdagen den juni 2014 klockan 08.0-12.0 i M-huset. Lösningsskiss: Christian Forssén Obligatorisk del 1. Ren summering över de fyra
Läs merMA2003 Tillämpad Matematik I, 7.5hp,
MA Tillämpd Mtemtik I,.hp, 9-8- Hjälpmedel: Penn, rdergummi och rk linjl. Vrken räknedos eller formelsmling är tillåtet! Tentmen består v frågor! Endst vrsblnketten sk lämns in! Inget tentmensomslg! vrslterntiv
Läs merLÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 5
LÖIGR TILL ROLEM I KITEL 5 L 5. Frilägg kurvbågen rån den vertikl stången! α Vi börjr med tt i iguren sätt ut tyngdkrten, som nts vr. Mssentrums vstånd rån stången r/π, där r är rdien, nts här vr känt.
Läs merx 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46
Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl
Läs merAnalys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53
Anlys o 3D Linjär lgebr Lektion 16. p.1/53 . p.2/53 v 3D Linjär lgebr Hr betrktt vektorer v typen etc resp dvs ordnde triplr v typen. reell tl 3D Linjär lgebr Punkt-vektor dulismen En ordnd tripel v typen
Läs merTyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler
Läs merPreliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer
Lösningsförslg Högskoln i Skövde SK, JS) Preliminär version juni 0, reservtion för fel. Tentmen i mtemtik Kurs: MA5G Mtemtisk Anlys MAG Mtemtisk nlys för ingenjörer Tentmensdg: 0-05- kl.0-9.0 Hjälpmedel
Läs merTentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för F1 och Q1 (1FA514)
Uppsl universitet Institutionen för fysik och stronomi Gbriell Andersson Skrivtid: 5 tim Tentmen i ELEKTROMAGNETISM I, 2013-05-31 för F1 och Q1 (1FA514) Kn även skrivs v studenter på ndr progrm där 1FA514
Läs merGör slag i saken! Frank Bach
Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn
Läs mer2.2 Tvådimensionella jämviktsproblem Ledningar
2.2 Tvådimensionella jämviktsproblem Ledningar 2.2 Sfären påverkas av tre krafter. Enligt resonemanget om trekraftsystem i kapitel 2.2(a) måste krafternas verkningslinjer då skära varandra i en punkt,
Läs merTentamen i Hållfasthetslära gkmpt, gkbd, gkbi, gkipi (4C1010, 4C1020, 4C1035, 4C1012) den 4 juni 2007
Tentmen i Hållfsthetslär gkmpt, gkbd, gkbi, gkipi (4C1010, 4C1020, 4C105, 4C1012) den 4 juni 2007 Resultt finns tillgänglig på Min Sidor senst den 19 juni 2007 kl. 1. Klgomål på rättningen skll vr frmförd
Läs mer