LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 5

Transkript

1 LÖIGR TILL ROLEM I KITEL 5 L 5. Frilägg kurvbågen rån den vertikl stången! α Vi börjr med tt i iguren sätt ut tyngdkrten, som nts vr. Mssentrums vstånd rån stången r/π, där r är rdien, nts här vr känt. Vi hr lltså inört två storheter r oh m, som inte är givn. r/π Inör kontktkrtern! Vid inns ingen riktionskrt. C α Jämvikt ordrr tt krtsystemet på kurvbågen bildr ett nollsystem, dvs tt krtsummn är nollvektorn oh krtmomentet med vseende på någon punkt är nollvektorn: : () : () : r r π (3) Ekv () oh (3) ger = = π Friktionsvillkoret är µ (6) Insättning ger µ µ π π vret är dimensionsriktigt etersom riktionstlet, som är ett örhållnde melln två krter, hr dimensionen (är dimensionslöst). Är riktionstlet µ orimligt stort? Även om µ i de lest ll ör någorlund slät ytor otst är mindre än, inns det ingen gräns ör hur stort det kn vr. roblemet är ju okså så ormulert tt svret ger vilket riktionstl som krävs, oberoende v om det inns så stor riktionstl eller inte. lterntiv lösning: Kurvbågen är en trekrtskropp. Krtsystemet måste vr ett strålkrtsystem. Verkningslinjen ör kontktkrten i måste lltså gå r genom punkten C (se igur!): ( tnα = ) = = π r/ π

2 L 5. Frilägg kuben rån den vertikl gltt väggen oh det sträv golvet! d G C 30 α Vi börjr med tt i iguren sätt ut tyngdkrten, som nts vr. Kubens kntlängd nts vr d. Vi hr lltså inört två storheter d oh m, som inte är givn i texten. Inör kontktkrtern! Vid inns ingen riktionskrt. Jämvikt ordrr tt krtsystemet på kuben bildr ett nollsystem, dvs både krtsummn oh krtmomentet med vseende på någon punkt är noll. Vi betrktr gränsllet mot glidning då lutningsvinkeln är 30. Vinkeln melln linjen G oh horisontlplnet är då Jämvikt ör den rilgd kuben ordrr: Ekv (3) oh () ger : () : () d : os 75 d (3) = os 75 Ekv () ger = Friktionsvillkoret är µ (6) Vid gränsllet mot glidning ås os 75 =µ µ = os75 Kommentr: vret är dimensionsriktigt. En trigonometrisk unktion hr dimensionen ett. vrets närmevärde är µ 036. oh verkr errenhetsmässigt rimligt? lterntiv lösning: Kuben är en trekrtskropp. Krtsystemet måste vr ett strålkrtsystem. Verkningslinjen ör kontktkrten i måste lltså gå genom d os75 punkten C (se igur!): ( tnα = ) = = os75 d

3 L 5.3 D G Frilägg kbelrullen rån underlget oh kbeln! Inör motsvrnde krter, oh. Jämvikt ordrr tt krtsystemet på kbelrullen bildr ett nollsystem, dvs både krtsummn oh krtmomentet med vseende på någon punkt är noll. Jämvikt ör den rilgd kbelrullen ordrr: : os + sin = 0 () : os + sin () G : r R (3) Ekv (3) ger R r Insättning i ekv () ger R + = r R + r os = r sin (6) Insättning i ekv () ger os sin R r + os + sin = (7) = r sin r + Ros (8) R + r os = r+ Ros R = sin r + Ros Friktionsvillkoret är µ (9) Vid gränsllet mot glidning ås lltså µ r sin R+ ros µ r+ Ros r+ Ros r sin R+ ros Det inns ndr sätt tt lös problemet. Tre momentekvtioner med vseende på, D oh skärningspunkten till krtern oh ger krtern utn tt ett ekvtionssystem behöver löss. Observer tt kontktkrtens verkningslinje måste gå genom. Det ger direkt riktionstlet!

4 L 5.4 m g Frilägg kropprn rån lin oh kontktytor! Inör motsvrnde krter, oh. Trissorn är lätt oh lättrörlig. Det betyder tt trådkrten är lik på båd sidor om vrje triss. Det öljer v momentekvtionen med vseende på entrumxeln ör vrje triss. Jämvikt ör kropp ordrr : 3 m g () m g = 3 Jämvikt ör kropp ordrr : () : mg (3) = oh = m g 3 Friktionsvillkoret är µ Vid gränsllet mot glidning ås lltså mg 3 µ µ m 3m

5 L 5.5 Frilägg lådn rån rep oh kontktyt! Inör motsvrnde krter, oh. Frgile Jämvikt ör lådn ordrr : os + () : sin + () Vid glidning är riktionskrten ullt utbildd (mximl) = µ (3) ätt in dett i ekv (). För tt bestämm krten eliminerr vi sedn genom tt multiplier ekv () med µ oh dr den rån ekv (): os + µ µ sin + µ µ µ sin + os µ = µ µ sin + os

6 L 5.6 Frilägg hållren rån kontktytorn! Inör motsvrnde krter, oh. Hållren nts vr lätt jämört med tyngden. b d C Jämvikt ör hållren ordrr : () : () : d ( b + ) (3) Dett betyder tt = b = + d Friktionsvillkoret är µ (6) Vid gränsllet mot glidning ås lltså b+ d µ µ b+ d Kommentr: Hållren är en trekrtskropp. Kontktkrten i måste h en verkningslinje som går genom C. Det ger en geometrisk lösning ör gränsllet mot glidning: µ = b = = + tn d

7 L 5.7 α y l Mg x O Frilägg både trktorn oh stången! Jämvikt ordrr tt resultnten till hel krtsystemet på vrje kropp med vseende på vilken punkt som helst är nollvektorn: F ; M () Dett problem är plnt oh då kn villkoret ör vrje kropp skrivs: Fx Fy Mz Del upp krten i en horisontell oh en vertikl komponent. tången O : sinα los osα lsin + l os (3) os = sin α Den drgkrten måste trktorn klr v tt ge. Trktorn : osα Den mximl riktionskrten är : Mg+ sinα (6) () = µ (7) Ekv(6) ger = Mg sinα (8) Ekv ger = osα (9) Om resulttet sätts in år vi ossinα = Mg sin α = ososα sin α Insättning i (7) ger µ = = ososα sin α Mg ossinα mososα µ = Msin( α) mossinα

8 L 5.8 Trktorn hr konstnt hstighet så tt den beinner sig i jämvikt. Vi rilägger den örst rån underlget oh inör motsvrnde kontktkrter. h G F b Friktionskrten vid rmhjulen är noll. Hjulet rullr ju ritt oh krtmomentet med vseende på ett rmhjuls xel skulle nnrs inte vr noll. Friktionskrten vid bkhjulen är inte noll. Krtmomentet med vseende på ett bkhjuls blir noll etersom det okså inns ett drivnde krtprsmoment vid xeln. Jämvikt ordrr tt resultnten till hel krtsystemet på trktorn med vseende på vilken punkt som helst är nollvektorn: F ; M () Dett problem är plnt oh då kn villkoret ör kroppen skrivs: Fx Fy Mz () Insättning ger : (3) : + : ( b+ ) b+ h= 0 b h Ekv ger = b+ k Ekvtion ger normlkrten på bkhjulen = + h b+ 9 k Men vrör är riktionstlet givet? Jo, mn kn kontroller tt riktionskrten verkligen kn mth krten. Den mximl riktionskrten är = µ 0 k så tt trktorn klrr verkligen tt dr lsten.

9 L 5. ω C O r b ntg tt ylindern roterr medurs. Observer tt riktionskrten som krävs är. Den är lltså given oh år ingå i svret. Frilägg rmen! Jämvikt ordrr tt resultnten till hel krtsystemet på rmen med vseende på vilken punkt som helst är nollvektorn: F ; M () Dett problem är plnt oh då kn villkoret ör kroppen skrivs: Fx Fy Mz () I O inns en rektionskrt som ej eterrågs. Egentligen söker vi br en end krt, drgkrten. End sättet tt eliminer krten i O rån räkningrn är tt ställ upp momentekvtionen med vseende på en xel genom denn punkt: rmen O O : b ( r ) ( ) (3) Vi utnyttjr nu okså tt riktionskrten är ullt utbildd vid glidning eller etersom krten är känd, = /µ. Insättning ger b r µ ( )= = µ, = b µ r µ Men ylinderns rottionsriktning är inte känd. Om den roterr moturs skulle riktionskrten h motstt riktning. Teknet rmör mittentermen r ekv(3) skulle då vr plus. Ett ullständigt svr är i = b± µ r µ plusteken gäller moturs rottion

10 L 5. b Frilägg vinkelrmen oh lådn oh inör motsvrnde kontktkrter! Jämvikt ordrr tt resultnten till hel krtsystemet på vrje kropp med vseende på vilken punkt som helst är nollvektorn: F F ; M () Dett problem är plnt oh då kn villkoret ör vrje kropp skrivs: Fx Fy Mz () För rmen ställer vi br upp momentekvtionen med vseende på, etersom den ointressnt rektionskrten i kommer tt ingå i ll ndr jämviktsekvtioner. rmen : ( b+ ) F b= 0 (3) Lådn : os = 0 : + sin = 0 Friktionsvillkoren är µ oh µ. Vid gränsllet mot glidning gäller = µ oh = µ (6) Insättning i ekv ger µ + µ sin = (7) 0 Multiplier ekv med µ! µ + µ + µ os = (8) 0 dder ekv (7) oh (8)! Resulttet är µ sin + µ os sin µ os = µ = = sin µ os µ Insättning i ekv (3) ger F = b b + sin µ os sin µ os F = b + b b µ b F = ( b + b µ )( µ os sin ) µ

11 L 5.5 Frilägg skivn rån triss oh underlg! 3 C 5 kivns tyngd är. Vid kontktytn mot den lättrörlig trissn inns br en normlkrt. Vid verkr både kontktkrten oh drgkrten. Vi utgår rån tt denn drgkrt är riktd åt höger. Jämvikt ör den rilgd skivn ordrr: : + sin () : + os () : 5 os 8 (3) Ekv (3) ger normlkrten 5 = os 8 Ekv () ger då normlkrten = os 8 Ekv () ger då riktionskrten = + sin os 8 (6) Vid gränsllet mot glidning är riktionskrten mximl, dvs = = µ = µ 5 os mx 8 (7) Vid jämvikt måste denn riktionskrt vr den som ges v ekv (6). Det ger ekvtionen 5 + = 5 sin os µ os (8) 8 8 = µ 5 5 os sin os 8 8 Kommentr: Vi hr här utgått rån tt det verkligen krävs en krt åt höger ör tt skivn sk börj rör sig. Det betyder tt vi örutsätter tt riktionstlet µ är tillräkligt stort. Det minst riktionstl ör vilket lösningen gäller är det värde som ger i svret. Om riktionstlet är mindre krävs ju en yttre krt åt vänster ör tt skivn sk vr i jämvikt. Öks denn krt åt vänster så störs jämvikten vid ett nnt värde på den yttre krten.

12 L 5.9 O R C Frilägg kloten! De två tyngdkrtern blnsers vid jämvikt v de tre kontktkrtern. Vid kontktstället C melln de båd kloten utnyttjs ewtons tredje lg, lgen om verkn oh motverkn. ntlet obeknt krter är sex, dvs lik mång som ntlet jämviktsekvtioner som kn ställs upp. Dessutom söker vi det speiell riktionstl som gör tt jämvikten störs v tt glidning inträr. Denn obeknt storhet ges v riktionsvillkoret. Vi gör här ör övningens skull en lösning med enbrt momentekvtioner. Jämvikt ör det rilgd systemet ordrr: Undre klotet: : R R () Övre klotet: : 3 R R () Dess ekvtioner ger tt riktionskrtern är lik stor oh vi kn därör släpp index i den öljnde lösningen: = = 3 (3) Hel systemet O : 3R + 3 3R R 3 = 3 6 Undre klotet: C : R 3 3R ( ) + (6) Övre klotet: O : ( + ) R R (7) Övre klotet: C : ( + ) R 3 3R (8) 3 Ekv (6) oh ger = Ekv (7) oh (8), som ser likdn ut ger = 3 = Friktionsvillkoret är µ. Vid jämvikt måste villkoret gäll vid ll kontktställen. Etersom riktionskrtern är lik stor här störs jämvikten lättst där normlkrten är minst:

13 L 5.0 d b Frilägg den rörlig delen v tvingen! Den påverks örst v en lik stor krt som okså pressr ihop det som skll limms. Krten vill vrid den rilgd kroppen så tt kontkt med den ndr ix delen i örst hnd uppträder i oh. Inör kontktkrtern i dess punkter enligt iguren! Jämvikt ör den rilgd delen ordrr: : + () : () : d + b (3) Ekv () visr tt normlkrtern oh är lik: = Vid ullt utbildd riktion måste riktionskrtern lltså okså vr lik stor: = µ = µ = = µ Om dett inöres i () oh (3) ås = d + b d + b Friktionsvillkoren är µ oh µ. µ µ d + b µ ( d+ b) d b µ

14 L 5.3 G h Jämvikt ordrr tt resultnten till hel krtsystemet på kroppen med vseende på vilken punkt som helst är nollvektorn: F ; M () Dett problem är plnt oh då kn villkoret skrivs: b Fx Fy Mz () Om hel ekipget riläggs rån underlget oh motsvrnde kontktkrter inörs i iguren år vi ekvtionssystemet : sin (3) : + os = 0 ormlkrtern oh riktionskrten ås enkelt: : + sin h os b = 0 = sin (6) = bos hsin (7) b h = os + sin (8) Friktionsvillkoret är µ (9) Vid gränsllet mot glidning ås lltså sin = µ b h os + sin tn = µ tn + b h µ b µ h tn µ( b) tn = µ h = Om b ökr minskr.

15 L 5.6 Jämvikt ordrr tt resultnten till hel krtsystemet på kroppen med vseende på vilken punkt som helst är nollvektorn: G α R F ; M () Dett problem är plnt oh då kn villkoret skrivs: Fx Fy Mz () Om kroppen riläggs rån underlget oh motsvrnde kontktkrt inörs i iguren år vi ekvtionssystemet : (3) : : 4 R sin R ( + Rsin ) 3π Kontktkrtens komponenter ås lltså enkelt direkt ur (3) oh : = (6) = (7) Vridningsvinkeln bestäms ur : sin = 3π 4 3π (8) Dett är vridningsvinkeln om riktionskrten klrr tt blnser. Friktionsvillkoret är µ (9) Vid gränsllet mot glidning ås lltså = µ 3πµ sin = 4 3πµ Kommentr: Resulttet ås direkt om mn inser tt ylindern är en trekrtskropp. Kontktkrtens verkningslinje måste lltså gå genom. Geometrin ger då 3πµ µ = tnα = 4 3πµ