Tavelpresentation grupp 5E

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Tavelpresentation grupp 5E"

Jan Ström
för 5 år sedan
Visningar:

1 Tvelpresenttion grupp 5E Elis Elmquist, Mtild Hnes, Isk Pettersson, Juli Wennerblom, John Jxing, Boel Brndström, Edvin Cllisen, Cjs Hjolmn 19 februri Multipelintegrler Frmställningen för definitionen v integrler i högre dimensioner är helt nlog med definitionen i två dimensioner. Utgångspunkten i två vribler är trppfunktioner, vilket utvidgs till en funktion med definierde rätblock vrs knter är prllell med koordintxlrn. ärefter utförs Riemnn-integrtion genom tt volymen v ll dess infinitesimlt-små rätblock vägs mot sitt funktionsvärde och läggs smmn. För tt dett sk gå krävs i tre dimensioner tt området vi integrerr över är begränst v en kvdrerbr yt. ett innebär tt vi för en godtyckligt litet ε kn inneslut vår yt med rätblock v smmnlgd volym mindre än ε. Multipelintegrler v ordning tre och högre hr till skillnd från ndr ingen llmän geometrisk tolkning. Specilfllet dxdydz (1) är däremot enligt definition volymen hos kroppen. Vi kn också tänk oss en funktion ρ(x, y, z) som ger värden för densiteten hos en viss kropp E vid en viss punkt. Integrlen ρ(x, y, z)dxdydz (2) E betecknr då mssn för kroppen E. Tillväggångssättet för tt beräkn en trippel eller multippelintegrl är i det llmänn fllet itererd integrtion. Vrje dimension behndls en och en i godtycklig ordning. Antg tt mn vill beräkn volymen melln två funktionsytor f(x, y) z g(x, y). (3) å hr mn två lterntiv på tillväggångssätt; I = (g(x, y) f(x, y))dxdy (4) 1

2 och I = E dxdydz. (5) Ekvtion (4) kn tolks som volymen melln två funktionsytor, medn ekvtion (5) kn tolks som volymen v en kropp. enn kropp vgränss nturligtvis v funktionern f(x, y) och g(x, y). Oft blir dess smm integrl efter först integrtionen på grund v gränsern i (5), och vl v metod är en smksk. Fördelen med ekvtion (5) är tt mn kn gör ett tredimensionellt vribelbyte vid behov. Är dett inte nödvändigt eller eftersökt blir resulttet v ekvtion (4) och (5) smm enligt nedn. g(x,y) dxdydz = f(x,y) 1.1 Vribelbyten i multipelintegrler (g(x, y) f(x, y))dxdy. (6) Precis som i två dimensioner är det möjligt tt vribelsubstituer i multipelintegrler. Formeln för dett ges v f(x)dx = f(g(y) J (y) dy (7) A där J(y) är determinnten v funktionlmtrisen för vribelbytet x = g(y). En nnn bild v J(y) är tt det är storleken på sklningen som kommer v vbildningen x = g(y). 2 Meknisk tillämpningr 2.1 Tröghetsmoment Antg tt en kropp med densiteten ρ(x, y, z) roterr med vinkelhstigheten ω kring en xel l i rummet. Tg en punkt (x, y, z) på kroppen, då representerr vektorn (x, y, z) det vinkelrät vståndet melln punkten och xeln l. Punkten roterr med frten v = ω. Ett litet msselement dm = ρdxdydz v kroppen hr då enligt formeln 1 2 mv2 rörelseenergin 1 2 w2 2 ρdxdydz. Hel kroppens rörelseenergi ges då v 1 2 ω ρ 2 dxdydz (8) där ρ 2 dxdydz (9) klls kroppens tröghetsmoment och beteckns med J. Ifll en v koordintxlrn smmnfller med rottionsxeln kommer formlen för kropppens B 2

3 tröghetsmoment J bli reltivt simpel. Om kroppen exempelvis roterr kring z-xeln ges J v J = ρ(x, y, z)(x 2 + y 2 )dxdydz. (10) 2.2 Msscentrum efinitionen v en kropps msscentrum eller tyngdpunkt r är den punkt kring vilken kroppen är i momentjämvikt med vseende på vrje tänkt prllellverknde tyngdkrft. et krävs tre ekvtioner för tt bestämm r = ( x, ȳ, z). exempelvis ges x v x = xρdxdydz ρdxdydz (11) där är mssn för kroppen. ρdxdydz = m (12) 3

4 3 Prmetrisering v kurvor efinition: < b,,b R. Om vi då hr en vektorvärd C 1 -funktion r : [, b] R n (13) säger vi tt denn funktion är en prmetriserd C 1 -kurv i R n. ett kn visulisers m.h.. en prtikel som rör sig längs en bn i rummet under tiden t = till t = b. För vrje tid < t < b gäller tt r(t) = prtikelns läge r (t) = prtikelns hstighet r (t) = prtikelns frt r (t) = prtikelns ccelertion. Vidre kn vi beskriv denn kurvs längd, även klld båglängden, på följnde vis b r (t) dt. (14) Noter tt en kurv kn representers v fler olik prmeteriseringr som ll ger smm resultt vd gäller exempelvis båglängd. 3.1 Integrtion v sklärvärd funktion över kurvor Vi definierr funktionen r(t) som ovn i ekvtion (13) där < t < b, smt f(x) som en sklärvärd, integrerbr funktion v n vribler. Integrlen v f längs kurvn r(t) blir då som följer. b 4 Prmetrisering v ytor f(r(t)) r (t) dt (15) efinition: Låt < b och c < d, där, b, c, d R. Om vi då hr en vektorvärd C 1 -funktion r : [, b] [c, d] R n (16), klls denn funktion för en prmetriserd C 1 -yt. Tillämpningr kräver oft en mindre restriktiv definitionsmängd, men llmänt måste definitionsmängden vr kompkt och bågvis smmnhängnde (oftst räcker reguljär områden). Ett exempel på en nturlig prmetrisering, är prmetriseringen v enhetssfären med sfärisk koordinter. I dett fll får vi tt och tt r : [0, π] [0, 2π] R 3, (17) (θ, ϕ) (sin(θ)cos(ϕ), sin(θ)sin(ϕ), cos(θ)). (18) 4

5 4.1 Aren v en prmetriserd yt Vi hr tt för kurvor är r dt det infinitesiml längdelementet. För tt kunn beräkn ren v en yt med given prmetrisering, r(s, t), behöver vi hitt det infinitesiml reelementet, ds, v sgd prmetrisering. Vi vet tt i en viss punkt på ytn tillhör vektorern r r s och t båd tngentplnet, och därmed spänner upp tngentplnet. Tr vi sedn dess två vektorer gånger de infinitesiml längdern ds respektive dt, och tr kryssprodukten v r s ds och r t dt, kn vi tolk dett dels som en en vektor som är ortogonl mot tngentplnet, och storleken v denn vektor som en infinitesiml re som lltså är ds = r r ds s t dt = r s r t dsdt. (19) ett återfinns i en sts som säger följnde: låt vr ett begränst område i R 2, och r : R 3 en prmetriserd C 1 -yt. å gäller tt ytns re är ds = r s r t dsdt, (20) Y = r() är själv ytn. Y 5 urvintegrler (Arbetsintegrler) 5.1 Fysiklisk tolkning urvintegrler är svår tt tolk mtemtiskt. en vnligste tolkningen och nvändningen kommer i stället från fysiken, där mn tittr på rbete. ärför går vi först igenom denn tolkning innn vi går in på definitionen. Vi tänker oss en prtikel som färds längs en orienterd C 1 -kurv,. Prtikelns position, i reltion till origo, ges då utv r = r(t), där t är tiden från till b. För vrje t på intervllet kommer det också finns en funktion F som beror v r. Frågn kurvintergrlen då svrr på är: Vd är rbetet som F uträttr på prtikeln längs kurvn? För tt svr på frågn tänker vi oss en infinitesiml förflyttning längs. Arbetet från förflyttningen kommer då vr F dr. Som vi såg tidigre kn vi pproximer en infinitesiml förflyttning enligt följnde, dr = r (t)dt, vilket då ger tt F dr = F(r(t)) r (t)dt. Med dett kn vi då även integrer över kurvn vilket ger oss tt F dr = b F(r(t)) r (t)dt. (21) 5

6 5.2 efinition v kurvintegrler Låt n N, r : [, b] R n och F : R n R n, där r är en orienterd C 1 -kurv och F är ett C 1 -fält. å definiers kurvintegerlen v F längs kurvn enligt b F(r(t)) r (t)dt. (22) I två dimensioner, lltså n = 2, burkr även en ytterligre beteckning nvänds, P dx + Qdy. enn kommer från tt F sätts till och r sätts till F(r) = (P (r), Q(r)), r = r(t) = (x(t), y(t)), vilket ger tt ekvtion (22) kn skrivs som b F(r(t)) r (t)dt = 5.3 Mer om b (P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t))dt. (23) Vid beräkning v kurvintegrler ger olik prmetriseringr v kurvn fortfrnde smm svr. Att en funktion integrers längs kurvn, är det smm som tt integrer smm funktion över kurvn, med den end skillnden tt integrlen byter tecken på följnde sätt: Fdr = Fdr. Om en kurv är kontinuerlig och strtr och slutr i smm punkt klls sluten. Om kurvn dessutom inte korsr sig själv klls den även enkel. Jordns kurvsts säger tt om en kurv i R 2 är sluten och enkel kommer den tt del upp plnet i exkt två områden. Om en kurv är sluten och enkel i R 2, definiers sgd kurv som positivt orienterd om insidn till kurvn lltid ligger till vänster om kurvn när den följs. ett beteckns med en ring på intergrltecknet: F dr. (24) Om kurvn är en smmnsättning v fler kurvor, det vill säg är styckvis C 1, så skrivs som k = i, (25) i=1 6

7 och kurvintergrlen skrivs som F dr = k i=1 6 onservtiv fält och potentiler i F dr. (26) efinition: Låt vektorfältet F : R n R n. å klls F för ett konservtivt fält i det öppn området Ω om φ : F = φ, (27) där funktionen φ är en C 1 -funktion i Ω. å klls φ för en potentil till F. Noter: En potentil till ett vektorfält är motsvrigheten till det som klls en primitiv funktion i envribelsnlys. Sts: Låt F : R n R n vr ett konservtivt vektorfält med en potentil φ (enligt definitionen ovn) i domänen. För vrje kurv i gäller då tt F dr = φ(b) φ() (28) där, b är strt respektive slutpunkten för kurvn. Nu är den stor frågn: Hur vet mn om F är ett konservtivt fält? Först lterntivet är tt gå tillbk till definitionen och lltså försök hitt en funktion φ enligt (27). ett kn vr båd tidskrävnde och jobbigt och det finns bättre lterntiv. et ndr lterntivet är tt noter följnde: Om F(x, y) = (P, Q) är ett konservtivt vektorfält gäller följnde: 2 φ y x = 2 φ P = x y y = Q x. (29) et finns även viss terminologi kring denn likhet. Vi säger tt om F uppfyller likheten så är vektorfältet virvelfritt. Om vi går upp en dimension, finns det en motsvrnde likhet för virvelfrihet i R 3 vilket är tt F = 0. (30) Vilket då skll tolks som följnde kryssprodukt: ( x, y, ) (F x, F y, F z ) = 0. (31) z 7

Relevanta dokument

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3 Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i