Lösning. (1b) θ 2 = L R. Utgå nu från. α= d2 θ. dt 2 (2)

Transkript

1 Lösningar till dugga för kursen Mekanik II, FA02, GyLärFys, KandFys, F, Q, W, ES Tekn-Nat Fak, Uppsala Universitet Tid: 7 april 2009, kl Plats: Skrivsalen, Polacksbacken, Uppsala. Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Nordling-Österman: Physics Handbook Tre problem, maximum fyra poäng på varje. För godkänt krävs 7 poäng.. Ett svänghjul har en radie R=0.6 m och är upphängt i en horisontell friktionsfri axel genom masscentrum. En mycket tunn (men stark) lina lindas på svänghjulets utsida och en konstant kraft F= 40.0 N utövas på linan från t = 0 till t 2 = 2.00 s, under vilken tid L=5 meter av linan lindas upp. Svänghjulet startar från vila. a) Vad är svänghjulets vinkelaccelerationα? b) Vad är svänghjulets vinkelhastighetω 2 vid tiden t 2? c) Vad är svänghjulets slutliga rörelseenergi? d) Vad är svänghjulets tröghetsmoment I? Lösning R z F I detta fall vet vi mycket om kinematiken. Enkla överväganden (konstant kraft och konstant radie och allstå konstant vridmoment) ger att vinkelaccelerationenα z är konstant lika medα. Givna data är tillräckliga för att räkna ut vinkelaccelerationen på kinematisk väg. Den vinkel, som hjulet roterat är relaterad till upplindat snöre enligt Rθ 2 = L θ 2 = L R (a) (b) Utgå nu från α= d2 θ dt 2 (2)

2 Integrera en gång och utnyttja att (dθ/dt) t=0 = 0, så erhålls dθ dt =αt (3) Integrera en gång till och utnyttja att (θ) t=0 = 0, så erhålls θ= 2 αt2 (4) Uppgift a Vi kan nu bestämmaαgenom att vi vet att θ=θ 2 = L R för t=t 2 så att L R = 2 αt2 2 α= 2L Rt2 2 (5) (6a) (6b) vilket är svaret på uppgift a. Numeriskt:α= 2 5 m 0.6 m (2 s) 2 = 4.7 rad s 2 Uppgift b Enligt ovan är ω z = dθ dt =αt (7) med α= 2L Rt 2 2 (8) Vi söker i b-uppgiften vinkelhastigheten vid tiden t 2, som betecknasω z (t 2 )=ω 2 : ( ) dθ ω 2 = =αt 2 = 2L (9) dt t=t 2 Rt 2 vilket är den sökta storheten. Numeriskt:ω 2 = 2 5 m 0.6 m 2 s = 8.33 rad s Uppgift c Använd sambandet för rörelseenergi arbete. Det uträttade arbetet är i detta fall med konstant kraft F hela tiden i samma riktning sträckan L: W tot = FL T 2 T = W tot (0a) (0b) där i vårt fall T = 0 och W tot = FL ger svar till c-uppgiften: T 2 = FL. Numeriskt: T 2 = 40.0 N 5 m=200 J.

3 Uppgift d Eftersom kroppen utför en ren rotationsrörelse kring en fix axel genom C gäller att T 2 = 2 Iω2 2 () Uppgift c har givit oss ett uttryck för T 2 som inte innehåller någon obekant storhet och uttrycket () innehåller det sökta I. Därför fås T 2 = FL= 2 Iω2 2 (2) där enligt uppgift b varav ω 2 = 2L Rt 2 (3) I= 2FL ω 2 2 Detta ger svar till uppgift d: (4) I= FR2 t 2 2 2L Numeriskt I= 5.76 kg m 2 (5) En liten slutkommentar: Hur visar den tvivlande attα z =α är konstant? Jo, man använder energi arbete mellan θ = 0 och godtyckligt θ. Då har snöret lindats upp sträckan Rθ, d v s det uträttade arbetet är FRθ. Energi arbete: med ger eller T T = FRθ T = 0 (7) T= 2 Iω2 z 2 Iω2 z= FRθ 2 ω2 z= FRθ I Vi sökerα z = dω z /dt. Problemet är att vi kännerω z uttryckt i fel variabel,θ. Men detta har vi löst förr. Man byter variabel med kedjeregeln. α z = dω z = dω z dθ dt dθ dt =ω dω z z dθ = d ( ) dθ 2 ω2 z (2) (6) (8) (9) (20) Men 2 ω2 z= FRθ I ger attα z = FR/I=α (konstant). (22)

4 2. Barnboksfiguren Barbapappa (massa m) har en karakteristisk egenskap att mycket lätt kunna ändra sin form. Antag att Barbapappa vill ta sig nedför ett lutande plan (lutningsvinkel α) sträckanl på kortast möjliga tid. Vilken av följande strategier är bäst? a) Barbapappa förvandlar sig till ett massivt klot med radie R b) Barbapappa förvandlar sig till en cylinder med radie R och längd 4 3 R. Bestäm kvantitativt förhållandet mellan tiderna det tar för Barbapappa att rulla den givna sträckan i respektive fall. Barbapappa har på ett sätt sin motsvarighet i verkligheten: Det finns en ökenspindel, som kan rulla ihop sig och rulla nedför en sanddyn för att undfly en hotande fara. Lösning Välj x-axeln i det lutande planets riktning och välj tyngdkraftens potentiella energi lika med noll i startpunkten. Vid ideal rullning uträttar friktionen inget nettoarbete. Den enda kraft, som uträttar arbete är den konservativa tyngdkraften varav följer att den mekaniska energin bevaras. ( ) 2 2 m + dt 2 Iω2 mgx sinα=0 () Rullningsvillkoret är varav ω= R dt ( ) 2 ( + I ) dt mr 2 + 2gx sinα=0 (3) (2) eller + I x mr 2= 2g sinαdt (4) För ett klot gäller att + I mr 2= 7 5 (5) och för en cylinder + I mr 2= 3 2 (6) Härav följer att x 7 5 = 2g sinαdt för klot (7) x 3 2 = 2g sinαdt för cylinder (8)

5 Integrera över x från 0 tilll och över t från 0 till t klot respektive t cyl. Då erhålls l 0 l 0 x 7 5 = 2g sinαt klot (9) x 3 2 = 2g sinαt cyl (0) Ledvis division ger 4 5 = t klot t cyl () Vi ser att klotformen är något fömånligare (förhållandet är 0.966)

6 3. Fyra studenter på hemväg en tidig morgon passerade en lekplats och beslöt sig för att göra ett rotationsexperiment. De satte fart på den lilla karusellen och hoppade på upp på denna, så att alla fyra befann sig vid periferin när karusellen roterade ett varv på fyra sekunder. Därefter gick de alla samtidigt sakta in mot karusellens mitt, tills de kom så långt in de kunde komma. Deras respektive masscentrum var då 5 cm från karusellens centrum. Karusellen var vällagrad dvs den roterade friktionsfritt och den kan betraktas som en cylindrisk skiva med radie 2.0 m, tjocklek.0 dm, massa 600 kg. Studenternas massor var 65 kg, 70 kg, 80 kg resp 85 kg. De var så koncentrerade under försöket att de kan betraktas som punktformiga. a) Hur många varv per sekund roterade karusellen när studenterna var inne vid mitten av karusellen? b) Hur stor var den kinetiska energin för systemet karusell + studenter när de var inne vid mitten jämfört med energin när de stod på karusellkanten? ω Lösning Karusellen, med studenterna stående på dess periferi, roterar varv på 4 sekunder. Vinkelhastigheten är alltså ω = 2π 4 =π 2 rad s () Karusellen roterar friktionsfritt, d.v.s. inget yttre kraftmoment verkar på systemet karusell + studenter ". Alltså är systemets rörelsemöngdsmoment konstant. Innan studenterna går in till centrum, d.v.s. fortfarande står vid periferin (p), är rörelsemängdsmomentet H p = I p ω p (2) Låt karusellens massa vara M, dess radie R och dess tröghetsmoment m.a.p. centrum (momentpunkten) I k. Beteckna den i:te studentens massa med m i. Då kan tröghetsmomentet i detta läge skrivas I p = I k + m R 2 + m 2 R 2 + m 3 R 2 + m 4 R 2 = 2 MR2 + 4 i= m i R 2 (3)

7 Numeriskt ger detta I p = (2.0) (2.0) 2 = =2400 kg m 2 (4) När studenterna ãr närmast centrum (c) är rörelsemängdsmomentet H c = I c ω c (5) där I c = I k + m r 2 + m 2 r 2 + m 3 r 2 + m 4 r 2 = 2 MR2 + 4 i= m i r 2 (6) där r=0.5 m. Numeriskt ger detta I c = (2.0) (0.5) 2 = = kg m 2 2 I (7) Rotationsenergin ges av E rot = 2 Iω2 (8) varav fôljer att E rot c E rot p = 2 I cω 2 c 2 I pω 2 p = [ (2) & (5) ] = H cω c H p ω p (9) Eftersom rörelesmãngdsmomentets konstans ger att ser vi att H p = I p ω p = H c = I c ω c (0) E rot c E rot p och dessutom att = ω c ω p () ω c ω p = I p I c (2) Numeriskt ger detta E rot c E rot p = 2400 kg m kg m2= (3)