dr dt v = Viktiga relationer: Stela kroppens allm. rörelse (Kap. 6)

Transkript

1 1 Viktiga relationer: Stela kroppens allm. rörelse (Kap. 6) Tidsderivata av en roterande vektor För en roterande vektor A, vars norm A är konstant, roterande runt vektorn ω gäller da = ω A. (1) dt Som exempel kan vi betrakta lägesvektorn r. (Se fig.) Vi får här v = dr dt = ω r (2) ω r v = dr dt Rörelsemängdsmoment och rotation som vektorer I allmänhet kommer ej L att vara parallell med ω. Om ω delas upp i två komponenter, ω samt ω, kommer L att vara parallell med ω. (Se fig.) ω r ω ( L) ω Av Olof Karis

2 2 Detta leder till att L ej kan skrivas som en produkt av en skalär I gånger en roterande vektor ω. Vi måste i stället införa tröghetstensorn. Tröghetstensorn och rörelsemängdsmoment. Genom att införa tröghetstensorn, Ĩ, kan vi ge följande generella definition till rörelsemängdsmomentet L = Ĩ ω. (3) Tröghetstensorns komponenter defineras utgående från nedanstående ekvation Ĩ kl = j m j ( r 2 j δ kl r j,k r j,l ) k,l = x,y,z (4) Av definition framgår att Ĩ kl = Ĩ lk, vilket betyder att tensorn är symmetrisk. Den kan representeras som en 3 3 matris, där endast 6 komponenter är oberoende p.g.a. symmetrivillkor. Ekvation (4) kan vara lite svår att tolka. Låt oss därför explicit skriva ut x- komponenterna av tensorn. Vi får Ĩ xx = j ( m j y 2 j +zj 2 ) (5) Ĩ xy = j m j (x j y j ) (6) Ĩ xz = j m j (x j z j ) (7) (8) Övriga komponenter fås genom att permutera index, samt utnyttjande av symmetriegenskaper. För ett visst val av axlar, principalaxlarna, är tröghetstensorn diagonal. Med hjälp av linjär algebra är det inte svårt att visa att det alltid går att hitta ett sådant system. (Jmf. ortogonala transformationer och diagonalisering av matriser.) För principalsystemet har vi följande enkla utseende av Ĩ Ĩ ll = j m j ρ 2 j l = x,y,z (9) Vi får t.ex. Ĩ xx = j ( m j y 2 j +zj 2 ) (10) Med ovanstående definitioner av tröghetstensorn kan vi också generalisera några uttryck vi kommit i kontakt med tidigare. Av Olof Karis

3 3 Rörelsemängdsmoment L = Ĩ ω (11) Rotationsenergi E k = 1 2 ω Ĩ ω = 1 ω L (12) 2 Vidare kan följande relationer vara användbara Gyroskopapproximationen För ett gyro som precesserar med vinkelhastighet Ω samt har en vinkelhastighet ω s förknippad med dess rotation kring CM, gör vi följande approximation Ω ω s (13) Precession Ω = τ L s = mgr I 0 ω s (14) Av Olof Karis

4 Kapitel Ett barn snurrar en parallellepipedisk klots kring en axel som går längs den längsta kanten på klotsen. Vinkelhastigheten ω är 2.3 radianer/s. Hur stor är hastigheten för det hörn som är märkt A i figuren. ω 2.0 cm 1.0 cm A Svar: 5.1 cm/s. 4.0 cm 6.2 Vilken hastighet (i förhållande till ett system där jordens medelpunkt är fix och riktningarna till fixstjärnorna är konstanta) har Uppsala om vi antar att latituden är 60 grader? Svar: 0,23 km/s 6.3 Ett litet barn gör en snurra av en plåtburk och en blyertspenna. Se figur. Pennans massa är försumbar i förhållande till plåtburkens massa som är 79 g. Plåten är homogen och lika tjock över allt. Barnet sätter igång snurran med en rotationshastighet av 30 varv per sekund Hur stor blir precessionshastigheten? 4 cm 5 cm 10 cm 3 cm Svar: 3.9 rad/s 44

5 6.4 Ett leksaksgyroskop har massan 150 g och tröghetsmomentet kring dess rotationsaxel är 1500 g cm 2. Upphängningsanordningens massa är 30 g. Gyroskopet är fritt rörligt runt en upphängningspunkt, se figur. Gyroskopets masscentrum ligger 4 cm från upphängningspunkten, och det precesserar i horisontalplanet med omloppstiden 6 s. a) Bestäm den uppåtriktade kraften på gyroskopets upphängningspunkt. b) Bestäm gyrots spinnvinkelfrekvens, uttryckt i varv/min. c) Rita gyrot i en figur och ange gyrots rörelsemängdsmoment och kraftmomentet på gyrot som vektorer i figuren. Svar: a) 1,8 N b) 4, varv/min Ett sätt att stabilisera en båts rörelse är att utnyttja ett gyroskop. Ett sådant gyroskop är stort, består av en massiv cylindrisk skiva och har massan 50 ton och en radie på 2,0 m. Det roterar kring en vertikal axel med maximala rotationshastigheten 900 varv/minut. a) Hur lång tid åtgår för att få upp gyrot till maximala hastigheten om det startar från vila och motorn som driver gyrot har en utgående effekt på 100 hk? b) Bestäm det kraftmoment som krävs för att få gyrot att precessera i det vertikalplan plan som skär stäven och aktern med precessionsvinkelhastigheten 1,0 grader/s. Svar: a) 1 timme 41 min b) 1, Nm 45

6 6.6 En kurslektor på Fysikum använder ett cykelhjul för att demonstrera hur rörelsemängdsmomentet beror av kraftmomenten. Cykelhjulet har en diameter på 1,0 m. Hon har gjort periferin mycket tyngre än resten av hjulet genom att linda hjulets skena med bly. Hjulet väger således hela 5,0 kg och hela vikten kan antas ligga i periferin. Hjulets axel har försetts med två handtag som sticker ut 0,20 m åt vardera hållet. Lektorn håller axeln horisontellt med en hand på vardera handtaget och ger det en rotationshastighet av 5,0 varv/s. Bestäm storleken och riktningen på den kraft som kurslektorns respektive hand utövar på handtagen i följande situationer: a) Hjulaxeln och handtagen är båda i vila. b) Kurslektorn vrider hjulaxeln horisontellt runt hjulets centrum med rotationshastigheten 0,020 varv/s. c) Samma rörelse som i b) men med rotationshastigheten 0,20 varv /s. d) Hur snabbt måste hjulaxeln vridas horisontellt kring sitt centrum för att det skall vara möjligt att hålla hjulet med enbart en hand? Svar: a) +24 N från vardera handen, (pos. riktning = kraften riktad uppåt) b) 12 N resp. 37 N c) -99 N resp. 148 N d) 0,040 varv/s Cylindern i figuren nedan har massan M. Bestäm tröghetstensorn med avseende på origo i det inritade xyz systemet. z R R R y x 46

7 7 12 MR Svar: 0 12 MR MR Ett gyroskophjul är fastsatt i ena änden av en axel med längden l. Axelns andra ände är upphängt i ett snöre som har längden L. Gyroskopet sätts i rotation och undergår likformig precession i ett horisontalplan. Spinnvinkelhastigheten är ω s. Bestäm den vinkel β som snöret bildar med lodlinjen under förutsättning att snörets och axelns massa kan försummas. Gyrot har tröghetsmomentet I 0 kring rotationsaxeln. Svar: β= M 2 gl 3 I 0 2 ω s 2 M 2 gl 2 L 6.9 En gammal kvarn består av ett cylinderformat homogent kvarnhjul med massan M och tjockleken w och radien b som rullar i en cirkelformad bana med radien R och vinkelhastighet Ω mot ett plant underlag. Se figuren. På grund av att kvarnhjulets rörelsemängdsmoment inte är konstant till sin riktning kommer normalkraften från underlaget på kvarnhjulet att vara betydligt större än vad som skulle vara fallet om hjulet stod stilla. Beräkna normalkraften på kvarnhjulet under förutsättning att hjulet rullar utan att glida, att hjulet är fastsatt så att det inte kan vicka och att hjulets tjocklek w<<b, dvs att det kan betraktas som en tunn skiva. Försumma även friktionen. 47

8 w Ω b R Svar: N = Mg + MbΩ Om man försöker att rulla ett mynt på bordet så upptäcker man snart att man kan få myntet att rulla i en cirkel, men myntet måste då luta inåt, så att dess rotationsaxel inte är horisontell, se figuren. Antag att myntet har radien b, att det rullar utan att glida i en cirkel med radien R med hastigheten v. Under förutsättning att R>>b: Vilken vinkel Φ bildar myntets rotationsaxel mot horisontalplanet? v b Φ R Svar: tan Φ = 3v 2 2gR 48

9 6.11 Förr i tiden lekte barn med tunnband. Antag att ett tunnband har massan M och radien b och rullar rakt framåt med farten v utan att glida på ett plant underlag. Barnet slår till bandet på dess översta punkt i en riktning som är vinkelrät mot bandets rörelse. Barnet lyckas överföra impulsen I. a) Visa att detta medför att bandets bana avböjs med en vinkel Φ=I/Mv, förutsatt att gyroskopapproximationen kan användas och att friktionen mot gör att bandet hela tiden rullar utan att glida. b) Visa att gyroskopapproximationen är tillämpbar förutsatt att F << Mv 2 b, där F= den maximala stötkraften under stötförloppet Beräkna tröghetstensorn för den tunna kvadratiska plattan med massan M och kantlinjen a i figuren: y a a z x Svar: Ma En vanlig magnetisk kompass visar riktningen mot den s.k. magnetiska nordpolen, som dels inte sammanfaller med den verkliga och som dels pga lokala fält har betydande missvisning. En gyrokompass är ett instrument som däremot visar riktningen mot nordpolen. En gyrokompass består av en gyroskiva som roterar mycket snabbt och som är lagrad så att axeln kan röra sig fritt i ett horisontalplan. Se figuren 49

10 ω s Visa att gyrots axel kommer att oscillera kring nord-sydriktningen med en oscillationsfrekvens som ges av: ω osc = I 1 ω s Ω e I 2 där I 1 är gyrots tröghetsmoment kring rotationsaxeln, I 2 är tröghetsmomentet för gyrot kring en axel vertikal mot rotationsaxeln som går genom gyrots mittpunkt. Ω e är jordrotationsvinkelhastigheten samt ω s är gyrots spinn rotationsvinkelhastighet. (Resultatet innebär att om gyrot utsätts för friktion i rörelsen runt den vertikala axeln så kommer rotationsaxeln att småningom riktas i nord syd riktningen.) 50

11 6.14 Antag att en rät homogen cylinder med massan M och radien R och höjden h=2r får rotera med en vinkelhastighet ω = 8 r/s kring en axel i xz planet som är riktad 45 grader mot x-axeln i första kvadranten. Se figur. Bestäm rörelsemängdsmomentets komponenter med avseende på principalaxlarna xyz! z 45 o y x Svar: L = ( 7 6,0,1)MR 2 51

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27